專題06因式分解法解一元二次方程及根與系數的關系考點一因式分解法解一元二次方程考點二十字相乘法解一元二次方程考點三換元法解一元二次方程考點四已知一元二次方程的解求另一個解考點五根據一元二次方程的根與系數的關系求參數與代數式的值考點六一元二次方程根的判別式與根與系數的綜合問題考點一因式分解法解一元二次方程例題：（2022·四川成都·九年級期末）解下列一元二次方程．(1)x2﹣4x＝5；(2)2（x+1）2＝x（x+1）．【變式訓練】1.（2022·江蘇·蘇州草橋中學八年級期中）解方程：(1)；(2)（2.（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校八年級期中）解下列方程：(1)(2)考點二十字相乘法解一元二次方程例題：（2022·江蘇·蘇州草橋中學八年級期中）解方程：(1)．(2)【變式訓練】1.（2022·全國·九年級）解一元二次方程：．2．（2021·江蘇·揚州市江都區(qū)實驗初級中學一模）解方程：；3．（2022·全國·九年級）用因式分解法解方程：x2-10x+16=0考點三換元法解一元二次方程例題：（2022·江蘇南京·二模）若關于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=?5，則關于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，【變式訓練】1．（2022·湖南邵陽·九年級期末）請你先認真閱讀下列材料，再參照例子解答問題：已知，求的值．解：設，則原方程變形為，即∴得t1＝﹣2，t2＝1∴或已知，求的值．2．（2022·四川瀘州·一模）請閱讀下列材料：解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．解法如下：將x2﹣1視為一個整體，然后設x2﹣1＝y(tǒng)，則（x2﹣1）2＝y(tǒng)2，原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．（1）當y＝1時，x2﹣1＝1，解得x＝±；（2）當y＝4時，x2﹣1＝4，解得x＝±．綜合（1）（2），可得原方程的解為x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．參照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解為_____．考點四已知一元二次方程的解求另一個解例題：（2022·陜西·西安鐵一中分校三模）若關于x的方程有一個根是2，則另一個根是（

）A．6 B．3 C． D．【變式訓練】1．（2022·江蘇南京·二模）關于x的方程x2+bx?2=0有一個根是1，則方程的另一個根是______．2．（2022·四川成都·二模）已知關于x的方程x2+3x+m＝0的一個根是1，則此方程的另一個根為_____．考點五根據一元二次方程的根與系數的關系求參數與代數式的值例題1：（2022·江蘇南京·模擬預測）已知關于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的兩個實數根是x1，x2，且x1+x2＝4，則m的值為__．例題2：（2022·江西南昌·二模）若一元二次方程的兩個實數根為a，b，則的值為_______．【變式訓練】1．（2022·四川瀘州·中考真題）已知關于的方程的兩實數根為，，若，則的值為（

）A． B． C．或3 D．或32．（2022·貴州六盤水·九年級期末）若a，b是關于x的方程的兩個實數根，則___．3．（2022·四川瀘州·二模）已知是關于x的一元二次方程兩個實數根，且，則a＝______．考點六一元二次方程根的判別式與根與系數的綜合問題例題：（2022年四川省南充市中考數學試卷）已知關于x的一元二次方程有實數根．(1)求實數k的取值范圍．(2)設方程的兩個實數根分別為，若，求k的值．【變式訓練】1．（2022·湖南·雙牌縣教育研究室模擬預測）已知關于的一元二次方程有，兩個實數根．(1)求的取值范圍；(2)若，求及的值；(3)是否存在實數，滿足？若存在，求出實數的值？若不存在，請說明理由．2．（2022·湖北荊門·一模）已知關于的一元二次方程．(1)求證：無論為任何非零實數，此方程總有兩個實數根；(2)若該方程的兩個實數根分別為、，且，求的值．一、選擇題1．（2022·山西·孝義市教育科技局教學研究室三模）一元二次方程的根為（

）A．， B．，C．， D．，2．（2022·重慶實驗外國語學校八年級期中）若一元二次方程的一個根是，則另一個根是（

）A．6 B．5 C．-3 D．23．（2022·江西吉安·九年級期末）已知矩形的長和寬是方程的兩個實數根，則矩形的對角線的長為（

）A．6 B．7 C．20 D．4．（2022·內蒙古北方重工業(yè)集團有限公司第一中學三模）若是一元二次方程的兩個根，則的值為(

)A．3 B．2 C．1 D．5．（2022年貴州省黔東南州中考數學真題）已知關于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（

