江蘇地區(qū)一輪復習模擬題匯編：數列-2025年高考數學核心考點突破

一、單選題

1.（24-25?江蘇漂陽?開學考試）在等差數列｛4｝中，S3=3,S6=10,S9=（）

A.13B.17C.21D.23

2.（23-24.江蘇南京.模擬預測）已知數列也｝滿足：4=[（丁）"[3，"（7卜6*）,且數列｛%｝是

遞增數列，則實數a的取值范圍是（）

A.陽B.*3）C.（2,3）D.（1,3）

3.（23-24.江蘇南京.模擬預測）若數列｛%｝是公比為4的等比數列，且Iog24+log2%=3,44。=4,

則4的值為（）

A.2B.4C.±2D.+4

4.（23-24?江蘇南京?開學考試）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數，三三

數之剩二（除以3余2）,五五數之剩三（除以5余3）,七七數之剩二（除以7余2）,問物幾何？

現有這樣一個相關的問題：已知正整數〃滿足五五數之剩三，將符合條件的所有正整數機按照從小

到大的順序排成一列，構成數列｛%｝,記數列｛4｝的前〃項和為S“，則10S：+121的最小值為（）

5〃

5.（24-25?江蘇南通?模擬預測）設兩個等比數列｛4｝,也｝的前〃項和分別為S“，T”若S"T”=n3j,

則a5b5=()

A.162B.524C.890D.1210

6.（22-23?江蘇鹽城?開學考試）南宋數學家楊輝在《詳解九章算法?商功》一書中記載的三角垛、方

垛、芻薨垛等的求和都與高階等差數列有關，如圖是一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，

1111

第三層有6個，第四層有10個，……設第〃層有凡個球，則一+—+—+LT+——的值為（）

dyd/?^^2023

4044-2021-2022-2023

A.------B.------C.------D.------

2023101120231012

ioi

7.（23-24.江蘇鹽城.模擬預測）設數列｛為｝的前〃項積為T,,滿足q,+37；=l,則（）

>=11>

275295

A.175B.185C.—D.—

22

8.（23-24.江蘇無錫.專題練習）高斯是德國著名數學家，近代數學的奠基者之一，享有“數學王子”

的稱號,用他名字定義的函數稱為高斯函數/（%）=區(qū)，其中國表示不超過x的最大整數,如[2.3]=2,

8100]

[-1.9]=-2,已知數列｛q｝滿足q=1,a2=5,?！?2+4?！?5。用，若6"=[log2%+J,S*為數列

的前“項和，貝l][S2025]=（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

二、多選題

9.（23-24?江蘇南京?模擬預測）設數列｛叫的前〃項和為%已知4=1,。用=3S“，”?N*，則（）

A.邑=4B.。6=16。4

C.數列｛%｝是等比數列D.數列｛SJ是等比數列

10.（23-24?江蘇無錫?模擬預測）己知數列｛%｝滿足4+2%++2"%”=小2向，貝|（）.

A.an=2n+2

B.｛可｝的前10項和為150

C.[（T）"%｝的前11項和為一14

D.｛寓-叫｝的前16項和為168

11.（23-24.江蘇揚州.模擬預測）己知數歹支%｝，記數列｛%｝的前〃項和為S“，下列結論正確的是（）

A.若“。用>田,〃€N”是“｛叫為遞增數歹廣的充分不必要條件

B.為等差數列”是“｛%｝為等差數列”的必要不充分條件

C.若｛%｝為等比數列，則Sa-Ss.Sg-K成等比數列

D.若｛%｝為等比數列，則｛，｝可能是等差數列

三、填空題

12.（23-24.江蘇南京.模擬預測）已知數列｛冊｝中，ai=l,a?+i=a?+?（?eN*）,則■=_.

13.（23-24?江蘇徐州?模擬預測）某同學用大小一樣的球堆積了一個“正三棱錐”，一共用了1540個

球.第1層有1個球，第2層有3個，第3層有6個球，…，每層都擺放成“正三角形”，從第2層起，

每層“正三角形”的“邊”都比上一層的“邊”多1個球，則這位同學共堆積了層.

14.（23-24?江蘇南京三模）記N；=｛1,2,3,,：〃｝eN*）,4表示4個元素的有限集，S（E）表示非空

數集E中所有元素的和，若集合/*=｛S（A）I4=N；｝,則吼j=—，若5（%“2”817,則機

的最小值為—.

