第17講證明不等式之泰勒展式和拉格朗日中值定理【典型例題】例1．已知函數(shù)，．（1）若恰為的極小值點(diǎn)．（?。┳C明：；（ⅱ）求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，，又由泰勒級(jí)數(shù)知：，．證明：．例2．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．例3．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，，，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)，若區(qū)間，滿足當(dāng)定義域?yàn)?，時(shí)，值域也為，，則稱為的“和諧區(qū)間”，（?。r(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（ⅱ）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由．例4．給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作，．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為．根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：（1）求出在點(diǎn)處的3階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的3階泰勒展開式；（2）比較（1）中與的大?。?）已知不小于其在點(diǎn)處的3階泰勒展開式，證明：時(shí)，．例5．利用拉格朗日（法國數(shù)學(xué)家，插值公式，可以把二次函數(shù)表示成的形式．（1）若，，，，，把的二次項(xiàng)系數(shù)表示成關(guān)于的函數(shù)，并求的值域（此處視為給定的常數(shù)，答案用表示）；（2）若，，，，求證：．例6．用拉格朗日中值定理證明不等式：．例7．已知函數(shù)、，的圖象在，（2）處的切線與軸平行．（1）求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程：在，恒有實(shí)數(shù)解；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間，上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．如我們所學(xué)過的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：當(dāng)時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．例8．已知，，（1）若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間；（2）如圖所示，若函數(shù)的圖象在，連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于．【同步練習(xí)】一、單選題1．十八世紀(jì)早期，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式，（其中，，，），現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（

）A． B．C． D．2．公元1715年英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰在他的著作中陳述了“泰勒公式”，如果滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似表達(dá)這個(gè)函數(shù).泰勒公式將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，使得它成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問題的有力工具，例如：，其中，，試用上述公式估計(jì)的近似值為（精確到0.001）（

）A．1.647 B． C． D．1.6463．計(jì)算器是如何計(jì)算，，，，等函數(shù)值的呢？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如，，其中，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得出的和的值也就越精確．運(yùn)用上述思想，可得到的近似值為（