）A．7 B． C．6 D．6．（2022·山東·招遠市教學研究室八年級期中）關于x的一元二次方程有一個根為x＝5，則關于x的一元二次方程必有一個根為（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題7．（2022·全國·九年級）方程的根是__．8．（2022·青海海東·九年級期末）關于x的方程的一個根是，則它的另一個根________．9．（2022·全國·九年級）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數根為α、β，則αβ﹣α﹣β的值為__．10．（2022·山東·陵城區(qū)教學研究室一模）若直角三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2－7x＋12＝0的兩個實數根，則該直角三角形的面積是_______．11．（2022·湖南·吉首市教育科學研究所模擬預測）對于實數，定義運算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是關于的一元二次方程的兩個實數根，則※=_____．12．（2022·安徽·舒城縣仁峰實驗學校八年級階段練習）對于實數a，b，先定義一種新運算“”如下：ab＝（1）計算：＝_____；（2）若2m＝36，則實數m等于_____．三、解答題13．（2022·山東德州·九年級期末）解方程：(1)(2)14．（2022·河南信陽·九年級期末）解方程：(1)x2－2x－3＝0(2)（x﹣3）2＝2x﹣615．（2022·浙江·樂清市樂成第一中學八年級期中）用適當的方法解方程：(1)．(2)．16．（2022·北京門頭溝·二模）已知關于x的二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求m的取值范圍；(2)如果m為正整數，求此方程的根．17．（2022·全國·九年級）已知關于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有實數根．(1)求實數m的取值范圍；(2)當m＝2時，方程的根為x1，x2，求代數式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．18．（2022·山東煙臺·八年級期中）已知關于的一元二次方程．(1)求證：無論為何實數，方程總有兩個不相等的實數根；(2)若該方程的兩個實數根滿足，求的值．19．（2022·湖北十堰·中考真題）已知關于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程的兩個實數根分別為，，且，求的值．20．（2022·四川涼山·中考真題）閱讀材料：材料1：若關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個實數根分別為m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根據上述材料，結合你所學的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個根為x1，x2，則x1＋x2＝；x1x2＝．(2)類比應用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實數s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．專題06因式分解法解一元二次方程及根與系數的關系考點一因式分解法解一元二次方程考點二十字相乘法解一元二次方程考點三換元法解一元二次方程考點四已知一元二次方程的解求另一個解考點五根據一元二次方程的根與系數的關系求參數與代數式的值考點六一元二次方程根的判別式與根與系數的綜合問題考點一因式分解法解一元二次方程例題：（2022·四川成都·九年級期末）解下列一元二次方程．(1)x2﹣4x＝5；(2)2（x+1）2＝x（x+1）．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）通過移項，分解因式，化為一元一次方程，即可求解；（2）通過移項，分解因式，化為一元一次方程，即可求解．(1)解：x2﹣4x＝5，移項得：x2﹣4x-5=0，分解因式得：（x-5）（x+1）=0，∴x-5=0或x+1=0，解得：；(2)解：2（x+1）2＝x（x+1），移項得：2（x+1）2-x（x+1）=0，分解因式得：（x+1）（2x+2-x）=0，∴x+1=0或2x+2-x=0，解得：．【點睛】本題主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解題的關鍵．【變式訓練】1.（2022·江蘇·蘇州草橋中學八年級期中）解方程：(1)；(2)（【答案】(1)或；(2)【解析】【分析】（1）運用公式法解一元二次方程即可；（2）運用公式法解一元二次方程即可；(1)∵∴解得：或；(2)（2x+1）2-3（2x+1）=0，（2x+1）（2x+1-3）=0，2x+1=0或2x+1-3=0，解得；【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用公式法解一元二次方程是解答本題的關鍵．2.（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學校八年級期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．(1)解：∴，(2)∴，【點睛】本題考查了解一元二次方程?因式分解法，因式分解是解本題的關鍵．考點二十字相乘法解一元二次方程例題：（2022·江蘇·蘇州草橋中學八年級期中）解方程：(1)．(2)【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）運用十字相乘法解一元二次方程．（2）運用十字相乘法解一元二次方程．(1)∵∴，解得：或．(2)（x-2）（x-5）=0，x-2=0或x-5=0，解得x1=2，x2=5．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運用十字相乘法解一元二次方程是解答本題的關鍵．【變式訓練】1.（2022·全國·九年級）解一元二次方程：．【答案】，【解析】【分析】利用十字相乘法因式分解法求解即可．，∴，∴或，∴，．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關鍵．2．（2021·江蘇·揚州市江都區(qū)實驗初級中學一模）解方程：；【答案】，【解析】【分析】利用十字相乘法因式分解法求解即可；【詳解】，或，所以，；【點睛】本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．3．（2022·全國·九年級）用因式分解法解方程：x2-10x+16=0【答案】x1=2，x2=8【解析】【分析】利用因式分解方法求解即可．【詳解】解：x2-10x+16=0，因式分解得，(x-2)(x-8)=0，由此得：x-2=0，x-8=0，解得：x1=2，x2=8．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，解題的關鍵是根據題目要求選取相應的方法求解．考點三換元法解一元二次方程例題：（2022·江蘇南京·二模）若關于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=?5，則關于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】設t=y+1，則原方程可化為at2+bt+c=0，根據關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到結論．【詳解】解：設t=y+1，則原方程可化為at2+bt+c=0，∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解為x1=3，x2=-5，∴t1=3，t2=-5，∴y+1=3或y+1=-5，解得y1=2，y2=-6．故選：B．【點睛】此題主要考查了換元法解一元二次方程，關鍵是正確找出兩個方程解的關系．【變式訓練】1．（2022·湖南邵陽·九年級期末）請你先認真閱讀下列材料，再參照例子解答問題：已知，求的值．解：設，則原方程變形為，即∴得t1＝﹣2，t2＝1∴或已知，求的值．【答案】【解析】【分析】先換元，再求出t的值，最后求出答案即可．【詳解】解：設∴即，∴，解得：，（舍去）∴即的值為．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確換元是解此題的關鍵．2．（2022·四川瀘州·一模）請閱讀下列材料：解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．解法如下：將x2﹣1視為一個整體，然后設x2﹣1＝y(tǒng)，則（x2﹣1）2＝y(tǒng)2，原方程可化為y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．（1）當y＝1時，x2﹣1＝1，解得x＝±；（2）當y＝4時，x2﹣1＝4，解得x＝±．綜合（1）（2），可得原方程的解為x1＝，x2＝﹣，x3＝，x4＝﹣．參照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解為_____．【答案】，【解析】【分析】仿照范例，可以設，則原方程化為一元二次方程：，先解出y的值，再進一步解出x的值．【詳解】解：設，則原方程可化為：，解得：y1＝3，y2＝﹣2，（1）當y＝3時，x2＝3，解得x1＝，x2＝，（2）當y＝﹣2．時，x2＝﹣2，此方程無實數根，綜合（1）（2），可得原方程的解是：x1＝，x2＝，故答案為：x1＝，x2＝【點睛】本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應用．解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理．考點四已知一元二次方程的解求另一個解例題：（2022·陜西·西安鐵一中分校三模）若關于x的方程有一個根是2，則另一個根是（

