專題26二次函數(shù)函數(shù)與角問題

考向二次函數(shù)函數(shù)中的角度問題

府題呈觀

【母題來源】2021年中考四川省德陽卷

【母題題文】如圖，已知：拋物線y=x?+bx+c與直線1交于點(diǎn)A(-1,0),C(2,-3),

與x軸另一交點(diǎn)為B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線上找一點(diǎn)P,使4ACP的內(nèi)心在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)M是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N,連接BM.在(2)的條件下,

是否存在點(diǎn)M,使/MBN=NAPC?若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

拋物線的解析式為y=x-2x-3；

(2)作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C',則C'(2,3),連接AC'并延長與拋物線交于點(diǎn)P,由圖

解得：｛:二；，

直線AC'的解析式為y=x+l,

將直線和拋物線的解析式聯(lián)立得:

fy=x+1

(y=x2—2x—3"

解嗽:「(舍去)或0u

.\P(4,5)；

(3)存在點(diǎn)M,

過點(diǎn)P作x軸的垂線，由勾股定理得AP=J（4+l）2+52=5V2,

PC=，(4-2尸+(5+3尸=2V17,

VZMBN=ZAPC,

tanZMBN=tanZAPC,

.MN3

??—二,

BN5

oJlTl2—2772—313

設(shè)點(diǎn)M(m,m-2m-3),則---;----;--=-(mW3),

|3-m|5

解得m=一|或m=

當(dāng)m=—■時，m2-2m-3=(―^)2—2X(―^)—3=—,,

當(dāng)m=一卷,m2-2m-3=(-1)2-2x(-1)-3=翳

2ciQ69

；?存在符合條件的點(diǎn)M,M的坐標(biāo)為（一（，（一卷，—）.

【試題解析】（1）把點(diǎn)A,C代入拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析

式；

（2）先作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C',然后連接AC'并延長交拋物線于點(diǎn)P,根據(jù)對稱性

可知P為所求的點(diǎn)；

（3）根據(jù)勾股定理先求出NAPC的正切值，再設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,m2-2m-3）,利用/

MBN=/APC列出關(guān)于m的方程，求出m,即可確定M的坐標(biāo).

【命題意圖】二次函數(shù)的應(yīng)用；推理能力.

【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題.

【得分要點(diǎn)】角的數(shù)量關(guān)系問題

（1）證等角：常運(yùn)用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等、全等三

角形和相似三角形的對應(yīng)角相等及兩角的銳角三角函數(shù)值相等，等等；（2）證二倍角：常構(gòu)

造輔助圓，利用圓周角定理；（3）證和差角：常旋轉(zhuǎn)、翻折、平移構(gòu)造角.

L（2021?廣西貴港模擬）如圖，拋物線y=-x?+（m-1）x+m（其中m>l）與x軸交于A,

B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D在該拋物線的對稱軸上，且DA=DC.

771—1771—1

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）,用含m的式子表示點(diǎn)D的坐標(biāo)為（丁,?。?/p>

（2）若4ACD與△BC0的面積之比為5：9,求該拋物線的表達(dá)式；""

（3）在（2）的條件下，若動點(diǎn)P在該拋物線上，且當(dāng)NPBC=/DAB時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：(1),/y=-x2+(m-1)x+m=-(x+1)(x-m),

得A(T,0),

連接DB,?..直線1是拋物線的對稱軸，

；.DA=DB,

VDA=DC,

；.DB=DC,

又0B=0C,

直線0D是BC的垂直平分線,

又△BCO是等腰直角三角形，

zn—1、

故答案為：（-1,0）,L丁);

(2)如圖，VA(-1,0),B(m,0),C(0,m),且DA=DC,

：.DA2=DC2=(^^+1)2+1(m2+1),AC2=m2+L

.".DA2+DC2=AC2,

則4ACD是等腰直角三角形，

]

,,S“CD=4（血？+1），

又△BCO是等腰直角三角形，且0B=0C=m,

?2

c_1m

,,LBco~2'

?SAACD：SABCO=5：9,

.i-(m2+l)5

??-i——，解得m=±3,

—m29

2

Vm>l,.*.m=3,

則拋物線的表達(dá)式為y=-X2+2X+3；

(3)如圖，在(2)的條件下，

Vm=3,

???B(3,0),C(0,3),又A(-1,0).

