重難點突破03直線與圓的綜合應用

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................2

題型一：距離的創(chuàng)新定義.........................................................2

題型二：切比雪夫距離...........................................................3

題型三：曼哈頓距離'折線距離、直角距離問題.....................................4

題型四：閔氏距離問題...........................................................5

題型五：圓的包絡線問題.........................................................6

題型六：阿波羅尼斯圓問題、反演點問題、阿波羅尼斯球問題.........................7

題型七：圓中的垂直問題.........................................................8

題型八：圓的存在性問題.........................................................9

03過關(guān)測試.....................................................................9

亡法牯自與.柒年

//\\

直線與圓的綜合應用方法主要包括幾何法和代數(shù)法。

題型一：距離的創(chuàng)新定義

【典例數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為

幾何問題加以解決，例如，與］（%-。尸+6-8）2相關(guān)的代數(shù)問題,可以轉(zhuǎn)化為點A（x,y）與點5（。力）之間

距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，可求得方程+4%+5+_4X+5=6的角星是（）

A.2B.土衛(wèi)C.二D.±^-

4455

【典例1-2】人臉識別中檢測樣本之間相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和

余弦距離.若二維空間有兩個點A（X，X）,5（程%＞則曼哈頓距離為：d（A5）=歸—刃+lx—

余弦相似度為：cos（A,5）=I?,x%%

+，余弦距離為1—cos（A,a）.

J石+y「7

若A（T，2），C

,貝5之間的余弦距離為（）

A."旦B.i+好C.1_&D.i_好

5555

；心"）=二3+3二倉

'）加5出55

【變式1-1】費馬點是指三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點，當三角形三個內(nèi)角均小120。時，

費馬點與三個頂點連線正好三等分費馬點所在的周角，即該點所對三角形三邊的張角相等，均為120。.根據(jù)

以上性質(zhì)，已知4-2,0),8(2,0),C(0,4),尸為VABC內(nèi)一點,記〃尸)=|即+|尸到+|尸。,則〃尸)的

最小值為()

A.2+B.4+26

C.4+班D.2+舊

【變式1-2］以三角形邊3C,CA,AB為邊向形外作正三角形3c4',CAB',ABC,則A4,,BB'，

CC'三線共點，該點稱為VABC的正等角中心.當VABC的每個內(nèi)角都小于120。時，正等角中心點P滿足

以下性質(zhì)：

(1)?APB2APC2BPC120?；⑵正等角中心是到該三角形三個頂點距離之和最小的點(也即費

馬點).由以上性質(zhì)得7%2+(y-l)2+"Y+(y+l)2+7(x-2)2+y2的最小值為

【變式1-3］己知平面上的線段/及點尸，任取/上一點Q,線段PQ長度的最小值稱為點尸到線段/的距離,

記作或尸,/).請你寫出到兩條線段4，4距離相等的點的集合。=｛尸1或尸，G=d(P,?，其中、=AB,

l2=CD,A,B,C,。是下列兩組點中的一組.對于下列兩種情形，只需選做一種，滿分分別是①3分;

②5分.①A(l,3),8(1,0),C(-l,3),￡>(-1,0)；②A(l,3),B(l,0),C(-l,3),。(一1,—2).你選擇第

種情形，到兩條線段乙，，2距離相等的點的集合。=.

題型二：切比雪夫距離

【典例2-1］在平面直角坐標系中淀義4(4,3)=11^｛卜］-切|%-為|｝為兩點4(%，%)、8(%2，%)的“切比

雪夫距離”，又設點P及/上任意一點Q，稱"(P，Q)的最小值為點P到直線/的“切比雪夫距離”記作給

出下列四個命題：

①對任意三點A,民C,都有1(。,4)+刈。,3)2〃(43);

②已知點P(3,l)和直線/：2x-y-1=0,則4(尸，Z)=I；

③到原點的“切比雪夫距離”等于1的點的軌跡是正方形；

其中真命題的是()

