第二章有理數(shù)及其運(yùn)算第07講有理數(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握正數(shù)和負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)含義；2.掌握“0”的含義；3.掌握有理數(shù)的概念；4.掌握有理數(shù)的分類；5.能夠正確理解“0”的含義；6.能夠正確的判斷有理數(shù)的分類.知識(shí)點(diǎn)01正數(shù)和負(fù)數(shù)正數(shù)：比大的數(shù)；負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上的數(shù)，既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).【答案】0；負(fù)號(hào)；0.知識(shí)點(diǎn)02相反意義的量（1）在同一個(gè)問題中，用“+”和表示具有相反意義的量；（2）若沒有規(guī)定哪個(gè)量為正或負(fù)，習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等記為，把“后退、下降、支出、零下溫度”等記為；相反意義的量一是意義，二是要有數(shù)量.【答案】；+；；相反.知識(shí)點(diǎn)03有理數(shù)的分類（1）按照性質(zhì)分類：（2）按照符號(hào)分類：（3）小數(shù)分類：和統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)；和統(tǒng)稱為非正數(shù).【答案】正數(shù)；0；負(fù)數(shù)；0.例1在1、﹣2、﹣5.6、﹣0、、、π中負(fù)數(shù)有（）例1 A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的定義，直接判斷即可．【解答】解：在1、﹣2、﹣5.6、﹣0、43、-17、π中負(fù)數(shù)有﹣2、﹣5.6、-故選：A．例2下列結(jié)論中正確的是例2A．0既是正數(shù)，又是負(fù)數(shù)B．0是最小的正數(shù)C．0是最大的負(fù)數(shù)D．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)【答案】選D.變1給出下列各數(shù)：3，0，+5，，+3.1，，2004，+2008．其中是負(fù)數(shù)的有（）變1 A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)【答案】選B.變2變2A．一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)B．0是最小的數(shù)C．正數(shù)都比0大 D．﹣a是負(fù)數(shù)【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：A、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；B、負(fù)數(shù)比0小，故本選項(xiàng)不合題意；C、正數(shù)都比0大，說法正確，故本選項(xiàng)符合題意；D、當(dāng)a≤0時(shí)，﹣a是非負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．變3以下各數(shù)：，0.6，100，，0，，368中，正數(shù)有_________________；負(fù)數(shù)有_________________，既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的是______．變3【答案】0.6，，368；，100，；0.例1例1①勝二局與負(fù)三局；②氣溫為與氣溫升高；③盈利5萬元與虧損5萬元；④增加10%與減少20%．其中具有相反意義的量有（） A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)【解答】（1）C；[①=3\*GB3③④具有相反意義]；例2把向北移動(dòng)記作“+”，向南移動(dòng)記作“﹣”例2A．﹣5米表示向北移動(dòng)了5米B．+5米表示向南移動(dòng)了5米C．向北移動(dòng)﹣5米表示向南移動(dòng)5米 D．向南移動(dòng)5米，也可記作向南移動(dòng)﹣5米【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量，可得答案．【解答】解：A、﹣5米表示向南移動(dòng)了5米，故本選項(xiàng)不合題意；B、+5米表示向北移動(dòng)了5米，故本選項(xiàng)不合題意；C、向北移動(dòng)﹣5米表示向南移動(dòng)5米，故本選項(xiàng)符合題意；D、向南移動(dòng)5米，也可記作向北移動(dòng)﹣5米，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．變1我國(guó)是最早使用負(fù)數(shù)的國(guó)家，在我國(guó)著名的數(shù)學(xué)書《九章算術(shù)》中，明確提出了“正負(fù)術(shù)”．