①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)拋物線上時，作PELx軸，垂足為E,

設(shè)P(x,-X2+2X+3),則PE=-X?+2X+3,BE=3-X,

VZPBC=ZDAB,而NCB0=NCAD=45°,

.\ZPBE=ZCA0,

PECO

ARtAPBE^RtACAO,一=一=3,

BEAO

—X乙+2x+3

則----------=3,解得x=2(x=3不符題意，舍去),

3—%

此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)；

②當(dāng)點(diǎn)P在第二象限內(nèi)拋物線上時，記PB與AC的交點(diǎn)為F,

VZPBC=ZDAB,且NPBA=45°-ZPBC,NCAB=45°+ZDAB,

???NPBA+NCAB=90°,則NAFB=90。，即PB_LAC,垂足為F,

VA(1,0),C(0,3),

?,?直線AC的表達(dá)式為y=3x+3,

VB(3,0),PB1AC,

J直線PB的表達(dá)式為y=-gx+1,

由卜士：二解得■["小舍去),

(y=-X乙+2%+3{y=-g

???此時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為,得);

綜上，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)和(一5，昔).

2.(2021?甘肅蘭州模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax~+bx+6(aWO)

交x軸于AB兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,且0A=0C=30B,連接AC.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P從點(diǎn)C以每秒2個單位長度的速度沿CA運(yùn)動到點(diǎn)A,點(diǎn)Q從點(diǎn)0以每秒1個單位

長度的速度沿OC運(yùn)動到點(diǎn)C,點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時出發(fā)，連接PQ,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)Q停

止運(yùn)動，求SACPQ的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得/ACM=15°?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

解：(1):,拋物線y=ax，bx+6(a#0)交y軸于點(diǎn)C,

...點(diǎn)C(0,6),.".OC=6,

：0A=0C=30B,

.,.0A=0C=6,0B=2,

.?.點(diǎn)A(-6,0),點(diǎn)B(2,0),

將點(diǎn)A,點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式，可得：*=整+2236

10=36a—6b+6

解得：k二T,

3=-2

；?拋物線的表達(dá)式為：y=-1x2-2x+6；

(2)如圖，過點(diǎn)P作PHLCO于H,

???N0CA=45°

VPHXOC,

???NAC0=NCPH=45°,

???PH=CH,

???點(diǎn)P從點(diǎn)C以每秒2個單位長度的速度沿CA運(yùn)動到點(diǎn)A,點(diǎn)Q從點(diǎn)0以每秒1個單位長

度的速度沿0C運(yùn)動到點(diǎn)C,

CP=2t,OQ=t,

/.PH=CH=V2t,CQ=6-t,

.*.SAPCQ=|XCQXPH=^Ct)=-#(t-3)竽，

9V2

.,.當(dāng)t=3時，SRPQ的最大值為三一，

.\PH=CH=3V2,.\0H=6-3V2,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3V2,6-3V2)；

...tan/OCH=^=萼，.*.0H=2V3,.?.點(diǎn)H(-2^,0),

直線CM的解析式為：y=V3x+6,

y=V3x+6

聯(lián)立方程組可得：1，

y=~2X7—2%+6

解得：1丁(舍去)叱二房8

故點(diǎn)M(-4-2g,-4店);

當(dāng)點(diǎn)M'在AC的上方時，設(shè)CM'與x軸的交點(diǎn)為G,

VZACM'=15°,ZAC0=45°,

.,.Z0CG=60°,

；.tanNOCG=^=次，.>.00=673,

.?.點(diǎn)H(-6V3,0),

直線CM'的解析式為：y=最+6,

(_V3,,

y=~x~x+6

聯(lián)立方程組可得：r3]

、y=一尹2—2%+6

'.2/3

真"舍去)或x=-4----^―

解得:

473?16,

y=一丁+三

z.2/34v5.16、

故點(diǎn)Mu(-4g―,—I"$)；

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4-2百，-4V3)或(-4+竽)*

3.(2021?廣東模擬)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=*x-2的圖象與x軸交于

1

點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)y=2,+bx+c的圖象經(jīng)過B,C兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸

交于點(diǎn)A.~

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式.

(2)如圖2,連接AC,點(diǎn)M為線段BC上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t,過點(diǎn)M作y軸的平

行線，過點(diǎn)C作x軸的平行線，兩者交于點(diǎn)N,將AMCN沿MC翻折得到△MCN'.

