能力拓展07不等式恒成立問題

【命題方向目錄】

命題方向一：直接法

命題方向二：端點恒成立

命題方向三：端點不成立

命題方向四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離

命題方向五：洛必達法則

命題方向六：同構法

命題方向七：必要性探路

命題方向八：機以，加應函數(shù)問題

命題方向九：構造函數(shù)技巧

命題方向十：雙變量最值問題

【方法技巧與總結】

1、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：

(1)通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(2)利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題；

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)

后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論

法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進行求解：

⑴VxeD>1nbi;

⑵VxeD-m>/(x)<^>m>/(x)max；

(3)3xeD，機1mx；

(4)

3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：

一般地，已知函數(shù)>=x6\^a,b\,y=g(x),xe[c,i7].

(1)若％e[a,可,Vx2e[c,d],有〃％)<g(x2)成立，則/(尤)一<g⑴―；

⑵若%小,可,3X2e[c,d],有/⑺<g(%)成立，則〃尤Lx〈gOOmax；

(3)若叫卻e[c,d],有g(%)成立，則“41ta<8⑸皿；

(4)若V占訓?c,d],有〃匕)=g?)成立,則〃尤)的值域是g(x)的值域的子集.

4、法則1若函數(shù)/(%)和g(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=O及l(fā)img(x)=O；

x—>a'/x—>a'7

(2)在點］的去心鄰域(〃-￡,〃)口(〃,〃+￡)內，/(%)與g(%)可導且g，(%)wO；

那么lim里=1而4?=/.

ig(x)ig'⑴

法則2若函數(shù)/(%)和g(x)滿足下列條件：(1)哽/(力=0及］吧g(x)=O；

(2)3A>0,/(兀)和g(x)在(-oo,A)與(A,+8)上可導，且g〈x)wO;

(3)hm—￥^-=lf

那么1面上=1而34=/.

xf°°g⑴

法則3若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=8及l(fā)img(x)=8；

X->a\/X—>47'/

(2)在點a的去心鄰域(〃-￡,〃)口(〃,〃+￡)內，f(x)與g(x)可導且g'(x)wO;

那么lim里=lim乃"=/.

注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：

(1)將上面公式中的XfQ,%ffYO,Xf/,%洛必達法則也成立.

(2)洛必達法則可處理9,巴,O-oo，f,00°,0°,8-00型.

000

(3)在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足9,藝，0.8，f,8°,0°,8-8型定式，否則

000,

濫用洛必達法則會出錯.當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應

從另外途徑求極限.

(4)若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

lim4&=lim4W=lim/J?,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.

ig(X)…g'(X)*f"g〃(X)

【典例例題】

命題方向一：直接法

例L(2023?遼寧?高三本溪高中校聯(lián)考階段練習)設。＞0且awl,函數(shù)〃力=優(yōu)+涼,

g(x)=lnx+--

x

⑴證明：g(九)N。恒成立;

⑵若對Vx?F,0),恒成立，求。的取值范圍.

例2.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?高三江蘇省鎮(zhèn)江中學?？茧A段練習)已知函數(shù)

f(x)=-x2+-x+2(m>0),g(x)=1-3/+1,若不等式g(x)>2/(x)-f一11對一切xeR恒成立，則正整數(shù)

機的最大值為()

A.5B.6C.7D.8

命題方向二：端點恒成立

例3.(2023?四川綿陽?四川省綿陽南山中學?？寄M預測)設函數(shù)

/(%)=；sin%-xcosx0<x<^,g(x)-/(x)+^-sinx-ar3

⑴求“X)在X、處的切線方程；

(2)若任意尤e[0,y),不等式g(x)V0恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

例4.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=gx3-2x+2sin尤+1,g(x)=e[sinx+cosx+/-2x).

⑴求證：〃可＞0在工€[0,y)上恒成立；

⑵若關于x的不等式g(%)2⑺在xe[0,y)上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

例5.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=e'-履2,其中％為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).g(x)是

f(x)的導數(shù).

(1)試討論g(x)的極值點;

(2)①若4=1,證明：當x..O時，/(x)..x+l恒成立；

②當X..0時，/(尤)..2尤+1-sinx恒成立，求上的取值范圍.

