初三上知識(shí)點(diǎn)匯總

第二十一章一元二次方程

一、一元二次方程的概念

1.只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程.

2一般形式.+bx+c=O(tz0)

【注意】1.定義的隱含條件：①是整式方程；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2。

2.任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成一般形式。要特別注意對(duì)于關(guān)于x的

方程62+法+。=0,當(dāng)“片°時(shí)，方程是一元二次方程；當(dāng)。=°且時(shí)，方程是一元一次方程。

例1:若(加一2)X'"2一2一3%+4=0是關(guān)于*的一元二次方程，則m的值是o

變式1：已知關(guān)于x的方程(a—3)1°T—￡+2=0是一元二次方程，則2=

二、一元二次方程的解法

1.直接開平方法：方程的一邊可化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，那么可用直接開平

方法解這類方程.

2.配方法：

(1)將方程的左邊化成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，這樣，我們可根據(jù)平方

根的定義，把方程兩邊開平方，這種解一元二次方程的方法叫做配方法.

(2)配方法解一元二次方程的一般步驟:

第一步：二次項(xiàng)系數(shù)化為1,方程兩邊都除以二次項(xiàng)的系數(shù)；

第二步：移項(xiàng)：將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；

第三步：配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把原方程化為5+根)2="的形式；

第四步：求解：若方程右邊的“為非負(fù)數(shù)，解可以根據(jù)平方根的定義求出方程的解.

【注意】對(duì)于配方為(尤+根)2="的一元二次方程，只有當(dāng)時(shí)，才可直接開平方求解；若

方程無(wú)解.

3.求根公式法：

-b±yjb1-4ac

X--------------------2

(1)求根公式：2a(b--4ac>0)

(2)用公式法解一元二次方程的一般步驟：

第一步：把一元二次方程化為一般形式；

第二步：確定以b、c的值；

第三步：求出加一4℃的值；

第四步：若/一4m20,貝甘巴公從c以及廿一4收的值代入求根公式；若4*<0,則方程無(wú)解.

4.因式分解法：

(1)當(dāng)一元二次方程整理成辦2+6尤+。=°時(shí)，如果可以因式分解，則可以選用這個(gè)方法.

(2)因式分解法的一般步驟：

第一步：將方程整理為一般形式；

第二步：將方程左邊因式分解，得到兩個(gè)一次因式的積；

第三步：令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；

第四步：解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解.

【注意】應(yīng)用因式分解法解一元二次方程時(shí)，方程的右邊必須是零.

例2：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

(1)(21)2=5(2)X2-8X+15=0

2

(3)X2-10X+24=0(4)6x-5x+l=0

(5)3x2—1—1=0

變式2：(1)--x2+x+2=0(2)6x2+13x+6=0

三、根的判別式

1.一元二次方程根的判別式：△=〃-4ac

2.根的判別式用來(lái)判別根的個(gè)數(shù)情況：

-b±y/b2-4ac

(1)八＞0。方程辦?+版+c=0(〃w0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根五2一2a

————b

(2)A=0O方程辦2+區(qū)+。=0(44°)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?h2a.

(3)A<0o方程以2+法+0=°("2°)沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

3.一元二次方程根的判別式的應(yīng)用

(1)不解方程，判別方程根的情況；

(2)根據(jù)方程根的情況，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；

(3)討論因式分解問(wèn)題及方程組的解的情況.

例3：若關(guān)于x的方程V+4X+2左=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍及k的非負(fù)整數(shù)值。

變式3：已知關(guān)于x的方程2=0,(1)當(dāng)方程的一個(gè)根為1時(shí)，求。的值；(2)求

證：無(wú)論。取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

四、根與系數(shù)的關(guān)系一一韋達(dá)定理

1.設(shè)一元二次方程方?+陵+。=°的兩個(gè)根為不’馬，則兩個(gè)根滿足：

bc

X[+%2=------，菁?X?——

aa

例4：已知％尸是方程2d—%—7=0的兩根。不解方程求下列代數(shù)式的值。

(1)a2+p~(2)￡+/(3)(2—1)(尸—1)⑷.―尸|

11

變式4：已知是方程2%9—%—5=。的兩根。求一+一的直

X]x2

五、一元二次方程與實(shí)際問(wèn)題

1.面積最大化問(wèn)題

2.利潤(rùn)最大化問(wèn)題

3.增長(zhǎng)率問(wèn)題

4.傳播問(wèn)題

5.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例5：某個(gè)體戶以50000元資金經(jīng)商，在第一年中獲得一定的利潤(rùn)，已知這50000元資金加上第一年的利

