PAGE17-河北省雞澤縣第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題（含解析）一、項(xiàng)選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共600分.1.已知集合，則=A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查集合交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．實(shí)行數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)悟交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的實(shí)部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】解：，的實(shí)部為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)向量，且，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得到，利用向量垂直的坐標(biāo)形式得到.【詳解】由題，得，由，從而，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)形式，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.在中，若，則=（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】余弦定理將各值代入得解得或(舍去)選A.5.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，離心率為.若經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，選B.【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【名師點(diǎn)睛】利用待定系數(shù)法求圓錐曲線方程是高考常見題型，求雙曲線方程最基礎(chǔ)的方法就是依據(jù)題目的條件列出關(guān)于的方程，解方程組求出，另外求雙曲線方程要留意巧設(shè)雙曲線（1）雙曲線過兩點(diǎn)可設(shè)為，（2）與共漸近線的雙曲線可設(shè)為，（3）等軸雙曲線可設(shè)為等，均為待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程.6.中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的誕生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉物各一個(gè)，甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜愛牛和馬，乙同學(xué)喜愛牛、兔、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)祥瑞物都喜愛，假如讓三位同學(xué)選取的禮物都滿足，那么不同的選法有()A.50種 B.60種 C.70種 D.90種【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，按同學(xué)甲的選擇分2種狀況探討，求出每種狀況的選法數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．【詳解】依據(jù)題意，分2種狀況探討：假如同學(xué)甲選牛，那么同學(xué)乙只能選兔、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種中隨意選，∴選法有種；假如同學(xué)甲選馬，那么同學(xué)乙能選牛、兔、狗和羊中的一種，丙同學(xué)可以從剩下的10種中隨意選，∴選法有種，不同的選法共有種，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．7.為了探討某班學(xué)生的腳長(zhǎng)（單位厘米）和身高（單位厘米）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取名學(xué)生，依據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回來直線方程為．已知，，．該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為，據(jù)此估計(jì)其身高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由已知,，故選C.8.要得到函數(shù)的圖象，可將的圖象向左平移（）A.個(gè)單位 B.個(gè)單位 C.個(gè)單位 D.個(gè)單位【答案】A【解析】【分析】利用協(xié)助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后利用三角函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律可得出結(jié)論.【詳解】，因此，將的圖象向左平移可得到函數(shù)的圖象.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移變換，在平移時(shí)要將兩個(gè)函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)，函數(shù)名稱要保持一樣，考查推理實(shí)力，屬于中等題.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，，則，即，故選A.10.現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④的圖象（部分）如下，則依據(jù)從左到右圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)序號(hào)支配正確的一組是（）A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②①【答案】A【解析】【分析】依據(jù)各個(gè)函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的符號(hào)，推斷函數(shù)的圖象特征，即可得到．【詳解】解：①為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故第一個(gè)圖象即是；

