專題13圖形的位似考點(diǎn)一位似圖形相關(guān)概念辨析考點(diǎn)二判斷位似中心考點(diǎn)三求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)考點(diǎn)四求兩個(gè)位似圖形的相似比考點(diǎn)五在坐標(biāo)系中畫位似圖形考點(diǎn)六在坐標(biāo)系中求兩個(gè)位似圖形的相似比、周長比或面積比考點(diǎn)一位似圖形相關(guān)概念辨析例題：（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）和是位似圖形，位似中心是點(diǎn)O，下列說法不正確的是（

）A． B．C．直線經(jīng)過點(diǎn)O D．直線、和相交于一點(diǎn)【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，位似比為2：3，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B′．若AB＝6，則A′B′的長為（）A．8 B．9 C．10 D．152．（2022·山東濱州·九年級(jí)期末）如圖，以點(diǎn)為位似中心，把放大2倍得到．下列說法錯(cuò)誤的是(

)A． B．C． D．直線經(jīng)過點(diǎn)考點(diǎn)二判斷位似中心例題：（2021·北京師大附中九年級(jí)階段練習(xí)）圖中的兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)O C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川德陽·二模）如圖，將△ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到△A1B1C1（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上），它們是以P點(diǎn)為位似中心的位似圖形，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．2．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圖中的小方格是邊長為1的正方形，與是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）畫出位似中心點(diǎn)O；（2）求出與'的位似比；（3）以點(diǎn)O為位似中心，在圖中畫一個(gè)，使它與的位似比等于3∶2．考點(diǎn)三求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)例題：（2021·湖南·李達(dá)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知△AOB和是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且△AOB和的周長之比為1:2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林吉林·九年級(jí)期末）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來的一半，則線段AC的中點(diǎn)P變換后在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為________．2．（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級(jí)期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為_______．考點(diǎn)四求兩個(gè)位似圖形的相似比例題：（2022·河北保定師范附屬學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD和是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′＝2：3，則四邊形ABCD與四邊形的面積比為（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．2：3【變式訓(xùn)練】1．（2022·重慶南開中學(xué)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEC位似，點(diǎn)C為位似中心，，若△ABC的面積是1，則△DEC的面積是（

）A．3 B．4 C．9 D．162．（2022·重慶·中考真題）如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，相似比為．若的周長為4，則的周長是（

）A．4 B．6 C．9 D．163．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O．若點(diǎn)，點(diǎn)，則與周長的比值是_____．考點(diǎn)五在坐標(biāo)系中畫位似圖形例題：（2022·四川·渠縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，菱形ABCD與菱形A'BC'D'是位似圖形，若AD＝6，A'D'＝4，則菱形A'BC'D'與菱形ABCD的位似比為______．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，D在∠XOY的邊OX上，點(diǎn)B，E在OY邊上，射線OZ在∠XOY內(nèi)，且點(diǎn)C，F(xiàn)在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．．(1)試說明△ABC與△DEF是位似圖形；(2)求△ABC與△DEF的位似比．2．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC與△DOE是位似圖形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC與△DOE的位似中心為M．(1)寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在圖中畫出M點(diǎn)，并求M點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)六在坐標(biāo)系中求兩個(gè)位似圖形的相似比、周長比或面積比例題：（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原點(diǎn)O為位似中心，畫出一個(gè)三角形，使它與△ABO的位似比為．【變式訓(xùn)練】1．（2022·黑龍江·綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），請(qǐng)按如下要求畫圖：(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，請(qǐng)畫出；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，在x軸下方，畫出△ABC的位似圖形，使它與△ABC的位似比為2：1．2．（2021·江蘇·儀征市古井中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在邊長為個(gè)單位長度的小正方形網(wǎng)格中，(1)畫出向上平移個(gè)單位，再向右平移個(gè)單位后的；(2)以點(diǎn)為位似中心，將放大為原來的倍，得到，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出；(3)直接寫出的面積，及，的坐標(biāo)．一、選擇題1．（2022·重慶市巴川中學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，與位似，位似中心為點(diǎn)O，，的面積為9，則面積為（

）A．4 B．6 C． D．2．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，與位似，點(diǎn)O是位似中心．若，與的周長差為，則的周長為（