A.①②B.②③C,①③D,①②③

【典例2-2】在平面直角坐標系中，定義d(AB)=l占-%直1%-必1為兩點人(演,%)、8(%，%)的“切比雪夫

距離”，又設點P及直線/上任意一點。，稱”(P，Q)的最小值為點尸到直線/的“切比雪夫距離”，記作以尸,0,

給出下列三個命題：

①對任意三點A、B、C,都有磯C,A)+d(C,B)2d(AB)；

4

②已知點P(3,l)和直線/：2x-y-l=0,則d(P,/)=§；

③定義。（0,0）,動點p（x,y）滿足d（P,O）=l,則動點P的軌跡圍成平面圖形的面積是4；

其中真命題的個數(shù)（）

A.0B.1C.2D.3

【變式2-1］（2024.上海.二模）在平面直角坐標系中,定義d（A,B）=max{|x1T2為兩點4（再，％）、

3（%，%）的“切比雪夫距離”，又設點P及/上任意一點Q,稱以RQ）的最小值為點P到

直線/的“切比雪夫距離”，記作d（PJ）,給出下列三個命題：

①對任意三點A、B、C,都有d（C,A）+d（C,8）24（4,8）；

4

②已知點尸（3,1）和直線/：2尤-y-l=0,則d（P,/）=g；

③定點耳（-c,0）、Q（c,0）,動點P（x,y）滿足|d（尸，居）（尸,E）|=2a（2c>2a>0）,

則點尸的軌跡與直線、=左（左為常數(shù)）有且僅有2個公共點；

其中真命題的個數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

【變式2-2］（2024.高三.上海浦東新?期中）在平面直角坐標系中，定義d（A,3）=max{|%-司，耕-可}為兩

點4（%,%）、3（%,%）的“切比雪夫距離”，又設點尸及/上任意一點。，稱〃（P，Q）的最小值為點P到直線/

的“切比雪夫距離”，記作d（尸,/）,給出四個命題，正確的是—.

①對任意三點A、B、C,都有d（C,A）+d（C,8）2d（A,B）；

②到原點的“切比雪夫距離”等于1的點的軌跡是正方形；

4

③已知點尸（3』）和直線/：2x-y—1=。，則刈尸,/）=§；

④定點E（-c，。）、瑪（c,0）,動點P（x,y）滿足|d（尸/）V（P，B）|=2a（2c>2a>0）,則點P的軌跡與直線

y=k（左為常數(shù)）有且僅有2個公共點.

題型三：曼哈頓距離、折線距離、直角距離問題

【典例3-1］（多選題）“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標明兩個點在標準坐

標系上的絕對軸距總和，其定義如下：在直角坐標平面上任意兩點&（玉,%）,鞏%，%）的曼哈頓距離

"（43）=|玉_司+帆_即,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點P（2,4）,Q（-2,1）,則d（P,Q）=7

B.若點M（—1,O）,N（L。），則在x軸上存在點尸，使得d（P,M）+d（尸,N）=l

C.若點點P在直線無一2、+6=0上，則d（P,“）的最小值是3

D.若點M在圓/+產(chǎn)=4上，點N在直線2x-y+8=0上，則d（",N）的值可能是4

【典例3-2】（2024.高三.江蘇無錫.開學考試）“曼哈頓距離”是人臉識別中的一種重要測距方式，其定義如

下：設4（%,%）,8（%,%），則A,■8兩點間的曼哈頓距離"（48）=卜-工2%|%-%卜已知"（4,6）,點N

在圓C:x2+y2+6x+4y=0上運動，若點p滿足〃（加,尸）=2,則|/W|的最大值為.

【變式3-1］在平面直角坐標系中，定義d（P,。）■玉-々|+|乂-%|為兩點尸（士,%）,。（%,%）之間的“折

線距離”，則圓（％-4），5-3）2=4上一點與直線無+丫=。上一點的“折線距離”的最小值是—.

【變式3-2］（2024.廣東廣州.二模）在平面直角坐標系中,定義d（AB）=2—旬+帆―為4（%，無）,

3（為,%）兩點之間的“折線距離''.已知點。（L0），動點尸滿足d（Q,P）=1，點M是曲線>=與上任意一點,

則點P的軌跡所圍成圖形的面積為,d（P,M）的最小值為

題型四：閔氏距離問題

【典例4-1】（2024?全國?模擬預測）閔氏距離QMinkowskidistance）是衡量數(shù)值點之間距離的一種非常常

見的方法，設點A、3坐標分別為（孫兀），（々，/），則閔氏距離

與（A,2）=佃-X?『+1W）%（peN*）.若點A、8分別在y=e，和y=xT的圖像上，則q（A3）的最

小值為（）

A.21/pB.2PC.翻D.ep

【典例4-2］（2024?高三?安徽阜陽?期末）閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設兩

組數(shù)據(jù)分別為A=（q,2,…0,）和8=（4也，?e3這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為

