專題09二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（二）目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01二次函數(shù)與不等式 1題型02根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解 4題型03二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題 6題型04二次函數(shù)圖象判斷綜合 9題型05二次函數(shù)與實(shí)際問題 11中考練場 15 題型01二次函數(shù)與不等式【解題策略】二次函數(shù)與不等式的關(guān)系：b2-4acb2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0圖象與x軸交點(diǎn)2個(gè)交點(diǎn)1個(gè)交點(diǎn)0個(gè)交點(diǎn)ax2＋bx＋c>0的解集情況x<x1或x>x2x≠?取任意實(shí)數(shù)ax2＋bx＋c<0的解集情況x1<x<x2無解無解【其它情況】1）關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集?拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直線y＝mx＋n（m≠0）上方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值；2）關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集?拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直線y＝mx＋n（m≠0）下方的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值．【典例分析】例1．（2023·浙江）已知二次函數(shù)y=ax2?4ax（a是常數(shù)，a<0）的圖象上有Am,y1和B2m,y2兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B都在直線y=?3a的上方，且A．1<m<32 B．43<m<2 C．例2．（2023·安徽模擬）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是A.?1<x<5 B.x>5

C.x<?【變式演練】1.（2023·福建模擬）如圖，拋物線y=ax2+c與直線y=mx+n交于A(?1,p)，B(3,q)兩點(diǎn)，則不等式axA.x>?1 B.x<3

C.x<?1或x>3 D.?1<x<32．（2023·江蘇）如圖，二次函數(shù)y=12x2+bx?4的圖像與x

(1)b=_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，tan∠AOD=52；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，過點(diǎn)(k,0)作x軸的垂線l．已知在l(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．（2023·浙江）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,?2)

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)當(dāng)y≤?2時(shí)，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．題型02根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解【解題策略】拋物線的對稱性的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在：1）求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；2）已知拋物線上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，求其對稱軸.解此類題的主要根據(jù)：若拋物線上兩個(gè)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y)，(x2，y)，則拋物線的對稱軸可表示為直線x=x1解題技巧：1.拋物線上兩點(diǎn)若關(guān)于直線，則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)與x=?b2若二次函數(shù)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x=?b3二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c的圖象關(guān)于y軸對稱；二次函數(shù)y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c的圖象于x軸對稱.【典例分析】例1．（2023·遼寧）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為3，0A．a(chǎn)bc<0 B．2a+b=0 C．4ac>b2例2．（2023·湖南）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A1,0、點(diǎn)B3,0，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，當(dāng)

【變式演練】1.（2023·浙江）設(shè)二次函數(shù)y=ax?mx?m?k(a>0,m,k是實(shí)數(shù))A．當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)y的最小值為?a B．當(dāng)k=2時(shí)，函數(shù)y的最小值為?2aC．當(dāng)k=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為?a D．當(dāng)k=4時(shí)，函數(shù)y的最小值為?2a2.（2023·湖南）如圖所示，直線l為二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的對稱軸，則下列說法正確的是

(

)

