PAGE19-上海市交大附中2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一．填空題1.計(jì)算矩陣的乘積：_____.【答案】【解析】【分析】干脆利用矩陣的乘積公式求解即可.【詳解】由題得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的乘積，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.2.計(jì)算：_____.【答案】【解析】【分析】先把原式寫(xiě)成，再利用二項(xiàng)式定理得解.【詳解】由題得原式=.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.3.已知，則_____.【答案】【解析】【分析】把等式兩邊同時(shí)平方化簡(jiǎn)即得解.【詳解】由題得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的正弦公式的應(yīng)用，考查同角的平方關(guān)系的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.4.若雙曲線(xiàn)的焦距為6，則該雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】由題得解方程即得解.【詳解】由題得.所以雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.5.在首項(xiàng)為21，公比為的等比數(shù)列中，最接近于1的項(xiàng)是第________項(xiàng)【答案】5【解析】【分析】先求出等比數(shù)列的通項(xiàng)，再列舉出數(shù)列的前幾項(xiàng)，比較即得解.【詳解】由題得等比數(shù)列的通項(xiàng)為所以與1最接近.所以最接近于1項(xiàng)是第5項(xiàng).故答案為：5【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平，屬于基礎(chǔ)題.6.如圖，二面角的大小是，線(xiàn)段，，與所成的角為，則與平面所成的角是_____（用反三角函數(shù)表示）【答案】【解析】【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作,垂足為,過(guò)點(diǎn)作，垂足為,連接，證明，不妨設(shè)依據(jù)已知求出求出即得解.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作,垂足為,過(guò)點(diǎn)作，垂足為,連接.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平?,所以平面，所以,所以就是二面角的平面角，所以.由題得,不妨設(shè)由題得與平面所成的角是,所以.所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查空間二面角的平面角的作法和計(jì)算，考查空間直線(xiàn)和平面所成的角的作法和計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.7.已知、、分別為△三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，，且，則△面積的最大值為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得，結(jié)合余弦定理可求的值，由基本不等式可求，再利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，面積，而所以，即面積的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化思想，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力．8.已知函數(shù)，是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，有，則函數(shù)()的反函數(shù)是_____.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)求出，上的解析式，再依據(jù)周期為2求出，上的解析式，最終求出反函數(shù)．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，．，，，所以，是減函數(shù)，所以，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查反函數(shù)的求法，考查依據(jù)函數(shù)的奇偶性周期性求解析式，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.9.已知是定義在上的函數(shù)，方程恰好有7個(gè)解，則這7個(gè)解的和為_(kāi)____.【答案】3.5【解析】【分析】先分析出原方程的兩根應(yīng)滿(mǎn)意，再得到原方程的這7個(gè)根為,即得解.【詳解】若滿(mǎn)意，則取，則，則也是原方程的一根.所以原方程的兩根應(yīng)滿(mǎn)意，既然有7個(gè)根，所以應(yīng)有一根滿(mǎn)意.所以這7個(gè)根為,所以它們的和為.故答案為：3.5【點(diǎn)睛】本題主要考查方程的零點(diǎn)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.10.設(shè)是一個(gè)循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度為兩位的循環(huán)純小數(shù)，其中和分別為10以?xún)?nèi)的非負(fù)整數(shù)，且，，若集合，則中全部元素的和為_(kāi)____.【答案】143【解析】【分析】由無(wú)限循環(huán)小數(shù)可寫(xiě)成等比數(shù)列的無(wú)窮項(xiàng)和，可得分?jǐn)?shù)形式，再由列舉法可得集合，求和可得所求．【詳解】是一個(gè)循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度為兩位的循環(huán)純小數(shù)，即，，，，和分別為10以?xún)?nèi)的非負(fù)整數(shù)，且，，可得，，；，，；，，；時(shí)，不存在滿(mǎn)意題意的，則中全部元素的和為．故答案為：143【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法和集合中元素的求法，留意運(yùn)用列舉法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．