%（/=后瓦-4什，其中q表示階數(shù)?現(xiàn)有下列四個命題：

_k=1_

①若A=（1,2,3,4）,3=（0,3,4,5）,則^（1）=4；

②若4=（。,。+1）,3=（萬一1］），其中a,6eR,則［加。）=4?（2）；

③若A=（a,>）,8=（c,d）,其中q,b,c,deR,則1加（1）N慮膜？）；

④若4=（。,"）,3=3力-1）,其中a,6eR,則4tB（2）的最小值為延.

8

其中所有真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式4-1］（2024.全國.模擬預測）在直角坐標系尤0中,已知點A1,%）,3（”），記

外（45）=（卜-//+也-％『），其中P為正整數(shù)，稱4.（A,3）為點A,8間的M距離.下列說法正確的

是（）.

A.若4（0,A）=1,則點A的軌跡是正方形

B.若&（A,3）=%（4,3）,則A與5重合

C.4（AS）＜V26?2（A,B）

D.4（48）24（4,3）

【變式4-2］（多選題）閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設兩組數(shù)據(jù)分別為

4=…,凡）和3=（偽也，…也），這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為“（/=力處-研"，其中4表示

_k=l_

階數(shù).下列命題中為真命題的是（）

A.若A=（l,2,3,4）,5=（0,3,4,5）,則%（1）=4

B.若A=（a,a+1）,B=（b-l,b）,其中4,Z?eR,則“⑴二心⑵

C.若A=（a,b）,B=（c,d）,其中〃，b,c,deR,則服⑴2“（2）

D.若4=（“,/）,B=（bf,其中0,beR,則4tB（2）的最小值為還

8

題型五：圓的包絡線問題

【典例5-1】（多選題）設有一組圓C.：（尤-4+l『+（y-3上『=2/（左eN*）.下列四個命題中真命題的是

A.存在一條定直線與所有的圓均相切

B.存在一條定直線與所有的圓均相交

C.存在一條定直線與所有的圓均不相交

D.所有的圓均不經(jīng)過原點

【典例5-2］（多選題）設有一組圓Q:（x-l）2+（y-左）？=/（左eN*）.下列四個命題正確的是

A.存在左，使圓與無軸相切

B.存在一條直線與所有的圓均相交

C.存在一條直線與所有的圓均不相交

D.所有的圓均不經(jīng)過原點

【變式5-1］（多選題）已知圓M:（尤-l-cos0）2+（y-2-sin6）2=1,直線/：kx-y-k+2=Q,下面五個命

題，其中正確的是（）

A.對任意實數(shù)左與仇直線/和圓〃有公共點；

B.對任意實數(shù)左與0,直線/與圓M都相離；

C.存在實數(shù)％與仇直線/和圓M相離；

D.對任意實數(shù)左，必存在實數(shù)仇使得直線/與圓M相切：

E.對任意實數(shù)仇必存在實數(shù)左，使得直線/與圓M相切；

【變式5-2］（多選題）已知圓M：（x-1-cos6＞）2+（_y-sin6（）2=1,直線/：kx-y-k=O,下面命題中正

確的是（）

A.對任意實數(shù)人與夕，直線/和圓加有公共點；

B.對任意實數(shù)人與。，直線/與圓加都相離；

C.存在實數(shù)上與。，直線/和圓加相交；

D.對任意實數(shù)3必存在實數(shù)凡使得直線/與圓M相切.

