2025屆河南天一大聯(lián)考高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過的直線與y軸交于點(diǎn)A、與雙曲線右支交于點(diǎn)B，若為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.2．已知橢圓：的離心率為，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.3．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，，若△的面積為，則雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A.1 B.2C.4 D.64．我們通常稱離心率是的橢圓為“黃金橢圓”．如圖，已知橢圓，，，，分別為左、右、上、下頂點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，下列條件中能使橢圓為“黃金橢圓”的是（）A. B.C.軸，且 D.四邊形的一個(gè)內(nèi)角為5．甲、乙兩組數(shù)的數(shù)據(jù)如莖葉圖所示，則甲、乙的平均數(shù)、方差、極差及中位數(shù)中相同的是（）A.極差 B.方差C.平均數(shù) D.中位數(shù)6．已知函數(shù)對(duì)于任意的滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.7．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，過分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，則A.2 B.3C. D.48．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1C.無數(shù)個(gè) D.0或無數(shù)個(gè)9．已知等差數(shù)列為其前項(xiàng)和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.1310．已知直線：恒過點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與圓：相交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C.4 D.11．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題12．已知橢圓，則它的短軸長(zhǎng)為（）A.2 B.4C.6 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則______14．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率為__________.15．若圓平分圓的周長(zhǎng),則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為____________16．在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)、、滿足，則實(shí)數(shù)的值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l交圓C于A，B兩點(diǎn).（1）當(dāng)P為弦的中點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程；（2）若直線l與直線平行，求弦的長(zhǎng).18．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)在處取得極值時(shí)，求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)?shù)臉O大值不小于時(shí)，求的取值范圍19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，問是否存在直線l，使得F為的垂心，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.20．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD中，PA平面ABCD，，∠BAD=120o，AB＝AD＝2，點(diǎn)M在線段PD上，且DM＝2MP，平面（1）求證：平面MAC平面PAD；（2）若PA＝6，求平面PAB和平面MAC所成銳二面角的余弦值21．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，且E上一點(diǎn)P到F的最大距離3（1）求橢圓E的方程；（2）若A，B為橢圓E上的兩點(diǎn)，線段AB過點(diǎn)F，且其垂直平分線交x軸于H點(diǎn)，，求22．（10分）已知三點(diǎn)共線，其中是數(shù)列中的第n項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對(duì)稱性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，從而即可求解.【詳解】解：由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對(duì)稱性有，所以，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理有，所以，解得，所以雙曲線C的離心率，故選：B.2、C【解析】根據(jù)題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以所以，解?故選：C3、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進(jìn)而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】由題意知，點(diǎn)P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實(shí)軸長(zhǎng)為，故選：C.4、B【解析】先求出橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)于A，根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)求出離心率判斷A；對(duì)于B，根據(jù)勾股定理以及離心率公式判斷B；根據(jù)結(jié)合斜率公式以及離心率公式判斷C；由四邊形的一個(gè)內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，得到，結(jié)合離心率公式判斷D.【詳解】∵橢圓∴對(duì)于A，若，則，∴，∴，不滿足條件，故A不符合條件；對(duì)于B，，∴∴，∴∴，解得或（舍去），故B符合條件；對(duì)于C，軸，且，∴∵∴，解得∵，∴∴，不滿足題意，故C不符合條件；對(duì)于D，四邊形的一個(gè)內(nèi)角為,即即三角形是等邊三角形，∴∴，解得∴，故D不符合條件故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓離心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的應(yīng)用，充分利用建立的等式是解題關(guān)鍵.5、C【解析】根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，可直接判斷方差不同；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算極差、中位數(shù)、平均數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】由莖葉圖可得：甲的數(shù)據(jù)更集中，乙的數(shù)據(jù)較分散，所以甲與乙的方差不同；甲的極差為；乙的極差為，所以甲與乙的極差不同；甲的中位數(shù)為，乙的中位數(shù)為，所以中位數(shù)不同；甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，所以甲、乙的平均數(shù)相同；故選：C.6、C【解析】令，結(jié)合題意可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出，變形即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，又，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，則.