）A．6 B．3 C． D．【答案】B【解析】【分析】由根和系數的關系即可求得方程的另一個根．【詳解】解：設另一個根為m，由根和系數的關系有：解得故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程根和系數的關系，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·江蘇南京·二模）關于x的方程x2+bx?2=0有一個根是1，則方程的另一個根是______．【答案】-2【解析】【分析】設方程的另一個根為t，根據根與系數的關系得到1×t=-2，然后解一次方程即可．【詳解】解：設方程的另一個根為t，根據題意得1×t=-2，解得t=-2．故答案為：-2．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=-，x1x2=．2．（2022·四川成都·二模）已知關于x的方程x2+3x+m＝0的一個根是1，則此方程的另一個根為_____．【答案】-4【解析】【分析】設該方程的兩根為x1，x2，根據一元二次方程根與系數的關系，求出兩根之和，結合“已知關于x的方程x2+3x+m＝0的一個根是1”，即可得到答案．【詳解】設該方程的兩根為x1，x2，則x1+x2＝﹣3，∵該方程的一個根為1，∴另一個根為：﹣3﹣1＝﹣4，故答案為：﹣4．【點睛】本題考查了根與系數的關系，一元二次方程的解，正確掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．考點五根據一元二次方程的根與系數的關系求參數與代數式的值例題1：（2022·江蘇南京·模擬預測）已知關于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的兩個實數根是x1，x2，且x1+x2＝4，則m的值為__．【答案】-1【解析】【分析】根據根與系數的關系得出x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，再解方程即可．【詳解】解：∵關于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的兩個實數根是x1和x2，且x1+x2＝4，∴由根與系數的關系得：x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4，解得：m＝﹣1，故答案為：﹣1．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，能熟記根與系數的關系的內容是解此題的關鍵．例題2：（2022·江西南昌·二模）若一元二次方程的兩個實數根為a，b，則的值為_______．【答案】5【解析】【分析】先根據根與系數的關系得到然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：根據題意得故答案為：【點睛】本題考查了根與系數的關系．解題的關鍵在于熟練掌握根與系數的關系，若是一元二次方程的兩根時，則【變式訓練】1．（2022·四川瀘州·中考真題）已知關于的方程的兩實數根為，，若，則的值為（

