第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1-1已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為『=打+3Lj+60(1)求：自尸0至I

質(zhì)點(diǎn)的位移。(2)求質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。

解：(X)r(0)=z+3j+6kr(7)=ei+3c'1j+6k

質(zhì)點(diǎn)的位移為4=(e-1萬(wàn)+仁-3?

(2)由運(yùn)動(dòng)方程有x=e\y=3e",,z=6消，得

軌跡方程為孫=3且z=6

1-2某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為r=-10i+15/j+5〃A,求：f=0,1時(shí)質(zhì)點(diǎn)的

速度和加速度。

解：由速度和加速度的定義得

v=—=15)+10^,之=業(yè)=10不

dtdt

所以f=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度為“=15，；t=l時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度為爐=15亍+10"

兩個(gè)時(shí)刻上加速度均為3=10不

1-3一質(zhì)點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為r=5/i+3產(chǎn)

則該質(zhì)點(diǎn)所作運(yùn)動(dòng)為[B]

(A)勻速直線運(yùn)動(dòng)(B)勻變速直線運(yùn)動(dòng)

(C)拋體運(yùn)動(dòng)(D)一般的曲線運(yùn)動(dòng)

1-4已知質(zhì)點(diǎn)沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)加速度的變化規(guī)律為

-2

ax=m-so在f=0時(shí)，vx=0,x=10mo求：⑴質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻，的速度。

(2)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。

解：(1)由樂(lè)=當(dāng)^得dvx=axdt

兩邊同時(shí)積分，并將初始條件看0時(shí)，匕=0帶入積分方程，有

fdvv=favdt-f3tdt

Jo*JoJo

解得質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t的速度為匕=3/

2

(2)由%=坐得

at

dx=vxdt

兩邊同時(shí)積分，并將初始條件看0時(shí)，x=iom帶入積分方程，有

[dx=[vdt-f—t2dt

JioJoJo2

3

解得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為x=10+iz

2

第4章機(jī)械振動(dòng)

4-1已知四個(gè)質(zhì)點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位移x與其所受合

外力F的關(guān)系分別由下列四式表示(式中a、b為正常數(shù)).其中不能使

質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的力是[C]

(A)F=abx(B)F=-abx

(C)F=-ax+b(D)F=-bx/a

4-2在下列所述的各種物體運(yùn)動(dòng)中，可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的是

[B]

(A)將木塊投入水中，完全浸沒(méi)并潛入一定深度，然后釋放

(B)將彈簧振子置于光滑斜面上，讓其振動(dòng)

(C)從光滑的半圓弧槽的邊緣釋放一個(gè)小滑塊

(D)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)

4-3對(duì)同一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，兩個(gè)人都選平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),

但其中一人選鉛直向上的Ox軸為坐標(biāo)系，

而另一個(gè)人選鉛直向下的0X軸為坐標(biāo)系，

則振動(dòng)方程中不同的量是[]

(A)振幅；(B)圓頻率；

(C)初相位；(D)振幅、圓頻率。

答：(C)

4-4某物體按余弦函數(shù)規(guī)律作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它的初相位為-萬(wàn)/2,則

該物體振動(dòng)的初始狀態(tài)為[]

(A)xo=0,Vo0；(B)xo=O,Vo<O；

(C)xo=O,0o=O；(D)xo=A,vo=0o

答：(A)

4-5一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為A,周期為T(mén),在起始時(shí)刻

(1)質(zhì)點(diǎn)的位移為A/2,且向x軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；

(2)質(zhì)點(diǎn)的位移為-A/2,且向x軸的正方向運(yùn)動(dòng)；

(3)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置，且其速度為負(fù)；

(4)質(zhì)點(diǎn)在負(fù)的最大位移處；

寫(xiě)出簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，并畫(huà)出t=0時(shí)的旋轉(zhuǎn)矢量圖。

解：(1)x=Zcos旁/+令(2)x=Acos(苧-g)

(1)圖(2)圖

(3)x=Acos(-^-1+~)(4)x=/cos(申f+")

￡i"-----v=

2n

⑶圖(4)圖

4-6一質(zhì)點(diǎn)以周期7作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)由平衡位置正向運(yùn)動(dòng)到

最大位移一半處的最短時(shí)間為[C]

4-7兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相同、周期相同。第

一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為X1=〃05(以+a),0<a<，。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)從相對(duì)

于其平衡位置負(fù)的位移處回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)正處在正的最

大位移處.則第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為[]

(A)x2=Acos((a+cr+—)；(B)x2-Acos(a)t+a--)；

3萬(wàn)

(C)x2=^cos(<7X+<7--);(D)々=4cos("+a+?)。

解：(A)利用旋轉(zhuǎn)矢量法判斷，如附圖所示:

71

。2-91='

所以

x2=4cos3+。+夕

即答案(A)

4-8一簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線如圖所示，該振動(dòng)的周期為,由圖確

定質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為,在t=2s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移為,

