專題24定點定長構造輔助圓

1.如圖，已知AB=AC=AE）,NCBD=2NBDC,NE4c=44。，則NC4D的度數(shù)為（）

【解答】解：如圖，AB—AC=AD,

:.點、B、C、￡＞在以點A為圓心，

以至的長為半徑的圓上；

Z.CBD=2ZBDC,

NCAD=2NCBD,ZBAC=2.ZBDC,

:.ZCAD^2ZBAC,而ZE4C=44。，

.?.NC4D=88°,

故選：B.

2.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC^AD,N54c=50。則ZBDC的大小是（）

【解答】解：由AB=AC=AD,ZBAC=50°,則可添加輔助圓,

有ZBDC=-ABAC=25°,

2

故選：D.

3.如圖，在矩形ABC。中，已知AB=3,3c=4,點P是3c邊上一動點（點尸不與B,C重合）,

連接互，作點3關于直線"的對稱點V,則線段MC的最小值為（）

A.2B.-C.3D.所

2

【解答】解：連接4度,

?點3和M關于AP對稱，

：.AB=AM=3,

在以A圓心，3為半徑的圓上，

.,.當A,M,C三點共線時，CM最短,

AC=\l32+42=5,AM=AB=3,

:.CM=5-3=2,

故選：A.

4.如圖，正方形ABCD中，E1為AB中點，F(xiàn)EYAB,AF=2AE,FC交BD于O,則NDOC的

度數(shù)為（）

D

A.60°B.67.5°C.75°D.54°

【解答】解：如圖，連接上、BF.

FE±AB,AE=EB，

:.FA=FB,

AF=2AE,

,.AF=AB=FB,

「.AAFB是等邊三角形，

AF=AD=AB,

.?.點A是ADB尸的外接圓的圓心，

/.ZFDB=-ZFAB=30°,

2

，四邊形是正方形，

:.AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,ZADB=ZDBC=45°,

..ZFAD=NFBC,

..AFAD=AFBC，

ZADF=ZFCB=15°f

/.ZDOC=Z.OBC+ZOCB=60°.

解法二：連接BE.易知NFCB=15。，ZDOC=ZOBC+ZFCB=45°+15°=60°

故選：A.

5.如圖，已知等邊AAFC的邊長為8,以AB為直徑的圓交于點P.以C為圓心，CF長為半

徑作圖，D是:C上一動點，E為比＞的中點，當AE最大時，8D的長為（）

A.4如B.4A/5C.4石+2D.12

【解答】解：點。在C上運動時，點E在以尸為圓心的圓上運動，要使AE最大，則AE過尸,

AABC是等邊二角形，AB是直徑，

EF±BC,

是3c的中點,

E為3。的中點，

二砂為ABCD的中位線，

:.CD//EF,

:.CD±BC,

BC=8,CD=4,

故BD=』BC?+CD?=J64+16=4百,

故選：B.

填空題(共6小題)

6.如圖，點A,3的坐標分別為A(4,0),8(0,4),C為坐標平面內一點，3C=2,點”為線段AC

的中點，連接OM,OM的最大值為1+20.

【解答】解：C為坐標平面內一點，BC=2,

.?.點C的運動軌跡是在半徑為2的3上，

如圖，取OD=Q4=4,連接OD,

,點M為線段AC的中點，

:.OM是AACD的中位線，

:.OM=-CD,

2

二。加最大值時，CD取最大值，此時￡＞、B、C三點共線，

此時在RtAOBD中，BD=A/42+42=4五,

:.CD=2+4y/2,

二。州的最大值是1+20.

故答案為：1+2直.

7.如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD,S.ZCAD=3ZBAC,若NDBC=42。，則NC4D=

84°ZBDC=.

:.點B,C,。在以A為圓心的圓上,

ZDBC=42°,

ZCAD=2ZDBC=84°,

ZCAD=3ZBAC,

，NBAC」NC4r>=28。,

3

ZBDC=-ZBAC,

2

:.ZBDC=-x28°=14°.