如果盈利20元記作“+20元”，那么虧損30元記作變1A．30元B．30元C．50元D．50元【答案】A【分析】利用相反意義量的定義判定即可．【解答】解：如果盈利20元記作“+20元”，那么虧損30元記作”30元“，故選：A．變22020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品安全著陸地球．月球表面白天溫度約為零上180℃，可記作+180℃，則夜間溫度約為零下150℃，可記作______℃變2【答案】150．【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【解答】解：月球表面白天溫度約為零上180℃，可記作+180℃，則夜間溫度約為零下150℃，可記作150℃．故答案為：150．變3如圖所示的是某用戶微信支付情況，表示的意思是（）變3A．發(fā)出100元紅包B．收入100元C．余額100元 D．搶到100元紅包【答案】A【解析】【分析】根據(jù)用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量解答即可．【詳解】解：如圖某用戶微信支付情況，?100表示的意思是發(fā)出100元紅包故選：A．例1某品牌的大米包裝袋上的質(zhì)量標(biāo)識(shí)為：“50±0.5kg”．質(zhì)檢人員隨機(jī)抽測(cè)了四袋該品牌大米的質(zhì)量，依次記錄為：50.4kg，50.1kg，49.7kg，49.4kg，則所抽測(cè)的四袋大米中，符合該品牌大米包裝袋上的質(zhì)量標(biāo)識(shí)要求的有例1A．4袋 B．3袋 C．2袋 D．1袋 【答案】B【分析】先求出大米的合格重量的范圍即可判斷．【解答】解：質(zhì)量標(biāo)識(shí)為“50±0.5kg”表示50上下0.5即49.5到50.5之間為合格；分析選項(xiàng)可得49.4

kg不在此范圍內(nèi)，不合格；其余3袋在此范圍內(nèi)，合格．故選：B．例2如圖，是圖紙上一個(gè)零件的標(biāo)注，表示這個(gè)零件直徑的標(biāo)準(zhǔn)尺寸是30mm，實(shí)際產(chǎn)品的直徑最大可以是30.03mm，最小可以是（）例2A．30mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm 【答案】D【分析】根據(jù)標(biāo)注可知，零件直徑標(biāo)準(zhǔn)30mm，最大多0.03mm，最小少0.02mm，則最小為300.02=29.98mm．【解答】解：由零件標(biāo)注可知，零件的直徑范圍最大30+0.03mm，最小300.02mm，∴300.02=29.98（mm）；故選：D．變1足球是全球最具影響力的單項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，它能增強(qiáng)人們的體質(zhì)，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)意識(shí)和拼搏精神．足球的質(zhì)量有嚴(yán)格標(biāo)準(zhǔn)，如果將超過標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，從輕重的角度看，以下四個(gè)足球質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)的是變1A． B． C． D． 【答案】C.【分析】由已知和要求，只要求出超過標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)和低于標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)的絕對(duì)值，絕對(duì)值小的則是最接近標(biāo)準(zhǔn)的球．【解答】解：通過求4個(gè)數(shù)的絕對(duì)值得：|1.2|=1.2，|+0.8|=0.8，|0.5|=0.5，|+1.4|=1.4，0.5＜0.8＜1.2＜1.40.5的絕對(duì)值最小．所以這個(gè)球是最接近標(biāo)準(zhǔn)的球．故選：C．變2某圓形零件的直徑要求是50±0.2mm，下表是6個(gè)已生產(chǎn)出來的零件圓孔直徑檢測(cè)結(jié)果（以50變2為標(biāo)準(zhǔn)則）則在這6個(gè)產(chǎn)品中合格的有（）序號(hào)123456誤差（mm）﹣0.3﹣0.50+0.1﹣0.05+0.12A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【分析】根據(jù)直徑要求是50±0.2mm，產(chǎn)品若要合格，則|誤差|≤0.2，據(jù)表格可知|0|＜0.2；|+0.1|＜0.2；|﹣0.05|＜0.2；|+0.12|＜0.2，所以3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)、6號(hào)產(chǎn)品合格．【解答】解：根據(jù)直徑要求是50±0.2mm，即49.8mm～50.2mm都合格，誤差±0.2mm內(nèi)也都合格，∴有4個(gè)，故選：C．例3紐約與北京的時(shí)差為﹣13例3京時(shí)間晚的時(shí)數(shù)），當(dāng)北京9月12日8時(shí)，紐約的時(shí)間是（）A．