A.b恒大于0 B.a，b同號

C.a，b異號 D.以上說法都不對3.（2023·湖北）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(?3,0)，且對稱軸為直線x=?1.有以下結(jié)論：①a+b+c=0；②2c+3b=0；③當(dāng)?2<x1A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)4．（2023·北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Mx1,y1，N(1)若對于x1=1，x2=2有(2)若對于0<x1<1，1<x2題型03二次函數(shù)中的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)問題【解題策略】二次函數(shù)的平移變換平移方式（n＞0)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(x–h)2＋k平移口訣向左平移n個(gè)單位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n個(gè)單位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右減向上平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n個(gè)單位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下減2）平移與增加性變化如果平移后對稱軸不發(fā)生變化，則不影響增減性，但會改變函數(shù)最大(小)值.只對二次函數(shù)上下平移，不改變增減性，改變最值.只對二次函數(shù)左右平移，改變增減性，不改變最值.3）二次函數(shù)圖象的翻折與旋轉(zhuǎn)變換前變換方式變換后口訣y=a(x-h)2+k繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x-h)2+ka變號，h、k均不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均變號沿x軸翻折y=-a(x-h)2-ka、k變號，h不變沿y軸翻折y=a(x+h)2+ka、h不變，h變號【典例分析】例1．（2024·湖南模擬）如圖，已知拋物線y=x2?x?2交x軸于A、B兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y(1)寫出圖象W位于線段AB上方部分對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)若直線y=?x+b與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，請結(jié)合圖象，直接寫出b的值；(3)P為x軸正半軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥y軸交直線BC于點(diǎn)M，交圖象W于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)【變式演練】1．（2023·江蘇模擬）如圖，將拋物線y=2(x+1)2+1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到新曲線，新曲線與直線y=x交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M2.（2024·四川模擬）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，且與x軸交于點(diǎn)B(?1,0)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x=m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型04二次函數(shù)圖象判斷綜合【解題策略】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象特征二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，這條曲線叫拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).基本形式y(tǒng)=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c圖象a>0a<0對稱軸y軸y軸x=hx=hx=?頂點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(?b2a，最值a>0開口向上，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時(shí)y有最小值；a<0開口向下，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時(shí)y有最大值.【小結(jié)】二次函數(shù)最小值(或最大值)為0（k或4ac?增減性a>0在對稱軸的左邊y隨x的增大而減小，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大.a<0在對稱軸的左邊y隨x的增大而增大，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減小.【典例分析】例1．（2024·貴州模擬）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=?A．B．C．D．【變式演練】1.（2022·湖南）已知二次函數(shù)y=ax2+bx?c(a≠0)，其中b>0，c>0，則該函數(shù)的圖象可能為A. B.

C. D.2.（2022·廣西）已知反比例函數(shù)y=bx(b≠0)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=cx?a(c≠0)和二次函數(shù)y=ax2A.

B.

C.

D.3.（2023·浙江）拋物線y=ax2?aa≠0與直線y=kx交于Ax1,y1A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限題型05二次函數(shù)與實(shí)際問題【解題策略】用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟：1.審：仔細(xì)審題，理清題意；2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；5.檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.【注意】二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用通常是在一定的取值范圍內(nèi)，一定要注意是否包含頂點(diǎn)坐標(biāo)，如果頂點(diǎn)坐標(biāo)不在取值范圍內(nèi)，應(yīng)按照對稱軸一側(cè)的增減性探討問題結(jié)論．利用二次函數(shù)解決利潤最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。利用二次函數(shù)解決拱橋/隧道/拱門類問題的方法：先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題意找出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出拋物線解析式，最后根據(jù)圖象信息解決實(shí)際問題。利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：先找好自變量，再利用相關(guān)的圖形面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式，最后利用函數(shù)的最值解決面積最值問題?！咀⒁狻孔宰兞康娜Q范圍。利用二次函數(shù)解決動點(diǎn)問題的方法：首先要明確動點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動，運(yùn)動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點(diǎn)有關(guān)的條件進(jìn)行計(jì)算．利用二次函數(shù)解決存在性問題的方法：一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在．【典例分析】例1．（2023·上海）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項(xiàng)目之一，運(yùn)動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運(yùn)動員的豎直高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a(x+m)2+k(a<0).某運(yùn)動員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練．第一次訓(xùn)練時(shí)，該運(yùn)動員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如圖．根據(jù)上述數(shù)據(jù)，該運(yùn)動員豎直高度的最大值為(

)水平距離x/m02581114豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40A.23.20cm B.22.75cm C.21.40cm D.23cm例2．（2023·黑龍江）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB=AC，AF：BF=3：4，點(diǎn)G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE//IJ//MN//CD，制造窗戶框的材料總長為16米(圖中所有黑線的長度和)，設(shè)BF=x米，BE=y米．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過的光線最多(窗戶的面積最大)，并計(jì)算窗戶的最大面積．【變式演練】1.（2023·廣東）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬OA=8m，橋拱頂點(diǎn)B到水面的距離是4m（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當(dāng)船駛到橋拱下方且距O點(diǎn)0.4m時(shí)，橋下水位剛好在OA處．有一名身高1.68m（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線y=ax2+bx+ca≠0，該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移mm>0個(gè)單位長度，平移后的函數(shù)圖象在8≤x≤9時(shí)，y2．（2023·浙江）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當(dāng)球飛行的水平距離為6m時(shí)，球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球離地面3m．已知球門高OB