潤(rùn)在第二年共獲利潤(rùn)2612.5元，而且第二年的利潤(rùn)率比第一年多0.5%，則第一年的利潤(rùn)是多少元？

變式5：某個(gè)體戶以50000元資金經(jīng)商，在第一年中獲得一定的利潤(rùn)，已知這50000元資金加上第一年的

利潤(rùn)在第二年共獲利潤(rùn)2612.5元，而且第二年的利潤(rùn)率比第一年多0.5%，則第一年的利潤(rùn)是多少元？

【例1】下列方程是關(guān)于X的一元二次方程的是()

A.(a—I)x2+(Q+3)x-3=0B.(x+a)(x-Q)=(%+b)(x—2b)

C.^X4-6A：2+1=0口.(。2+1)_?—2尤+3=0

【例2】關(guān)于x的方程(〃+l)元2+2依-6=0是一元二次方程，則。的取值范圍是()

A.a2±lB.aH°C.。為任何實(shí)數(shù)D.不存在

【例3】關(guān)于x的一元二次方程(“一1)/+工+/-1=0的一個(gè)根是0,則"的值為()

A.lB.-lC.1或-1D.-

2

【例4】已知a,b,c為正數(shù)，若二次方程依2+帆+。=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么方程儲(chǔ)元2+片彳+。2=()的

根的情況是()

A.有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根D.不一定有實(shí)數(shù)根

【例5】關(guān)于x的一元二次方程依2-6尤+9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么上的取值范圍是()

A.k<lB.k^OC.左<1且左w0D.k>l

［例6］若一元二次方程(m-2)x2+3(/7?+15)x+m2-4=0的常數(shù)項(xiàng)為零，則機(jī)的值為

【例7】若機(jī)是方程3三-2》-2=0的一個(gè)根，那么代數(shù)式三加-機(jī)+1的值為

2

【例8】若關(guān)于x的二次方程(根一1?2+2皿+加一2=°有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則機(jī)的取值范圍是

【例9】設(shè)外、%是方程/-2(左+l)x+F+2=0的兩個(gè)不同的實(shí)根，且(占+1)(/+1)=8,則%的值是

【例10］選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

1211

9(元+——4；(2)X2-X-6=0；(3)-x2——x——=0

(1)3362

(4)(5X-4)2-(4X-3)2=0；(5)(x-l)(x+3)=12

【例11】設(shè)方程1|-4=0,求滿足該方程的所有根之和.

【例12】證明：無(wú)論實(shí)數(shù)加、〃取何值時(shí)，方程如？+（瓶+〃）％+〃=o都有實(shí)數(shù)根

【例13］已知關(guān)于元的方程/一儂；+機(jī)_1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根石、x2,—+—=m,求加的值

為x2

【例14】某個(gè)體戶以50000元資金經(jīng)商，在第一年中獲得一定的利潤(rùn)，已知這50000元資金加上第一年的

利潤(rùn)在第二年共獲利潤(rùn)2612.5元，而且第二年的利潤(rùn)率比第一年多0.5%，則第一年的利潤(rùn)是多少元？

【例15】一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有81臺(tái)電腦被感染，每輪感染中平均一臺(tái)電腦感染幾臺(tái)

電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染電腦會(huì)不會(huì)超過(guò)700臺(tái)？

第二十二章二次函數(shù)

一、二次函數(shù)的概念

二次函數(shù)的定義

1.一般地，形如y=+c（%氏,為常數(shù)，。/0）的函數(shù)稱為1的二次函數(shù)，其中彳為自變

量，丁為因變量，七瓦,分別為二次函數(shù)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)系數(shù).

2.任何二次函數(shù)都可以整理成y+Zu+c（a,b,c為常數(shù)，awO）的形式.

3.判斷函數(shù)是否為二次函數(shù)的方法：

（1）含有一個(gè)變量，且自變量的最高次數(shù)為2；

（2）二次項(xiàng)系數(shù)不等于0；

（3）等式兩邊都是整式.