四、解答題

15.（23-24?江蘇南京?模擬預測）記等差數列｛%｝的前〃項和為S“，生+%=5,%=6.設

n

（1）求耳6的值；

⑵記6為數列｛2｝的前2”項和，r”為數列代｝的前”項和，且Kz,=Z，求實數f的值.

16.（2024?江蘇徐州?三模）設數列｛。,｝的前〃項的和為s”,1=5.

（1）若｛%｝是公差為d的等差數列，且。6，%，。9成等比數列，求〃；

2

⑵若S1,=nan,求證：S“<6.

17.(23-24?江蘇南京?模擬預測)設｛an｝的前幾項和為S,(〃eN*),且S“=2a”-2,數列出?｝的通項

公式為bn=n.

(1)求｛%J的通項公式；

(2)設=%+以，數列｛4｝的前〃項和為<("eN*),求滿足7；>2角+1成立的”的最小值;

。法”,"為奇數

(3)對任意的正整數〃，設g=(3d-2)4石仲粕，求數列｛1｝的前2w項和.

----------，"為偶數

〔他+2

18.(2024?江蘇無錫?模擬預測)已知數列｛5｝滿足q=；,(l-g)4+i=:.令2=a“_g.

(1)求證：數列為等差數列;

⑵求證：^+J+-+^<n+Z-

19.(2024?江蘇鹽城?模擬預測)在數列｛凡｝的第％項與第k+1項之間插入七個1,稱為變換數列

｛a,,｝通過變換r所得數列記為(%),數列a(%)通過變換r所得數列記為(4)，…，以此類推,

數列(q)通過變換r所得數列記為(凡)(其中〃22).

(1)已知等比數列｛?！埃氖醉棡?,項數為機，其前加項和為s,“，若鼠=2a,“-1=255,求數列口(?)

的項數；

(2)若數列｛4｝的項數為3,(4)的項數記為或.

①當“22時，試用或t表示切；

②求證：

參考答案:

1.c

【分析】由等差數列性質可知S3,S6-S3,S9-§6仍為等差數列，代入即可求解.

【詳解】由等差數列的性質可知，

在等差數列｛%｝中S3,s6-s3,S9-S6仍為等差數列，

所以2&-53）=S3+S9—$6,

所以品=21.

故選：C.

2.C

【分析】由數列的單調性求解.

3—。>0

【詳解】由題意,解得2<a<3.

7（3-a）_3<產6

故選：C.

3.A

【分析】根據給定條件，可得?！?gt;。，利用對數運算及等比數列性質求出4.

【詳解】數列｛%｝中，由log2a4,+log2%3=3,知4>0,取3>0,則4>0,

34

又log2a4a13=3,于是=2=8,而a4al?=?6?io=，

所以4=3=2

”4“12

故選：A

4.B

【分析】先求出為=5-5—1)+3,〃eN*,得S“==〃2+=〃，則105+121=5〃+皆］,利用基本不

225〃5n

等式求解，要注意等號成立時條件.

【詳解】由題意，可知所有正整數加為3,8,13,18,...

即數列為5的非負整數倍加3,

故%=5-(H-1)+3,HSN*,

數列｛即｝是以3為首項，5為公差的等差數列,

3.53+h,

S=3〃+

n222

10-1|n2+|nj+121

10S“+121

5n5n

=5”+也+1

5〃

>2+1

=23,

當且僅當5〃=孕，即〃空時，等號成立,

5〃5

W廠1211-121231

當〃=2時，5〃H-------1-1=11H-----=-----,

5n1010

W廠1211~121231

當〃=3時，5n-\-------Fl=16H------>-----

5n1510

所以當〃=2時，取得最小值且最小值為2苗31.

故選：B.

5.A

【分析】設｛%｝,也｝的公比分別為。，4,討論P=l,qwl、021,4=1、P==1、的情

況，結合等比數列的求和公式即可求解.

【詳解】設也｝,也｝的公比分別為P國,

若P=1,qw1,則S”=nax,Tn=

i—q

即4

i—qi—q

所以q=3,可得當=1,得afy=2.

y-i

所以=Tn,滿足SZ="3'-〃.

ax

b,、，,缶T3$-134-1162

所以%=4,b5=T5-T4=----------=---

a1%4

所以%&=162.

同理可得pw1應=1時也可以得到貼5=162.

當夕=1應=1時，Sn=nax,Tn=曲,則S工=4伉九2二人3〃_九,故舍去.

當〃工1國。1時，在SJ；=^3〃—九中，

令〃=],得SZ=她=3—1=2.