②為奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它在上的值為正數(shù)，

在上的值為負(fù)數(shù)，故第三個(gè)圖象滿足；

③為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故第四個(gè)圖象滿足；

④，為非奇非偶函數(shù)，故它的圖象沒有對(duì)稱性，故其次個(gè)圖象滿足，

故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象，函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的值的符號(hào)，屬于中檔題．11.設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，不妨令，則．結(jié)合圖象可得，從而可得結(jié)果．【詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖所示．不妨令，則，則．結(jié)合圖象可得，故．∴．選B．【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是依據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，.函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達(dá)形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為探討函數(shù)的數(shù)量關(guān)系供應(yīng)了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個(gè)數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、探討函數(shù)性質(zhì)．12.已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），則（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】因?yàn)?，令，由題意可得有兩個(gè)解，即函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上的唯一極值不等于0，又由，①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，解得，因?yàn)?，，函?shù)單調(diào)遞增；，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則，即，所以，所以，即，故當(dāng)時(shí)，的兩個(gè)根，且，又，所以，從而可知函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，所以，故選C．點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值的方法，解答中先求出，由題意可得有兩個(gè)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)是解答的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.13.的綻開式中的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】由題意，二項(xiàng)式綻開的通項(xiàng)，令，得，則的系數(shù)是.考點(diǎn)：1.二項(xiàng)式定理的綻開式應(yīng)用.14.函數(shù)滿足，且在區(qū)間上，則的值為____．【答案】【解析】分析：先依據(jù)函數(shù)周期將自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，代入對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式求值，再代入對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式求結(jié)果.詳解：由得函數(shù)的周期為4，所以因此點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.15.已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是__________．【答案】【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，則．又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即．【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與解析式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【學(xué)問拓展】本題題型可歸納為“已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為．16.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|=____.【答案】6【解析】【分析】由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程并化簡(jiǎn)，由此計(jì)算出的值.【詳解】依題意可知，拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，代入拋物線方程得，即.所以.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列{an}滿足：a3=7，a5＋a7=26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn..（1）求an及Sn；（2）令(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn..【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由已知等量關(guān)系可求出等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，進(jìn)而可求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式；（2）將等差數(shù)列通項(xiàng)公式代入已知等式中得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）在等差數(shù)列中∵，∴，解得，∴，；（2）由（1）得，∴【點(diǎn)睛】本題考查給出等差數(shù)列等量關(guān)系，求等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，同時(shí)也考查了用裂項(xiàng)相消法求與等差數(shù)列相關(guān)的數(shù)列的前項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題.18.在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，已知.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式可得出關(guān)于的二次方程，由的取值范圍可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用余弦定理可求得的值，進(jìn)而利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）在中，，則由，得，即，，可得，所以，，因此，；（2）由余弦定理，得，即，解得，因此，的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式求三角形的內(nèi)角，同時(shí)也考查了利用余弦定理解三角形以及三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.19.某市一所中學(xué)為備戰(zhàn)即將實(shí)行的全市羽毛球競(jìng)賽，學(xué)校確定組織甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球?qū)官悓?shí)戰(zhàn)訓(xùn)練．每隊(duì)四名運(yùn)動(dòng)員，并統(tǒng)計(jì)了以往多次競(jìng)賽成果，按由高到低進(jìn)行排序分別為第一名、其次名、第三名、第四名.競(jìng)賽規(guī)則為甲、乙兩隊(duì)同名次的運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行對(duì)抗，每場(chǎng)對(duì)抗賽都互不影響，當(dāng)甲、乙兩隊(duì)的四名隊(duì)員都進(jìn)行一次對(duì)抗賽后稱為一個(gè)輪次．按以往多次競(jìng)賽統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，甲、乙兩隊(duì)同名次進(jìn)行對(duì)抗時(shí)，甲隊(duì)隊(duì)員獲勝的概率分別為，，，.（1）進(jìn)行一個(gè)輪次對(duì)抗賽后一共有多少種對(duì)抗結(jié)果？（2）計(jì)分規(guī)則為每次對(duì)抗賽獲勝一方所在的隊(duì)得1分，失敗一方所在的隊(duì)得0分，設(shè)進(jìn)行一個(gè)輪次對(duì)抗賽后甲隊(duì)所得分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）16種；（2）見解析，【解析】【分析】（1）每個(gè)同名次的對(duì)抗有2種結(jié)果，共有4個(gè)名次的對(duì)抗，所以有種結(jié)果；（2）由條件可知共5種狀況，分別計(jì)算概率得到分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由于甲、乙兩隊(duì)的四名隊(duì)員每進(jìn)行一次對(duì)抗賽都會(huì)有2種狀況產(chǎn)生，所以一共有（種）（2）X的可能取值分別為4，3，2，1，0，則；；；X的分布列為X43210P.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率，意在考查分析數(shù)據(jù)，解決問題的實(shí)力，本題的難點(diǎn)是求分布列中的概率時(shí)，需分類精確，不要漏掉某一類.20.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB//CD，AD=DC=AP=2，AB=1，BC=.（1）證明:AB⊥平面PAD；（2）若E為棱PC上一點(diǎn)，滿足BE⊥AC，求二面角E-AB-P的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）分別證明和即可；（2）以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法可求解.【詳解】（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，取CD中點(diǎn)F，連接BF，∵AB//DF且AB=DF=1，∴四邊形ABFD是平行四邊形，則BF=AD=2，∵BF2+CF2=22+12=5=BC2，∴BF⊥CF，∴四邊形ABFD是矩形，∴AB⊥AD，∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD；（2）由（1）及已知得AB，AD，AP兩兩垂直，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，∴=(-2，-2，2)，=(2，2，0)由E點(diǎn)棱PC上，設(shè)=λ=(-2λ，-2λ，2λ)(0≤λ≤1)，則E(2-2λ，2-2λ，2λ).故=+=(1-2λ，2-2λ，2λ)，由BE⊥AC，得=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0，解得λ=，即=，設(shè)平面ABE的法向量為=(a，b，c)，由，得，令c=1，則=(0，-3，1)，取平面ABP的法向量=(0，1，0)，設(shè)二面角E-AB-P的平面角為α，則，由圖知二面角E-AB-P為銳二面角，故二面角E-AB-P的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的證明以及二面角的求法，屬于中檔題.21.已知離心率為的橢圓，與直線交于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為.(1)求橢圓方程;(2)若，則三角形的面積是否為定值?若是，求出這個(gè)定值;若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）是定值且為，詳見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的方程組，解出后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為,聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去后利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得可得，再利用韋達(dá)定理把面積表示成關(guān)于的代數(shù)式，利用前者化簡(jiǎn)可得面積為定值.留意斜率不存在時(shí)的探討.【詳解】(1)由題意可知，解得，所以橢圓方程為.(2)設(shè)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為,聯(lián)立橢圓方程得，則，點(diǎn)到直線的距離，所以，由，化簡(jiǎn)得，整理得到，入上式得.若直線斜率不存在易算得.綜上得，三角形的面積是定值.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)