題型六：阿波羅尼斯圓問題、反演點問題、阿波羅尼斯球問題

【變式5-3］（多選題）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學

三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點A,8的距離之比為定值幾（彳＞0,且彳21）的點的軌跡是圓，

PA1

此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系xOy中，A（-2,0）,8（4,0）,點尸滿足用='.設點P的軌跡為

曲線C,則下列說法正確的是（）

A.C的方程為（x+4）2+；/=16

B.點A8都在曲線C內(nèi)部

C.當A,aP三點不共線時，則=

D.若0（2,2）,則|即+2|叫的最小值為4君

【變式5-4】圓的反演點：已知圓。的半徑是「，從圓心。出發(fā)任作一條射線，在射線上任取兩點

若|加口。兇=/,則M,N互為關(guān)于圓。的反演點.圓的反演點還可以由以下幾何方法獲得：若點“在圓

。外，過M作圓的兩條切線，兩切點的連線與加的交點就是點M的反演點；若點M在圓。內(nèi)，則連接

OM,過點M作加的垂線，該垂線與圓兩交點處的切線的交點即為M的反演點.已知圓O:尤2+V=4,

點M（l,3）,則M的反演點的坐標為.

【變式5-5】阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，

他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點尸到兩個定點的距離之比為常數(shù)幾（4＞0,且/*1）,那么點尸的軌跡為圓，

這就是著名的阿波羅尼斯圓.已知圓C：x2+y2=24,點“（2,2）,平面內(nèi)一定點N（異于點M）,對于圓

上任意動點A,都有比值|AN|為定值，則定點N的坐標為—.

【變式5-6】阿波羅尼奧斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱亞歷山大時期數(shù)學三巨匠.他發(fā)

現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A,B的距離之比為定值“4x1）的點的軌跡是圓.”人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓,

簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系k。了中，A（-3,1）,8（-3,5）,點尸是滿足1pBi=3|PA|的阿氏圓上的任意

一點，則該阿氏圓的方程為;若。為拋物線C：V=4x上的動點，。在y軸上的射影為則

IPB\+3（|PQ\+\QM\）的最小值為.

【變式5-7］如圖，己知平面eJL〃，a/3=l,A、8是直線/上的兩點，C、。是平面夕內(nèi)的兩點，且

DA±l,CBLl,AD=3,AB=6,CB=6.P是平面a上的一動點，且直線尸￡>,PC與平面a所成角

相等，則二面角P-3C-。的余弦值的最小值是—.

【變式5-8］如圖，在正方體A8C0-A與GR中，AB=3>5,點瓦尸在線段。片上，S.DE=EF=FBi,

PEQE

點M是正方體表面上的一動點，點尸，。是空間兩動點，若方=詼=2且閘=4,則的最小

值為一.

題型七：圓中的垂直問題

【變式5-9］（2024?海南?模擬預測）已知直線4：x-3y+l=O,直線4過點（1,0）且與直線《相互垂直，圓

C:x2+y2-4x-2y-3=0,若直線4與圓C交于M,N兩點，則卜.

【變式5-10］（2024.全國.模擬預測）已知AC,BD為圓。:/+/=9的兩條相互垂直的弦，垂足為

M（2,2）,則的最大值為一.

【變式5-11］（2024?高三?北京?期中）已知AC、3D為圓O：x2+y2=9的兩條相互垂直的弦，垂足為

則四邊形ABCD的面積的最大值為

【變式5-12］過定點”（L2）作兩條相互垂直的直線（、L設原點到直線h4的距離分別為4、d2,則

4+4的最大值是

【變式5-13］（2024.江蘇.二模）在平面直角坐標系xOy中，圓C:（尤-⑼。+，=嚴（加>已知過原點。且

相互垂直的兩條直線4和3其中4與圓C相交于A,B兩點，4與圓C相切于點。.若=則直線乙

的斜率為.

題型八：圓的存在性問題

【典例6-1】(2024?江蘇南京?模擬預測)已知圓C：L-l)2+y2=80,點尸在直線/：y=履+7/eR)上.若存在

過點尸的直線與圓C相交于A,B兩點，且|AB|=16,AP=*PB,則％的取值范圍是.

【典例6-2】(2024?黑龍江三模)已知圓C：(x-l)2+(y-4)2=r2(r>0),A(-3,0),B(-l,0),若C上存在

點尸，使得/AP3=90。，則r的取值范圍為.

【變式6-1】已知圓C:(x-6/+(廣8)2=1和兩點A(0,-㈤,B(0,m)(m>0).若圓C上存在點P,使得

AP±BP,則加的最大值為.