）A． B． C．或3 D．或3【答案】A【解析】【分析】利用根與系數的關系以及求解即可．【詳解】解：由題意可知：，且∵，∴，解得：或，∵，即，∴，故選：A【點睛】本題考查根與系數的關系以及根據方程根的情況確定參數范圍，解題的關鍵是求出，再利用根與系數的關系求出或（舍去）．2．（2022·貴州六盤水·九年級期末）若a，b是關于x的方程的兩個實數根，則___．【答案】2020【解析】【分析】由a，b是關于x的方程的兩個實數根得，，，再整理代數式即可求得答案．【詳解】解：a，b是的兩個實數根，，a+b=2,即，，故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數的關系及一元二次方程的解，根據一元二次方程的解及根與系數的關系找出，是解題的關鍵．3．（2022·四川瀘州·二模）已知是關于x的一元二次方程兩個實數根，且，則a＝______．【答案】2【解析】【分析】先根據一元二次方程根的判別式可得，再根據一元二次方程的根與系數的關系可得，然后根據建立方程，解方程即可得．【詳解】解：由題意，此方程根的判別式，解得，是關于的一元二次方程兩個實數根，，，，，解得或（舍去），故答案為：2．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數的關系、解一元二次方程等知識點，熟練掌握一元二次方程的根與系數的關系是解題關鍵．考點六一元二次方程根的判別式與根與系數的綜合問題例題：（2022年四川省南充市中考數學試卷）已知關于x的一元二次方程有實數根．(1)求實數k的取值范圍．(2)設方程的兩個實數根分別為，若，求k的值．【答案】(1)k；(2)k=3【解析】【分析】根據一元二次方程有實數根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；（2）根據根與系數的關系得到，將等式左側展開代入計算即可得到k值．(1)解：∵一元二次方程有實數根．∴?0，即32-4（k-2）0，解得k(2)∵方程的兩個實數根分別為，∴，∵，∴，∴，解得k=3．【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系式，熟練掌握一元二次方程有關知識是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·湖南·雙牌縣教育研究室模擬預測）已知關于的一元二次方程有，兩個實數根．(1)求的取值范圍；(2)若，求及的值；(3)是否存在實數，滿足？若存在，求出實數的值？若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)；(3)存在；或【解析】【分析】（1）根據方程有兩個實數根，得到根的判別式大于等于0，求出m的范圍即可；（2）利用根與系數的關系求出兩根之和，把x1的值代入計算求出x2，進而求出m的值即可；（3）利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，代入已知等式計算，判斷即可．(1)解：∵關于的一元二次方程有，兩個實數根，∴，解得；(2)解：∵，，，∴，∴，解得；(3)解：存在，理由如下：∵，，，∴，∴，整理得，∵，∴，解得，．【點睛】此題考查了根與系數的關系，以及根的判別式，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系及根的判別式意義是解本題的關鍵．2．（2022·湖北荊門·一模）已知關于的一元二次方程．(1)求證：無論為任何非零實數，此方程總有兩個實數根；(2)若該方程的兩個實數根分別為、，且，求的值．【答案】(1)見解析；(2)，【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式判斷即可；（2）利用一元二次方程根與系數的關系，結合完全平方公式的變形求值即可．(1)解：∵一元二次方程，，∴無論為任何非零實數，此方程總有兩個實數根；(2)解：依題意得，，，∵，∴，∴，即，（3a+1）（a-1）=0，解得，；【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，．一、選擇題1．（2022·山西·孝義市教育科技局教學研究室三模）一元二次方程的根為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】【分析】利用因式分解法解答，即可求解．【詳解】解：解得：，故選：D【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的解法——直接開平方法，因式分解法，配方法，公式法是解題的關鍵．2．（2022·重慶實驗外國語學校八年級期中）若一元二次方程的一個根是，則另一個根是（

