專題03復(fù)數(shù)（核心考點(diǎn)精講精練）

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新I卷，第2題,5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共輾復(fù)數(shù)無

2023年新H卷，第1題,5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義無

2022年新I卷，第2題,5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共樞復(fù)數(shù)無

2022年新H卷，第2題,5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無

2021年新I卷，第2題,5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共輾復(fù)數(shù)無

2021年新II卷,第1題,5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義無

2020年新I卷，第1題,5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無

2020年新II卷,第2題,5分復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是全國卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，能夠掌握數(shù)集分類及復(fù)數(shù)分類，需要關(guān)注復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、

及純虛數(shù)

2.能正確計(jì)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模長等問題，理解并掌握共朝復(fù)數(shù)

3.熟練掌握復(fù)數(shù)的幾何意義即復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軟復(fù)數(shù)、模長運(yùn)算、幾何意

義，題型較為簡單。

知識講解

1.數(shù)集的分類

目標(biāo)物正整數(shù)

整數(shù)z1自然如j°

雋飆實(shí)數(shù)R有理數(shù)Q

復(fù)數(shù)Cj負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)

［無理數(shù)

.虛數(shù)

其中正整數(shù)的符號為：N+或N*

2.虛數(shù)單位

i,規(guī)定i2=—1

3.虛數(shù)單位的周期

T=4

4.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

Z=a+歷,。叫實(shí)部，匕叫虛部

5.復(fù)數(shù)的分類

'實(shí)數(shù)：b=0

o：4ft?=0

Z=a+b,l.\虛數(shù)b:=…Q

純虛數(shù)之。

a=0

6.復(fù)數(shù)相等

Zj=a+bi,Z2=c+di,若Z1=Z2,貝Ua=c,b=d

7.共朝復(fù)數(shù)

若兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部是互為相反數(shù)時(shí)，這兩個復(fù)數(shù)叫互為共軌復(fù)數(shù)；

z=a+bi,z=a-bi(a,bwR),

推廣：z-z=(a+bi)(a-bi)=a2-(Z?i)2=a1+b'

結(jié)論：z-z-a2+b2

8.復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b&R)<?對應(yīng)>復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)

9.復(fù)數(shù)的模

Z=a+bi(a,b^R),貝！|\z\=\a+bi|=V?2+b2；

分子模

推廣愎數(shù)的固=

分母模

10.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

設(shè)zi=〃+歷，Z2=c+di(〃，b,c,d￡R),則

(1)加法：zi+z2=(〃+bi)+(c+di)=(a+c)+3+</)i;

(2)減法：zi-Z2=(〃+歷)一(c+di)=(〃-c)+(Z?-d)i；

(3)乘法：zi-Z2=(a~\~biy(c+di)=(ac—bd)+(ad+Z?c)i；

，人除注zia+bi(”+bi)(c—di)ac+bdbc-ad

@）除法：Z2—c+必一一。2+片1C2+^1(t1￡/1^0)

"(c+Ji)(c-Ji)"

設(shè)Zi，Z2,Z3￡C,則復(fù)數(shù)加法滿足以下運(yùn)算律:

（1）交換律：Zl+z2=Z2+zi；

（2）結(jié)合律：（Z1+Z2）+Z3=Z1+（Z2+Z3）.

考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.（2022年新高考全國U卷數(shù)學(xué)真題）（2+2i）（l-2i）=（)

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

2.（2020年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）分=（）

1+21

A.1B.-1

C.iD.-i

3.（2020年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）（l+2i）（2+i）=（)

A.4+5iB.5iC.—5iD.2+3i

或即時(shí)檢測

1.(2023?全國?模擬預(yù)測)-一l+2i^=()

1+1

人33.「31.=13.「1

A.——+—iB.——+—iC.——+—iD.—

2222222

2.(2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z=1+Li,求復(fù)數(shù)z3=()

22

A石1.R石1.n1

A.--------1B.----------1rC.iD.-1

2222

/廠、3

3.（2023?廣東佛山??？寄M預(yù)測）［+孚i=（）

122

A.B.1C.3+迪iD.-I

8822

考點(diǎn)二、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若（z+i）i=4-力，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.-5B.5C.7D.-7

2.（2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考三模）若復(fù)數(shù)z=罟+2i（i為虛數(shù)單位），則2的虛部為（）

1-1

A.3B.3iC.-3D.-3i

即時(shí)檢測

1.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（g-i）=2i,其中i為虛數(shù)單位，貝卜的虛部為（）

A.在B.西C.--D.