4.二次函數(shù)自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù).

二次函數(shù)圖象的畫法：五點(diǎn)繪圖法

利用配方法將二次函數(shù)y="2+法+0化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=-〃）2+%,確定其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)

坐標(biāo)

在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)（°‘°）、以及（°,,）

關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)（2〃‘,）、與》軸的交點(diǎn)（玉‘°）,（%‘°）（若與無(wú)軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸

對(duì)稱的點(diǎn)）.

二、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)

二次函數(shù)丁=以2+以+°（。/0）的性質(zhì)

b

對(duì)稱軸：x=----

2a

會(huì)一?「zb4ac-b2

頂點(diǎn)坐標(biāo)：（----,---------）x

2a4a

最值:

圖1圖2

4cic_l）2

①〃>0時(shí)有最小值--------（如圖1）

4a

一Z72

②〃<。時(shí)有最大值--------（如圖2）

4a

單調(diào)性：二次函數(shù)y=。/+bx+c（awO）的變化情況（增減性）

bb

①當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)x<---，y隨著x的增大而減小，在對(duì)稱軸的右側(cè)x>----，y隨x

2a2a

的增大而增大；

bb

②當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左側(cè)x<——，y隨著x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右側(cè)x>——，丁隨x

2a2a

的增大而減?。?/p>

二次函數(shù)y=a（x-h）2+左（a/0）的性質(zhì)

對(duì)稱軸：x=h

頂點(diǎn)坐標(biāo)：（%人）

最值：

時(shí)有最小值及（如圖1）

時(shí)有最大值3（如圖2）

二次函數(shù)1心f）（XF）（awO）的性質(zhì)

x+x

x=-i---2

對(duì)稱軸：2

與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（％，°），?，°）

二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系

1/的符號(hào)決定拋物線的開口方向：

當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上；

當(dāng)。＜°時(shí)，拋物線開口向下.

2M決定拋物線的開口大?。?/p>

問(wèn)越大，拋物線開口越小；

同越小，拋物線開口越大.

JQ-----b-

3.。和力共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置（拋物線的對(duì)稱軸：2a）

當(dāng)6=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為,軸；

當(dāng)。、人同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在丫軸的左側(cè)；

當(dāng)"、萬(wàn)異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在,軸的右側(cè).

簡(jiǎn)要概括為“左同右異”.

4.。的大小決定拋物線與y軸交點(diǎn)的位置（拋物線與丁軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（°,,））

當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與丁軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)在丁軸的正半軸；

當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)在＞軸的負(fù)半軸.

根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷代數(shù)式符號(hào)

1./一4改決定了函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況：

當(dāng)爐-4">°,有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)方2-4"=°,有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)廿一4ac<°,沒(méi)有交點(diǎn).

2.當(dāng)x=l時(shí)，可以得到a+人+c的值；

當(dāng)x=—l時(shí)，可以得至！U-6+c的值

二、二次函數(shù)解析式的確定

待定系數(shù)法求解析式

［一般式.y=cue1+bx+c（a0）

【注意】已知任意3點(diǎn)坐標(biāo)，可用一般式求解二次函數(shù)解析式。

2.頂點(diǎn)式：y=^-h）2+k（a^0）

【注意】L已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí)，可用頂點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式.

2.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)和圖象上的任意一點(diǎn)，都可以用頂點(diǎn)式來(lái)確定解析式.

3.交點(diǎn)式：丫=。（了一%）（了一尤2）（。片0）.

【注意】1、已知拋物線與x的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可用交點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析式.

2、已知二次函數(shù)與無(wú)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，和圖象上任意一點(diǎn)時(shí)，可用交點(diǎn)式求解二次函數(shù)解析

式.

工二一+尤2

3、已知二次函數(shù)與尤軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（.°），（*2，°）,可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為-2.

4.對(duì)稱式：>=4（無(wú)一尤1）（彳_*2）+后（。工0）.