）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56二、填空題4．英國數(shù)學(xué)家泰勒(1685-1731)以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)聞名于世，由泰勒公式，我們得到(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，)，其拉格朗日余項(xiàng)是可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)不超過時(shí)，正整數(shù)n的最小值是_____三、解答題5．給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式.例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；(2)比較（1）中與的大小.(3)證明：.6．在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的泰勒展開式.(1)分別求，，在處的泰勒展開式；(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：.（其中為虛數(shù)單位）；(3)若，恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)）7．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由.8．計(jì)算器是如何計(jì)算，，，，等函數(shù)值的？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如，，其中.英國數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylor，1685―1731）發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的和的值也就越精確.例如，我們用前三項(xiàng)計(jì)算，就得到.像這些公式已被編入計(jì)算器內(nèi)，計(jì)算器利用足夠多的項(xiàng)就可確保其顯示值是精確的.試用你的計(jì)算器計(jì)算，并與上述結(jié)果進(jìn)行比較.9．給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為．根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：（1）求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；（2）比較（1）中與的大?。?）已知不小于其在點(diǎn)處的階泰勒展開式，證明：．10．已知函數(shù)，.（1）若恰為的極小值點(diǎn).①證明：；②求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，，又由泰勒級(jí)數(shù)知：，證明：11．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中.這些公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的精確性.比如，用前三項(xiàng)計(jì)算，就得到.試用你的計(jì)算工具計(jì)算，并與上述結(jié)果比較.四、雙空題12．記為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)且，若存在，則稱階可導(dǎo)．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導(dǎo)，則可構(gòu)造（稱為次泰勒多項(xiàng)式）來逼近在附近的函數(shù)值．據(jù)此計(jì)算在處的3次泰勒多項(xiàng)式為=_________；在處的10次泰勒多項(xiàng)式中的系數(shù)為_________第17講證明不等式之泰勒展式和拉格朗日中值定理【典型例題】例1．已知函數(shù)，．（1）若恰為的極小值點(diǎn)．（?。┳C明：；（ⅱ）求在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，，又由泰勒級(jí)數(shù)知：，．證明：．【解析】解：（1）證明：（ⅰ）由題意得：，因?yàn)闉楹瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，令，則，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上有唯一的零點(diǎn)，所以；（ⅱ）由（?。┲海?，，①當(dāng)時(shí)，由，，，得：，所以在上單調(diào)遞減，，所以在區(qū)間上不存在零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，若，令，則，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?；所以存在，滿足，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；若，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞減；若，則，在上單調(diào)遞減；由得，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以存在使得，所以?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；綜上，在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；（2）因?yàn)棰賹?duì)，兩邊求導(dǎo)得：，，所以②比較①②式中的系數(shù)，得：所以．例2．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，對(duì)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)．若正實(shí)數(shù)，滿足，，，，證明：．【解析】解：（1），，△，①時(shí)，恒成立，故函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，②時(shí)，或，故函數(shù)在，，遞增，在，遞減，綜上，時(shí)，函數(shù)在遞增，無遞減區(qū)間，時(shí)，函數(shù)在，，遞增，在，遞減，（2），對(duì)，恒成立，即，時(shí)，恒成立，令，，則，令，則，在遞減且（1），時(shí)，，，遞增，當(dāng)，，，遞減，（1），綜上，的范圍是，．（3）證明：當(dāng)時(shí)，，，不妨設(shè)，下先證：存在，，使得，構(gòu)造函數(shù)，顯然，且，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，存在，，使得，即存在，，使得，又為增函數(shù)，，即，設(shè)，則，，①，②，由①②得，，即．例3．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，，，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)，若區(qū)間，滿足當(dāng)定義域?yàn)?，時(shí)，值域也為，，則稱為的“和諧區(qū)間”，（?。r(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（ⅱ）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）證明：由已知當(dāng)時(shí)，，得，所以當(dāng)時(shí)，．（2）時(shí)，假設(shè)存在，則由知，注意到，故，所以在，單調(diào)遞增，于是，即，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，易知不是方程的根，由已知，當(dāng)時(shí)，，令，則有時(shí)，，即，故方程只有一個(gè)實(shí)根0，故不存在和諧區(qū)間．時(shí)，假設(shè)存在，則由知，若，，則由，，，知，與值域是，，矛盾，故不存在和諧區(qū)間，同理，，時(shí)，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時(shí)的定義域?yàn)?，，值域?yàn)?，，符合題意．若，當(dāng)時(shí)，同理可得，，舍去，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，所以，于是，若即，則，故，，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的和諧區(qū)間，．例4．給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作，．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為．根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：（1）求出在點(diǎn)處的3階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的3階泰勒展開式；（2）比較（1）中與的大小．（3）已知不小于其在點(diǎn)處的3階泰勒展開式，證明：時(shí)，．【解析】（1）解：因?yàn)椋瑒t，，，所以，，，故，即，同理可得，；（2）解：由（1）可知，，，令，則，則，，所以在上單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，故在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（3）證明：令，則，所以．則在上單調(diào)遞增，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的3階泰勒展開式為：，所以，又在處的3階泰勒展開式為：，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，故．例5．利用拉格朗日（法國數(shù)學(xué)家，插值公式，可以把二次函數(shù)表示成的形式．（1）若，，，，，把的二次項(xiàng)系數(shù)表示成關(guān)于的函數(shù)，并求的值域（此處視為給定的常數(shù)，答案用表示）；（2）若，，，，求證：．【解析】（1）解：由題意，又，所以，當(dāng)時(shí)，，則的值域是；當(dāng)時(shí)，，所以的值域是，，．（2）證明：因?yàn)?，，，，所以，，因?yàn)?，，，，所以，，所以，所以，，因?yàn)?，，，，所以，，所以，所以，綜上，原不等式成立．例6．用拉格朗日中值定理證明不等式：．【解析】證明：設(shè)，，則符合拉格朗日中值定理的條件，即存在，使，因?yàn)?，由，，可知，，，即，可得，即有，令，可得，即有．?．已知函數(shù)、，的圖象在，（2）處的切線與軸平行．（1）求，的關(guān)系式并求的單調(diào)減區(qū)間；（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程：在，恒有實(shí)數(shù)解；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)是在閉區(qū)間，上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．如我們所學(xué)過的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件．試用拉格朗日中值定理證明：當(dāng)時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）．【解析】解：（1）因?yàn)?，?分）由已知有（2），所以即（2分）即，由知．當(dāng)時(shí)得或，的減區(qū)間為；（3分）當(dāng)時(shí)得：，的減區(qū)間為和；（4分）綜上所述：當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為和；（5分）（2），（6分），可化為，令（7分）則，，即又因?yàn)椋?，，即，?分）故在區(qū)間，內(nèi)必有解，即關(guān)于的方程在，恒有實(shí)數(shù)解（9分）（3）令，，（10分）則符合拉格朗日中值定理的條件，即存在，使（11分）因?yàn)?，由，可知，?2分）即，（14分）例8．已知，，（1）若在處取得極值，試求的值和的單調(diào)增區(qū)間；（2）如圖所示，若函數(shù)的圖象在，連續(xù)光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)的連線斜率不小于．【解析】解：（1），（1分）依題意，有，即．（2分），．令，得或，（5分）從而的單調(diào)增區(qū)間為：及；（6分）（2）；，（7分）（9分）．（12分）由（2）知，對(duì)于函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)、，在、之間一定存在一點(diǎn)，（c），使得（c），又，故有（c），證畢．（14分）【同步練習(xí)】一、單選題1．十八世紀(jì)早期，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式，（其中，，，），現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?則,當(dāng)時(shí)，則有,又,則,故選∶C．2．公元1715年英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰在他的著作中陳述了“泰勒公式”，如果滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似表達(dá)這個(gè)函數(shù).泰勒公式將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)，使得它成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問題的有力工具，例如：，其中，，試用上述公式估計(jì)的近似值為（精確到0.001）（