2222

2.（2023?江蘇南通?三模）復(fù)數(shù)z=l+2i+3i?+…+202212021+202312022的虛部為（）.

A.1012B.-1011C.1011D.2022

考點(diǎn)三、復(fù)數(shù)相等

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)i為虛數(shù)單位，且;=l+2i,貝也-0的虛部為（）

1+ai

A.-2B.2C.2iD.-2i

2.（2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)校考三模）已知％beR,復(fù)數(shù)z=a+歷滿足z（l+i）=（l-2i）2,貝幼+6=（）

71

A.——B.——C.-3D.-4

22

即時(shí)檢測

1.（2023?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)售=6（2-譏“/wR）,則必=（）

A.-3B.-1C.1D.3

2.（2023?全國?校聯(lián)考三模）已知i3=a—?dú)v（aZ^R）,則a+b的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

考點(diǎn)四、復(fù)數(shù)的分類及純虛數(shù)概念考查

典例引領(lǐng)

■■■■■■■■■■■

1.（2023?山東濟(jì)寧?嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）若復(fù)數(shù)z=學(xué)竺為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。=（）

2+1

33

A.—B.—C.6D.—6

22

2.（2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（2-i）=l+6i0eR）,若z為純虛數(shù).貝”=（）

A.-iB.iC.-5iD.5i

即時(shí)檢測

1.（2023?湖南?鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考三模）復(fù)數(shù)z=oi+6g,6eR）是純虛數(shù)的充分不必要條件是（）

A.且b=0B.b=0C.a=l且b=0D.a=b=0

2.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）己知復(fù)數(shù)z=^（aeR）是純虛數(shù)，則〃的值為（）

A.-12B.12C.-3D.3

考點(diǎn)五、復(fù)數(shù)的幾何意義

☆典例引領(lǐng)

1.（2023年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（2021年新高考全國H卷數(shù)學(xué)真題）復(fù)數(shù)。在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=（l+i）?（租-2i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，則實(shí)數(shù)優(yōu)

的取值范圍為（）

A.m>2B.0<m<2

C.-2<m<2D.m<—2

即時(shí)檢測

1.（2023?廣東茂名?統(tǒng)考二模）在復(fù)平面內(nèi)，2M-4i所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+51

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)二彳在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

2+1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2023?福建福州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)工對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

Z

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.（2023?山東聊城?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若無?+尤+1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解為2仔2,則在復(fù)數(shù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（I-］『對

應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.實(shí)軸上B.虛軸上C.第一象限D(zhuǎn).第二象限

5.（2023?湖北襄陽?襄陽四中?？寄M預(yù)測）若復(fù)數(shù)（2-i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是（）

A.（-0C,-7?）^（2,+oo）B.（-〈，2）

22

C.（2,+oo）D.（--,+oo）

2

6.（2023?河北唐山?開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)4與z=4-2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱,

則3=（）

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

7.（2023?廣東湛江?統(tǒng)考二模）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（2,5）,則1+1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（）

A.（3,-5）B.（3,5）C.（-3,-5）D.（-3,5）

考點(diǎn)六、復(fù)數(shù)的模長

☆典例引領(lǐng)

Qi；3

1.（2023?湖南?校聯(lián)考二模）設(shè)復(fù)數(shù)z="（i為虛數(shù)單位），則|z卜（）

l+2i

A.V2B.6C.小D.713

2.（2023?安徽黃山?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z（l-2i）=i（其中i為虛數(shù)單位），則目=（）