【注意】當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（百次）、區(qū)，“）時(shí)，可以用對(duì)稱式來(lái)求二次函數(shù)的解析式

三、二次函數(shù)的幾何變換

平移變換

1、具體步驟：

先利用配方法把二次函數(shù)化成丁="（"一'）2+'的形式，確定其頂點(diǎn)（“"），然后做出二次函數(shù)

y=axl的圖象，將拋物線>=奴2平移，使其頂點(diǎn)平移到（九..具體平移方法如圖所示：

向上（比>0）,下（缸0）平移|”

y+無(wú)§

卡+

求1E

一1

*-A-

一M

->

#iI->1

自

4詈

y=a(x-/02+jt

向上（*>0）.下（*<0）平移屋I個(gè)單位

2、平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“左加右減，上加下減”.

對(duì)稱變換

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)

1、關(guān)于X軸對(duì)稱y="2+6x+c關(guān)于X軸對(duì)稱后，得到的解析式是>=一依2一區(qū)-。

y=a（x）2+/關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是y=-^-h\-k；

2、關(guān)于,軸對(duì)稱、=依2+汝+。關(guān)于〉軸對(duì)稱后，得到的解析式是〉="2-法+。

y=”（xj）2+”關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是yQ(X+0J+k

旋轉(zhuǎn)變換

四、二次函數(shù)與實(shí)際應(yīng)用

1、二次函數(shù)求最值的應(yīng)用

【注意】對(duì)二次函數(shù)的最大（?。┲档拇_定，一定要注意二次函數(shù)自變量的取值范圍，同時(shí)兼顧實(shí)際

問(wèn)題中對(duì)自變量的特殊要求，結(jié)合圖像進(jìn)行理解.

2、利用圖像信息解決問(wèn)題

【注意】獲取圖像信息，如拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)等.

3、建立二次函數(shù)模型解決問(wèn)題

【注意】構(gòu)建二次函數(shù)模型時(shí)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵。

［例1］下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

2

A.在函數(shù)＞=一）中，當(dāng)龍=0時(shí)y有最大值o.

B.在函數(shù)＞=2無(wú)2中，當(dāng)x＞°時(shí)y隨X的增大而增大.

c.拋物線y=-/,'2X中，拋物線'=2/的開口最小，拋物線＞的開口

最大.

_2

D.不論。是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，拋物線的頂點(diǎn)都是坐標(biāo)原點(diǎn).

【例2】函數(shù)＞=2/，y=3-2/，y=2f+l的相同.

A.形狀B.頂點(diǎn)C.最小值D.增減性

【例3】下列函數(shù)中，當(dāng)彳＞°時(shí)，,值隨x值的增大而減小的是（）

A,丁=苫B.y=2x-lC.yxD.丫二尤?

2

【例4】己知在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)丁=冰與y=依的圖象可能是（）

【例5】如圖，直角坐標(biāo)系中，兩條拋物線有相同的對(duì)稱軸，下列關(guān)系不正確的是（）.

A.h=m

B.k=n

C.k>n

D.h>0,k>0

【例6］如下圖所示，二次函數(shù)>="2+陵+。（"*0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（T，2）,且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別

為X,%,其中0<%2<1,下列結(jié)論:

①4a—?+c<0；@2a-b<Q.@b<-l.@b2+8a>4ac-其中正確的有（）

Al個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【例7】函數(shù)y=-3（無(wú)+以-2的圖象可由函數(shù)>=-3（元-5>+3的圖象平移得至ij,那么平移的步驟是（）

A?右移六個(gè)單位，下移五個(gè)單位B.右移四個(gè)單位，上移五個(gè)單位

C?左移六個(gè)單位，下移五個(gè)單位D.左移四個(gè)單位，上移五個(gè)單位

【例8】若函數(shù)>=（M-為二次函數(shù)，則加的值為.

【例9】二次函數(shù)y=x2-2（%+l）x+4的頂點(diǎn)在y軸上，則％=,若頂點(diǎn)在x軸上，則左=

【例10］已知二次函數(shù)尤+c（。2°）的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①。+6+c<0；②

a-b+c<Q.③6+2。<°；④必c>0.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

【例11】己知二次函數(shù)的圖象與％軸有兩個(gè)交點(diǎn)4-3，°）,3（1,0）,且頂點(diǎn)到刀軸的距離為4,求此二次

函數(shù)解析式.

y——xH—

【例12】已知一拋物線的形狀與22的形狀相同.它的對(duì)稱軸為彳=-2,它與x軸的兩交點(diǎn)之間的

距離為2,求此拋物線的解析式.