2

故答案為：84。，14°.

8.如圖所示，AB=AC=AE),ND3c=18。，則NC4D=_36。

【解答】解：AB^AC=AD,

:.B,C、。三點在以點A為圓心，以AB為半徑的圓上.

ZDBC=18°,

ZCAD=2ZDBC=36°.

故答案為：36°.

9.如圖，四邊形ABCD中，AE,"分別是BC,CD的中垂線，ZEAF=80°,NCBD=30。

則/ABC=40°,ZADC=

A

BD

E

【解答】解：連接AC,

AE.AF分別是3C、CD的中垂線，

AB=AC=AD，

，B、C、。在以A為圓心，AB為半徑的圓上，

ZCBD=30°,

ZDAC=2ZDBC=60°,

AFVCD,CF=DF,

.\ZDAF=30°,

:.ZADC=6O°f

又-ZE4C=80°-30°=50°,

ZABC=ZACE=90°-50°=40°.

故答案為：40。，60°.

10.如圖，AB=AC=AD,如果NZMC是NC4B的左倍，那么ND3C是4DC的—左一倍.

,?.點5、C、。在以A為圓心的圓上,

.\ZBDC=-ZCAB,NDBC=L/DAC,

22

ZDAC=k/CAB,

kk

ZDBC=-NCAB=一%2Z.BDC=kZBDC,

22

故答案為：k

11.如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P是直線A5上的一個動點，AE=2,AAPE沿PE

翻折形成AFPE,連接PF、EF,則FC的最小值是_2屈-2_,點尸到線段BC的最短距離

是

【解答】解：連接CE,作EG_L3C于G,

.?.點尸在以E為圓心，AE為半徑的圓上運動，

在RtACDE中，由勾股定理得，

CE=yjDE2+CD2=A/62+42=2A/13,

.?.尸C的最小值為CE-2=2岳-2,

ZDAB=ZABC=ZBGE=90。,

四邊形ABGE是矩形，

.?.EG=AB=4,

.?.點F到線段BC的最短距離是2,

故答案為：2,2.

三.解答題(共9小題)

12.如圖，在AABC中，AB=AC,過點3作跳＞_L3C,BD=BC,連接AD交3。于點尸.E是

CD的中點，連接？交3C于G.

(1)若AB=BD,求NADC的度數(shù)；

(2)若BC=4BF,且AB=4,求四邊形AB0C的面積.

AB=AC,BD=BC,AB=BD,

,\AB=BC=AC9

.?.AABC是等邊三角形，

/.ZABC=60°,

BA=BC=BD,

「.A、C>Z>三點在上，

/.ZADC=-ZABC=30°.

2

(2)如圖2中，連接班;.

ZDBC=90°,DE=EC,

:.BE=EC=DE,AB=AC,

」.AE垂直平分BC,

:.BG=CG,設5G=CG=a,貝IJ3C=3D=2Q,

BF=-BC,

4

:.BF=FG,

BD//AG,

:.ABFD^AGFA,

BFBD1

--==1,

FGAG

BD=AG=2a,

在RtAABG中，AB2=AG2-^-BG2,

，16=〃2+4/,

216

a——,

5

64

T

13.如圖，AB=AC=AD,ZCBD=2ZBDC,ABAC=40°,求NCW的度數(shù).

【解答】解：AB=AC=AD,

:.B,C,。在以A為圓心，AB為半徑的圓上,

Z.CAD=2Z.CBD,ABAC=2ZBDC,

NCBD=2ZBDC,ZBAC=40°,

:.ZCAD=-2ZBAC=S0°.

14.圓的定義：在同一平面內，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形.

(1)已知：如圖1,OA=OB=OC,請利用圓規(guī)畫出過A、B.C三點的圓.若Z4OB=70。，則

ZACB=_35。_.

如圖，RtAABC中，ZABC=90°,ZBCA30°,AB^2.

(2)已知，如圖2.點P為AC邊的中點，將AC沿54方向平移2個單位長度，點A、P、C的

對應點分別為點D、E、F,求四邊形友WC的面積和N3E4的大小.