）A．6 B．5 C．-3 D．2【答案】D【解析】【分析】設方程的另一個根為m，由根與系數的關系即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：設方程的另一個根為m，則有m+3=5，解得：m=2，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，牢記兩根之和等于是解題的關鍵．3．（2022·江西吉安·九年級期末）已知矩形的長和寬是方程的兩個實數根，則矩形的對角線的長為（

）A．6 B．7 C．20 D．【答案】D【解析】【分析】設矩形的長和寬分別為a、b，解出a、b，利用勾股定理得到矩形的對角線長，代入計算出矩形的對角線長即可．【詳解】解：設矩形的長和寬分別為a、b，∵x2﹣6x+8＝0∴(x﹣4)(x﹣2)=0∴x=4或x=2，∵長和寬是方程的兩個實數根∴a＝4，b＝2，所以矩形的對角線長2，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，也考查了矩形的性質及勾股定理，熟練掌握一元二次方程的解法及勾股定理是解題的關鍵．4．（2022·內蒙古北方重工業(yè)集團有限公司第一中學三模）若是一元二次方程的兩個根，則的值為(

)A．3 B．2 C．1 D．【答案】A【解析】【分析】利用一元二次方程的定義，根與系數的關系，可得，，再代入，即可求解．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個根，∴，，∴，∴．故選：A【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程的定義，根與系數的關系是解題的關鍵．5．（2022年貴州省黔東南州中考數學真題）已知關于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（

）A．7 B． C．6 D．【答案】B【解析】【分析】根據根與系數關系求出=3，a=3，再求代數式的值即．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根分別記為，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=-a=-3，∴a=3，∴．故選B．【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數關系，代數式的值，掌握一元二次方程的根與系數關系，代數式的值是解題關鍵．6．（2022·山東·招遠市教學研究室八年級期中）關于x的一元二次方程有一個根為x＝5，則關于x的一元二次方程必有一個根為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】【分析】先將方程化為，再根據方程有一個根為x＝5，根據x-1=5求解即可．【詳解】解：將關于x的一元二次方程變形，得(m≠0)，令u=x-1，得，關于x的一元二次方程有一個根為x＝5，關于u的一元二次方程(m≠0)有一個根為u=5，將u=5代入u=x-1，得，解得，x=6，故選：D．【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握換元法是解本題的關鍵．二、填空題7．（2022·全國·九年級）方程的根是__．【答案】或【解析】【分析】將方程右邊整體移至左邊，再將左邊因式分解即可得．【詳解】解：移項，得：，將左邊因式分解，得：，即，∴或，解得：或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查用因式分解法解方程的能力，只有當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式，而另一邊是0的時候，才能應用因式分解法解一元二次方程．分解因式時，要根據情況靈活運用學過的因式分解的幾種方法．8．（2022·青海海東·九年級期末）關于x的方程的一個根是，則它的另一個根________．【答案】-1【解析】【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，求出另外一個根即可．【詳解】解：∵關于x的方程的兩根之積為：，∴，∵，∴，解得：．故答案為：-1．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握及，是解題的關鍵．9．（2022·全國·九年級）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的兩個實數根為α、β，則αβ﹣α﹣β的值為__．【答案】【解析】【分析】根據根與系數的關系得到α+β＝3，αβ＝1，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：根據根與系數的關系得到α+β＝3，αβ＝1，所以αβ﹣α﹣β＝αβ﹣（α+β）＝1﹣3＝﹣2．故答案為：-2【點睛】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，則x1+x2=，x1x2＝．10．（2022·山東·陵城區(qū)教學研究室一模）若直角三角形的兩邊長分別是一元二次方程x2－7x＋12＝0的兩個實數根，則該直角三角形的面積是_______．【答案】6或．【解析】【分析】解方程求出兩邊長，再分類討論求出面積即可．【詳解】解：解方程得，，，當3和4是直角三角形的兩條直角邊時，直角三角形的面積為；當3是直角三角形的直角邊，4是直角三角形的斜邊時，另一條直角邊為，直角三角形的面積為；故答案為：6或．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法和勾股定理，解題關鍵是正確地解方程，分類討論，求出直角三角形的直角邊長．11．（2022·湖南·吉首市教育科學研究所模擬預測）對于實數，定義運算“※”：※=．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若是關于的一元二次方程的兩個實數根，則※=_____．【答案】20【解析】【分析】根據新定義表示出，根據一元二次方程根與系數的關系可得，進而即可求解．【詳解】解：∵是關于的一元二次方程的兩個實數根，∴，∴．故答案為：20．【點睛】本題考查了新定義運算，一元二次方程根與系數的關系，掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．12．（2022·安徽·舒城縣仁峰實驗學校八年級階段練習）對于實數a，b，先定義一種新運算“”如下：ab＝（1）計算：＝_____；（2）若2m＝36，則實數m等于_____．【答案】