）A． B． C． D．3．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABO∽△CDO，且OA∶AC=1∶3，若A（1，2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）．A．（2，4） B．（3，6） C．（4，8） D．（6，12）4．（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OEFG與矩形ABCD是位似圖形，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)C和F的坐標(biāo)分別為，，則位似中心的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC與是以原點(diǎn)為中心的位似圖形，且A（3，1），△ABC與的相似比為，則A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（6，2） B．（﹣6，﹣2）C．（6，2）或（﹣6，﹣2） D．（2，6）二、填空題6．（2022·江西吉安·九年級(jí)期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，其中點(diǎn)，則位似中心的坐標(biāo)是______．7．（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OA1＝：2，則四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積比為_____．8．（2021·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△AOB縮小為原來的，得到△COD，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是_____．9．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且位似比為．點(diǎn)A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點(diǎn)坐標(biāo)為________．10．（2022·內(nèi)蒙古·包頭市第二十九中學(xué)三模）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，將縮小，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是________．三、解答題11．（2022·山東青島·九年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1)以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將放大到原圖的2倍，畫出對(duì)應(yīng)的，并寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直接寫出的面積．12．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）如圖，在網(wǎng)格圖中，每格是邊長為1的正方形，四邊形ABCD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)請(qǐng)以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格圖中作出四邊形A'B'C'D'，使四邊形A'B'C'D'與四邊形ABCD位似，且；(2)填空：線段BB′的長為______，△A′D′O的面積為______．13．（2021·河南南陽·九年級(jí)期中）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形邊長均為1，點(diǎn)O和的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn)．(1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作，使和位似，且位似比為1：3．(2)證明和相似．14．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，2），C（3，0）．(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出將△ABC放大為原來的2倍得到的△A1B1C1，請(qǐng)寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B1的坐標(biāo)；(2)畫出將△ABC向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后得到的△A2B2C2，寫出點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C2的坐標(biāo)；(3)請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出△A1B1C1與△A2B2C2的位似中心M，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．15．（2022·河南焦作·模擬預(yù)測(cè)）如圖，與是位似圖形．(1)在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，使得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．(2)以點(diǎn)A為位似中心，在網(wǎng)格圖中作，使和位似，且位似比是1∶2；(3)在圖上標(biāo)出與的位似中心P，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為______，計(jì)算四邊形的周長為______．專題13圖形的位似考點(diǎn)一位似圖形相關(guān)概念辨析考點(diǎn)二判斷位似中心考點(diǎn)三求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)考點(diǎn)四求兩個(gè)位似圖形的相似比考點(diǎn)五在坐標(biāo)系中畫位似圖形考點(diǎn)六在坐標(biāo)系中求兩個(gè)位似圖形的相似比、周長比或面積比考點(diǎn)一位似圖形相關(guān)概念辨析例題：（2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）和是位似圖形，位似中心是點(diǎn)O，下列說法不正確的是（

）A． B．C．直線經(jīng)過點(diǎn)O D．直線、和相交于一點(diǎn)【答案】B【分析】依據(jù)位似變換的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】∵和關(guān)于點(diǎn)O位似，∴，且直線、和相交于一點(diǎn)O，即選項(xiàng)C、D正確；如圖，作出直線、和，三者交于O點(diǎn)，根據(jù)位似變換的性質(zhì)有：，故A答案合理；根據(jù)位似變換的性質(zhì)有：和交于點(diǎn)O，故B答案不合理；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：位似的兩個(gè)圖形必須是相似形；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，也考查了平行線的判定和相似三角形的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形，O是位似中心，位似比為2：3，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B′．若AB＝6，則A′B′的長為（）A．8 B．9 C．10 D．15【答案】B【分析】根據(jù)位似比的概念解答即可．【詳解】解：圖形甲與圖形乙是位似圖形，是位似中心，位似比為，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形，解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形的位似比是對(duì)應(yīng)邊的比．2．（2022·山東濱州·九年級(jí)期末）如圖，以點(diǎn)為位似中心，把放大2倍得到．下列說法錯(cuò)誤的是(