9月11日5時(shí) B．9月11日19時(shí) C．9月12日19時(shí) D．9月12日21時(shí) 【分析】根據(jù)題意，得紐約比北京時(shí)間要晚13個(gè)小時(shí)，也就是9月11日19時(shí)．【解答】解：紐約時(shí)間是：9月12日8時(shí)﹣13小時(shí)＝9月11日19時(shí)．故選：B．例4例4北京的時(shí)差，則這五個(gè)時(shí)鐘對(duì)應(yīng)的城市從左到右依次是（）城市時(shí)差/h紐約﹣13悉尼+2倫敦﹣8羅馬﹣7A．紐約、悉尼、倫敦、羅馬、北京B．羅馬、北京、悉尼、倫敦、紐約C．倫敦、紐約、北京、羅馬、悉尼 D．北京、羅馬、倫敦、悉尼、紐約變3下表是國(guó)外幾個(gè)城市與北京的時(shí)差：（“+”表示早于北京時(shí)間，“﹣”變3城市悉尼莫斯科倫敦溫哥華時(shí)差（時(shí)）+2﹣5﹣8﹣16如果現(xiàn)在是北京時(shí)間2021年1月10日下午5：00．（1）現(xiàn)在悉尼時(shí)間是多少？倫敦時(shí)間是多少？（2）此時(shí)在北京的小明想給在溫哥華出差的媽媽打，你認(rèn)為合適嗎？請(qǐng)說明理由．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)加減法的計(jì)算法則，直接計(jì)算可求解；（2）合不合適主要是看時(shí)間是不是正好在休息時(shí)間，由此判斷即可．【解答】解：（1）∵北京時(shí)間2021年1月10日下午5：00，∴5+2＝7，即悉尼時(shí)間為2021年1月10日下午7：00；17﹣8＝9，即倫敦時(shí)間為2021年1月10日上午9：00；（2）17﹣16＝1，此時(shí)溫哥華時(shí)間為凌晨1：00，不適合打．考點(diǎn)四考點(diǎn)四有理數(shù)的分類例1下列說法正確的是例1A．正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù)B．零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)C．0.5既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，因而它不是有理數(shù)D．在有理數(shù)中，零的意義表示沒有【答案】B【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的意義和分類逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．有理數(shù)分為正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B．0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，是最小的非負(fù)整數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；C．0.5就是十分之五，是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D．0不僅可以表示沒有，也可以表示實(shí)際的意義，如，在標(biāo)準(zhǔn)條件下，冰與水的混合物的冰與水的混合物的溫度為，故此項(xiàng)不符合題意．故選：B．例2下列說法正確的是例2A．正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)B．0是整數(shù)但不是正數(shù)C．0是最小的數(shù)D．0是最小的正數(shù)【答案】B【分析】應(yīng)該正整數(shù)和負(fù)整數(shù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，正數(shù)和分?jǐn)?shù)包括部分無理數(shù)，因此，A選項(xiàng)不正確；0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，但它是整數(shù)，因此，B選項(xiàng)正確、D選項(xiàng)不正確；有理數(shù)中沒有最大的數(shù)，也沒有最小的數(shù)，因此，C選項(xiàng)不正確．【解答】解：0是整數(shù)但不是正數(shù)正確．故選：B．變1下列說法不正確的是變1A．有理數(shù)可分為正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、0、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)B．一個(gè)有理數(shù)不是分?jǐn)?shù)就是整數(shù)C．一個(gè)有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)D．若一個(gè)數(shù)是整數(shù)，則這個(gè)數(shù)一定是有理數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義逐一判斷即可．