第1章勾股定理全章復(fù)習(xí)與測(cè)試【知識(shí)梳理】一、勾股定理1．勾股定理如圖，直角三角形兩直角邊分別為，，斜邊為，那么．即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．注意：=1\*GB3①勾股定理的前提是直角三角形，對(duì)于非直角三角形的三邊之間則不存在此種關(guān)系．=2\*GB3②利用勾股定理時(shí)，必須分清直角邊，斜邊．尤其在記憶時(shí)，此關(guān)系只有當(dāng)是斜邊時(shí)才成立．若是斜邊，則關(guān)系式是；若是斜邊，則關(guān)系式是．2．直角三角形斜邊上的高=1\*GB3①已知兩條直角邊，通過(guò)勾股定理求出斜邊．=2\*GB3②根據(jù)直角三角形的面積不變，即，求出h．要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng)可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的目的.（3）理解勾股定理的一些變式：，，.二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.，所以.三、勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題會(huì)很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果()是勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形四、如何判定一個(gè)三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：當(dāng)時(shí)，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.五.勾股定理的逆定理1．勾股定理逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為，且，那么這個(gè)三角形是直角三角形．注意：=1\*GB3①不能說(shuō)在直角三角形中，因?yàn)檫€沒確定直角三角形，當(dāng)然也不能說(shuō)斜邊和直角邊．=2\*GB3②當(dāng)滿足時(shí)，是斜邊，是直角．=3\*GB3③利用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形的思路是：先確定最長(zhǎng)邊，算出最長(zhǎng)邊的平方及另兩邊的平方和，如果最長(zhǎng)邊的平方與另兩邊的平方和相等，則此三角形為直角三角形．【考點(diǎn)剖析】一．勾股定理（共8小題）1．（2022秋?兩江新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，AB＝3，BC＝5，BD是∠ABC的角平分線，則△CDE的周長(zhǎng)是（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2022秋?巴中期末）如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（）A．10 B．13 C．15 D．263．（2022秋?輝縣市校級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，分別以△ABC的邊AB、BC、AC向外作等腰Rt△ABF，等腰Rt△BEC和等腰Rt△ADC，記△ABF、△BEC，△ADC的面積分別是S1，S2，S3，則S1、S2、S3之間的數(shù)量關(guān)系是（）A．S1＜S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＞S2+S3 D．S1＝S2+S34．（2023春?渝北區(qū)校級(jí)期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝150°，BD平分∠ABC，過(guò)A點(diǎn)作AE∥BC交BD于點(diǎn)E，EF⊥BC于點(diǎn)F．若AB＝7，則EF的長(zhǎng)為．5．（2022秋?陽(yáng)城縣期末）如圖，已知Rt△ABC的三邊長(zhǎng)分別為6、8、10，分別以它們的三邊作為直徑向外作三個(gè)半圓，則圖中陰影部分的面積為．6．（2022秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝3，則BD的長(zhǎng)是．二．勾股定理的證明（共6小題）7．（2022秋?和平區(qū)期末）下面圖形能夠驗(yàn)證勾股定理的有（）A．0 B．1 C．2 D．38．（2022秋?鄲城縣期末）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個(gè)圖形就是驗(yàn)證勾股定理的兩種方法，在驗(yàn)證著名的勾股定理過(guò)程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱為“無(wú)字證明”．在驗(yàn)證過(guò)程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．函數(shù)思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．分類思想 D．方程思想9．（2022秋?巴中期末）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”．如圖是由弦圖變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝4，則S2的值是．10．（2022秋?寶山區(qū)期末）如圖，直角三角形ACB，直角頂點(diǎn)C在直線l上，分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．（1）求證：∠DAC＝∠BCE；（2）如果AC＝BC．①求證：CD＝BE；②若設(shè)△ADC的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．11．（2022秋?金牛區(qū)期末）如圖是“趙爽弦圖”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，如果AB＝15，AH＝9，則四邊形GFEH的面積為．三．勾股定理的逆定理（共3小題）12．（2022秋?丹徒區(qū)期末）若三角形的邊長(zhǎng)分別為5cm、12cm、13cm，則它的最長(zhǎng)邊上的中線為cm．四．勾股數(shù)（共2小題）13．（2022秋?平昌縣期末）在下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的一組數(shù)是（）A．3、4、5 B．6、8、10 C．5、12、13 D．3、5、714．（2022秋?望花區(qū)校級(jí)期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．1，2，2 B．32，42，52 C．5，12，13 D．6，6，6五．勾股定理的應(yīng)用（共6小題）15．（2022秋?成都期末）河濱公園有一塊長(zhǎng)方形的草坪如圖所示，有少數(shù)的人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了米，卻踩傷了花草！青青綠草地，悠悠關(guān)我心，請(qǐng)大家文明出行，足下留“青”！16．（2022秋?婺城區(qū)期末）圖1表示一雙開門關(guān)閉時(shí)的狀態(tài)圖，圖2表示打開雙門過(guò)程中，某一時(shí)刻的示意圖，其中AB為門檻寬度．（1）當(dāng)∠CAB＝∠DBA＝60°時(shí)，雙門間隙CD與門檻寬度AB的比值為．（2）若雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離AB都為1尺（1尺＝10寸），則門檻寬度AB是寸．