A.1B.3C.也D.—

225

3.（2023?山西太原?太原五中校考一模）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z滿足|z-2|=l,貝“z-i|的最小值為（）

A.1B.75-1C.75+1D.3

即時(shí)檢測

1.（2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知3+4i=z（l-2i）,則|z|=（）

A.72B.75C.D.5

2.（2023?安徽合肥?合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)Z1=2+i,Z2=l-oi（aeR）,且z「是為純虛數(shù),

則五=（）

Z2

A.73B.5/5C.1D.5/6

3.（2023?山東?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為腐是方程d+2x+3=0的兩個根,則1-刃值為（）

A.-8B.2C.2近D.26

4.（2023?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足丘=2,則|z+i|的最小值為（）

A.0B.后一1C.6+1D.1

5.（2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)?？级＃┮阎獜?fù)數(shù)z滿足目=1,則|z+3-4i|（i為虛數(shù)單位）的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

考點(diǎn)七、復(fù)數(shù)的三角形式

了典例引領(lǐng)

1.（2023春?四川瀘州?高三瀘縣五中?？奸_學(xué)考試）若復(fù)數(shù)z=r（cos6+isine）（r>0,6ER）,則把這種

形式叫做復(fù)數(shù)z的三角形式，其中廠為復(fù)數(shù)z的模，6為復(fù)數(shù)Z的輻角，則復(fù)數(shù)2=立+匕的三角形式正確

22

的是（）

71

A一兀C.乃.兀

A.cos——\-ism—B.sin——i-zcos—

6666

C.cos——\-isin—D.sin——I-icos—

3333

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）任何一個復(fù)數(shù)z=a+歷（a,6eR）都可以表示成z=r（cos。+isin20,。wR）

的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：EcosO+isinO）r=r"（cos"e+isin"0）（〃eZ）,

我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.則（1-后）2g=（）

A.1B.22022C.-22022D.i

即時(shí)檢測

...________

1.（2021秋?四川資陽?高三四川省資陽中學(xué)校考開學(xué)考試）任何一個復(fù)數(shù)z=a+0i（其中。，力eR,i為虛

數(shù)單位）都可以表示成z=r（cose+isin。）（其中廠20,，eR）的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法

國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：［廠（8$。+4110）1=尸（85招+詞11加）（〃62）,我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理住棣

莫弗定理可知，""為偶數(shù)”是“復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）任何一個復(fù)數(shù)z=a+A（其中。、6eR,i為虛數(shù)單位）都可以表示成：

z=r（cos6+isin。）的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：

z0=「（cose+isin。）］"=r"（cosnd+isinnO'）（MeA^+）,我們稱這個結(jié)論為棣莫弗定理.根據(jù)以上信息，下列

說法正確的是（）

A.卜卜，

JT

B.當(dāng)丁=1,時(shí)，z3=i

C.當(dāng)〃=1,8=9時(shí)，z=-_2^i

322

JT

D.當(dāng)r=1,。=彳時(shí)，若〃為偶數(shù)，則復(fù)數(shù)z"為純虛數(shù)

4

考點(diǎn)八、歐拉公式

含典例引領(lǐng)

1.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）歐拉公式e"=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)

立，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)不正確的是（）

A.復(fù)數(shù)亙的虛部為:B.若年［5,33，則復(fù)數(shù)e"對應(yīng)點(diǎn)位于第二象限

1+i

D復(fù)數(shù)沸的共軻復(fù)數(shù)為:+日1

C.復(fù)數(shù)i./的模長等于1

即時(shí)檢測

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）歐拉公式eK=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，

e疝

它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式可知，工表示的復(fù)

e4

數(shù)的虛部為（）

A0RV2r0.n聲.

A.----Jj.-----C.------1LJ.-------i

2222

2.（2023?山西晉中?統(tǒng)考三模）歐拉公式e*=cosx+isinx（xeR）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式

被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.若復(fù)數(shù)4=/，Z2=S，則乎2=（）

A.-iB.i

Q_\/2+72jD3應(yīng)■

'221'~2F1

3.（多選）（2023?全國?模擬預(yù)測）歐拉公式e2=cose+isin。（其中e=2.718…，i為虛數(shù)單位）由瑞士著

名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被

譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋，，.根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是（）

A.p|=iB.