(3)如圖3,將AC邊沿3c方向平移。個單位至DF,是否存在這樣的。，使得直線DF上有一點

Q,滿足ZBQA=45。且此時四邊形B4Z）式的面積最大？若存在，求出四邊形B4D尸面積的最大值

及平移距離心若不存在，說明理由.

【解答】（1）以。為圓心，為半徑作輔助圓，如圖,

ZAOB=JO0,

.?.ZACB=35°,

故答案為35。.

(2)連接PB,PE,如圖,

RtAABC中，ZABC=9Q°,ZBCA=30°,AB=2.

;.AC=4,ABAC=60°,BC=26.

P為RtAABC斜邊AC中點，

:.BP=-AC=2,

2

線段AC平移到OF之后，AB=AD=PE=2,BP=AE=2,

，四邊形為菱形,

Za4c=60°,

:.ZBEA=30°,

CF//BD,且ZABC=90°,

二四邊形7c為直角梯形，

;.S=L(BD+CF)xBC=Lx6x26=66,

22

(3)如圖所示，

當AC邊沿3c方向平移2個單位至DF時，

滿足ZBQA=45°且此時四邊形BADF的面積最大，

此時直角梯形AB/Z)的最大面積為，

S=-X(BF+A0XAB=-X(2^+2+2)X2=4+273.

22

15.在RtAABC中，ZABC=9Q°,BELAC,EG、跖分別平分/AEB和NCEB,求證：BG=BF.

【解答】解：連接GF,取GF中點O,連接30,EO,

BE±AC,

ZAEB=ZBEC=90°,

EG、￡F分別平分Z4J組和NCEB,

:.ZGEB=ZFEB=45°,

:.ZGEF=90°,

在RtAGBF和RtAGEF中，BO,EO分別是斜邊的中線,

：.BO=GO=FO,EO=GO=FO,

:.BO=EO=GO=FO,

:.G,B、F、E四點在以。為圓心，80為半徑的圓上,

ZBGF=ZBEF=45°,

二.△GB尸是等腰直角三角形，

:.GB=FB.

0

X

16.如圖，在AABC中，AB^AC,DE垂直平分AC,且NCB￡>=30。，連接團)

(1)求證：AB^AD；

(2)設交3c于點P,若43P是等腰三角形，求NABC的度數(shù).

【解答】解：(1)證明：作ABDC的外接圓，延長DE交圓于點F,連接CF、AF,如圖所示,

則有ZDBC=ZDFC=30°.

DE1垂直平分AC,

:.AF^FC,

:.ZAFE=ZCFE=30°,

:.ZAFC=60°,

」.AAFC是等邊三角形,

.\AF=AC.

AB^AC,

.\AF=AC=AB,

.?.點A為所作圓的圓心，

:.AB=AD.

(2)①若B4=PB,

貝=

AB=AC,

:.ZABC-ZACB.

ZDAC=2ZDBC=60°,

:.ZAPB=ZPAC-^-ZACB=60°-^-ZACB,

ZAPB=60°ZABC.

ZABC+ZBAP+ZAPB=180°,

/.3ZABC+60°=180°,

解得：ZABC=40°

②若BA=BP,

同理可得：ZABC=20°.

此時P與。重合，

則。與石重合，

不符合題意，故舍去.

綜上所述：當尸是等腰三角形時，NABC的度數(shù)為40?；?0。.

輔助線是幾何解題中溝通條件與結論的橋梁.在眾多類型的輔助線中，輔助圓作為一條曲線型輔助

線，顯得獨特而隱蔽.

性質：如圖①，ZACB=ZADB=90°,則點D在經過A,B,C三點的圓上.

【問題解決】

運用上述材料中的信息解決以下問題：

(1)如圖②，已知==

求證：ZADB^2ZACB.

