考點(diǎn)15.三角形及全等（精講）【命題趨勢(shì)】三角形及其全等三角形是中考必考內(nèi)容，三角形的相關(guān)概念（如：內(nèi)角和、三邊關(guān)系、三線等）常結(jié)合三角形全等在選填題中考查，全等三角形的性質(zhì)與判定常用四邊形在解答題中考查。三角形及其全等三角形主要重在掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用，也是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為10--15分。考生在復(fù)習(xí)本考點(diǎn)時(shí)，不僅要熟悉掌握其本身的性質(zhì)和運(yùn)用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中的應(yīng)用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什么情況下會(huì)轉(zhuǎn)化成該考點(diǎn)的知識(shí)考查。【知識(shí)清單】1：三角形的相關(guān)概念（☆☆）1）三角形的概念:由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形。2）三角形的三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關(guān)系。3）三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°。推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。2：三角形中的重要線段（☆☆）1）三角形中的重要線段（1）三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。（2）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。（3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線。3：全等三角形的判定與性質(zhì)（☆☆☆）1）三角形全等的判定定理：（1）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（2）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）；（3）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）；（4）角角邊定理：有兩角和它們所對(duì)的任意一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）；（5）對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）。2）全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；（3）全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線都相等。4：全等三角形的實(shí)際應(yīng)用（☆☆）1）通過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與原圖形是全等圖形。2）若題中沒(méi)有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運(yùn)用作高法、倍長(zhǎng)中線法、截長(zhǎng)補(bǔ)短法、分解圖形法等來(lái)解決運(yùn)動(dòng)、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目。3）利用全等三角形解決實(shí)際問(wèn)題的方法：把實(shí)際問(wèn)題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．5：角平分線的性質(zhì)與判定（☆☆☆）1）角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．如圖，已知平分，，，則．2）角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】1.從判定兩個(gè)三角形全等的方法可知，要判定兩個(gè)三角形全等，需要知道這兩個(gè)三角形分別有三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)元素是邊）對(duì)應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準(zhǔn)確地確定要補(bǔ)充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個(gè)三角形全等的思路。2.角平分線的性質(zhì)定理中的“距離”是指“點(diǎn)到角兩邊所在直線的距離”，因此在應(yīng)用時(shí)必須含有“垂直”這個(gè)條件，否則不能得到線段相等?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.三角形的相關(guān)概念例1：（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且兩邊長(zhǎng)分別為3和5，則第三邊的長(zhǎng)可以為（寫出一個(gè)即可）．變式1.（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）在下列長(zhǎng)度的四條線段中，能與長(zhǎng)的兩條線段圍成一個(gè)三角形的是（

）A． B． C． D．變式2.（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）平面內(nèi)，將長(zhǎng)分別為2，4，3的三根木棒按如圖方式連接成折線，其中可以繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)，保持，將，兩點(diǎn)用繃直的皮筋連接，設(shè)皮筋長(zhǎng)度為，則不可能是（）

A．3 B．5 C．7 D．8例2：（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）若三角形三個(gè)內(nèi)角的比為1：2：3，則這個(gè)三角形按角分類是三角形．◆變式訓(xùn)練變式1．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，鋼架橋的設(shè)計(jì)中采用了三角形的結(jié)構(gòu)，其數(shù)學(xué)道理是．變式2.（2022·黑龍江大慶·中考真題）下列說(shuō)法不正確的是(

)A．有兩個(gè)角是銳角的三角形是直角或鈍角三角形B．有兩條邊上的高相等的三角形是等腰三角形C．有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形D．底和腰相等的等腰三角形是等邊三角形例3：（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）在中，數(shù)據(jù)如圖所示，若比小，則比（

）

A．大 B．小 C．大 D．小變式1.（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）一塊板材如圖所示，測(cè)得，，，根據(jù)需要為140°，師傅說(shuō)板材不符合要求且只能改動(dòng)，則可將（選填“增加”或“減少”）．

變式2.（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考三模）定理：三角形的內(nèi)角和是180°．已知：、、是的三個(gè)內(nèi)角．求證：．有如下四個(gè)說(shuō)法：①*表示內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；②@表示；③上述證明得到的結(jié)論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形．其中正確的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③變式3．（2023·山西太原·統(tǒng)考二模）如圖，在凹四邊形中，，，，求的度數(shù)．

下面是學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們交流時(shí)得到的解決問(wèn)題的三種方法：方法一：作射線AC；方法二：延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E；方法三：連接BD．請(qǐng)選擇上述一種方法，求的度數(shù)．核心考點(diǎn)2.三角形中的重要線段例4：（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）嘉淇剪一個(gè)銳角做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與交于點(diǎn)，連接，則線段分別是的（

）

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線變式1．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）小熊和小貓把一個(gè)三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個(gè)三角形．如圖，當(dāng)時(shí)，折痕是三角形的（

）

A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線變式2.（2022·河北·中考真題）如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開(kāi)后得到折痕l，則l是△ABC的（

）A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線例5：（2023·河北滄州·統(tǒng)考三模）題目：如圖，的三邊均不相等，在此三角形內(nèi)找一點(diǎn)O，使得，，的面積均相等．甲、乙兩人的做法如下，判斷正確的是（