）A．1.647 B． C． D．1.646【答案】B【解析】由題意可知，結(jié)果只需精確到0.001即可，令，取前6項(xiàng)可得：所以的近似值為，故選：B.3．計(jì)算器是如何計(jì)算，，，，等函數(shù)值的呢？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如，，其中，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得出的和的值也就越精確．運(yùn)用上述思想，可得到的近似值為（

）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56【答案】C【解析】由題意可得，，故.故選：．二、填空題4．英國數(shù)學(xué)家泰勒(1685-1731)以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)聞名于世，由泰勒公式，我們得到(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，)，其拉格朗日余項(xiàng)是可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的e的近似值也就越精確.若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)不超過時(shí)，正整數(shù)n的最小值是_____【答案】6【解析】依題意得，即，，，所以的最小值是6．故答案為：6三、解答題5．給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式.例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；(2)比較（1）中與的大小.(3)證明：.【解析】（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）令，則，，在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即；在點(diǎn)處的階泰勒展開式為：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，①當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，，當(dāng)，由（2）可知，所以，，即有；當(dāng)時(shí)，，所以，時(shí)，單調(diào)遞減，從而，即．綜上所述：.6．在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的泰勒展開式.(1)分別求，，在處的泰勒展開式；(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：.（其中為虛數(shù)單位）；(3)若，恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)）【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在處的泰勒展開式為（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），所以，，在處的泰勒展開式分別為：，，；（2）證明：把在處的泰勒展開式中的替換為，可得，所以，即；（3）由在處的泰勒展開式，先證，令，，易知，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，再令，，易得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以恒成立，當(dāng)時(shí)，，所以成立，當(dāng)時(shí)，令，，易求得，所以必存在一個(gè)區(qū)間，使得在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，，不符合題意.綜上所述，.7．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）由已知當(dāng)時(shí)，，得，所以當(dāng)時(shí)，.（2）（i）時(shí)，假設(shè)存在，則由知，注意到，故，所以在單調(diào)遞增，于是，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，易知不是方程的根，由已知，當(dāng)時(shí)，，令，則有時(shí)，，即，故方程只有一個(gè)實(shí)根0，故不存在“和諧區(qū)間”.（ii）時(shí)，假設(shè)存在，則由知若，則由，知，與值域是矛盾，故不存在“和諧區(qū)間”，同理，時(shí)，也不存在，下面討論，若，則，故最小值為，于是，所以，所以最大值為2，故，此時(shí)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，同理可得，舍去，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以，于是，若即，則，故，與矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，從而，，從而，矛盾，綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.8．計(jì)算器是如何計(jì)算，，，，等函數(shù)值的？計(jì)算器使用的是數(shù)值計(jì)算法，其中一種方法是用容易計(jì)算的多項(xiàng)式近似地表示這些函數(shù)，通過計(jì)算多項(xiàng)式的值求出原函數(shù)的值，如，，其中.英國數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylor，1685―1731）發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項(xiàng)用得越多，計(jì)算得到的和的值也就越精確.例如，我們用前三項(xiàng)計(jì)算，就得到.像這些公式已被編入計(jì)算器內(nèi)，計(jì)算器利用足夠多的項(xiàng)就可確保其顯示值是精確的.試用你的計(jì)算器計(jì)算，并與上述結(jié)果進(jìn)行比較.【解析】用計(jì)算器計(jì)算得，和數(shù)值比較發(fā)現(xiàn)，通過計(jì)算的答案只能精確到小數(shù)點(diǎn)后第3位.9．給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為．根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：（1）求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；（2）比較（1）中與的大小．（3）已知不小于其在點(diǎn)處的階泰勒展開式，證明：．【解析】（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)