①當(dāng)點(diǎn)N'落在線段AB上，求此時t的值；

②求△MCN'與4ACB重疊的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式.

(3)如圖3,點(diǎn)D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上，過點(diǎn)D作DMLBC于點(diǎn)M,是否存在點(diǎn)

D,使得4CDM中的某個角恰好等于/ABC的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請

說明理由.

解：(1)由題意得：B(4,0),C(0,-2),

'-^+4b+c=0,=

拋物線的解析式為y=#-|x-2；

(2)①如圖1,

圖1

由題意得：CN'=CN=t,/N'CM=ZNCM,

VCN/7AB,

.\ZOBC=ZNCM,

.".ZOBC=ZBCN/,

.'.BN'=CN,=t,：.0N'=4-t,

在Rt^OCN'中，由勾股定理得，

OC2+NZ(f=N'c2,

：.22+(4-t)2=t2,

②當(dāng)ovtwj時,

S=SAcm=|cN-MN=|fMN,

OC1

*.,MN=CN*tanZBCN=t*tanZOBC=f—=-1,

OB2

圖2

5

當(dāng)一<tW4時，

2

cor

由①知：CD=BD=^,0D=|,.\DN,=t-|,

/.EN,=DNZ?tanZBDN/=(t-|)?tan/ODC,

在Rt^OCD中，

"244s

tanN0DC==T=W，/?EN'=—^),

i1q4q2q

**?SADENZ=2DN',EN'=2(t—X(t—之)=g(t—2)?,

?S-If?2.(t5)2_5oII?！?5

??W(t-2)-?石，

(y=4t2(0<t<|)

綜上所述：s={4/q；

(y=-「2+學(xué)?」(|VY4)

(3)如圖3,

當(dāng)NDCM=2NABC時，

作CF〃AB,作BE_LCF交CD于E交CF于F,

???NCFB=NCFE=90°,

VZFCB=ZABC,

AZFCE=ZFCB=ZABC,

VCF=CF,AACFB^ACFE(ASA),

???EF=BF=2,

AE(4,-4),VC(0,2),

?,?直線CE的解析式是：y=-1%-2,

(1

y=—?%—2

由｛13得，

y=/2--x-2

(舍如上出

；.D點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,如圖4,

當(dāng)NCDM=2NABC時，

作BG〃DM交CD于G,作GH_LAB于H,

/.ZGBH+ZHGB=90°,Z0BC+ZGBH=90°,

.?.ZHGB=Z0BC,

4

由(2)知：tan2ZABC=|,

.\tanZCGB=.*.BG=BC?tanZCGB=|BC,

VOC=2,0B=4,

.1.BC=2V5,；.BG=竽,

QrE9

???BH=BG?sinNHGB=BG?sinNOBC=誓

2275

3JS4

GH=BG?cosNHGB=苧x義=3,

22V5

???0H=0B+BH=4+M=殍，???G(—,-3),

222

7

???CG的解析式是:y=-ax-2,

,132,口

由一x7——x—2=———x—2得,

2211

X1=O(舍去)，X2=窘,

2929

點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為不，綜上所述，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2或h.

1111

4.(2021?內(nèi)蒙古鄂爾多斯一模)如圖，已知直線y=2x+n與拋物線y=ax2+bx+c相交于A,

B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是A(1,-4),點(diǎn)B在x軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩

形時，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使NBAQ=45°,若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不

存在，說明理由.

備用圖

解：(1)將點(diǎn)A(1,-4)代入直線y=2x+n得，

2+n=-4,.*.n=-6,

?I直線y=2x-6,

當(dāng)y=0時，代入直線得：0=2x-6,

解得：x=3，，點(diǎn)B坐標(biāo)(3,0),

設(shè)拋物線表達(dá)式為y=a(x-1)2-4,將點(diǎn)B代入拋物線得，

0=4a-4,解得：a=l,

???拋物線表達(dá)式y(tǒng)=(x-1)2-4；

(2)當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時，有兩種情況:

已知點(diǎn)A(1,-4),點(diǎn)B(3,0)

.,.MA2=12+(m+4)2,AB?=(1-3)2+(-4-0)2=20,BM2=32+m2,

.,.MB2=AM2+AB2,即12+(m+4)2+20=32+m2,解得m=—，

7

即點(diǎn)M的坐標(biāo)(0,-2),

延長BN交y軸于點(diǎn)，作AG，y軸于G,BHLGA交GA的延長線于點(diǎn)H.

