第一章特殊平行四邊形專項(xiàng)精練與正方形有關(guān)的?？寄Ｐ?.[2021河南洛陽(yáng)模擬]在正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E,F分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動(dòng).(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E自D向C,點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí),連接AE和DF交于點(diǎn)P,請(qǐng)寫出AE與DF的關(guān)系,并說明理由;(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E,F分別移動(dòng)到邊DC,CB的延長(zhǎng)線上時(shí),連接AE和DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?(請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”,無(wú)需證明)(3)如圖3,當(dāng)E,F分別在CD,BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí),連接AE和DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.

圖1

圖2

圖3類型1“十字模型”【解析】

(1)AE=DF,AE⊥DF.理由如下:∵四邊形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠ADC=∠C=90°.∵DE=CF,∴△ADE≌△DCF,∴AE=DF,∠DAE=∠CDF.∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠DAE+∠ADF=90°.∴∠APD=90°,∴AE⊥DF.(2)成立.(3)成立.理由如下:同(1)可證AE=DF,∠DAE=∠CDF.如圖,延長(zhǎng)FD交AE于點(diǎn)G,則∠CDF+∠ADG=90°,∴∠ADG+∠DAE=90°,∴∠AGD=90°,∴AE⊥DF.

求解運(yùn)動(dòng)問題時(shí),往往前面問題的解答思路可用于后面問題的求解.名師點(diǎn)睛2.[2018吉林長(zhǎng)春中考]在正方形ABCD中,E是邊CD上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)C,D重合),連接BE.【感知】如圖1,過點(diǎn)A作AF⊥BE交BC于點(diǎn)F.易證△ABF≌△BCE.(不需要證明)【探究】如圖2,取BE的中點(diǎn)M,過點(diǎn)M作FG⊥BE交BC于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)G.(1)求證:BE=FG.(2)連接CM.若CM=1,則FG的長(zhǎng)為

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【應(yīng)用】如圖3,取BE的中點(diǎn)M,連接CM.過點(diǎn)C作CG⊥BE交AD于點(diǎn)G,連接EG,MG.若CM=3,則四邊形GMCE的面積為

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圖1

圖2

圖3

歸納總結(jié)正方形中的“十字模型”如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別是CD,AD上的兩點(diǎn),則有AE⊥BF?AE=BF(互逆).如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在CD邊上,F,H分別在AD,BC邊上,則有AE⊥FH?AE=FH(不互逆).如圖3,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F,G,H分別在AB,CD,AD,BC邊上,則有EF⊥GH?EF=GH(不互逆).3.如圖,正方形ABCD的面積為16cm2,△AEF為等腰直角三角形,∠E=90°,AE和BC交于點(diǎn)G,AF和CD交于點(diǎn)H,連接GH,則△CGH的周長(zhǎng)為(

)A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm類型2“旋轉(zhuǎn)半角模型”C

4.[2021安徽淮南聯(lián)考]已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,將∠MAN繞點(diǎn)A接順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交CB,DC(或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M,N.(1)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)(如圖1),求證:BM+DN=MN.(2)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)(如圖2),線段BM,DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系是

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(3)當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí),猜想線段BM,DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并對(duì)你的猜想加以說明.

圖1

圖2

圖3【解析】

(1)如圖1,延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使得BE=DN,連接AE.易證△ABE≌△ADN,∴∠BAE=∠DAN,AE=AN,∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°,∵∠MAN=45°,∴∠EAM=∠MAN,又∵AM=AM,∴△AEM≌△ANM,∴ME=MN,即BM+BE=MN,∴BM+DN=MN.(2)BM+DN=MN(3)DN-BM=MN.理由如下:如圖2,在DC上截取DE=BM,連接AE.易證△ADE≌△ABM,∴∠DAE=∠BAM,AE=AM,∴∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°,∵∠MAN=45°,∴∠EAN=∠MAN,又∵AN=AN,∴△MAN≌△EAN,∴EN=MN,即DN-DE=MN,∴DN-BM=MN.歸納總結(jié)正方形中的“旋轉(zhuǎn)半角模型”當(dāng)一個(gè)角包含著這個(gè)角的半角,常將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形,此時(shí)構(gòu)造的三角形與半角所在的三角形全等.如圖,∠EAF=45°,繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ADF到△ABG,使AD與AB重合,則有以下結(jié)論:①△AEF≌△AEG;②EF=BE