)A． B．C． D．直線經(jīng)過點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)位似變換的概念和性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：∵以點(diǎn)為位似中心，把放大2倍得到，∴，，直線經(jīng)過點(diǎn)，，∴，∴A、C、D選項(xiàng)說法正確，不符合題意；B選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)．掌握位似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二判斷位似中心例題：（2021·北京師大附中九年級(jí)階段練習(xí)）圖中的兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點(diǎn)P B．點(diǎn)O C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N【答案】A【分析】根據(jù)位似變換的定義：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)就是位似中心．即位似中心一定在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線上．【詳解】點(diǎn)P在對(duì)應(yīng)點(diǎn)M和點(diǎn)N所在直線上，∴兩個(gè)三角形的位似中心是：點(diǎn)P．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川德陽·二模）如圖，將△ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到△A1B1C1（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上），它們是以P點(diǎn)為位似中心的位似圖形，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是_____．【答案】（﹣4，﹣3）【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)則可得出答案．【詳解】解：△ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到△A1B1C1（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上），它們是以P點(diǎn)為位似中心的位似圖形，則連接和并延長相交，交點(diǎn)即為P點(diǎn)，如圖所示，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，得出位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圖中的小方格是邊長為1的正方形，與是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）畫出位似中心點(diǎn)O；（2）求出與'的位似比；（3）以點(diǎn)O為位似中心，在圖中畫一個(gè)，使它與的位似比等于3∶2．【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在的直線經(jīng)過位似中心，如圖，直線AA′、BB′的交點(diǎn)就是位似中心O；（2）△ABC與△A′B′C′的位似比等于AB與A′B′的比，也等于AB與A′B′在水平線上的投影比，即位似比為3：6=1：2；（3）要畫△A2B2C2，先確定點(diǎn)A2的位置，再過點(diǎn)A2畫A2B2∥AB交OB′于B2，過點(diǎn)A2畫A2C2∥AC交OC′于C2．【詳解】解：（1）如圖所示，點(diǎn)O即為所求；（2）與的位似比為：；（3）如圖所示，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形的意義及作圖能力．畫位似圖形的一般步驟為：①確定位似中心，②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．考點(diǎn)三求位似圖形的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)例題：（2021·湖南·李達(dá)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知△AOB和是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且△AOB和的周長之比為1:2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過B作BC⊥y軸于C，過B1作B1D⊥y軸于D，依據(jù)△AOB和△A1O相似，且周長之比為1：2，即可得到，再根據(jù)△BOC∽△OD，可得OD=2OC=4，D=2BC=2，進(jìn)而得出點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（2，-4）或（-2，4）．【詳解】解：如圖，過B作BC⊥y軸于C，過作D⊥y軸于D，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，2），∴BC=1，OC=2，∵△AOB和△O相似，且周長之比為1：2，∴，∵∠BCO=∠DO=90°，∠BOC=∠OD，∴△BOC∽△OD，∴OD=2OC=4，D=2BC=2，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-4），同理點(diǎn)（-2，4）也符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，正確理解位似與相似的關(guān)系，記憶關(guān)于原點(diǎn)位似的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·吉林吉林·九年級(jí)期末）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來的一半，則線段AC的中點(diǎn)P變換后在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】【分析】位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k,根據(jù)此題是線段AC的中點(diǎn)P變換后在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，2），B（4，2），C（6，4），∴AC的中點(diǎn)是（4，3），∵將△ABC縮小為原來的一半，∴線段AC的中點(diǎn)P變換后在第一象限對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查位似變換中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律，利用圖形得出AC的中點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．2．（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心九年級(jí)期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-4，2），B（-2，-2）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到△A1OB1，△A1OB1與△AOB的位似比為，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為_______．【答案】（-2，1）或（2，-1）【分析】根據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k計(jì)算，得到答案．【詳解】解∶∵以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心把△AOB縮小得到，與△AOB的位似比為，∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫縱坐標(biāo)的比值為或，∵A（-4，2），∴的坐標(biāo)為或，即(-2，1)或(2，-1)，故答案為∶(-2，1)或(2，-1)．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，掌握在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，如果相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四求兩個(gè)位似圖形的相似比例題：（2022·河北保定師范附屬學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD和是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OA′＝2：3，則四邊形ABCD與四邊形的面積比為（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．2：3【答案】A【分析】根據(jù)題意求出兩個(gè)相似多邊形的相似比，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)解答．【詳解】解：四邊形和是以點(diǎn)為位似中心的位似圖形，，，四邊形與四邊形的面積比為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系、相似多邊形的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·重慶南開中學(xué)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△DEC位似，點(diǎn)C為位似中心，，若△ABC的面積是1，則△DEC的面積是（

）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C【分析】結(jié)合題意，根據(jù)位似的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【詳解】∵△ABC與△DEC位似，點(diǎn)C為位似中心，，∴∵△ABC的面積是1，∴△DEC的面積是9故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了位似的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似的性質(zhì)，從而完成求解．2．（2022·重慶·中考真題）如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，相似比為．若的周長為4，則的周長是（