考點(diǎn)九、復(fù)數(shù)多選題

典例引領(lǐng)

1.（2023?黑龍江哈爾濱?哈九中校考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a,beR）,其共輾復(fù)數(shù)為三，則下列結(jié)

果為實(shí)數(shù)的是（）

222023

A.zB.|z|C.（z+l）（z+l）D.（z-z）-i

2.（2023?遼寧丹東?統(tǒng)考二模）在復(fù)平面內(nèi)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為z=l+i對應(yīng)的點(diǎn)，則（）

的虛部為2

A.ziB.z=l-iC.—^―-=~D.~Q\=Z

_即__時(shí)__檢__測_

1.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)4,2，下列命題正確的是（）

A.|乎2|=閔目B.若㈤=團(tuán)，則％=z?

2

C.z1z1=|z1|D.若z；=.2,貝”為實(shí)數(shù)

2.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考三模）已知復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與對應(yīng)向量西=（l,-g）,復(fù)數(shù)Z2滿足|zzl=2,1是4的

共朝復(fù)數(shù)，則（）

A.田=|西|B.”

C.包=4D.131=4

Z1

3.（2023?重慶?統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)4，句，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若z^eR,則Z2=zB.若2送2=0,則4=0或z?=。

C.若平2=乎3且Z]W0,貝UZ2=Z3D.若Z；=Z；,則團(tuán)=同

【基礎(chǔ)過關(guān)】

1.（2023?遼寧遼陽?統(tǒng)考二模）復(fù)數(shù)z=2+i,則復(fù)數(shù)Z=zi+2的實(shí)部和虛部分別是（）

A.3,2B.3,2iC.1,2D.1,2i

2.（2023?河北?校聯(lián)考一模）己知復(fù)數(shù)z=2i（3-2i）,則]=（)

A.4-6iB.-3C.-4-6iD.-4+6i

3.（2023?福建泉州?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z滿足（1—i）z=4i,則z?z=()

A.-8B.0C.8D.8i

4.（2023?福建漳州?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)三為復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)，且滿足Z=J，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第

二象限,則同=（)

A.拒B.也C.1D-1

5.（2023.山東聊城?統(tǒng)考二模）若復(fù)數(shù)Z滿足（1+Z）（1-i）=2,則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）

A.iB.-iC.1D.-1

6.（2023?湖北十堰?統(tǒng)考二模）復(fù)數(shù)z=一二的虛部為（）

1

A.-2B.2C.-2iD.2i

7.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考三模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足。-i）z=|3+i|,則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

Vio.RMA/IO.「而

AA.---------iD.---------------RC.-------iD.---------

2222

-3+i

8.（2023?廣東汕頭?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)z=,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

3-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足三+彳?i=l,貝Uz的虛部為（）

1

A.—B.-'C.—1D.1

22

jm+i

10.（2023?江蘇?二模）當(dāng)-2＜彳時(shí)，復(fù)數(shù)z=『在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

22-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【能力提升】

1.（2023?福建龍巖?福建省龍巖第一中學(xué)?？既＃┮阎獜?fù)數(shù)z滿足（1-2i）z=|3+4i|,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.2B.-2iC.-2D.i

2.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)Z滿足Z?+2z+2=0,貝!Jz.z=(

A.1B.后C.石D.2

z—1

3.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考三模）設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足U為純虛數(shù)，則忖=（）

Z+1

A.1B.72C.GD.2

4.（2023?湖南長沙?長郡中學(xué)?？级＃┰O(shè)復(fù)數(shù)z滿足z-（l-i）=2+i,貝氏的虛部是（）

33

A.-B.3C.——D.4

22

0_?2022

5.（2023?廣東汕頭?金山中學(xué)校考三模）已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=y可對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（）