1

人ZRG(1—p2)bAl-q]、

令〃=2,WS27I--------------^=2x32—2=16,

1—p1-q

即(l+p)(l+q)=8①.

人/口ajl-p3)“l(fā)-q3),

令〃=3,得$34=-^--------------^=3x33-3=78,

1-pi-q

即(l+p+p2)(l+q+/)=39,即(l+p)(l+g)+p2+/+pq(p+q)+(pq?=39,

所以p2+q2+pq(p+q)+(pq)~=31,即(p+g)?-2pq+pq(p+q)+(pq)-=31@.

由①，得l+p+q+pq=8,gpp+q^l-pq,

代入②，得(7-pq)2-2pq+pq(j-pq)+(pqy=31.

令Pq=t,則產—14f+49-2r+7f—產+/=31,

化簡可得產-%+18=0,解得f=3或f=6,即pq=3或網=6.

若Pq=3,貝!|p+q=4,解得。=1應=3或。=3,q=l,舍去.

若pq=6,貝！|。+4=1,貝！|P，4是方程尤之一尤+6=0的兩個根.

因為A=(—I?-4x1x6=—23<0,所以方程d—x+6=0無解，故網=6舍去.

綜上所述，a5b5=162.

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：設｛%｝，也｝的公比分別為。，4,討論p=LqWl、。片l,q=l、。=1，4=1、

。#1應#1,從而得解.

6.D

【分析】由題意可得「1+2+3+—"=T，所吟=品=2

1.J_,然后利用裂項

nn+1

相消求和法可求得結果.

【詳解】由題意可得%=1+2+3+…+〃=磅羅

-12c

所以(=E=21__L

nn+1

1111

所以一+—+—+L+—

“2023

=2x

1

=2x1-

2024

2023

"1012'

故選：D

7.A

T11

【分析】首先令"=1求出當〃22時%=廣，即可得到7L+37；ZI=7；T，從而得到弘一廠=3,

1n-l1n1n-\

即是以4為首項，3為公差的等差數列，再由等差數列求和公式計算可得.

【詳解】因為2+3(=1,當〃=1時4+37]=1,解得％=:,

當“22時%=廣，所以廣+3(=1,則7；+37；7；T=4T，

1n-lLn-\

111,

所以^~-X=3,又7=4,所以是以4為首項，3為公差的等差數列,

44-1

2110x(10-1)

所以2—=4x10+——-------^x3=175.

i=\Tj2

故選：A

8.B

【分析】

根據*+4q,=5%得到數列｛八-q,｝為等比數列，求出。向和%的關系，根據累加法求出%“，求出么,

+1+1

根據log2(4"-l)-log23<log24"-1=2?+1,log2>log2GT)，=2”求出3,求出S,即可.

【詳解】由a?+2+4A?=5a,1+｝得an+2-an+1=4(a?+1-?n),

因此數列｛。用公比為4,首項為4-％=4的等比數列,

故a?+l-an=4",進而根據累加法得

〃

a_4+i-1

n+\=(4+1-"〃)+(〃〃_Q〃-1)++(〃2_%)+%=4〃+4〃T+…+4+1=---

LT

b“=[log2a?+1]=[log2---],

n+1

log2(4-l)-log23<log24"i-1=2九+1,

+|

4"-1,(4-1)4"cb=2n,

又l?g2--—>l?g2—--=2n,n

一1f8100?81008100

令｛C“｝二｛廠廠｝,■?-——4050(--2〃+2)

bn-bn+12n-(2n+2)2n

1111111

=q+。2+,,+c_+c=-----1---------F------------------■1--),--------------

nxn4482(n-1)2n2nIn+2

s=2025(1--—),代入〃=2025得[S]=2024.

nn+12025

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛:本題關鍵在于根據log2(4"￡-D-log〃vlog'向-1=2”+1,

,4"+1-1,(4-1)4"c卡山〃

log2—-->log2——-——=求出￡.

9.ABD

【分析】根據。,總的關系，即可作差求解伍“｝是從第二項開始的等比數列，｛S,｝是等比數列，即可結

合等比數列的通項公式及性質檢驗各選項即可判斷.

【詳解】因為％=35”,所以a“=3S,i，n>2,

故“22時，兩式相減得，an+l-an=3an,即%+[=4%,

因為%=3H=3不適合上式，

故數列｛%｝是從第二項開始的等比數列，公比為4,%=3,C錯誤；

貝I]S2=q+g=1+3=4,A正確；

&="=16,B正確；

a4

因為an+l=3Sn=Sn+l-Sn,所以Sn+l=4Sn,

即數列｛SJ是以1為首項，以4為公比的等比數列，D正確.