）A．4 B．6 C．9 D．16【答案】B【分析】根據(jù)周長之比等于位似比計(jì)算即可．【詳解】設(shè)的周長是x，∵與位似，相似比為，的周長為4，∴4：x=2：3，解得：x=6，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了位似的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的周長之比等于位似比是解題的關(guān)鍵．3．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O．若點(diǎn)，點(diǎn)，則與周長的比值是_____．【答案】2【分析】根據(jù)位似的定義，即可得出位似比=OA：OC，而與周長的比值等于位似比，即可得出答案．【詳解】∵與位似，位似中心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，點(diǎn)，點(diǎn)∴OA=4，OC=2∴與的位似比為：4：2=2：1∴與周長的比值為：2：1故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了求位似圖形的周長之比，求出位似比是本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五在坐標(biāo)系中畫位似圖形例題：（2022·四川·渠縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，菱形ABCD與菱形A'BC'D'是位似圖形，若AD＝6，A'D'＝4，則菱形A'BC'D'與菱形ABCD的位似比為______．【答案】23##【分析】根據(jù)位似圖形的位似比等于對(duì)應(yīng)邊的比，即可得出結(jié)論．【詳解】解：菱形ABCD與菱形A'BC'D'是位似圖形菱形A'BC'D'與菱形ABCD的位似比=故答案為：23．【點(diǎn)睛】本題考查了位似比的定義，掌握位似圖形的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，D在∠XOY的邊OX上，點(diǎn)B，E在OY邊上，射線OZ在∠XOY內(nèi)，且點(diǎn)C，F(xiàn)在OZ上，AC∥DF，BC∥EF．．(1)試說明△ABC與△DEF是位似圖形；(2)求△ABC與△DEF的位似比．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)兩直線平行同位角相等得到∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB，再根據(jù)兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，截得的對(duì)應(yīng)線段的長度成比例，最終得到△ACB∽△DFE；（2）根據(jù)三角形的相似比等于相應(yīng)邊長的比即可得到答案．（1）∵AC∥DF，BC∥EF，∴∠DFO＝∠ACO，∠OFE＝∠OCB，，，∴∠DFE＝∠ACB，，∴△ACB∽△DFE，因?yàn)閮蓚€(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線交于點(diǎn)O，且對(duì)應(yīng)邊平行，∴△ABC與△DEF是位似圖形；（2）∵△ABC與△DEF是位似圖形，，∴△ABC與△DEF的位似比為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線和相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判斷方法及性質(zhì)．2．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC與△DOE是位似圖形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC與△DOE的位似中心為M．(1)寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在圖中畫出M點(diǎn)，并求M點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)畫圖見解析，【分析】（1）首先過點(diǎn)作于點(diǎn)，由與是位似圖形，，，，，可得，，，即可求得位似比，繼而求得答案；（2）首先連接并延長，交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為與的位似中心；然后根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，可得，繼而求得答案．（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，與是位似圖形，，，，，，，，位似比為：，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為：；（2）連接并延長，交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為與的位似中心；則，設(shè)，則，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】此題考查了位似圖形的定義與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意位似圖形是特殊的相似圖形．考點(diǎn)六在坐標(biāo)系中求兩個(gè)位似圖形的相似比、周長比或面積比例題：（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABO三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0），以原點(diǎn)O為位似中心，畫出一個(gè)三角形，使它與△ABO的位似比為．【答案】見詳解【分析】由位似比求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)有兩種情況，分別求出兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后在平面直角坐標(biāo)系描點(diǎn)連接即可【詳解】解：由位似比為求得：對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)分別為，或者，，O點(diǎn)是位似中心，所以位置不變，所以，下圖或都為滿足題意的位似圖形．【點(diǎn)睛】本題考查了位似的概念．位似比為對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離比．解題關(guān)鍵是根據(jù)位似比找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．（2022·黑龍江·綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣3，2），B（﹣1，3），C（﹣1，1），請(qǐng)按如下要求畫圖：(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到，請(qǐng)畫出；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心，在x軸下方，畫出△ABC的位似圖形，使它與△ABC的位似比為2：1．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，畫出圖形即可；（2）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，畫出圖形即可．（1）解：如圖，即為所求．；（2）解：如圖，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換與旋轉(zhuǎn)變換，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇·儀征市古井中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在邊長為個(gè)單位長度的小正方形網(wǎng)格中，(1)畫出向上平移個(gè)單位，再向右平移個(gè)單位后的；(2)以點(diǎn)為位似中心，將放大為原來的倍，得到，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出；(3)直接寫出的面積，及，的坐標(biāo)．【答案】(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析(3)9，【分析】（1）利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)變換規(guī)律寫出的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；（2）延長BA到使，延長BC到使，從而得到；（3）利用三角形面積公式的面積，然后利用（1）、（2）中所畫圖形寫出的坐標(biāo)．（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求；（3）解：由題意得：，【點(diǎn)睛】本題考查了作圖?位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；接著根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；然后順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．也考查了平移變換．一、選擇題1．（2022·重慶市巴川中學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，與位似，位似中心為點(diǎn)O，，的面積為9，則面積為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽，AB，可得△OAB∽△O，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可解決問題．【詳解】解：∵△ABC與位似，∴△ABC∽，AB，∴△OAB∽△O，∴，∴△ABC的面積：的面積＝9：4，∵△ABC的面積為9，∴的面積為：4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，與位似，點(diǎn)O是位似中心．