2+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

6.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模）已知。，beR,虛數(shù)z=l+句是方程x2+ax+3=0的根，則目=（）

A.41B.6C,2D.下

方2023

7.（2023?遼寧大連?育明高中?？家荒＃?fù)數(shù)z=‘一（其中i為虛數(shù)單位），則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

1+i

（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）已知復(fù)數(shù)z=1^（aeR）是純虛數(shù)，則。的值為（）

A.-12B.12C.-3D.3

9.（2023?重慶?統(tǒng)考三模）在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)（-1+2丁對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.（2023?河北?校聯(lián)考一模）已知復(fù)數(shù)4,z2,工＞4”是“三＞1”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【真題感知】

1-i皿_

1.（2023?全國I卷?統(tǒng)考高考真題）已知z=2+2i'貝"z-z=()

A.-iB.iC.0D.1

2.（2022?全國I卷?統(tǒng)考高考真題）若i（—)=1,則z+N=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2021?全國I卷?統(tǒng)考高考真題）已知z=2-i,貝！］z(7+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

4.（2023?全國甲卷?統(tǒng)考（理科）高考真題）設(shè)〃￡R,(Q+i)(l--ai)=2,,則。=

A.-1B.0C.1D.2

5.（2023?全國乙卷?統(tǒng)考（文科）高考真題）2+i2+2i3=()

A.1B.2C.75D.5

、幾2+i

6.（2023?全國乙卷?統(tǒng)考（理科）高考真題）設(shè)Z=1.2.5,則）=()

1+12+15

A.l-2iB.l+2iC.2-iD.2+i

5(l+i3)

7.（2023?全國甲卷?統(tǒng)考（文科）高考真題）(2+訓(xùn)2-i)()

A.-1B.1C.1-iD.1+i

8.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)已知4,6eR,a+3i=3+i)i(i為虛數(shù)單位)，則()

A.〃=11=-3B.a=—l,b=3C.a=—Lb=—3D.Q=1,Z?=3

9(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)(l+2i)a+人=2i,其中〃，。為實(shí)數(shù)，則()

A.a=l,b=-lB.a=l,b=lC.a=-l,b=lD.a=-l,b=-l

10.(2022全國統(tǒng)考高考真題)若z=l+i,貝lJ|iz+3*=()

A.4百B.472C.2A/5D.2V2

11.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）若Z=-l+6i,則告)

zz-1

A.-1+V3iB.-l-73iC.一'烏D.一§一于

33

12.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）已知z=l-2i,且z+應(yīng)+b=0,其中。，匕為實(shí)數(shù)，則（）

A.B.a=-l,b=2C.a=l,b=2D.a=-l,b=-2

專題03復(fù)數(shù)（核心考點(diǎn)精講精練）

1.4年真題考點(diǎn)分布

4年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2023年新I卷，第2題,5

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軌復(fù)數(shù)無

分

2023年新n卷，第1題,5復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何

無

分意義

2022年新I卷，第2題,5

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軟復(fù)數(shù)無

分

2022年新H卷，第2題,5

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無

分

2021年新I卷，第2題,5

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共軟復(fù)數(shù)無

分

2021年新n卷，第1題,5復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何

無

分意義

2020年新I卷，第1題,5

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無

分

2020年新n卷，第2題,5

復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算無

分

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是全國卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】L理解、掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，能夠掌握數(shù)集分類及復(fù)數(shù)分類，需要關(guān)注復(fù)數(shù)

的實(shí)部、虛部、及純虛數(shù)

2.能正確計(jì)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及模長等問題，理解并掌握共軌復(fù)數(shù)

3.熟練掌握復(fù)數(shù)的幾何意義即復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、共輾復(fù)數(shù)、模長

運(yùn)算、幾何意義，題型較為簡單。

知識講解

11.數(shù)集的分類

Q初將正整數(shù)

敕用7自然數(shù)N<

有理數(shù)Q整數(shù)ZI0

實(shí)數(shù)R，〔負(fù)整數(shù)