命題方向三：端點不成立

例6.(2023?浙江舟山?舟山中學?？寄M預測)已知函數(shù)/(尤)="x-lnx-l.

⑴若〃尤)20恒成立，求。的最小值；

⑵求證：---Fx+ln.r-l>0；

x

(3)已知k(e~x+x2)Nx-xlnx恒成立,求％的取值范圍.

例7.(2023?江蘇南京?高二南京市中華中學?？计谀?已知函數(shù)f(x)=lnx+lno+m-l)x+2(a>0).

⑴討論/(x)的單調性；

⑵若不等式e>2N/(X)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

例8.(2023?江西?校聯(lián)考模擬預測)己知函數(shù)〃無)=7-尤+1.

⑴求的單調區(qū)間；

(2)若對于任意的xe(0,"o),+：+恒成立，求實數(shù)。的最小值.

變式1.(2023?四川綿陽?四川省綿陽南山中學?？寄M預測)已知函數(shù)/(x)=or-lnx,aeR.

(1)若a=L求函數(shù)〃尤)的最小值及取得最小值時的x值；

e

⑵若函數(shù)了(了)4詫工—(a+l)lnx對xe(0,+oo)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

命題方向四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離

/、1Z、/'X+11

例9,(2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預測)函數(shù)〃％)=2依一21n%—1(Q￡R),且(％)=可二一記^?

⑴討論“X)的極值的個數(shù)；

⑵若"X)?g⑺>0在xe(1,內)上恒成立，求a的取值范圍.

例10.(2023?甘肅張掖?高臺縣第一中學?？寄M預測)已知函數(shù)〃尤)=止-e^+l,尸(x)為〃尤)的導函

數(shù).

⑴討論/(X)的極值；

⑵當x>T時，f(x)>-xer,求人的取值范圍.

命題方向五：洛必達法則

例11.已知函數(shù)/(%)=。111%+法(436火)在工=」處取得極值，且曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的

2

切線與直線X—y+l=o垂直.

(1)求實數(shù)的值；

rri

(2)若X/X￡[l,+8),不等式/(%)〈(加—2)%——恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

X

X

例12.設函數(shù)=1—.當%20時，/(%)<-----，求〃的取值范圍.

ax+1

命題方向六：同構法

例13.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)/(x)=e*一半+1(々*0),函數(shù)g(x)=xlnx,若1(x)>g(x)對

KX

Vxw(O,y)恒成立，則實數(shù)上的取值范圍為()

A.[,+a]B.C.[1,+co)D.[e,+8)

y+In/777Iny

例14.(2。23?江西南昌?高三統(tǒng)考階段練習)若關于x的不等式飛一-->0對Vxe(O,l)恒成立，則實

數(shù)。的取值范圍為()

例15.(2023?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習)已知函數(shù)〃x)=e',g(x)=：.

(1)若/z(x)=/(x)-摩⑴(機eR),判斷的零點個數(shù)；

(2)當x>0時，不等式朝(司2京土+11^+2恒成立,

求實數(shù)。的取值范圍.

命題方向七：必要性探路

例16.(2023?江西九江?統(tǒng)考三模)己知函數(shù)/(x)=￡1(aeR)

(1)討論兀0的單調性：

(2)當a=-2時，若x20,/(%)<ln(l+2x)-zm:-l,求實數(shù)相的取值范圍.

例17.(2023?上海普陀?曹楊二中校考模擬預測)已知函數(shù)/(x)=e*,g(x)=sinx+cosx.

⑴求證：/(x)>x+l；

(2)若x>-受試比較與g(x)的大??；

(3)若尤NO,問〃x)+g(x)—2—辦20(aeR)是否恒成立？若恒成立，求。的取值范圍；若不恒成立，請

說明理由.

例18.(2023?福建福州?高三?？计谥?已知函數(shù)/(x)=e*,g(x)=sinx+cosx.

⑴若2依+1恒成立，直接寫出。的值，并證明該不等式；

(2)證明：當時,/(x)>g(x)；

4

(3)當龍〉-:時，不等式〃x)+g(x)-2-ox20(aeR)恒成立，求。的取值集合.

命題方向八：max,加〃函數(shù)問題

例19.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=(xT)eX-gx2+l,g(x)=sinx-ox,其中aeR.