若，與的周長差為，則的周長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)：位似圖形高、周長的比都等于相似比即可解答．求出與的相似比為即可．【詳解】∵∴∴與的周長比為∵與的周長差為∴的周長=(cm)故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似比，熟練的掌握位似圖形高、周長的比都等于相似比是解題的關(guān)鍵．3．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABO∽△CDO，且OA∶AC=1∶3，若A（1，2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）．A．（2，4） B．（3，6） C．（4，8） D．（6，12）【答案】C【分析】根據(jù)題意與是以點(diǎn)為位似中心的位似變換，據(jù)此求得位似比，進(jìn)而即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：∵∴A(1，2)，△ABO∽△CDO，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，求得位似比，根據(jù)位似比等于相似比是解題的關(guān)鍵．4．（2022·山東濟(jì)南·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OEFG與矩形ABCD是位似圖形，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)C和F的坐標(biāo)分別為，，則位似中心的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)題意證明，再根據(jù)位似比和點(diǎn)的坐標(biāo)求出線段長度，得到，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【詳解】由題意可知，點(diǎn)P為位似中心，，，，，矩形OEFG與矩形ABCD是位似圖形即故位似中心P的坐標(biāo)為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形的性質(zhì)、相似圖形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是借助相似比求出線段長度．5．（2022·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC與是以原點(diǎn)為中心的位似圖形，且A（3，1），△ABC與的相似比為，則A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（6，2） B．（﹣6，﹣2）C．（6，2）或（﹣6，﹣2） D．（2，6）【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)與位似比之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵△ABC與是以原點(diǎn)為中心的位似圖形，A（3，1），△ABC與的相似比為，∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（3×2，1×2）或（-2×3，-2×1），即（6，2）或（﹣6，﹣2），故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，熟知兩個(gè)以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形位似比為k，則點(diǎn)A（x，y）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，）是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·江西吉安·九年級(jí)期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC與△ODE是位似圖形，其中點(diǎn)，則位似中心的坐標(biāo)是______．【答案】【分析】根據(jù)圖示，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，該點(diǎn)就是位似中心．【詳解】解：如圖，點(diǎn)G（4，2）即為所求的位似中心．故答案是：（4，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了位似的相關(guān)知識(shí)，位似是相似的特殊形式，如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．7．（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校八年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OA1＝：2，則四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積比為_____．【答案】【分析】根據(jù)相似比等于位似比，面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，若OA：OA1＝：2，∴四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積比為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了位似的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì)，相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，將△AOB縮小為原來的，得到△COD，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），則AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是_____．【答案】（1，）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)計(jì)算，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．【詳解】∵以原點(diǎn)O為位似中心，將△AOB縮小為原來的，得到△COD，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，2），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4×（），2×（）），即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），∴AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，），故答案為：（1，）．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.9．（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且位似比為．點(diǎn)A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點(diǎn)坐標(biāo)為________．【答案】（3，2）【分析】先利用位似的性質(zhì)得到，然后利用比例性質(zhì)求出BC和OB即可得到C點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且位似比為，∴，而BE=EF=6，∴，∴BC=2，OB=3，∴C（3，2）．故答案為：（3，2）．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．10．（2022·內(nèi)蒙古·包頭市第二十九中學(xué)三模）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，將縮小，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是________．【答案】（2，4）或（-2，-4）##（-2，-4）或（2，4）．【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵△AOB頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，將△AOB縮小，∴點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（3×，6×）或（3×（-），6×（-）），即（2，4）或（-2，-4），故答案為：（2，4）或（-2，-4）．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．三、解答題11．（2022·山東青島·九年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1)以O(shè)點(diǎn)為位似中心在y軸的左側(cè)將放大到原圖的2倍，畫出對(duì)應(yīng)的，并寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直接寫出的面積．【答案】(1)見解析，(2)10【分析】（1）直接根據(jù)位似圖形的定義及性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案；（2）利用所在矩形面積減去周圍三角形面積，進(jìn)而即可求解．（1）如圖所示，即為所求，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了位似變換及三角形面積的求法，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．12．（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期末）如圖，在網(wǎng)格圖中，每格是邊長為1的正方形，四邊形ABCD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)請(qǐng)以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格圖中作出四邊形A'B'C'D'，使四邊形A'B'C'D'與四邊形ABCD位似，且；(2)填空：線段BB′的長為______，△A′D′O的面積為__