復(fù)數(shù)C，

分?jǐn)?shù)

無理數(shù)

.虛數(shù)

其中正整數(shù)的符號為：N+或N*

12.虛數(shù)單位

i，規(guī)定i?=-1

13.虛數(shù)單位的周期

T=4

14,復(fù)數(shù)的代數(shù)形式

Z=a+t>i(a,beR),。叫實(shí)部，b叫虛部

15.復(fù)數(shù)的分類

[實(shí)數(shù):b=0

a=0

0"

b=0

z=a+bi<

虛數(shù)：b^O

%w0

純虛數(shù)

a=0

16.復(fù)數(shù)相等

4=a+Z?i,Z2=c+di,若Z]=Z2,貝！Ja=c,b=d

17.共軌復(fù)數(shù)

若兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部是互為相反數(shù)時(shí)，這兩個復(fù)數(shù)叫互為共朝復(fù)數(shù);

z=a+bi,z=a—bi(a,bwR),

推廣：z?z=(a+歷)(Q-bi)=a2-(&i)2=a1+b2

結(jié)論：z-z=a1+b2

18.復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+歷(a,Z?wR)(「二對廖—復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,Z?)

19.復(fù)數(shù)的模

Z=a+bi(a,b^R),貝|z|=|a+Z?i|=yja~+b~；

分子模

推廣愎數(shù)的料=

分母柩

20.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

設(shè)zi=a+歷，Z2=c+di(a,b,c,dGR),貝!|

⑴加法:zi+z2=(a+bi)+(c+"i)=(a+c)+3+<7)i;

(2)減法：zi-Z2=(a+〃i)—(c+di)=(a-c)+(Z?-6?)i；

(3)乘法：zi-Z2=(〃+歷)?(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

"土zi〃+Z?i(〃+歷)(。-di)ac+bdbc—ad

(4)*'?Z2c+片(c+di)(c—di)，+法法

設(shè)zi，Z2,Z36C,則復(fù)數(shù)加法滿足以下運(yùn)算律：

(1)交換律：Z1+Z2=Z2+Z1；

(2)結(jié)合律：(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3).

考點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.(2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題)(2+2i)(l-2i)=()

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求(2+2i)(l-2i).

【詳解】(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,

故選：D.

2.(2020年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題)目=()

1+21

A.1B.-1

C.iD.-i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則進(jìn)行計(jì)算.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

3.（2020年新高考全國H卷數(shù)學(xué)真題）（l+2i）（2+i）=（）

A.4+5iB.5iC.-5iD.2+3i

【答案】B

【分析】直接計(jì)算出答案即可.

【詳解】(l+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查的是復(fù)數(shù)的計(jì)算，較簡單.

即時(shí)檢測

7...........

-l+2i

1.（2023?全國模擬預(yù)測）)

1+i

31.13.13.

A.B.-------F—1C.-------F—1D.—1

22222222

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可得出答案.

-l+2i(-l+2i)(l-i)_l+3i_13...

【詳解】------------------------------------------------------I—1

1+i(l+i)(l-i)222

故選:D.

已知復(fù)數(shù)”4%求復(fù)數(shù)

2.（2023?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測）z3)

1.1.

—1B.一也C.iD.-1

222

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)乘法計(jì)算法則可得答案.

231技1小，貝叱

Z21

【詳解】+—1=---------1------1=—I-

2)4422

66(31Y.

z2-z=雪其—--------++-+-i=i

22224444

故選：c

(16\3

3.（2023?廣東佛山??？寄M預(yù)測）—H-------1)

227

3g.3+雪

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可化簡求解.

故選：D.

考點(diǎn)二、求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

☆典例引領(lǐng)

1.（2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若（z+i）i=4-7i,則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的概念求值即可.

4-7i

【詳解】依題意，z=——-i=-4i-7-i=-7-5i,故z的虛部為-5.

故選：A

2.（2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考三模）若復(fù)數(shù)z=罟+2i（i為虛數(shù)單位），則2的虛部

1—1

為（）