(1)證明：當x20時，/(x)>0；當x<0時，/U)<0；

⑵用max{m,“}表示中的最大值，記"x)=max{/(x),g(x)}.是否存在實數(shù)a,對任意的xeR,

尸⑶20恒成立.若存在，求出“，若不存在，請說明理由.

例20.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)f(x)=(尤-De,-gd+l,g(x)=sinx-ax,其中aeR.

(1)證明：當x..O時,/(%)..0；當x<0時，/(%)<0；

(2)用max{〃z,"}表示機，〃中的最大值，記尸(尤)=max"(x),g(x)}.是否存在實數(shù)訪對任意的xeR,

尸(x)..O恒成立.若存在，求出°；若不存在，請說明理由.

命題方向九：構造函數(shù)技巧

例21.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=Anrln尤-1,〃沖0.

(1)討論函數(shù)的單調性；

(2)若g(x)=d-：x,且關于x的不等式/■(x)<g(x)在(0,+動上恒成立，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，求

實數(shù)機的取值范圍.

例22.(2023?湖北?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)〃x)=xe-Inx-1.

⑴求函數(shù)〃尤)在x=l處的切線方程；

(2)若不等式〃x)>ax(aeR)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

命題方向十：雙變量最值問題

例23.(2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預測)已知/(x)=m+〃，g(x)=lnx,對于Mxe(0,+oo),〃x)2g(x)恒成

立，則”7+2”的最小值為()

A.—In2B.—1C.—In4D.—2

例24.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=lnx,g(x)=ax2+bx+l,其中a,6cR.

(1)當。=0時，直線y=g(無)與函數(shù)了=/(無)的圖象相切，求6的值；

b

(2)當。片0時，若對任意x>0,都有/(無)4g(x)恒成立，求一的最小值.

a

【過關測試】

1.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學?？寄M預測)己知函數(shù)_f(x)=lnx-x2-依，給出以下三個結

論：

①如果〃力=0有兩個不同的根，則a<T;

②當時，/(x)WO恒成立；

③如果/（%）+%2=0有兩個根X],巧，則%尤2＜：.

其中正確的結論個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

2.（2023?四川成都?石室中學?？寄M預測）對V尤e0,1,不等式（6-1）。110+%）2定,-1恒成立，則實數(shù)

a的取值范圍是（）

A.—,VeB.[l,e]C.[1,八]D.—

3.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學校?？既＃┰O實數(shù)。＞0,對任意的不等式

1丫12ax

e2?一UnBN'-Je恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是（）

2aaax

4.（2023?江西?江西師大附中?？既＃┤舨坏仁絜*+x（alnx-or+e2"0在x＞0上恒成立，則實數(shù)。的取

值范圍是（）

5.（2023?全國?模擬預測）已知函數(shù)〃x）=（/+l）ex,若對任意0＜%＜玉，（仁）1＜九卜為一e*戶亙

成立，則實數(shù)2的取值范圍為（）

A.（-oo,l]B.[l,+oo）

C.（-（x）,3]D.：+°°）

6.（2023?全國?模擬預測）若不等式元3+（e—2%）f+x+exze（lnx+l）對W%￡（0,+o））恒成立，那么用的最

大整數(shù)值為（）

A.-1B.1C.2D.3

9.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）若Vx￡（0,+＜x））,ln2x-g-Win”恒成立，則4的最小值為（）

12

A.-B.-C.eD.e2

ee

10.（多選題）（2023?湖南長沙?周南中學?？既＃┤?x）=〃e，+ln名-2（，＞0）,若〃%）＞0恒成

立，則，的值不可以是（）

A.eB.1C.2eD.2

11.（多選題）（2023?山西?校聯(lián)考模擬預測）已知（e，-辦）（尤2-ox+l”0,貝壯的可能取值有（）

兀

A.-eB.In6C./D.-

2

12.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）若不等式1皿+6-改120恒成立，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，