(2)如圖③，點A,3位于直線/兩側.用尺規(guī)在直線/上作出點C,使得Z4CB=90。.(要求:

要有畫圖痕跡，不用寫畫法)

(3)如圖④，在四邊形ABCD中，NC4D=90。，C6_LO5,點尸在C4的延長線上，連接DF,

ZADF=ZABD.

求證：DF是AACD外接圓的切線.

B

'、、4B

—

BD

圖①圖②圖③圖④

【解答】解：(1)如圖②，由D4=DB=OC,可知

點A,B,C在以。為圓心，D4為半徑的圓上.

所以，ZADB=2ZACB.

(2)如圖③，點C],C2就是所要求作的點.

(3)如圖④，取CD的中點。為圓心，CD為直徑作圓O,則O是AACD的外接圓;

:.ZACD^ZABD.

ZADF=ZABD,

:.ZACD^ZADF.

ZACD+ZADC=90°,

:.ZADF+ZADC=90°.

:.ZCDF^90°.

即CD±DF.

:.DF是AACD外接圓的切線.

18.在RtAABC中，N4=90。，AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點，若等腰RtAADE

繞點A逆時針旋轉，得到等腰設旋轉角為c(0<a,180。)，記直線22與Cg的交點

為尸.

(1)如圖1,當夕=90。時，線段8R的長等于_2指線段C耳的長等于—；(直接填寫結果)

(2)如圖2,當￡=135。時，求證：BD、=CE],且BD]_LCE；；

(3)求點P到AB所在直線的距離的最大值.(直接寫出結果)

【解答】⑴解:ZA=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點,

.-.AE=AD=2,

,等腰RtAADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰Rt△ARg,設旋轉角為?(0<a”180°),

.?.當c=90。時，AE]=2,ZEXAE=90°,

22

BDt=74+2=2A/5,E°=〃+2」=2百；

故答案為：26，275；

(2)證明：當a=135。時，如圖2,

Rt△AR6是由RtAADE繞點A逆時針旋轉135°得到,

AR=AE},NRAB=ZEtAC=135°,

在△QA8和△&AC中

AD,=AEt

<ZDtAB=ZEtAC,

AB=AC

△AAB=△E,AC(SAS),

BD,=C%且ZD,BA=ZEtCA,

記直線BDt與AC交于點F,

:.ZBFA=ZCFP,

:.NCPF=NFAB=9QP,

BD]_LCE]；

(3)解：如圖3,作「G_LAB,交相所在直線于點G,

2，片在以A為圓心，AD為半徑的圓上,

當82所在直線與A相切時，直線82與Cg的交點尸到直線鉆的距離最大,

此時四邊形ARPEi是正方形，PD、=2,則*=川=26,

故NAB尸=30°,

則尸8=2+2』，

故點尸到AB所在直線的距離的最大值為：PG=l+6

ZC=90°,AC=6,BC=8,點尸在邊AC上，并且CF=2,點E為

3C邊上的動點，將AFCE沿直線￡F翻折，點C落在點尸處，求點尸到邊相距離的最小值.

【解答】解：如圖，延長FP交于

FP=CF=2,

二.點尸在以尸為圓心，CF為半徑的圓上運動,

當用JLAB時，點尸到AB的距離最小,

ZA=ZA,ZAMF=ZC=90°,

:.^AMF^\ACB,

AF_FM

耘一記‘

CF=2,AC=6,BC=8,

...AF=4,AB=y/AC2+BC2=10,

4FM

—=--------J

108

:.FM=3.2,

PF=CF=2,

PM=1.2,

.?.點P到邊加距離的最小值為1.2.

20.如圖，AABC中，AC=BC=4,ZACB=9Q°,過點C任作一條直線CD,將線段3c沿直線CD

翻折得線段CE,直線AE交直線CD于點歹.

(1)小智同學通過思考推得當點E在AB上方時，的角度是不變的，請按小智的思路幫助小

智完成以下推理過程：

AC=BC=EC,

:.A,B、石三點在以。為圓心以AC為半徑的圓上

:.ZAEB=-ZACB=°.

2

(2)若BE=2,求CF的長.

(3)線段M