青海省海東市平安區(qū)海東二中2025屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從拋物線上一點(diǎn)(點(diǎn)在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．2．已知集合，，若，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，則“α∥β是“l(fā)∥β”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④5．已知中內(nèi)角所對(duì)應(yīng)的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．6．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．函數(shù)在上為增函數(shù)，則的值可以是()A．0 B． C． D．9．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．1010．趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的，如圖（1）），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形，設(shè)，若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為（）A． B．C． D．11．過拋物線的焦點(diǎn)且與的對(duì)稱軸垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．812．已知直線和平面，若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．不充分不必要二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則________；滿足的的取值范圍為________.14．設(shè)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍_____．15．已知關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________16．如圖，從一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形紙片的三個(gè)角上，沿圖中虛線剪出三個(gè)全等的四邊形，余下部分再以虛線為折痕折起，恰好圍成一個(gè)缺少上底的正三棱柱，而剪出的三個(gè)相同的四邊形恰好拼成這個(gè)正三棱柱的上底，則所得正三棱柱的體積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方），斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，且，直線交軸于點(diǎn).（1）設(shè)橢圓的離心率為，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，的坐標(biāo)為，求的值.（2）若橢圓的方程為，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.18．（12分）已知與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為（）.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.19．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，求證：．21．（12分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).（1）求與的普通方程；（2）若與相交于，兩點(diǎn)，且，求的值.22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)坐標(biāo)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意知，焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程，所以，解得，把點(diǎn)代入拋物線方程可得，，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，代入斜率公式可得，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

解出,分別代入選項(xiàng)中的值進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】解：，.當(dāng)時(shí),，此時(shí)不成立.當(dāng)時(shí),，此時(shí)成立，符合題意.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.3、A【解析】試題分析：利用面面平行和線面平行的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．解：根據(jù)題意，由于α，β表示兩個(gè)不同的平面，l為α內(nèi)的一條直線，由于“α∥β，則根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，則必然α中任何一條直線平行于另一個(gè)平面，條件可以推出結(jié)論，反之不成立，∴“α∥β是“l(fā)∥β”的充分不必要條件．故選A．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；平面與平面平行的判定．4、D【解析】

因?yàn)?，所以①不正確；因?yàn)?，所以，，所以，所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時(shí)，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因?yàn)?，所以，所以函?shù)的最小值為，④正確．故選D．5、A【解析】

由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.6、C【解析】由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，得展開式的通項(xiàng)為，則展開式的通項(xiàng)為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識(shí)與技能，屬于中低檔題，也是常考知識(shí)點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，從而問題可得解.7、B【解析】

由題可知，，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得，對(duì)有，即，解得，再對(duì)，由勾股定理可得，化簡(jiǎn)即可求解【詳解】如圖，因?yàn)?，所?因?yàn)樗?在中，，即，得，則.在中，由得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題8、D【解析】

依次將選項(xiàng)中的代入，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上不單調(diào)，故A不正確；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故B不正確；當(dāng)時(shí)，在上不單調(diào)，故C不正確；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是一道容易題.9、C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.10、D【解析】

設(shè)，則，小正六邊形的邊長(zhǎng)為，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長(zhǎng)為，再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)，則，即小正六邊形的邊長(zhǎng)為，所以，，，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六邊形的邊長(zhǎng)為，所以，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，所以，此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解析】

設(shè)拋物線的解析式，得焦點(diǎn)為，對(duì)稱軸為軸，準(zhǔn)線為，這樣可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積．【詳解】設(shè)拋物線的解析式，則焦點(diǎn)為，對(duì)稱軸為軸，準(zhǔn)線為，∵直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，，是與的交點(diǎn)，又軸，∴可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，解得，又∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上，設(shè)過點(diǎn)的的垂線與交于點(diǎn)，，∴.故應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，解題時(shí)只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就能得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得參數(shù)的值．本題難度一般．12、B【解析】