則2的值可能為（）

a

A.e-1B.e-2C.-e-1D.-e-2

13.（多選題）（2023?全國?高三專題練習）已知尤>0時，（e，-ax-b-c）（G+6-lnx）Z（）,貝I」（）

A.當c<2時，a+lna>cB.當c<2時，〃+lnq>2c-3

C.當c>3時，a-^-lna<cD.當c>3時，a+ln〃<2c-3

14.（多選題）（2023?吉林長春?東北師大附中?？寄M預測）已知y=ln2x,x+y=2,則（）

A.e%+ey>2eB.lnx+ey>e

C.%lnx+ylny>0D.ylnx-xlny<x-y

15.（多選題）（2023?重慶?校聯(lián)考模擬預測）若實數(shù)x,y^41nx+21n（2y）>x2+8y-4,則（）

A.xy=B.x+y=A/2C.x+2y=：+V^D.x2y=1

16.（2023廣東佛山?高三佛山市第四中學?？奸_學考試）已知函數(shù)〃x）=2ae'-lnx+ln2a,對任意的正

實數(shù)x都有20恒成立，則。的取值范圍是.

17.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知f（x）是定義在（0,+8）上的可導函數(shù)，若

礦⑺一〃x）=F，/（1）=-j,且時，/（xe，）W〃x+lnx-a）恒成立，則"的取值范圍是

1Y

18.（2023.河南鄭州.統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)〃力=—+——+1,g（x）=（l+m）ex（?neR）,若

XX

〃尤）4g（x）恒成立，則實數(shù)機的取值范圍為.

19.通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

20.利用分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.

21.根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造

的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意

恒成立與有解問題的區(qū)別.

22.（2023?全國?高三專題練習）若不等式“six/-1恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為

23.(2023?全國?高三專題練習)若xNO,不等式e*+eT-履-220恒成立，則參數(shù)％的取值范圍為

24.(2023?全國?高三專題練習)若對于x21,不等式a(x-l)-lnx20恒成立，則參數(shù)。的取值范圍為

25.(2023?全國?高三專題練習)設實數(shù)相＞0,若對Vx?0,E),不等式e"'。-一^20恒成立，則相的取值

m

范圍為.

26.(2023?遼寧沈陽?高三校聯(lián)考學業(yè)考試)已知實數(shù)a＞0,函數(shù)/(x)=l+ln(依)，g(x)=er-a.

(1)若不等式恒成立，求。的取值范圍；

⑵若不等式〃x)Wx-g(x)恒成立，求a的取值范圍.

27.(2023?浙江寧波?高三期末)已知函數(shù)/(尤)=-Zinx,k>0.

⑴當左=3時,求曲線＞=/(尤)在點(1"⑴)處的切線方程;

⑵若對Vxe(O,l),/(x)＜0恒成立，求k的取值范圍；

心“丫2―1

(3)求證：對Vxe(0,l),不等式二」恒成立.

x+1xlnx

28.(2023.全國?高三專題練習)已知〃x)=x+根，g(x)=ln(x+l).

(1)若/(x)2g⑺恒成立，求利的取值范圍；

⑵若不等式ae'-lna+l)+lna-120在區(qū)間(Te)上恒成立，求a的取值范圍.

29.(2023?江蘇泰州?高三江蘇省泰興中學校聯(lián)考階段練習)己知函數(shù)/(x)=e，-?，其中。＞0.

⑴若對一切xeR,/(幻21恒成立，求a的值；

⑵在函數(shù)Ax)的圖像上取定點4(占,/(入)),以元2，/。2))(者＜尤2),記直線的斜率為3證明：存在

為?占,々)，使/'(%)=%恒成立.

30.(2023?陜西渭南?高三?？茧A段練習)已知函數(shù)"力=瞪-2如-九

(1)當xNO時，恒成立，求機的取值范圍；

⑵若曲線g(x)=/(x)+2〃zx+根的一條切線為丫=2府+加，證明：當.>b時，〃")恒成

a-b

立.

31.(2023?山西晉中?高三?？茧A段練習)已知函數(shù)/(x)=Jd,g(x)=elnx.

⑴設函數(shù)尸(x)=/(x)—g(x),求P(x)的單調區(qū)間;

(2)若存在常數(shù)左，加,使得/(x)2Ax+〃z,對xeR恒成立，且g(x)4履+〃z,對xw(0,+<?)恒成立，則稱

直線尸區(qū)+”為函數(shù)〃力與g(x)的“分界線”,試問:〃x)與g(x)是否存在“分界線”？若存在，求出“分

界線”的方程；若不存在，請說明理由.