4【解析】【分析】（1）直接根據定義列出式子求解即可；（2）分進行分類討論，根據新定義列出關于的方程，解之可得答案．【詳解】解：（1）根據題意：，，，故答案為：；（2）當時，，解得：（舍去），當時，，解得：，（舍去），故答案為：4．【點睛】本題主要考查實數的運算，二次根式的混合運算，解一元二次方程，解題的關鍵是理解新定義，依據新定義分情況列出關于的方程．三、解答題13．（2022·山東德州·九年級期末）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用十字乘法把方程的左邊分解因式，再解方程即可；（2）先移項，再把方程的左邊利用提公因式的方法分解因式，再解方程即可．(1)解：，∴或解得：(2)，移項得：或解得：，【點睛】本題考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“因式分解的方法解一元二次方程的步驟”是解本題的關鍵．14．（2022·河南信陽·九年級期末）解方程：(1)x2－2x－3＝0(2)（x﹣3）2＝2x﹣6【答案】(1)x1＝3，x2＝－1(2)x1＝3，x2＝5【解析】【分析】（1）把常數項移到右邊后，用配方法解一元二次方程即可；（2）把右邊部分移項后，用因式分解法解一元二次方程即可．(1)解：x2－2x－3＝0移項，得：x2－2x＝3，配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，即（x－1）2＝4．兩邊同時開方，得：x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1．(2)解：（x﹣3）2＝2x﹣6∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，則（x﹣3）（x﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，解得：x1＝3，x2＝5．【點睛】此題考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟是解題的關鍵．15．（2022·浙江·樂清市樂成第一中學八年級期中）用適當的方法解方程：(1)．(2)．【答案】(1)，；(2)，【解析】【分析】將左邊利用十字相乘法因式分解，繼而可得兩個關于的一元一次方程，分別求解即可得出答案；先移項，再將左邊利用提公因式法因式分解，繼而可得兩個關于的一元一次方程，分別求解即可得出答案．(1)解：，，則或，解得，，所以，原方程的解為，；(2)解：，則，或，解得，．所以，原方程的解為，．【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握和運用一元二次方程的解法是解決本題的關鍵．16．（2022·北京門頭溝·二模）已知關于x的二次方程有兩個不相等的實數根．(1)求m的取值范圍；(2)如果m為正整數，求此方程的根．【答案】(1)且；(2)x1=0，x2=-1【解析】【分析】（1）由方程有兩個不相等的實數根得到?>0，利用公式求出m的取值范圍；（2）由（1）及m為正整數，可得m=1，利用因式分解法解方程即可．(1)解：∵關于x的二次方程有兩個不相等的實數根，∴?>0，∴，解得；∵，∴且；(2)∵且m≠0，m為正整數，∴m=1，∴該方程為，解得x1=0，x2=-1．【點睛】此題考查了一元二次方程根的情況求參數的取值范圍，解一元二次方程，正確掌握一元二次方程根的判別式與根的情況是解題的關鍵．17．（2022·全國·九年級）已知關于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有實數根．(1)求實數m的取值范圍；(2)當m＝2時，方程的根為x1，x2，求代數式（x12+2x1）（x22+4x2+2）的值．【答案】(1)m≤(2)1【解析】【分析】（1）根據△≥0，解不等式即可；（2）將m＝2代入原方程可得：x2+3x+1＝0，計算兩根和與兩根積，化簡所求式子，可得結論．(1)解：∵關于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣3＝0有實數根，∴△=（2m﹣1）2﹣4（m2﹣3）≥0，∴m≤．(2)當m＝2時，方程為x2+3x+1＝0，∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝1，∵方程的根為x1，x2，∴x12+3x1+1＝0，x22+3x2+1＝0，∴（x12+2x1）（x22+4x2