）

A．甲、乙皆正確 B．甲、乙皆錯(cuò)誤 C．甲錯(cuò)誤，乙正確 D．甲正確，乙錯(cuò)誤變式1.（2023·江蘇蘇州·?？级＃┑妊?，，，則重心G到底邊的距離是．變式2．（2023·寧夏銀川·?？家荒＃┎牧弦唬喝鐖D①，點(diǎn)C把線段分成兩部分，若，那么稱線段被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段的黃金分割點(diǎn)．類似地，對(duì)于實(shí)數(shù)：，如果滿足，則稱為的黃金數(shù)．材料二：如果一條直線把一個(gè)面積為S的圖形分成面積為和兩部分，且滿足，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．如圖②，在中，若線段所在的直線是的黃金分割線，過(guò)點(diǎn)C作一條直線交邊于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作交的一邊于點(diǎn)F，連接，交于G．問(wèn)題：(1)若實(shí)數(shù)，a為0，1的黃金數(shù)，求a的值．(2)（填）(3)是的黃金分割線嗎？為什么？例6：（2023·河北衡水·二模）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，沿將折疊，使點(diǎn)與邊上的點(diǎn)重合，展開(kāi)后得到折痕．

（1）折痕是的；（填“角平分線”“中線”或“高”）（2）若，則比的度數(shù)大．變式1.（2023上·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，，點(diǎn)M為的重心，若將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后三角形的重心的坐標(biāo)為．

變式2．（2023·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，，，點(diǎn)P為邊上任意一點(diǎn)，（P不與點(diǎn)B、C重合），I為的內(nèi)心則：（1）的最小值=___________；（2）的取值范圍是___________．核心考點(diǎn)3.全等三角形的判定與性質(zhì)?例7：（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在與中，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得．

變式1.（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)D，E．分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，交于內(nèi)一點(diǎn)F.連結(jié)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G．連結(jié)，.添加下列條件，不能使成立的是（

）

A． B． C． D．變式2.（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，在和中，在同一條直線上．下面四個(gè)條件：①；②；③；④．

(1)請(qǐng)選擇其中的三個(gè)條件，使得（寫出一種情況即可）；(2)在（1）的條件下，求證：．例8：（2023·臺(tái)灣·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知與全等，A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D、E、F，且E點(diǎn)在AE上，B、F、C、D四點(diǎn)共線，如圖所示若，，則下列敘述何者正確？（）A．，B．，C．，D．，變式1.（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）如圖，，點(diǎn)D在邊上，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)F，若，則．例9：（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，銳角三角形中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，連接，．下列命題中，假命題是（

）．

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則變式1.（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形方格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是一個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)均在小正方形方格的頂點(diǎn)上，線段交于點(diǎn)，若，則等于（

）

A． B． C． D．例10：（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在，上，，，相交于點(diǎn)，．求證：．小虎同學(xué)的證明過(guò)程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

(1)小虎同學(xué)的證明過(guò)程中，第___________步出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)寫出正確的證明過(guò)程．變式1．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)至點(diǎn)．使．在邊上截取，連接．求證：．

變式2．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，，垂足分別為，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．

變式3．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，在和中，．求證：．

例11：（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，，則的長(zhǎng)度為．

變式1.（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，．(1)寫出與的數(shù)量關(guān)系(2)延長(zhǎng)到，使，延長(zhǎng)到，使，連接．求證：．(3)在（2）的條件下，作的平分線，交于點(diǎn)，求證：．

變式2．（2023·青海海西·校考一模）請(qǐng)完成如下探究系列的有關(guān)問(wèn)題：探究1：如圖1，是等腰直角三角形，，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接，則線段，之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．探究2：如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段的延長(zhǎng)線上，其余條件不變，探究1中的兩條結(jié)論是否仍然成立？為什么？（請(qǐng)寫出證明過(guò)程）。探究3：如圖3，如果，，仍然保留為，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你判斷線段，之間的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．核心考點(diǎn)4.全等三角形的實(shí)際應(yīng)用例12：（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角．”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點(diǎn)C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請(qǐng)寫出平分的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線是的平分線，請(qǐng)說(shuō)明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問(wèn)路燈應(yīng)該安裝在哪個(gè)位置？請(qǐng)用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對(duì)應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）變式1．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，工人師傅設(shè)計(jì)了一種測(cè)零件內(nèi)徑的卡鉗，卡鉗交叉點(diǎn)O為、的中點(diǎn)，只要量出的長(zhǎng)度，就可以道該零件內(nèi)徑的長(zhǎng)度．依據(jù)的數(shù)學(xué)基本事實(shí)是（

）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等C．兩余直線被一組平行線所截，所的對(duì)應(yīng)線段成比例 D．兩點(diǎn)之間線段最短變式2．（2023·江蘇鹽城·校考一模）（1）如圖，A、B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小聰想要測(cè)量A、B間的距離，一位同學(xué)幫他想了一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A、B的點(diǎn)O，分別延長(zhǎng)、至點(diǎn)M、N，使得，再連接，則的長(zhǎng)度即為池塘A、B間的距離．請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）在下面的網(wǎng)格圖中有三個(gè)點(diǎn)A、B、D，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D在網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上，請(qǐng)找出點(diǎn)C，使得四邊形是平行四邊形．（僅用無(wú)刻度的直尺作圖，保留作圖痕跡，不