【例13】已知拋物線y=1-6x+5,求

（1）關(guān)于,軸對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式;

⑵關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式;

⑶關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式.

【例14】已知關(guān)于X的方程儂2+2（加—1）%+機(jī)—1=°有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m為非負(fù)整數(shù).

（1）求加的值；

（2）將拋物線G：y=儂一+2（m-1）》+加-1向右平移a個(gè)單位，再向上平移6個(gè)單位得到拋物線

G,若拋物線。2過(guò)點(diǎn)A（2,b）和點(diǎn)3（4,2b+l）,求拋物線02的表達(dá)式；

（3）將拋物線。2繞點(diǎn)（〃+1，〃）旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線。3,求拋物線。3的解析式.

【例15】某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元.當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，每星期可賣出300件，現(xiàn)需降價(jià)處理，且經(jīng)

市場(chǎng)調(diào)查：每降價(jià)1元，每星期可多賣出2。件.在確保盈利的前提下，解答下列問(wèn)題：

(1)若設(shè)每件降價(jià)%元、每星期售出商品的利潤(rùn)為丁元，請(qǐng)寫出丁與％的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變

量》的取值范圍；

(2)當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，每星期的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

第二十三章旋轉(zhuǎn)

一、旋轉(zhuǎn)

1.旋轉(zhuǎn)的概念

在平面內(nèi)，將圖形繞一個(gè)定點(diǎn)。沿某個(gè)方向(逆時(shí)針或順時(shí)針)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形變換

叫做旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角.

【注意】旋轉(zhuǎn)變換的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.

2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；

(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等(意味著：即旋轉(zhuǎn)中心在對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線上)；

(3)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

(4)對(duì)應(yīng)線段所在直線的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.

二、中心對(duì)稱

1.中心對(duì)稱

把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另外一個(gè)圖形完全重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形

關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或者中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.

2.中心對(duì)稱的性質(zhì)

中心對(duì)稱圖形上的每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段都被對(duì)稱中心平分.

3.中心對(duì)稱圖形

在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞著某一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)18。°,如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形完全重合，那么這個(gè)圖形叫做

中心對(duì)稱圖形.

【注意】掌握中心對(duì)稱圖形需要注意以下幾點(diǎn)：

(1)中心對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形；

(2)中心對(duì)稱圖形有一個(gè)對(duì)稱中心；

(3)中心對(duì)稱圖形在繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°后，前后兩個(gè)圖形互相重合.

4.區(qū)別中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形

中心對(duì)稱是指兩個(gè)全等圖形之間的互相位置關(guān)系，中心對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形。

5.確定關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱中心的方法：

(1)連接任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，取這條線段的中點(diǎn)，則該點(diǎn)為對(duì)稱中心；

(2)任意連結(jié)兩對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，這兩條線段的交點(diǎn)即是對(duì)稱中心.

【例1】如圖，把菱形旗℃繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形DFOE,則下列角中不是旋轉(zhuǎn)角的為（）

A.NBOFB.么ODc.ZCOED.ZCOF

【例2】如圖，尸是正反5c內(nèi)的一點(diǎn)，若將APBC繞點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)到AP7H,則NP3P的度數(shù)是（）

A.45。B,60°c,90。D.⑵。

A

【例3】如圖，邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°后得到正方形EFCG,EF交AD于

點(diǎn)、H,則四邊形DHFC的面積為（）

A.百B.38c.9

【例4】在方格紙中，選擇標(biāo)有序號(hào)①②③④中的一個(gè)小正方形涂黑，使它與圖中陰影部分組成的新圖形

構(gòu)成中心對(duì)稱圖形，該小正方形的序號(hào)是（）

A.①B.②C.③D.@

【例5】）在下列四個(gè)黑體字母中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

CLXZ

A.B.C.D.