32.(2023?重慶九龍坡?重慶市育才中學?？寄M預測)已知函數(shù)〃x)=±±+(b-2)尤+2.

a

(1)當。=6=1時，求曲線>=/(尤)在(0"(0))處的切線方程；

⑵當a=2時，/(x)N3恒成立，求6的值；

(3)當a=e2,x>2時，/。)>61n[a(x-l)]恒成立，直接寫出b的取值范圍.

33.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=￡」(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

ex+l

(1)若不等式/(x)>3恒成立，求實數(shù)X的取值范圍；

e+1

⑵若不等式/(X)<以+g—aln2在xe(In2,+8)上恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

34.(2023?黑龍江大慶?高三鐵人中學校考開學考試)己知/(x)=ei-x.

(1)求證：對于X/xcR,7(%)20恒成立；

⑵若對于Vxw(O,y),有〃外泊(尤2一尤_尤111*恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

35.(2023?浙江舟山?高三舟山中學?？茧A段練習)己知函數(shù)/(了戶％2-2龍+alnx(aeR)

(1)當a>0時，求函數(shù)〃尤)的單調區(qū)間；

(2)若函數(shù)有兩個極值點%,%(%<%)，不等式/(不)2儂2恒成立，求實數(shù)小的取值范圍;

(3)若〃x)Wxei-2在。什⑹恒成立，求正實數(shù)。的取值范圍.

能力拓展07不等式恒成立問題

【命題方向目錄】

命題方向一：直接法

命題方向二：端點恒成立

命題方向三：端點不成立

命題方向四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離

命題方向五：洛必達法則

命題方向六：同構法

命題方向七：必要性探路

命題方向八：機以，加沅函數(shù)問題

命題方向九：構造函數(shù)技巧

命題方向十：雙變量最值問題

【方法技巧與總結】

1、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：

（1）通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

（2）利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題；

（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)

后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論

法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進行求解：

（1）VxeD>w</（x）<^m</（x）niin;

⑵VxeD-

（3）尤）o機1nM；

（4）3xeD，m>f{x）<^m>f{x}^.

3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：

一般地，已知函數(shù)）=xe[a,Z>],y=g（x），xe.

⑴若％e[a,6],Vx2e[c,d],有占)<g(%)成立，則了⑴1mx<g(x)1nhi；

⑵若可,3X2e[c,d],有"xj<g(%)成立，則“對111ax<g(x)1n；

⑶若叫e[a,6],3X2G[C,<7],有/⑷<g(x?)成立，則〃％1Vg(尤)一；

(4)若V占e[a,6]，即?c,d]，有）=g（%）成立，則〃尤）的值域是g（x）的值域的子集.

4、法則1若函數(shù)/（尤）和g（x）滿足下列條件:

(1)lim/(x)=O及l(fā)img(x)=O；

x—>a'7x—'/

(2)在點1的去心鄰域(Q—￡,Q)U(Q,Q+￡)內，/(%)與g(%)可導且量(%)工0；

C)r廣(x)1

(3)lim-=19

ig'(x)

那么lim學=lim34=/.

xeg(x)xf"g'(x)

法則2若函數(shù)/(無)和g(x)滿足下列條件：(1)吧〃力=0及則g(x)=O；

(2)3A>0,/(彳)和8(尤)在(-8,4)與(4+00)上可導，且/(x)20；

(3)lim--——=19

那么lim夕=lim34=/.

xf°°g⑴

法則3若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：

(1)lim/(x)=co^limg(x)=oo.

x->a'/x—>a'/

(2)在點Q的去心鄰域(〃-￡,〃)口(〃,〃+￡)內，/(X)與g(%)可導且g<X)W0；

那么lim里=lim△4=/.

注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意：

(1)將上面公式中的X->CL9X->H~OO,X->_CO，1_*〃+，1_>/洛必達法則也成立.

(2)洛必達法則可處理9,藝，0.8，/，0n。，0%00-00型.

0008U

(3)在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足°,0.OO，/，00°,0°,8-8型定式，否則

濫用洛必達法則會出錯.當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，這時稱洛必達法則不適用，應

從另外途徑求極限.