11.已知數(shù)列滿(mǎn)意（），（是一個(gè)已知的正整數(shù)），若存在，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，恒為常數(shù)，則_____.【答案】1【解析】【分析】先分析出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，得，再說(shuō)明時(shí)，，列舉出該數(shù)列，即得解.【詳解】由題得是一個(gè)偶數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，是偶數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，同理可得；；所以時(shí)，，所以從第項(xiàng)起的數(shù)列為所以.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推數(shù)列的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.12.若實(shí)數(shù)滿(mǎn)意.則的最小值為_(kāi)___________【答案】【解析】【分析】依據(jù)等式兩邊范圍確定滿(mǎn)意條件，再依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求的最小值.【詳解】∵，∴，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)∴且，即，因此（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），從而的最小值為【點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)意基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必需為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.二．選擇題13.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則對(duì)隨意，“”是“”的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.非充分非必要【答案】C【解析】【分析】先證明充分性，再證明必要性，即得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，所以“”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，所以所以“”是“”的必要條件.綜合得“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判定，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.14.已知，（），，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A.圓上 B.拋物線(xiàn)上 C.雙曲線(xiàn)上 D.橢圓上【答案】B【解析】【分析】先求出，再求出，代入得，設(shè)即得解.【詳解】由題得.所以因?yàn)?，所?所以，代入得.設(shè)，消去得.所以對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在拋物線(xiàn)上.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的軌跡問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和計(jì)算實(shí)力.15.在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿(mǎn)意，由點(diǎn)集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由知：.不妨設(shè)，則：.解得由|λ|＋|μ|≤1得.作出可行域，如圖所示．則所求面積.本題選擇D選項(xiàng).16.已知，，為中不同數(shù)字的種類(lèi)，如，求全部的個(gè)的排列所得的的平均值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題首先可以確定的全部可能取值分別為，然后分別計(jì)算出每一種取值所對(duì)應(yīng)的概率，最終依據(jù)每一種取值所對(duì)應(yīng)的概率即可計(jì)算出的平均值．【詳解】由題意可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述，全部的個(gè)的排列所得的的平均值為：，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平均值計(jì)算，能否通過(guò)題意得出的全部可能狀況并計(jì)算出每一種可能狀況所對(duì)應(yīng)的概率是解決本題的關(guān)鍵，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，是難題．三．解答題17.如圖所示，用一個(gè)半徑為10厘米的半圓紙片卷成一個(gè)最大的無(wú)底圓錐，放在水平桌面上，被一陣風(fēng)吹倒．（1）求該圓錐的表面積和體積；（2）求該圓錐被吹倒后，其最高點(diǎn)到桌面的距離．【答案】（1）厘米，立方厘米；（2）厘米．【解析】【分析】（1）設(shè)底面半徑為厘米，母線(xiàn)的長(zhǎng)為厘米，求出圓錐的高，利用公式即可求出該圓錐的表面積和體積；（2）依據(jù)圓錐的軸截面為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為10厘米即可求出最高點(diǎn)到桌面的距離．【詳解】（1）設(shè)底面半徑為厘米，母線(xiàn)的長(zhǎng)為厘米，則厘米，且，解得：厘米，表面積（平方厘米），圓錐的高（厘米），∴體積（立方厘米）．（2）∵圓錐的軸截面為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為10厘米，∴最高點(diǎn)究竟面的距離為等邊三角形的高，厘米．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐的表面積和體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平.18.