【變式6-2](2024.重慶?模擬預測)已知圓O:*+y2=8及圓A:(x-a)2+(y+l)2=1,若圓A上任意一點P,

圓。上均存在一點Q使得NOPQ=45。,則實數(shù)a的取值范圍是—.

【變式6-3](2024?廣東韶關(guān)?模擬預測)已知拋物線C：V=4x的焦點為R過尸且斜率為7的直線/交

拋物線C于A,2兩點，則以線段AB為直徑的圓。的方程為—；若圓。上存在兩點P,Q,在圓T：

(x+2)2+(y+7)2=/(0>0)上存在一點M,使得/加。=90。，則實數(shù)°的取值范圍為一.

0

過關(guān)測試

1.定義平面內(nèi)任意兩點尸(4乂),。(9,%)之間的距離dPQ=\x2-xi\+\y2-yi\,稱為尸。之間的曼哈頓距

離.若點A在直線y=gx-2上，點B為拋物線y=/+2x上一點，則AB之間的曼哈頓距離的最小值為

()

A23gR69?233

4040162

2.“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標平面上任意兩點

A(如%),3(%,%)的曼哈頓距離為:〃(4,3)=|再-%|+|%-%|.已知點河在圓0：1+丁=1上，點"在直

線/:3x+y-9=0上，則d(MN)的最小值為()

A9亞9710「18-2歷°Vw

A.------RD.---------11U.-------------nU.J-----

101053

3.“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，其定義如下：在直角坐標平面上任意兩點

A（玉,M）,3（孫％）的曼哈頓距離"（48）=|王-刈+|乂-%|，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點尸（2,4）,。（一2,1）,貝iJd（P,Q）=6

B.若點一（-1,O）,N（1,O）,則在x軸上存在點P,使得d（P,M）+d（P,N）=l

C.若點點尸在直線》-2丫+6=0上，則d（P,M）的最小值是5

D.若點M在圓無、必=4上，點N在直線2x-y+8=。上，則d（跖N）的值可能是4

4.（2024.福建泉州?模擬預測）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技

術(shù).在人臉識別中，主要應用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦

距離.設AQ，x）,B（x2,y2）,則曼哈頓距離d（AB）=|%-司+瓦-引，余弦距離e（A8）=l-cos（A,3）,

其中cos（A,8）=cos（OA,O?（。為坐標原點）.已知d（M,N）=l,則e"N）的最大值近似等

于（）

（參考數(shù)據(jù)：&?百a2.24.）

A.0.052B.0.104C.0.896D.0.948

5.（2024.重慶沙坪壩?模擬預測）十九世紀著名德國猶太人數(shù)學家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點P&,%）,

。（孫力）的曼哈頓距離為。（尸，。）=%-司+卜-對?我們把到三角形三個頂點的曼哈頓距離相等的點叫“好

點”，已知三角形VABC的三個頂點坐標為A（2,4）,3（8,2）,C（12,10）,貝|VABC的“好點”的坐標為（）

A.（2,4）B.（6,8）C.（0,0）D.（5,1）

6.在平面直角坐標系中，設點P（x,y）,定義［OP］=k|+|y|,其中。為坐標原點.對于下列結(jié)論：

（1）符合［。］=1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2；

（2）設點尸是直線：氐+2y-2=0上任意一點，貝葉。尸］=馬5；

LJmin5

（3）設點P是直線：丁=履+1（丘R）上任意一點，則“使得［OP］最小的點P有無數(shù)個”的充要條件是

iik=±r；

2

（4）設點P是橢圓\+y2=l上任意一點，則［。尸］四=5.

其中正確的結(jié)論序號為（）

A.（1）、（2）、（3）B.（1）、（3）、（4）

C.（2）、（3）、（4）D.（1）、（2）、（4）

7.設2（巧,/）,6（均,九）為平面直角坐標系上的兩點，其中乙，%,xB,%均為整數(shù).若

瓦-“+瓦-%|=3,則稱點3為點A的“相關(guān)點”.已知點R是坐標原點。的“相關(guān)點”，點2是點R的“相

關(guān)點”，點鳥是點鳥的“相關(guān)點”，……，依此類推，點取23是點私22的“相關(guān)點”.注：點人（王，%），

B值,%）間的距離|AB|=’（無2-%）2+（%-%）2則點。與點4）23間的距離最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