由線面關(guān)系可知，不能確定與平面的關(guān)系，若一定可得，即可求出答案.【詳解】,不能確定還是，，當(dāng)時(shí)，存在，，由又可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先由分段函數(shù)的解析式代入求值即可得到，分和兩種情況討論可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，∵，∴?dāng)時(shí)，滿足題意，∴；當(dāng)時(shí)，由，解得.綜合可知：滿足的的取值范圍為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先求出，從而得函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)．即可得的最大值為，令，得函數(shù)取得最小值，由有實(shí)數(shù)解，，進(jìn)而得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)．所以的最大值為，令，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，又因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，那么，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.15、【解析】

先換元，令，將原方程轉(zhuǎn)化為，利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)的圖像交點(diǎn)，觀察圖像，即可求出．【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)解，令，所以方程在上只有一解，即有，直線與在的圖像有一個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是，但是當(dāng)時(shí)，還有一個(gè)根，所以此時(shí)共有3個(gè)根.綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力，方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點(diǎn)問題，是常見的轉(zhuǎn)化方式．16、1【解析】

由題意得正三棱柱底面邊長(zhǎng)6，高為，由此能求出所得正三棱柱的體積．【詳解】如圖，作，交于，，由題意得正三棱柱底面邊長(zhǎng)，高為，所得正三棱柱的體積為：．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的翻折問題、正三棱柱體積的求法、三棱柱的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意翻折前后的不變量．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）不存在，理由見解析【解析】

（1）寫出，根據(jù)，斜率乘積為-1，建立等量關(guān)系求解離心率；（2）寫出直線AB的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，計(jì)算出弦長(zhǎng)，根據(jù)垂直關(guān)系同理可得，利用等式即可得解.【詳解】（1）由題可得，過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，且，直線交軸于點(diǎn).點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，的坐標(biāo)為，即，，化簡(jiǎn)得：，即，解得或（舍去），所以；（2）橢圓的方程為，由（1）可得，聯(lián)立得：，設(shè)B的橫坐標(biāo)，根據(jù)韋達(dá)定理，即，，所以，同理可得若存在使得成立，則，化簡(jiǎn)得：，，此方程無解，所以不存在使得成立.【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓離心率，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系解決弦長(zhǎng)問題，關(guān)鍵在于熟練掌握解析幾何常用方法，尤其是韋達(dá)定理在解決解析幾何問題中的應(yīng)用.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，分析函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，可證得：，，分析直線，與從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在，處的切線即得解.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，，令，令故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，∵時(shí)；；時(shí).（2）①過點(diǎn)，的直線為，則令，，，.②過點(diǎn)，的直線為，則，在上單調(diào)遞增.③設(shè)直線，與從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，由圖知.④在，處的切線分別為，，同理可以證得，.記直線與兩切線和從左到右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）要證明，只需證明即可；（2）有3個(gè)根，可轉(zhuǎn)化為有3個(gè)根，即與有3個(gè)不同交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)作出的圖象即可.【詳解】（1）令，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.（2）由已知，，依題意，有3個(gè)零點(diǎn)，即有3個(gè)根，顯然0不是其根，所以有3個(gè)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，作出的圖象，易得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式以及研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，是一道中檔題.20、（1）極大值，極小值；（2）詳見解析.【解析】

首先確定函數(shù)的定義域和；（1）當(dāng)時(shí)，根據(jù)的正負(fù)可確定單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)，代入可求得極值；（2）通過分析法可將問題轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)，令，利用導(dǎo)數(shù)可證得，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】由題意得：定義域?yàn)?，，?）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，極小值為.（2）要證：，即證：，即證：，化簡(jiǎn)可得：．，，即證：，設(shè)，令，則，在上單調(diào)遞增，，則由，從而有：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到函數(shù)極值的求解、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題；本題不等式證明的關(guān)鍵是能夠?qū)⒍鄠€(gè)變量的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的問題，通過構(gòu)造函數(shù)的方式將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題.21、（1），（2）0【解析】

（1）分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去，即可得到普通方程；（2）把直線的參數(shù)方程代入的普通方程，化為關(guān)于的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時(shí)的幾何意義求解．【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），消去參數(shù)，可得；由曲線