(4)若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

iim44=iim￡H=lim￡H,如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.

ig(x)x->ag(x)Xfog〃(x)

【典例例題】

命題方向一：直接法

例1.(2023?遼寧?高三本溪高中校聯(lián)考階段練習)設a>0且a/1,函數(shù)〃耳=4+/，

(g(x)=lnx+--

⑴證明：g(x)20恒成立；

⑵若對Vxe(—,0),恒成立，求a的取值范圍.

【解析】(1)證明：g(%)的定義域為(0,+8)，且g'(%)=?,

當g'(x)>0時，x>l,g'(x)<0時，0cx<1,

所以g(x)在區(qū)間(0,1)內單調遞減，在區(qū)間。,+⑹內單調遞增.

故g(%)的最小值為g。)=0,因此g(x)20恒成立.

22

(2)①當0<1<1時，取X<logq—,貝！)/(%)>優(yōu))一，即Ovavl不符合題意;

aa

22

②當，>2時，取log.一<%<0,則"X)>優(yōu)>—,即，>2不符合題意；

aa

12i即g+14log(2一a，”)對Vxe(，》,0)恒成立.

③當1<〃K2時，由優(yōu)+所以涼+1<2_優(yōu)+1，a

令/=優(yōu)+i,0<t<a,且尤=log”(-1,所以logar+logfl(2-/)-logflflog“(2—f)20對X/fe(0,a)恒成立.

設/z(r)=log,J+log"(2—r)—log/log.(2T),0<t<a,

l一]og”(2T)?log/T

則〃(f)=

tina(2-，)lna，

lTog“(2一*log“I

設加(f)=

tina(2-f)lna，

I2-t

-------FInf2—1\—Inci-------bln%—Inci

貝Umf(t}=--------------+———2----------，

/([no)(2-。(ina)

由(1)知g—+ln?-ln2>0,

2

2-t

以----FIn/一InaNIn2—Ina20,

2-t

同理，由g20可推出----i-ln(2-r)-lna>0,

所以加⑴20,即〃⑺在re(0,a)上單調遞增,

又〃(1)=0,

所以力?)在(0,1)內單調遞減，在(1,。)內單調遞增,

故咐2%(1)=0成立.

綜上4的取值范圍為。,2].

例2.(2023?江蘇鎮(zhèn)江?高三江蘇省鎮(zhèn)江中學?？茧A段練習)已知函數(shù)

/(x)=-x2+—x+2(m>0),g(x)=e"-3x2+1,若不等式g(x)>2/(x)-x2-11對一切xeR恒成立，貝！J正整數(shù)

加的最大值為()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】由題意不等式g(x)>2/(x)-x2-ll對一切xeR恒成立，

即e*-如+8>0,(加>0)對一切xeR恒成立，

令/?(%)=e"-mx+8,則/i'(x)=ex-m,

當JTvIn根時，〃(%)<0；當x>ln機時，/⑶〉0,

即//(%)=e"-如+8在(-co,Inm)上單調遞減，在(Inm,+co)上單調遞增,

故'(1需=^(lnm)=m-mlnm+8,則m—znln機+8>0需恒成立;

令(p(m)=m—rrAnm+8,/.——Inm,

當0<m<1時，j5)>0,當%>1時，j%)vo,

則夕(刈在(0,1)上單調遞增,在(1,內)上單調遞減，

且"(根)max=。(1)=9>0,當機>0,w。時,(p(m)=m—mlnm+88>0,

取m=e?e(7,8)，e(e?)=8-e2>0,(2.7<e<2.8,/.7<2.72<e2<2,82<8),

取相=8e(8)=8(2-In8)<0,

即夕O)在(1,+00)存在唯一的零點外,且%e(7,8),

故根e(O,%)時，<p(m)>0,時，(p(jn)<0,

故正整數(shù)機的最大值為7,

故選:C

命題方向二：端點恒成立

例3.(2023?四川綿陽?四川省綿陽南山中學?？寄M預測)設函數(shù)

/(%)=gsinx—xcosx0<x<^,g(x)-/(x)+-^-sinx-ar3.