8.定義：平面直角坐標系中，點P（x,y）的橫坐標x的絕對值表示為國，縱坐標y的絕對值表示為忖，我

們把點P（xy）的橫坐標與縱坐標的絕對值之和叫做點P（x,y）的折線距離，記為M|=W+N（其中的“+”是

四則運算中的加法）.若拋物線y=a?+bx+l與直線丁=龍只有一個交點已知點/在第一象限，且

2<|M|<4,令r=2〃-4a+2022,貝心的取值范圍為（）

A.2018<r<2019B.2019<r<2020

C.2020<t<2021D.2021W2022

9.（2024?浙江?模擬預測）“曼哈頓距離”也叫“出租車距離”，是19世紀德國猶太人數(shù)學家赫爾曼?閔可夫斯

基首先提出來的名詞，用來表示兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和，即在直角坐標平面內(nèi)，若

3（%,%），則A,B兩點的“曼哈頓距離”為居-引+卜-%|，下列直角梯形中的虛線可以作為

A,3兩點的“曼哈頓距離”是（）

10.（2024?安徽合肥?模擬預測）數(shù)學家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，”事實上，很多代

數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與gaj+d?相關(guān)的代數(shù)問題,可以轉(zhuǎn)化為點A（X,

y）與點B（a,b）之間的距離的幾何問題，結(jié)合上述觀點，可得方程&+6彳+1o-G-6x+10=4的解

是（）

A叵RV30「2病n4回

10555

11.設直線系M：xcos^+（y-2）sin=1（0<^<2^）,則下列命題中是真命題的個數(shù)是（）

①存在一個直線與所有直線相交；②M中所有直線均經(jīng)過一個定點；③對于任意實數(shù)〃523）,存在正〃

邊形，其所有邊均在M中的直線上；④〃中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.

A.0B.1C.2D.3

12.(2024?高三?上海浦東新?期中)設直線系M:xcos〃+(y-2)sin〃=l(0<6><2^),則下列命題中是真

命題的個數(shù)是()

①存在一個圓與所有直線相交；

②存在一個圓與所有直線不相交；

③存在一個圓與所有直線相切；

@M中所有直線均經(jīng)過一個定點；

⑤不存在定點P不在M中的任一條直線上；

⑥對于任意整數(shù)“523),存在正〃邊形，其所有邊均在M中的直線上；

@M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等.

A.3B.4C.5D.6

13.設直線系M:xcos9+(y-2)sin，=l,0<0<2^,對于下列四個命題：

(1)M中所有直線均經(jīng)過一個定點；

(2)存在定點尸不在M中的任意一條直線上；

(3)對于任意整數(shù)“，〃23,存在正〃邊形，其所有邊均在M中的直線上；

(4)M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是()

A.(2)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)

14.設直線系A(chǔ)f:xcose+(y-2)sin8=l(0<ev2%),對于下列四個結(jié)論：

(1)當直線垂直于x軸時，6=0或%;

TT

(2)當時，直線傾斜角為120。；

(3)M中所有直線均經(jīng)過一個定點；

(4)存在定點尸不在M中任意一條直線上.

其中正確的是()

A.①②B.③④C.②③D.②④

15.設有一組圓(xj+l)2+(y—3Q2=2/(ZeN*).下列四個命題：

①存在一條定直線與所有的圓均相切；②存在一條定直線與所有的圓均相交；

③存在一條定直線與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經(jīng)過原點.

其中真命題的序號是()

A.①③B.②④C.②③D.③④

16.已知直線coscr(x—l)+sincry+l=0(aeR)與圓(x-31+(y-6>=4相切，則滿足條件的直線/有

()

A.1條B.2條C.3條D.4條

17.已知直線/：xcosa+ysina—l=0(aeR)與圓(x-2y+y2=1相切，則滿足條件的直線/有()條

A.4B.3C.2D.1

18.（2024?廣西?模擬預測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期

數(shù)學三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數(shù)2（4>0且?guī)追?）,那么點P的

軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點尸到4（2,0）,5（-2,0）的距離比為百，則點尸到直線/：

2&-丁=0的距離的最大值是（）

A.3忘+2wB.2+2括C.473D.6#）

19.（2024?云南昆明?一模）在棱長均為2后的四面體ABC。中，點E為C