甘肅省通渭縣第二中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，則，，的大小關系是A. B.C. D.2．已知圓的方程為，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知點分別為圓與圓的任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知點，，直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.5．若直線與曲線只有一個公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或6．已知角的終邊經(jīng)過點，則，的值分別為A.， B.，C.， D.，7．直線平分圓的周長，過點作圓的一條切線，切點為，則（）A.5 B.C.3 D.8．已知數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則滿足的的最小值為（）A.30 B.31C.32 D.339．若圓與直線相切，則實數(shù)的值為（）A. B.或3C. D.或10．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.11．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足約束條件則的最小值為__________14．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲、乙兩人下成和棋的概率為___________.15．雙曲線的焦距為____________16．寫出一個同時具有性質①②的函數(shù)___________.（不是常值函數(shù)），①為偶函數(shù)；②.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某種機械設備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與關系．請用相關系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關于的線性回歸方程，并估算該種機械設備使用8年的失效費參考公式：相關系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，18．（12分）已知函數(shù)（1）求的圖象在點處的切線方程；（2）求在上的最大值與最小值19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，底面ABCD，E為BP的中點，，（1）證明：平面PAD；（2）求平面EAC與平面PAC夾角的余弦值20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使得包括與在內的這個數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項和21．（12分）如圖，已知在四棱錐中，平面，四邊形為直角梯形，，，.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）在線段上是否存在點，使得二面角的余弦值？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由.22．（10分）在二項式的展開式中；（1）若，求常數(shù)項；（2）若第4項的系數(shù)與第7項的系數(shù)比為，求：①二項展開式中的各項的二項式系數(shù)之和；②二項展開式中各項的系數(shù)之和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】若對數(shù)式的底相同，直接利用對數(shù)函數(shù)的性質判斷即可，若底不同，則根據(jù)結構構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性判斷大小【詳解】對于的大?。?，，明顯；對于的大?。簶嬙旌瘮?shù)，則，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，即對于的大小：，，，故選B【點睛】將兩兩變成結構相同的對數(shù)形式，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質判斷，對于結構類似的，可以通過構造函數(shù)來來比較大小，此題是一道中等難度的題目2、C【解析】根據(jù)可求得結果.【詳解】因為表示圓，所以，解得.故選：C【點睛】關鍵點點睛：掌握方程表示圓的條件是解題關鍵.3、B【解析】先判定兩圓的位置關系為相離的關系，然后利用幾何方法得到的取值范圍.【詳解】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.4、B【解析】由可求出直線過定點，作出圖象，求出和，數(shù)形結合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過定點，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，所以實數(shù)的取值范圍是或，故選：B5、D【解析】根據(jù)曲線方程的特征，發(fā)現(xiàn)曲線表示在軸上方的圖象，畫出圖形，根據(jù)圖形上直線的三個特殊位置，當已知直線位于直線位置時，把已知直線的解析式代入橢圓方程中，消去得到關于的一元二次方程，由題意可知根的判別式等于0即可求出此時對應的的值；當已知直線位于直線及直線的位置時，分別求出對應的的值，寫出滿足題意得的范圍，綜上，得到所有滿足題意得的取值范圍【詳解】根據(jù)曲線，得到，解得：；，畫出曲線的圖象，為橢圓在軸上邊的一部分，如圖所示：當直線在直線的位置時，直線與橢圓相切，故只有一個交點，把直線代入橢圓方程得：，得到，即，化簡得：，解得或(舍去)，則時，直線與曲線只有一個公共點；當直線在直線位置時，直線與曲線剛好有兩個交點，此時，當直線在直線位置時，直線與曲線只有一個公共點，此時，則當時，直線與曲線只有一個公共點，綜上，滿足題意得的范圍是或故選：D6、C【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義：，，，代入計算即可得到答案【詳解】由于角的終邊經(jīng)過點，則,，（為坐標原點），所以由任意角的三角函數(shù)的定義：，.