17．（2022秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末）如圖，甲乙兩船同時(shí)從A港出發(fā)，甲船沿北偏東35°的方向，航速是12海里/時(shí)，2小時(shí)后，兩船同時(shí)到達(dá)了目的地．若C、B兩島的距離為30海里，問(wèn)乙船的航速是多少？六．平面展開最短路徑問(wèn)題（共3小題）18．（2022秋?東明縣校級(jí)期末）空心玻璃圓柱的底面圓的周長(zhǎng)是24，高是5，內(nèi)底面的點(diǎn)A有一只飛蟲，要吃到B點(diǎn)的食物，最短路徑的長(zhǎng)是（）A．6 B．7 C．13 D．1019．（2022秋?郫都區(qū)期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為22cm，底面周長(zhǎng)為30cm，在杯內(nèi)壁離杯上沿3cm的點(diǎn)B處粘有一粒面包渣，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯底5cm與面包渣相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為cm（杯壁厚度不計(jì)）．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）△ABC三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且a：b：c＝3：4：5，則△ABC是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝13cm，AC＝5cm，則第三邊AB的長(zhǎng)為（）A．18cm B．12cm C．8cm D．6cm3．（3分）下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的一組是（）A．7，12，13 B．5，9，12 C．3，4，6 D．40，50，304．（3分）將下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（）A．1、2、3 B．2、3、4 C．3、4、5 D．4、5、65．（3分）連接旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，若把繩子的下端拉開距旗桿底部端5米，則繩子下端剛好接觸地面，則旗桿的高度是（）A．3米 B．4米 C．12米 D．13米6．（3分）已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或77．（3分）下列條件能確定三角形ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A＝40°，∠B＝50° C．AB＝AC D．AB＝2，AC＝3，BC＝48．（3分）如圖，一梯子AB斜靠在一豎直墻AC上，測(cè)得梯子的頂端到地面的距離為8m，若梯子的頂端A沿墻下滑2m到點(diǎn)E，此時(shí)梯子的底端B滑到了D處，測(cè)得BD＝2m，則梯子AB的長(zhǎng)度為（）A．16m B．14m C．12m D．10m9．（3分）將三個(gè)大小不同的正方形如圖放置，頂點(diǎn)處兩兩相接，若正方形的邊長(zhǎng)為4，正方形的邊長(zhǎng)為3，則正方形的面積為（

）A．25 B．5 C．16 D．1210．（3分）如圖所示的一塊地，已知，，，，，則這塊地的面積為（

）．A． B． C． D．二．填空題（共7小題，滿分28分，每小題4分）11．（4分）禪城區(qū)某一中學(xué)現(xiàn)有一塊空地ABCD如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種草皮，經(jīng)測(cè)量，，若每種植1平方米草皮需要300元，總共需投入______元12．（4分）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是12cm，16cm，20cm，則這個(gè)三角形的面積為cm2．13．（4分）如圖，有一段樓梯AC長(zhǎng)為15米，由于這段樓梯較陡，為了方便行人通行，現(xiàn)準(zhǔn)備新修一條樓梯AD．已知AD＝20米，CD＝7米，則樓梯的高度AB為米．14．（4分）于，有下列條件：①；②；③；④．其中能確定是直角三角形的是_________．15．（4分）如圖，在正方形方格紙中，∠α與∠β的度數(shù)和為．16．（4分）如圖，標(biāo)有“長(zhǎng)”“街”“鎮(zhèn)”三字的三個(gè)正方形圍成一個(gè)直角三角形，正方形“長(zhǎng)”“街”的面積分別為81、400，則圖中標(biāo)有“鎮(zhèn)”字的正方形面積是．17．（4分）如圖，將直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF的位置，DE交AC于點(diǎn)O，已知AB＝6，BE＝4，OD＝2，則四邊形OCFD的面積為．三．解答題（共3小題，滿分18分，每小題6分）18．（6分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．求：△ABC的周長(zhǎng)．19．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，求證：∠C=90°．20．（6分）在甲村至乙村的公路旁有一塊山地需要開發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破，已知點(diǎn)C與公路上的停靠點(diǎn)A的距離為800米，與公路上另一停靠點(diǎn)B的距離為600米，且CA⊥CB，如圖，為了安全起見，爆破點(diǎn)C周圍半徑450米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問(wèn)在進(jìn)行爆破時(shí)，公路AB段是否有危險(xiǎn)需要暫時(shí)封鎖？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明．四．解答題（共3小題，滿分24分，每小題8分）21．（8分）如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，于A，于B，已知，現(xiàn)在要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？22．（8分）如圖是“弦圖”的示意圖，“弦圖”最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，它標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就．它由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形組成，恰好拼成一個(gè)大正方形，每個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請(qǐng)你運(yùn)用此圖形證明勾股定理：a2+b2＝c2．23．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝7，AC＝8，AD⊥BC于D，求BC的長(zhǎng)．五．解答題（共2小題，滿分20分，每小題10分）24．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一動(dòng)點(diǎn)E自A向B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F自B向C以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，若E、F同時(shí)分別從A、B出發(fā)．（1）試問(wèn)出發(fā)幾秒后，△BEF為等邊三角形？（2）填空：出發(fā)