已知函數(shù)（，，）的圖象如下圖所示（1）求出函數(shù)的解析式；（2）若將函數(shù)的圖象向右移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度再把全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及對(duì)稱(chēng)中心.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）通過(guò)函數(shù)的圖象求出振幅，周期，以及b．求出函數(shù)f（x）的解析式；（2）利用平移變換的運(yùn)算求出函數(shù)y＝g（x）的解析式，通過(guò)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求解函數(shù)單調(diào)增區(qū)間及對(duì)稱(chēng)中心．【詳解】（1）由圖可得且而,故綜上（2）明顯由得的單調(diào)遞增區(qū)間為..由.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，平移變換以及正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)稱(chēng)中心的求法，考查計(jì)算實(shí)力．19.若函數(shù)滿(mǎn)意“存在正數(shù)，使得對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在，使成立”，則稱(chēng)該函數(shù)為“依附函數(shù)”．（1）分別推斷函數(shù)①，②是否為“依附函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)的值域?yàn)?，求證：“是‘依附函數(shù)’”的充要條件是“”．【答案】（1）①是，②不是；理由詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）①可取，說(shuō)明函數(shù)是“依附函數(shù)”；②對(duì)于隨意正數(shù)，取，此時(shí)關(guān)于的方程無(wú)解，說(shuō)明不是“依附函數(shù)”；（2）先證明必要性，再證明充分性，即得證.【詳解】（1）①可取，則對(duì)隨意，存在，使得成立，（說(shuō)明：可取隨意正數(shù)，則）∴是“依附函數(shù)”，②對(duì)于隨意正數(shù)，取，則，此時(shí)關(guān)于的方程無(wú)解，∴不是“依附函數(shù)”．（2）必要性：（反證法）假設(shè)，∵的值域?yàn)椋啻嬖诙x域內(nèi)的，使得，∴對(duì)隨意正數(shù)，關(guān)于的方程無(wú)解，即不是依附函數(shù)，沖突，充分性：假設(shè)，取，則對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)值，由，可得，而的值域?yàn)?，∴存在定義域內(nèi)的，使得，即成立，∴是“依附函數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的新定義，考查充分必要條件的證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.20.如圖，已知點(diǎn)是軸下方（不含軸）一點(diǎn)，拋物線(xiàn)上存在不同的兩點(diǎn)、滿(mǎn)意，，其中為常數(shù)，且、兩點(diǎn)均在上，弦的中點(diǎn)為．（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，求弦所在的直線(xiàn)方程；（2）在（1）的條件下，假如過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)也只有一個(gè)交點(diǎn)，求證：若和的斜率都存在，則與的交點(diǎn)在直線(xiàn)上；（3）若直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，求證：線(xiàn)段與的比為定值，并求出該定值．【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）證明詳見(jiàn)解析，定值為．【解析】分析】（1）設(shè)，，得到和，即得的坐標(biāo)，即得弦所在的直線(xiàn)方程；（2）先求出，，再求出交點(diǎn)，即得證；（3）先求出直線(xiàn)的方程為，得到，，即得線(xiàn)段與的比.【詳解】（1）設(shè)，，由，，可得，，由點(diǎn)在上可得：，化簡(jiǎn)得：，同理可得：，∵、兩點(diǎn)不同，不妨設(shè)，，∴弦所在的直線(xiàn)方程為．（2）由（1）可知，，，設(shè)，與聯(lián)立，并令，可得，同理的斜率，∴，，解方程組得交點(diǎn)，而直線(xiàn)的方程為，得證．（3）設(shè)，，，由，得，代入，化簡(jiǎn)得：，同理可得：，明顯，∴、是方程的兩個(gè)不同的根，∴，，∴，即直線(xiàn)的方程為，∵，，∴，，所以線(xiàn)段與的比為∴線(xiàn)段與的比為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)方程的求法，考查拋物線(xiàn)的定值問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的理解駕馭水平和分析推理計(jì)算實(shí)力.21.設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，滿(mǎn)意，，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入1個(gè)數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；；在和之間插入個(gè)數(shù)、、、，使、、、、、成等差數(shù)列．①求；②對(duì)于①中的，是否存在正整數(shù)、，使得成立？若存在，求出全部的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2）①；②存在符合題意的正整數(shù)對(duì)，它們?yōu)楹停窘馕觥俊痉治觥浚?）求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由題得當(dāng)時(shí)，，，相減即得的通項(xiàng)公式；（2）①，再利用錯(cuò)位相減法求和得解；②假設(shè)存在正整數(shù)，使得，化簡(jiǎn)得，令，證明時(shí)，，列舉得解.【詳解】（1