故選：ABD.

10.ACD

【分析】對于A,已知S“求應的公式求解即可；對于B,運用等差數列求和公式求解；對于C,分組

并項求和即可；對于D,分情況討論，結合等差數列求和公式求和即可.

【詳解】對于A,由4+2的++2-1a?=M-2"+1,

當〃22時，%+2a2++2"an_x=(M-1)-2",

兩式相減得，a?=2n+2(n>2),

當〃=1時，卬=4符合，所以?！?2〃+2,A正確；

對于B,｛冊｝的前10項和為&+2；)*l°=i30,B錯誤；

對于C,｛(-1)〃q｝的前11項和為一4+%—。3+。4--6Zii=-4+5x(-2)=-14,C正確；

對于D,a?-10=2n-8>0,解得〃>4,

10-tz,l<n<3

所以｛寓-明｝=n

in」,HGN,

an-10,n>4

所以｛|“〃—1°|｝的前16項和為(1°—〃i)+(l°—〃2)+(l°—。3)+(。4—1°)++(66—l°)

0+2x13

=(6+4+2)+(0+2+4++24)=12+(^)=168,D正確.

故選：ACD.

11.ACD

【分析】對于A找到一個數列是遞增數列，但是不滿足%M>kJ,〃eN*,所以可判斷A,對于B，

與｛&J能互相推出，所以可判斷B,對C,根據條件算出公比和首項，代入即可判斷，對D,找到一

個4=1的等差數列，代入可判斷D.

【詳解】對于A,an+1>\an\>an,則。用>%,｛%｝為遞增數列，

但｛冊｝為遞增數列時，如：an=--,但。角>同不成立，

n

所以A選項正確；

對于B,數列｛a｝為等差數列oa=An+2oS“=與+癡+^為等差

nn3+^^=1A?+1(2A+JB)

2n22

數列，

所以“數列為等差數列”是“數列｛/J為等差數列”的充要條件，

所以B選項不正確；

對于C,若5｝為等比數列，公比為4,當它1時，

則前〃項和為s3=%°")，

1--?

所以$6-53=4.同理可得品-金=/.$3

S.-S.

所以二也=43

S6-S3

所以星,英一S3,與一$6成等比數歹!J；

當g=l時，Sn=nat,gpS3=3al,S6—S3=3^,5,-S6=3a1f

$6-$3Sf

所以

S3s6-s3'

所以c選項正確;

對于D,若｛an｝為等比數列，當4=1時，S?=nai,

則S,+i—S.nS+l)"-㈣=",

所以｛'｝是公差為0的等差數列，故D選項正確.

故選：ACD.

12.29

【分析】根據累加法求得。”，即可求得見.

【詳解】根據題意，〃eN*,〃22,a“-

=1+1+2++（/1-1）=l+^--（H-1）=--；+2,%=1滿足該式,

2

所以%="一;+2,貝|J%=29,

故答案為:29.

13.20

【分析】由題意可得每層的球的個數，即可借助組合數的性質求出前〃層的球的個數之和，即可列出

方程求解.

【詳解】設第〃(〃eN+)層有％個球，由第1層有1個球，

從第2層起，每層“正三角形”的“邊”都比上一層的“邊”多1個球，

則有〃=1+2+3+?+〃=△——二

〃2

設％的前”項和為s,,則S“=l+3+6++"+l)=c；+C；+C；++C，1,

由c，"+=加+加=("+1-7")加+”加

m!(n—m)!(m—l)!(n+l—m)!m!(n+l—m)!

=Cn+\，

m!（n+l—m）!

故s產G+C+C++C3=c；+c"c：++C3=C：+G++C3

=C+c；++c"=c"+c3=c"

令C"T540,即有（"+2）（"+l）〃=1540,

6

即（〃—20）（/+23W+462）=0,解得〃=20.

故這位同學共堆積了20層.

故答案為：20.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在于得出每層的球的個數后借助組合數的性質求出前〃層的球的個

數，從而可列出方程并求解.

14.{6,7,8,9）21

【分析】第一空，根據集合新定義可寫出A3的所有可能情況，即可求得答案；第二空，由題意求出

Mg={3,4,5,,利用等差數列的求和公式列不等式，結合解一元二次不等式求出m的范圍，

即可求得答案.