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并通過計(jì)算判斷球能否射進(jìn)球門（忽略其他因素）．(2)對本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當(dāng)時(shí)他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點(diǎn)O正上方2.25m處？3．（2022·遼寧）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源．某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，銷售一段時(shí)間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：銷售單價(jià)x（元/件）…354045…每天銷售數(shù)量y（件）…908070…(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？(3)當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤是多少元？1．（2021·廣西）如圖，已知拋物線y=ax2+c與直線y=kx+m交于A(?3,y1)，A．x≤?3或x≥1 B．x≤?1或x≥3 C．?3≤x≤1 D．?1≤x≤32.（2022·四川）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)(x1,0)、(2,0)，其中0<x1<1.下列四個(gè)結(jié)論：①abc<0；②a+b+c>0；③2a?c>0；A.4 B.3 C.2 D.13．（2023·黑龍江）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且自變量xx??101234?y?0?3?4?305?

備用圖(1)求二次函數(shù)y=ax(2)若將線段AB向下平移，得到的線段與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象交于P，Q兩點(diǎn)（P在Q左邊），R為二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)(3)若將線段AB先向上平移3個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到的線段與二次函數(shù)y=1t(ax24.（2023·山東）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=?1.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?4,0)，則下列結(jié)論正確的是A.2a+b=0

B.?4a?2b+c>0

C.x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一個(gè)根

D.點(diǎn)(x1,5.（2023·四川）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(?2,0)，B兩點(diǎn)，對稱軸是直線x=2，下列結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號為(

)

①a>0；

②點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,0)；

③c=3b；

④對于任意實(shí)數(shù)m，都有4a+2b≥amA.①② B.②③ C.②③④ D.③④6.（2023·上海）在平面直角坐標(biāo)系中，如果把拋物線y=2x2向下平移3個(gè)單位得到一條新拋物線，那么下列關(guān)于這兩條拋物線的描述中不正確的是(

)A.開口方向相同; B.對稱軸相同;

C.頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同; D.頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同．7．（2023·四川）已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(?4,0)，B(2,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,?4)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折180°，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．當(dāng)平面內(nèi)的直線y=kx+6與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求k的值；(3)如圖2，如果把直線AB沿y軸向上平移至經(jīng)過點(diǎn)D，與拋物線的交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，直線BC交EF于點(diǎn)H，過點(diǎn)F作FG⊥CH于點(diǎn)G，若DFHG=258.（2022·貴州）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=cxA.

B.

C.

D.9.（2023·江蘇）函數(shù)y=1x2的大致圖象是A. B.

C. D.10.（2023·湖北）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y(單位：m)與水平距離x(單位：m)之間的關(guān)系是y=?112(x?10)(x+4)，則鉛球推出的距離OA=______m.11.（2023·湖北）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機(jī)．通過實(shí)驗(yàn)，收集了飛機(jī)相對于出發(fā)點(diǎn)的飛行水平距離x(單位：m)以、飛行高度y(單位：m)隨飛行時(shí)間t(單位：s)變化的數(shù)據(jù)如下表．飛行時(shí)間t/s02468…飛行水平距離x/m010203040…飛行高度y/m022405464…探究發(fā)現(xiàn)：x與t，y與t之間的數(shù)量關(guān)系可以用我們已學(xué)過的函數(shù)來描述．直接寫出x關(guān)于t的函數(shù)解析式和y關(guān)于t的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)．問題解決：如圖，活動小組在水平安全線上A處設(shè)置一個(gè)高度可以變化的發(fā)射平臺試飛該航模飛機(jī)．根據(jù)上面的探究發(fā)現(xiàn)解決下列問題．(1)若發(fā)射平臺相對于安全線的高度為0?m，求飛機(jī)落到安全線時(shí)飛行的水平距離；(2)在安全線上設(shè)置回收區(qū)域MN，AM=125?m，MN=5?m.若飛機(jī)落到MN內(nèi)(不包括端點(diǎn)M，N)求發(fā)射平臺相對于安全線的高度的變化范圍．12.（2023·陜西）某校想將新建圖書樓的正門設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門，并要求所設(shè)計(jì)的拱