【例6】下列說(shuō)法正確的是()

A.平移不改變圖形的形狀和大小，而旋轉(zhuǎn)則改變圖形的形狀和大小

B.平移和旋轉(zhuǎn)的共同點(diǎn)是改變圖形的位置

C.圖形可以向某方向平移一定距離，也可以向某方向旋轉(zhuǎn)一定距離

D.在平移和旋轉(zhuǎn)圖形中，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等且平行

4,

y——x+4

【例7】如圖，直線3與x軸、y軸分別交于A、8兩點(diǎn)，△A03繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得

到小^O'B',則點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'坐標(biāo)為()

(3,4)(7,4)(7,3)r，(3,7)

AA.Dn.Cr.U.

【例8】如圖，在R3Q4B中，NB=90。，NAOS=30。，將△Q4S繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100。得到,

則幺08=___________

【例9】如圖，△ABC中，AD是/BAC內(nèi)的一條射線，BEXAD,且△CHM可由△BEM旋轉(zhuǎn)而得，延

長(zhǎng)CH交AD于點(diǎn)F,最后再連接FM,則下列結(jié)論中正確的是()

①M(fèi)是BC的中點(diǎn)②=!即③CF_LAD④FM_LBC

2

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【例10］已知：如圖，若線段CD是由線段AB經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到的.

求作：旋轉(zhuǎn)中心0點(diǎn).

【例11】RtAABC中,已知NC=90°,NB=50°,點(diǎn)D在邊BC上，BD=2CD(如圖).把AABC繞

點(diǎn)D逆時(shí)針旋m(0</72<180)度后，如果B點(diǎn)恰好落在初始HAA5C的邊上，那么m=?.

A

【例12］已知：如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH成中心對(duì)稱，試畫出它們的對(duì)稱中心，并簡(jiǎn)要說(shuō)明

理由.

A

【例13】已知：三點(diǎn)A(—1,1),B(-3,2),C(-4,-1).

(1)作出與aABC關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的△A1B1C1,并寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)作出與△ABC關(guān)于P(l,—2)點(diǎn)對(duì)稱的△A2B2c2,并寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

Mr

---1—I_I_.—>

0---------%

【例14］如圖，將△ABC繞頂點(diǎn)3按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。，得到ADBE,連接AD、OC,

若ZDCB=30°,AB=l,BC=2,CD=3,求AC的長(zhǎng)度.

【例15］已知：如圖1,O為正方形ABCD的中心，分別延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F,OD到點(diǎn)E,使OF=2OA,OE=2OD,

連接EF,將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到△FOE，(如圖2).

(1)探究AE，與BF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

(2)當(dāng)a=30。時(shí)，求證△AOE，為直角三角形.

5CC

圖1圖2

第二十四章圓

一、圓的相關(guān)概念與性質(zhì)

1、圓

（1）描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段必繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)

所形成的圖形叫做圓，其中固定端點(diǎn)0叫做圓心，04叫做半徑.通常用符號(hào)。表示圓，記作“0°”，

讀作“圓°”.

（2）集合性定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，頂點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑.

（3）同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；

（4）同心圓：半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；

（5）等圓：半徑相等（能夠重合）的兩個(gè)圓叫做等圓.

2、弦

（1）弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

（2）直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的2倍.

（3）弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距.

【注意】直徑是最長(zhǎng)的弦，圓中，弦長(zhǎng)AB的取值范圍是：?！雌欤?r.

3、弧

（1）?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A3為端點(diǎn)的圓弧記作鉆，讀作弧的.

（2）等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.

（3）半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

（4）優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，用三個(gè)大寫字母表示，如AC8.

（5）劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧，用兩個(gè)大寫字母表示，如筋.

（6）弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.

【注意】一般A8表示的是劣弧,優(yōu)弧的表示要用三個(gè)字母表示，再在圓弧上任選一個(gè)字母，例如AC8.

4、圓心角

圓心角：頂點(diǎn)在圓心，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓心角.

【注意】圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.

5、圓周角

圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

【注意】任意一條弧所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)多個(gè)，只有一種，他們都相等.任意一條弦所對(duì)的圓周角也

有無(wú)數(shù)個(gè)，但是分為兩種，他們互為補(bǔ)角.

6、圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性

圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心；圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，無(wú)論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度角，總能與自身重

合.

7、圓的軸對(duì)稱性

圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一條直線是它的對(duì)稱軸.

二、垂徑定理

定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

三、弧、弦、圓心角的關(guān)系

1、弧、弦、圓心角之間的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其

余各組量分別相等.