⑴求“X)在X=￡處的切線方程;

(2)若任意尤目0,y)，不等式g(x)VO恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

【解析】(1)丈=日時，/[7)=又/'(x)=^sinx-〈cos^71兀

則上=/'

切線方程為：即丁=色％+27r

22<2)24

(2)g(A:)=sinx-xcosx-ax),

貝ijg'(九)=x(sinx-3ox),又令A(x)=sinx-3ax,/zr(x)=co&x-3a,

①當3aW-l,即aV-g時，"(x)20恒成立，，從力在區(qū)間［0,+e)上單調遞增，

.?"("2/?(0)=0,g，(x"0,g(尤)在區(qū)間［0,+動上單調遞增，

Ag(x)>g(O)=O(不合題意)；

②當3a21即aNg時，"(x)V0,〃(x)在區(qū)間［0,+e)上單調遞減，

.?./7(x)vM0)=0,g〈x)V0,g(x)在區(qū)間［0,+e)上單調遞減，

g(x)4g(O)=O(符合題意)；

③當一l<3a<l,即一時，由//(0)=1—3a>0,//(兀)=—1—3a<0,

rr

/.3x0G(0,7l),使“(無0)=0,且%￡(0,%0)時，/z(x)>0,/z(x)>/z(o)=0,g(x)>0,

???g(x)在］￡(0,尤0)上單調遞增，???ga)>g(O)=O(不符合題意);

綜上，〃的取值范圍是〃《

例4.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=§x3—2x+2sinx+l,g(x)=ex(sinx+cosx+x2-2x).

⑴求證：〃力>。在工€［0,+(?)上恒成立；

⑵若關于尤的不等式g(x"力'(x)在xe［0,4w)上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)證明：因為/''("二/一2+2cosx,

設丸(力=彳2-2+2cosx,貝I］〃(x)=2x-2sinx,

令9(x)=2x-2sinx,貝?。較(x)=2-2cosx>0

所以°(x)在［0,+功上單調遞增,0(x)箜0(0)=0,即為'(x)20

所以可力在［0,+8)上單調遞增，

所以為(x)2Mo)=0,即尸(￡)20,所以〃x)在［0,+動上單調遞增，

所以/。)2/(0)=1>0

⑵當aMl時,g(x)-qf(x)>g(x)-f(x),

設戶(x)=g(x)-『(x),即F(x)=ex(sinx+cosx+x2-2xj-2%+2sinx+l

由(1)可得％2_2+2COS%之。

所以F(元)=(2cosx+Y-2)(e，-l”0,從而產(x)在［0,+動上單調遞增，F(xiàn)(x)>F(0)=0,

于是當任意的實數(shù)8⑺上^⑺在m+動上恒成立；

當時,g(x)-。'(力<8(力一/(力在［。,+8)上恒成立，

因為g(x)—/(x)N。于是g(x)-4(x)<0,故。>1不符合題意.

綜上，實數(shù)”的取值范圍為

例5.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(x)=e，-履2,其中人為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).g(x)是

/(x)的導數(shù).

(1)試討論g(x)的極值點；

(2)①若A=證明：當X..0時，/(x)..x+l恒成立；

②當無..0時，/(%)..2%+l—sin%恒成立，求左的取值范圍.

【解析】(1)g(x)=f\x)=ex-2kx,貝lJg，(x)=e"—23

當人,0時，g0)..0,「.ga)單調遞增，無極值點，

當左>0時，令g'(%)=0,貝ljJT=ln2k,

令g<x)>0,貝！J%>加2左，，g(%)單調遞增，

令gr(x)<0,貝!J冗<ln2k,「.g(%)單調遞減,

g(%)的極小值點為ln2k,無極大值點，

綜上：當鼠。時，g(x)無極值點，

當左>0時，g(%)的極小值點為歷2左，無極大值點.

(2)①證明：當"=g時，設G(x)=/-gx2-x-l(x..O),

G\x)=ex-x-1,

則G〃(x)=e，T.O,故G(x)在［0,+功上單調遞增,

故當無..0時，G(x)..G(0)=0,故G(x)在［0,+8)上單調遞增，

故當X..0時，G(x)..G(0)=0,

故當x..O時，f(x)..x+l恒成立.