故選：C7、D【解析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過分別作的垂線與軸交于兩點(diǎn)，∴，故選D.8、D【解析】利用等比數(shù)列的求和公式討論公比的取值即得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以無解，即方程的解的個(gè)數(shù)為0，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，方程有無數(shù)個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)時(shí)，方程無解，綜上，關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù)為0或無數(shù)個(gè).故選：D.9、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，，進(jìn)而根據(jù)條件求出，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式和下標(biāo)性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數(shù)列，所以，又，又，聯(lián)立方程組解得：.于是，.故選：B.10、A【解析】根據(jù)將最小值問題轉(zhuǎn)化為d取得最大值問題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】將，變形為，故直線恒過點(diǎn)，圓心，半徑，已知點(diǎn)P在圓內(nèi)，過點(diǎn)作直線與圓相交于A，兩點(diǎn)，記圓心到直線的距離為d，則，所以當(dāng)d取得最大值時(shí)，有最小值，結(jié)合圖形易知，當(dāng)直線與線段垂直的時(shí)候，d取得最大值，即取得最小值，此時(shí)，所以.故選：A.11、B【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【詳解】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋悦}為假命題因?yàn)?，所以命題為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B12、B【解析】根據(jù)橢圓短軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的加法法則，對(duì)求導(dǎo)，再求即可.【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：14、【解析】直線與橢圓相交，求交點(diǎn)，利用列式求解即可.【詳解】聯(lián)立方程得，因?yàn)椋?即，所以，.故答案為：.15、6【解析】根據(jù)兩圓的公共弦過圓的圓心即可獲解【詳解】?jī)蓤A相減得公共弦所在的直線方程為由題知兩圓的公共弦過圓的圓心,所以即,又,所以到直線的距離所以直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為故答案為:616、##【解析】分析可知，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得，，因?yàn)?，則，即，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意，，求出直線l的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求解；（2）由題意，利用點(diǎn)斜式求出直線l的方程，然后由點(diǎn)到直線的距離公式求出弦心距，最后根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解.小問1詳解】解：由題意，圓心，P為弦的中點(diǎn)時(shí)，由圓的性質(zhì)有，又，所以，所以直線l的方程為，即；【小問2詳解】解：因?yàn)橹本€l與直線平行，所以，所以直線的方程為，即，因?yàn)閳A心到直線的距離，又半徑，所以由弦長(zhǎng)公式得.18、（1）；（2）.【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)求出m，并驗(yàn)證此時(shí)函數(shù)在x=1處取得極值，進(jìn)而求得答案；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值，然后求出m的范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，所以，此時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，即在處取得極小值，故.【小問2詳解】，令，解得.時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增.，即的取值范圍是.19、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)離心率及短軸長(zhǎng)，利用橢圓中的關(guān)系可以求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知和斜率公式，可以求出直線的方程.【小問1詳解】，，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由已知可得，，，∴，∵，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程整理得，設(shè)，，則，，∵，∴.即，因?yàn)椋?，?.所以，或.又時(shí)，直線過點(diǎn)，不合要求，所以.故存在直線：滿足題設(shè)條件.20、（1）證明見解析（2）【解析】(1)連接BD交AC于點(diǎn)E，連接ME，由所給條件推理出CA⊥AD，進(jìn)而得CA⊥平面PAD，證得結(jié)論(2)首先以A為原點(diǎn)，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求解二面角即可【小問1詳解】(1)連接BD交AC于點(diǎn)E，連接ME，如圖所示：∵平面MAC，PB平面PBD，平面PBD平面MAC=ME，∴，，則BC=1，而AB=2，，，∴AC2+BC2=4=AB2，∠ACB=90o，∠CAD=90o，即CA⊥AD，又PA⊥平面ABCD，CA平面ABCD，∴PA⊥CA，又PAAD=A，∴CA⊥平面PAD，而CA平面MAC，∴平面MAC⊥平面PAD【小問2詳解】（2）如圖所示：以A為原點(diǎn)，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)平面PAB和平面MAC的一個(gè)法向量分別為，平面PAB和平面MAC所成銳二面角為，∴，，∴.21、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)離心率和最大距離建立等式即可求解；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)，求出直線方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.【詳解】（1）橢圓的離心率為，