【注意】因?yàn)橐粭l弦對(duì)的弧有兩條，所以由弦等得出弧等時(shí)，這里的弧等指的是弦對(duì)的劣弧與劣弧相

等，優(yōu)弧與優(yōu)弧相等。

四、圓周角定理

1、圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

【注意】在應(yīng)用定理時(shí)，一定要保證“同弧或等弧”的前提。

2、推論：

(1)推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

(2)推論2：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等.

(3)推論3：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

五、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、設(shè)°°的半徑為「，點(diǎn)尸到圓心。的距離為〃，則有：

(1)點(diǎn)在圓外od>r

(2)點(diǎn)在圓上od=r

(3)點(diǎn)在圓內(nèi)od<r

2、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.

圓的內(nèi)接三角形

1、定義：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.

2、性質(zhì)

（1）三角形的外心是指外接圓的圓心，它是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，它到三角形各頂點(diǎn)的距

離相等；

（2）三角形的外接圓有且只有一個(gè)，即對(duì)于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個(gè)圓的內(nèi)接三角

形卻有無(wú)數(shù)個(gè)，這些三角形的外心重合.

OA=OB=OC

【補(bǔ)充】銳角三角形外接圓的圓心在它的內(nèi)部；直角三角形外接圓的圓心在斜邊中點(diǎn)處（即直角三角

形外接圓半徑等于斜邊的一半）；鈍角三角形外接圓的圓心在它的外部.

圓的內(nèi)接四邊形

1、定義：四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形.

2、性質(zhì)

（1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；

（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，即外角等于內(nèi)對(duì)角.

如圖：ZB+ZD=180。，ZA+N2=180。，Z4=Z1

A

E

【補(bǔ)充】圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可以由同一條對(duì)角線(同一條弦)所對(duì)的兩種圓周角互補(bǔ)得到.

六、直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑為R,圓心。到直線/的距離為“，則根據(jù)直線與圓相離、相切、相交的定義，容易得

到：

(1)直線/與。。相離od>R

(2)直線/與。。相切od=R

(3)直線/與。。相交od<R

七、切線的性質(zhì)和判定

1、切線的性質(zhì)

(1)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

(2)推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).

(3)推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.

2、切線的判定

(1)定義法：和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；

(2)距離法：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；

(3)定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

八、切線長(zhǎng)定理

1、切線長(zhǎng)的概念

在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).

2、切線長(zhǎng)定理

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.

九、三角形的內(nèi)切圓

1.三角形的內(nèi)切圓：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)

心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.

2、多邊形的內(nèi)切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多

邊形.

三角形內(nèi)切圓的半徑與三邊的關(guān)系

（1）任意三角形

設(shè)。、屋c分別為中/4、ZB、NC的對(duì)邊，面積為S,則內(nèi)切圓半徑為'-a+6+c.

（2）直角三角形

r=—（a+b—c\

設(shè)“、"、c分別為△至C中/4、ZB、NC的對(duì)邊，若NC=90。，則2、

十、與弧長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算

1、弧長(zhǎng)的計(jì)算：由于圓周角可看做360°的圓弧，而360。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C=2位，

所以在半徑為R的圓中，廢的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)/的計(jì)算公式：

nuR

180

十一、與扇形有關(guān)的面積計(jì)算

1、扇形的定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形.

2、扇形的周長(zhǎng)：在半徑為R,圓心角的度數(shù)為〃。的扇形中，周長(zhǎng)的公式為：

C=2R+/=2R+鬻

3、扇形面積的計(jì)算公式:

nuR1

8=------

（1）360

S=LR

（2）2（/為扇形的弧長(zhǎng)）

【例1】如圖所示，在。。中，AB^2CD,那么（）

A.AB>2CDB.AB<2CD

C.AB=2,CDD.AB與2CZ>的大小關(guān)系不能確定

D

【例2】如下中圖，?是。O的直徑，點(diǎn)。、。在。O上，ZB<9C=110°,AZ>〃OC,貝ljNDC4=（）

A.70°B.60°C.20°D.40°

【例3】在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油.截面如圖所示，油面寬為6分米，如果再注入一些油后，油面