OMtOB

由△B0MS/\BHA,可得——=■

AHBH

OMf333

---=—,0M=5，.'.M(0,-)

2422

取線段AB的中點(diǎn)P,作輔助圓。P,與y軸交于點(diǎn)Mi,M2,作PG，y軸于點(diǎn)G,

上xiAi-XXyA+VD

點(diǎn)PD坐標(biāo)(,--A-+---B，4^),即(2,-2),

22

由①可得線段AB=V20=2遙，OP半徑芯,

在RtZ^PMiG中，PMi=V5,PG=2,MG=J(V5)2-22=1,

根據(jù)垂徑定理可得，M2G=1,

???點(diǎn)Mi坐標(biāo)(0,-1),點(diǎn)岫坐標(biāo)(0,-3)；

73

綜上所述，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時，點(diǎn)M坐標(biāo)為：(0,-或(0，

或(0,-1)或(0,-3)；

4

(3)存在點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-2或大使NBAQ=45°.

理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)Q,如圖，

當(dāng)四邊形ADBC為正方形，且點(diǎn)Qi，Q?分別在直線AD和直線AC上時，ZBAQ=45

設(shè)過線段AB中點(diǎn)P,且與線段AB垂直的直線：y=-1x+b,

將點(diǎn)P(2,-2)代入得：-2=-1+b,

解得b=-1,直線為y———1>

設(shè)點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)(n,-1n-1),

在Rt^ABD中，/BAQ=45°,AB=2V5,

sin45°=器，解得BD=V1U，

；.BD=J(n-3)2+(1n+l)2=V10,

解得m=0,n*=4,

???點(diǎn)C坐標(biāo)(0,-1),點(diǎn)D坐標(biāo)(4,-3),

設(shè)直線AD表達(dá)式為：y=qx+p,將點(diǎn)A(L-4),點(diǎn)D(4,-3)代入得,

(1

『蠢解得q=3

13,

(p=—3

直線AD的表達(dá)式為y=9—呈

同理可得直線AC的表達(dá)式為y=-3x-1,

聯(lián)立直線AD與拋物線丫=(x-I)?-4可得，

1132A-4

-X--=(X-1)-4,解得Xi=l,X2=5，

333

同理聯(lián)立直線AC與拋物線可解得X3=l,x4=-2,

4

.??點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-2或3

5.(2021?四川模擬)如圖，一次函數(shù)y=-±x-2的圖象與坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的

坐標(biāo)為(1,0),二次函數(shù)y=ax、bx+c的圖象經(jīng)過A,B,C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,已知點(diǎn)D(-1,n)在拋物線上，作射線BD,Q為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作

QMJ_y軸于點(diǎn)M,作QNLBD于點(diǎn)N,過點(diǎn)Q作QP〃y軸交拋物線于點(diǎn)P,當(dāng)QM與QN的積最

大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在(2)的條件下，連接AP,若E為拋物線上一點(diǎn)，且滿足/APE=2/CAO,

求點(diǎn)E的坐標(biāo).

1

解：(1)當(dāng)y=0時，一亍€-2=0,

??.x=-4,

AB(-4,0),

當(dāng)x=0時，y=-2,

???A(0,-2),

工設(shè)拋物線的解析式是y=a(x+4)*(x-1),

.'.a*4X(-1)=-2,

,_1

??a.—],

i12

Ay=(x+4)?(x-1)=x2+-^x—2；

(2)如圖1,

延長PQ交OB于H,延長NQ交0B于K,作DE_LOB于E,

由題意得，

12

n=2X(_1)2_——2—―3,

AD(-1,-3),

???DE=BE=3,

.\ZDBE=45°,

.,.△KNB和△KHQ是等腰直角三角形，

設(shè)Q(m,—-2),

QM=-m,

1

HK=QH=27n+2,

BH=m+4,

QK=V2*HK=V2*(-m+2),

2

3

BK=BH+HK=+6,

???NK=￥?BK=*(|ni+6),

???QN=NK-QK

J?3=1

=^-*(-