②設/z(x)=ex-kx1-2x-1+sinx(x..0),

則求孫且〃(0)=0,

貝ljh\x)=ex-2kx-2+cosx(x..0),且&'(0)=0,

/z〃(x)="—2%—sinx,力〃(0)=l-2kf

/〃(x)="-cos%..0,貝!在［0,+8)上單調遞增，

當鼠;時，h"(.O)=l-2k..O,由于〃'(x)在［0,+8)上單調遞增，

則當X..0時,〃'(力魁'(0)0,則〃(力在［0,+動上單調遞增，

故〃(x)../0)=0,則〃(x)在[0,+8)上單調遞增,

故〃(尤)..〃(0)=。，符合題意，

當％〉工時，〃”(0)=1—24<0,

2

利用(1)中已證結論可得

1+2t

由于〃'(x)在[0,+8)上單調遞增，〃”(1+2k)=e-2^-sin(l+2左)..1+(1+2%)-2左一1>0,

故必然存在％e(0,1+2k),使得xe(0,飛)時,h"(O)<0,

則Mx)在(0,%)上單調遞減，

故當工€(0,%)時，〃(x)<〃(0)=0,

則MX)在(0,%)上單調遞減，

則當xeQ%)時，h(x)<h(O)=0,

綜上，%的取值范圍為(-8,1].

命題方向三：端點不成立

例6.(2023?浙江舟山?舟山中學校考模擬預測)已知函數(shù)/(》)=依-lnx-1.

⑴若〃x)20恒成立，求。的最小值；

(2)求證：-——Fx+lnx-1>0；

X

⑶已知k(e~x+x2)>x-x\nx恒成立,求人的取值范圍.

【解析】⑴八幻20等價于。2電±土令g(》)=21(尤>0),g'(x)=￥，當xe(0,l)時，g'(x)>0,當

XXX

%￡(1,+8)時，g(工)<0.則g(%)在(0,1)上單調遞增，在(l,+°o)上單調遞減，.?.g(%)max=g6=l,則“21,

的最小值為1.

(2)證明：當。=1時，由(1)得了之lnx+1,即，.令^—=t,貝U

x

一x—Inx=In/.—之一x—Inx+1,艮|J----Fx+lnx—1^0.

xx

e~x11

%l-]nx-------Fx+lnx-1

(3)、左(""+兀2)2％一%11%恒成立，即%—+x)21—lnx恒成立，k>~=1一一-——--------,由

1Xee

-----FX-----FX

XX

_x-----Fx+Inx-1

(2)知J+x+lnx-120恒成立，1一二_；-------<1,：.k>l,故左的取值范圍為口,+8).

xe,

-----FX

X

例7.(2023?江蘇南京?高二南京市中華中學?？计谀?已知函數(shù)f(x)=lnx+lna+m-l)x+2(a>0).

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若不等式e->“x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)/⑴的定義域為(0,入)，f\x)=-+a-\,

X

當時，f\x)>0,/(九)在(0,+8)上為增函數(shù)；

當Ovavl時，由/'(%)>0,得0<x<----,由/'(X)<0,得x>----,

1—a1—a

所以/(X)在(0,一一)上為減函數(shù)，在(J—,+8)上為增函數(shù).

1-a1—a

綜上所述：當時，/(X)在(0,+8)上為增函數(shù)；當Ovavl時，/(九)在(0,一一)上為減函數(shù)，在

1-a

(J—,+8)上為增函數(shù).

1-a

(2)e"-2>/(x)oe無一2>\nx+\na+(a-l)x+2oex-2+x-2>ln(ax)+ax

=Inex-2+ex-2>ln(ax)+ax,

設g(x)=ln%+%,則原不等式恒成立等價于g(ef>g(ax)在(0,+s)上恒成立,

gXx)=-+l>o,g(無)在(0,+8)上為增函數(shù)，

X

則g(e"-2)之g(ax)在(0,+oo)上恒成立,等價于ex-2>ax在(。,+8)上恒成立,

e“一2

等價于。wJ在(0,E)上恒成立

X

人7/、e>2exx-e%-2ex(x-1)

令/z(x)=---(%>0),h(x)=----------=---------

xxx

令〃(%)<0,得。<尤<1,令/(x)>0,得了>1,

所以久劃在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,y)上為增函數(shù),

所以為。)min=W)=L故。<”J.

ee

例8.(2023?江西?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)/(%)=刀-％+1.

⑴求了⑴的單調區(qū)間；

(2)若對于任意的左?0,y)，/(x)+T+xWae'恒成立，求實數(shù)〃的最小值.

【解析】(