上升1分米，油面寬度為8分米，圓柱形油槽直徑削為（）

A.6分米B.8分米C.10分米D.12分米

【例4］已知矩形AB。的邊48=15,80=20,以點(diǎn)8為圓心的圓，使A,C,°三點(diǎn)至少有一點(diǎn)在B

內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在18外，則8的半徑廠的取值范圍是（）

A.r>15B.15<r<20

C.15<r<25D.20<r<25

【例5】如圖所示，入45。內(nèi)接于。0,若NQ45=28。，則NC的大小是（）

c

A.56。B.62°c.28。D,32°

【例6】如圖，PA、PB是。。的切線，A、B是切點(diǎn)，點(diǎn)C是劣弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若NP=40。，則/ACB

的度數(shù)是（）

A.80°B.110°C.120°D.140°

【例7】如圖，以點(diǎn)。為圓心的兩個(gè)同心圓，半徑分別為5和3,若大圓的弦與小圓相交，則弦長(zhǎng)AB

的取值范圍是（）

A.8<AB<10B.AB>8C.8<AB<10D.8<AB<10

【例9】如圖，已知PA與圓相切于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)P的割線與弦AC交于點(diǎn)B,與圓相交于點(diǎn)D、E,且PA=PB=BC,

又PD=4,DE=21,貝ijAB=.

【例10］若扇形的圓心角為60。，弧長(zhǎng)為2兀，則扇形的半徑為

【例11】如下左圖，AWC內(nèi)接于。O,AB=BC,ZABC=12O°,AD為。。的直徑，4)=6,

那么50=________

【例12］如圖，以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點(diǎn)尸為切點(diǎn)，求證：AP=BP.

【例13】如圖，八鉆。的兩個(gè)頂點(diǎn)AC在圓上，頂點(diǎn)A在圓外，gAC分別交圓于區(qū)。兩點(diǎn)，連結(jié)

EC、BD.若△BEC與△BDC的面積相等，試判定A4BC的形狀.

【例14］如圖所示，已知的為°。的直徑，8是弦，且.,8于點(diǎn)石，連接A。、℃、BC,

(1)求證：4CO=ZBCD,

(2)若〃=8cm,CD=24cm,求0O的直徑.

，0

【例15］如圖，半徑為2岔的內(nèi)有互相垂直的兩條弦破8相交于尸點(diǎn).

(1)設(shè)3c的中點(diǎn)為F，連結(jié)EP并延長(zhǎng)交AD于E,求證：EFLAD.

(2)若鈣=8,8=6,求0尸的長(zhǎng).

第二十五章概率初步

一、與概率有關(guān)的定義：

1、必然事件：事先能肯定一定發(fā)生的事件稱為必然事件.

2、不可能事件：事先能肯定一定不發(fā)生的事件稱為不可能事件.

3、確定事件：事先能肯定它是否發(fā)生的事件稱為確定事件，必然事件和不可能事件都是確定事件.

4、不確定事件（隨機(jī)事件）：事先不能肯定它會(huì)不會(huì)發(fā)生的事件稱為不確定事件.

5、概率：隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性的大小.記為尸（A）.

P（A）=-

設(shè)〃為事件A包含的可能結(jié)果數(shù)，機(jī)為所有可能結(jié)果總數(shù)，則m.

對(duì)于任何一個(gè)事件A,它的概率尸04）滿足04P必然事件的概率是1,

不可能事件的概率是0.

7、（補(bǔ)充）乘法原理：若一件事情需分加個(gè)步驟完成，而且每個(gè)步驟的概率分別為：P"”，P*

則，完成該事件的概率為：P=P『P2,J".

加法原理：若一件事情需分用種方法完成，而且每種方法的概率分別為：P'MP*則，完成該事

件的概率為：P=Pi+P?++〃加

二、求概率的方法：

1、列表

2、畫樹狀圖

3、用頻率估計(jì)概率

列舉法求概率如果在一次試驗(yàn)中，有〃種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件

m

A包含其中機(jī)種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為〃.

用樹狀圖法求概當(dāng)一次試驗(yàn)涉及3個(gè)或更多因素（例如從3個(gè)口袋中取球）時(shí)，列舉法就不方

率

P（A）=-

便了，可采用樹狀圖法表示出所有可能的結(jié)果，再根據(jù)〃計(jì)算概率.

利用頻率估計(jì)概m

一般地，在大量