故答案選C【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，解決此類問題的關鍵是掌握牢記三角函數(shù)定義并能夠熟練應用，屬于基礎題7、B【解析】根據(jù)圓的性質，結合圓的切線的性質進行求解即可.【詳解】由，所以該圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以圓心在直線上，故，因此，，所以有，所以，故選：B8、C【解析】由條件可得得出，再由解出的范圍，得出答案.【詳解】由，則由，即，即，所以所以滿足的的最小值為為32故選：C9、D【解析】利用圓心到直線的距離等于半徑可得答案.【詳解】若圓與直線相切，則到直線的距離為，所以，解得，或.故選：D.10、C【解析】設直線的傾斜角為，則，解方程即可.【詳解】由已知，設直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：C11、C【解析】利用函數(shù)在上單調遞減即可求解.【詳解】解：因為函數(shù)在上單調遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.12、A【解析】延長交延長線于N,則選:A.【點睛】涉及兩焦點問題，往往利用橢圓定義進行轉化研究，而角平分線性質可轉化到焦半徑問題，兩者切入點為橢圓定義.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由題意，根據(jù)約束條件作出可行域圖，如圖所示，將目標函數(shù)轉化為，作出其平行直線，并將其在可行域內平行上下移動，當移到頂點時，在軸上的截距最小，即.14、##【解析】直接根據(jù)概率和為1計算得到答案.【詳解】.故答案為：.15、【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，.雙曲線的焦距為.故答案為：.16、（答案不唯一）【解析】利用導函數(shù)周期和奇偶性構造導函數(shù)，再由導函數(shù)構造原函數(shù)列舉即可.【詳解】由知函數(shù)的周期為，則，同時滿足為偶函數(shù)，所以滿足條件.故答案為：（答案不唯一）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析；（2）；失效費為6.3萬元【解析】（1）根據(jù)相關系數(shù)公式計算出相關系數(shù)可得結果；（2）根據(jù)公式求出和可得關于的線性回歸方程，再代入可求出結果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結合參考數(shù)據(jù)知：因為與的相關系數(shù)近似為0.99，所以與的線性相關程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系（2）∵，∴∴關于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬元，∴估算該種機械設備使用8年的失效費為6.3萬元18、（1）；（2）最大值與最小值分別為與【解析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率即可求出結果；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而結合函數(shù)的單調性即可求出最值.【詳解】（1）因為，所以所以所以的圖象在點處的切線方程為，即（2）由（1）知令，則；令，則所以在上單調遞減，在上單調遞增．所以又，所以所以在上的最大值與最小值分別為與19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過作輔助線，構造平行四邊形，在平面PAD找到線并證明，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標，進而求得相關的向量坐標，求出平面EAC與平面PAC的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得答案.【小問1詳解】證明：取PA的中點F，由E為PB的中點，則，，而，，所以且，則四邊形CDFE為平行四邊形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD【小問2詳解】∵平面ABCD，，∴AP，AB，AD兩兩垂直，以A為原點，，，向量方向分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，各點坐標如下：，，，，，設平面APC的法向量為，由，，有，取，則，，即，設平面EAC的法向量為，由，，有，取，則，，即，所以，由原圖可知平面EAC與平面PAC夾角為銳角，所以平面EAC與平面PAC夾角的余弦值為20、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)公式得到，得到，再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，再利用錯位相減法計算得到答案.【小問1詳解】，當時，，得到；當時，，兩式相減得到，整理得到，即，故，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，，即，驗證時滿足條件，故.【小問2詳解】，故，，，兩式相減得到：，整理得到：，故.21、（1）；（2）存在，為上靠近點的三等分點【解析】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出的坐標以及平面的一個法向量，計算即可求解；（2）假設線段上存在點符合題意，設可得，求出平面的法向量和平面的法向量，利用即可求出的值，即可求解.【詳解】（1）分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示：則，，，.不妨設平面的一個法向量,則有，即，取.設直線與平面所成的角為，則,所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）假設線段上存在點，使得二面角的余弦值.設，則,從而，，.設平面的法向量,則有，即，取.設平面的法向量,則有，即，取.,解得：或（舍）,故存在點滿足條件，為上靠近點的三等分點【點睛】求空間角的常用方法：（1）定義法，由異面直線所成角、線面角