【解答】解：A、有理數(shù)可分為正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、0、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，正確；B、一個(gè)有理數(shù)不是分?jǐn)?shù)就是整數(shù)，正確；C、一個(gè)有理數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)，還有可能是0，錯(cuò)誤；D、若一個(gè)數(shù)是整數(shù)，則這個(gè)數(shù)一定是有理數(shù)，正確；故選：C．變2下列說法正確的是變2A．整數(shù)、分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)B．有理數(shù)包括正數(shù)和負(fù)數(shù)C．正整數(shù)都是整數(shù)，整數(shù)都是正整數(shù)D．0是整數(shù)，也是自然數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義逐一判斷即可．【解答】解：A、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，錯(cuò)誤；B、一個(gè)有理數(shù)不是分?jǐn)?shù)就是整數(shù)有理數(shù)包括正數(shù)、負(fù)數(shù)、0，錯(cuò)誤；C、整數(shù)還有負(fù)整數(shù)和0，錯(cuò)誤；D若一個(gè)數(shù)是整數(shù)，數(shù)一定是有理數(shù)則這個(gè)，正確；故選：D．變3下面說法中，不正確的是變3A．有最小的正整數(shù)B．沒有最小的正有理數(shù)C．沒有最大的負(fù)整數(shù)D．沒有最大的非負(fù)數(shù)【答案】C【分析】自然數(shù)是大于等于0的整數(shù)，0是最小的自然數(shù)A正確；沒有最小的正有理數(shù)，故B正確；1是最大的負(fù)整數(shù)，故C不正確；無最大非負(fù)數(shù)，D正確．【解答】解：A、0是最小的正整數(shù)，故本選項(xiàng)正確；B、沒有最小的正有理數(shù)，故本選項(xiàng)正確；C、1是最大的負(fù)整數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、寫出自然數(shù)列，0，1，2，3，n，易知無最大非負(fù)數(shù)，故本選項(xiàng)正確．故選：C．例3在數(shù)，0.4，，3.14，0.1010010001…（每?jī)蓚€(gè)之間多一個(gè)0），120%，，100，這9個(gè)數(shù)中，有理數(shù)有______個(gè)．例3【答案】7【解答】解：根據(jù)有理數(shù)的定義，0.4，，3.14，120%，，100，，這7個(gè)是有理數(shù).例4把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)上：.例4有理數(shù)集合：{…}；整數(shù)集合：{…}；非正數(shù)集合：{…}.【答案】有理數(shù)集合：{}；整數(shù)集合：{}；非正數(shù)集合：{}.變4把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里：3，﹣1，﹣2，0.5，，﹣0.75，0，30%，π．變4負(fù)數(shù)集合：{…}；整數(shù)集合：{…}；正有理數(shù)集合：{…}．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的定義分類即可．【詳解】解：負(fù)數(shù)集合：{﹣1，﹣2，，﹣0.75…}；整數(shù)集合：{3，﹣1，﹣2，0…}；正有理數(shù)集合：{3，0.5，，30%…}．故答案為：﹣1，﹣2，，﹣0.75；3，﹣1，﹣2，0；3，0.5，，30%．變5把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi)：，3.5，+7，0，，0.3，15%，16.變5分?jǐn)?shù)集合：{

…}；整數(shù)集合：{

…}；非正數(shù)集合：{

…}．【答案】；；【解析】【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類“有理數(shù)包括整數(shù)（正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)（正分?jǐn)?shù)個(gè)負(fù)分?jǐn)?shù)）”進(jìn)行判斷即可得．【詳解】解：由題意得，分?jǐn)?shù)的集合：；整數(shù)的集合：；非正數(shù)集合：．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.在﹣1，0，+2020，，﹣0.27中，負(fù)數(shù)有（） A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)小于0判斷即可．【解答】解：在﹣1，0，+2020，-54，﹣0.27中，負(fù)數(shù)有﹣1，-54，﹣故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，熟記定義是解答本題的關(guān)鍵．