【詳解】當根=4次=3時，乂={1,2,3,4},4表示3個元素的有限集，

由可知&={1，2,3}或4={1,2,4}或4={1,3,4}或$={2,3,4},

故M%3={6,7,8,9}；

由題意知外,2={3,4,5,,2/n-l},

故由5（Mm2）>817可得（2f13+2加—1）即（2m,3）（m+l）>817,

解得m2小近亙=21或加4匕遍畫（舍去），

44

結合〃?eN*,故機的最小值為21,

故答案為：{6,7,8,9}；21

【點睛】關鍵點睛：本題考查了集合新定義問題，解答本題的關鍵在于理解題中所給新定義的含義,

明確其內容，進而結合解不等式，即可求解.

15.（1）68

⑵”3

【分析】（1）由等差數列的通項公式和求和公式，可得所求；

（2）由等比數列的通項公式、求和公式，化簡整理，可得所求值.

【詳解】（1）設等差數列{%}的公差為d,則%+%=5,@=6,

可得2q+8d=5,a,+1Id=6,解得q=/=：,即有

貝Ij46=gxl6x（；+；xl6）=68；

(2)由Cl)可得么==工=2"i,則>=4"T,

n

\_72/1

則勺=—=4”一1,

1—Z

1Z

T?為數列｛4｝的前〃項和，可得(=i^=1(4--1),

可得K“,=W，即為4"-1=:(4"-1),解得f=3.

16.(1)4=?；?g

(2)證明見解析

【分析】(1)由等差數列前〃項和公式以及等比中項公式列出等量關系式并轉化成首項和公差來表

示即可求解.

(2)先由。同=5“+「5”=喂=號，進而由累乘法風=&?也迎外(“22)結合求

??"+2a?.ian_2%

出即可由Sn=n~an得解.

5(5-1)

S=5"iH---------d=5q+2d=1

【詳解】(1)由題意知5故＜

(q+5d)(q+8d)=(q+6dJ

a6a9=a；

解得2屋+d=0,所以d=?；騞=-J.

(2)因為S"=w%"①，所以S“+]=("+1)%“+1②,

所以由②-①得%=(〃+l)4「〃4,='

生紇1七212

所以心2時,一?“I=--------a

aan〃

4-1n-2\〃+1〃—13("+1)

25

所以由S5=5得$5=5,軟=25><5(5+1產=鏟1=5nq=3,

所以％=就D(心2)，

顯然4=3也符合上式，所以巴=肅司(〃€^),

6n2_6

所以S"<6

9+1)1+1

n

17.⑴，〃=2〃

(2)3

2n522n+28

⑶.22n+1+

392〃+29

【分析】(1)根據%,S”的關系，即可作差判定｛%｝為等比數列求解，

(2)根據等差等比數列的求和公式，即可求解，

(3)根據裂項求和和錯位相減法分別求解奇偶項的和，即可由分組求和得解.

fS=2a—2

【詳解】(1)由已知得仁：“、八

電_1=2%-2(〃22)

解得見=2??-2%,所以。"=2%,

%=2q—2,q=2,

所以數列｛為｝是以2為首項，2為公比的等比數列，二%=2".

(2)因為Z=a"+2,所以7；=2(2"-1)+的手，

因此1>2向+1,故(〃+3)(〃-2)>0,解得n>2,

：.n>3,即滿足條件〃的最小值為3.

?！ㄎ?，"為奇數

(3)因為％=，(3年-2)41,〃為偶數,

.她+2

當"為偶數時，▼豈

bnbn+2n(n+2)n+2n

/^2n+2

記N=C2+C4++C2n=---一2；

2〃+2

當〃為奇數時,c?=anbn=n-2",

-/!

I己M=C[+C3+C5+...+。2”-1=1x2+3x2^+5x2，+...+(2〃—1),2(X),

貝I]4M=1x23+3x2$+5x27+...+(2H-1)-22,,+1(2),

?-?1^-3M=2+2X23+2X25+2X27+...+2-22"-1-(2/7-1)-22"+1

24(1-22B-2)

=2+24+26+28+...+22,!-(27Z-1)-22"+1=2+-(2n-l)-22n+I

1-22

。力,2"+2o

因此數列｛c?｝的前2w項和為?一22"+1+白二-：.

(39)Zn+Z9

18.(I)證明見解析；(II)證明見解析.

【詳解】試題分析：（1）現將5=SL代入。-%）%=?可得9&?二八上,=1,再展開,

兩邊同除以？丁一：即可證數列:為等差數列；（2）先由（1）可得數列行；的通項公式，進而可

得E｝的通項公式，再利用裂項法可得蟲+色-&■-……--=^-7<1+7--7--71-進

a生4