2.在﹣2，﹣1.5，1，0，這些數(shù)中，是正數(shù)的有（） A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【分析】根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)的定義解答即可．正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0．【解答】解：在﹣2，﹣1.5，1，0，13這些數(shù)中，是正數(shù)的有1，13共故選：B．3.下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）①加正號(hào)的數(shù)是正數(shù)，加負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)；②任意一個(gè)正數(shù)，前面加上“－”，就是一個(gè)負(fù)數(shù)；③0是最小的正數(shù)；

④大于零的數(shù)是正數(shù)；⑤字母a既是正數(shù)，又是負(fù)數(shù)． A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正數(shù)、負(fù)數(shù)的概念逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：對(duì)于①：加正號(hào)的數(shù)不一定是正數(shù)，如+(5)=5是負(fù)數(shù)，加負(fù)號(hào)的數(shù)不一定是負(fù)數(shù)，如(5)=5是正數(shù)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：任意一個(gè)正數(shù)，前面加上“”，就是一個(gè)負(fù)數(shù)，故②正確；對(duì)于③：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：大于0的數(shù)是正數(shù)，故④正確；對(duì)于⑤：如果a是正數(shù)，就必定不是負(fù)數(shù)，故⑤錯(cuò)誤；所以正確的有：②、④，故選：C．4.通常，我們規(guī)定海平面的海拔高度為0m，高于海平面的為正．珠穆朗瑪峰的海拔高度為_______m，吐魯番盆地的海拔高度為_______m．【答案】

+8844.43

－155【解析】【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的意義，可得海平面以上記作“+”，則海平面以下記作“”，據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)分析，可得珠穆朗瑪峰的海拔高度為+8844.43m，吐魯番盆地的海拔高度為155m．故答案為：+8844.43、155．5.《九章算術(shù)》中注“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是：有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)和負(fù)數(shù)．若氣溫為零上10℃記作+10℃，則﹣8℃表示氣溫為（） A．零上8℃B．零下8℃C．零上2℃D．零下2℃【分析】此題主要用正負(fù)數(shù)來表示具有意義相反的兩種量：若零上記為正，則零下就記為負(fù)，直接得出結(jié)論即可．【解答】解：若氣溫為零上10℃記作+10℃，則﹣8℃表示氣溫為零下8℃．故選：B．6.一批零件超過規(guī)定長(zhǎng)度記為正數(shù)，短于規(guī)定長(zhǎng)度記為負(fù)數(shù)，越接近規(guī)定長(zhǎng)度質(zhì)量越好．檢查其中四個(gè)，結(jié)果如下：第一個(gè)為0.13mm，第二個(gè)為﹣0.12mm，第三個(gè)為﹣0.15mm，第四個(gè)為0.11mm，則質(zhì)量最差的零件為（） A．第一個(gè)B．第二個(gè)C．第三個(gè)D．第四個(gè)【分析】此題是理解誤差的大小，無論正負(fù)，絕對(duì)值最小的零件質(zhì)量最好，反之，絕對(duì)值最大的零件質(zhì)量最差．【解答】解：∵|0.11|＜|﹣0.12|＜|0.13|＜|﹣0.15|，∴質(zhì)量最差的零件是第三個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是正數(shù)負(fù)數(shù)和絕對(duì)值，明確絕對(duì)值最大的零件與規(guī)定長(zhǎng)度偏差最大是解題的關(guān)鍵．7.綦江區(qū)永輝超市出售的三種品牌大米袋上，分別標(biāo)有質(zhì)量為（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的字樣，從超市中任意拿出兩袋大米，它們的質(zhì)量最多相差（） A．0.4kgB．0.5kgC．0.55kgD．0.6kg【分析】根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義，分別求出每種品牌的大米袋質(zhì)量最多相差多少，再比較即可．【解答】解：根據(jù)