速度為,加速度為o

答：x=0.06cos(^7+—)m;0;-0.0671Hl,S1;0

4-9一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率e=10rad/so其初始

位移Xo=7.5cm,初始速度Vo=75.0cm/s。試寫(xiě)出該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方

程。

由初始條件Xo=7.5cm,Vo=75.0cm/s,結(jié)合旋轉(zhuǎn)矢量

圖可知

n

(

P=~~4

質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為AO」"*”

4-10質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)，按方程x=0.2cos（0.8加-萬(wàn)/3）（SI）沿著

x軸振動(dòng)。求（1）振動(dòng)的周期、初相位、最大速度和最大加速度；（2）f=ls

時(shí)振動(dòng)的相位和位移。

解：⑴由振動(dòng)方程得0=0.8萬(wàn)，振動(dòng)的周期7=2=2.5S

CO

由振動(dòng)方程得初相（p=~

速度為v=-0.2x0.8^sin(0.87Z?-^)m-s-1

最大速度為匕=02x0.8%=0.5024nrs"

加速度為a=-0.2x(0.8%)2cos(0.8%m?s'2

最大加速度a“,=-0.2x(0.8萬(wàn)＞=1.26ms-2

（2）Z=ls時(shí)，振動(dòng)的相位為0.8%-三=0.47萬(wàn)-0.5萬(wàn)

3

位移為x=0.02m

4-11一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為x=6cos（100加+0.7%）cm,在

/（單位：S）時(shí)刻它在x=3acm處，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求：它重新

回到該位置所需要的最短時(shí)間。

解由旋轉(zhuǎn)矢量法可得，，時(shí)刻的相位為a+0=t

再次回到x=3后時(shí)，

矢量轉(zhuǎn)過(guò)的最小角度為“4

所用的最小時(shí)間4，即=a）At,

所以有

A(p_3萬(wàn)

At==0.015s

2x100^,

4-12質(zhì)量為0.01kg的質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.1m,

最大動(dòng)能為0.02J.如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)處于負(fù)的最大位移處,

求質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。

解：簡(jiǎn)諧振動(dòng)能量守恒，有

%max=E=A2=0.02J

由旋轉(zhuǎn)矢量圖知：(p=7C

所以，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程為

x=Acos（④+夕）=0.1cos（20/+萬(wàn)）（加）

第5章機(jī)械波

5-1下列方程和文字所描述的運(yùn)動(dòng)中，哪一種運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧波？

[C]

,2TIX

y=Acos-------cos。/

(B)y-Asin(4+cx+x2)

(C)波形圖始終是正弦或余弦曲線的平面波

(D)波源是諧振動(dòng)但振幅始終衰減的平面波

5-2一平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式為y=0.25cos(125/-0.37x)(SI),其角頻率

(0=,波速“=,波長(zhǎng)4=0

解：d?=125rads-1;—=0.37,u=^^-=338ms-1

u0.37

5-3當(dāng)x為某一定值時(shí)，波動(dòng)方程x=Ncos2;r(——

理意義是[C]

(A)表示出某時(shí)刻的波形(B)說(shuō)明能量的傳播

(C)表示出x處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律(D)表示出各質(zhì)點(diǎn)振

動(dòng)狀態(tài)的分布

5-4已知一波源位于x=5m處，其振動(dòng)方程為：

y=Zcos(0/+o)(m).當(dāng)這波源產(chǎn)生的平面簡(jiǎn)諧波以波速“沿x軸正

向傳播時(shí)，其波動(dòng)方程為[D]

(A)y=Acosa)(t----)(B)y=/cos[o?----)+力

uu

(C)y=Zcos[a/一+例(D)y=Acos[a)(t-^-)+(p]

uu

5-5頻率為500Hz的波，其波速為350m/s,相位差為2兀/3的兩

點(diǎn)之間的距離為o

解：N(p=2兀竺,zix=zi0—=-==0.233m

A2萬(wàn)2萬(wàn)2%v

5-6一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸負(fù)方向傳播。已知在x=-lm處質(zhì)點(diǎn)的振

動(dòng)方程為V=/cos3+e)(SI),若波速為u,則此波的表達(dá)式

為O

答：v=Acos,[a)(t-\----1--)+9?]

UU

5-7一列平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向無(wú)衰減地傳播，波的振幅為2X

10-3m,周期為0.01s,波速為400m6"。當(dāng)，=0時(shí)x軸原點(diǎn)處的質(zhì)

元正通過(guò)平衡位置向j軸正方向運(yùn)動(dòng)，試寫(xiě)出該簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式。

解：波沿x軸正向無(wú)衰減地傳播，所以簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式為

y=Acos[co(t-^)+(p\的形式。

U

4

其中,哼=200萬(wàn);

由x（）=0、%>0,知夕=-彳，得

y=2x10-3cos[200萬(wàn)。-就)-^]m

5-8如圖，一平面波在介質(zhì)中以波速〃=10m?s-i沿x軸負(fù)方向

傳播，已知A點(diǎn)的振動(dòng)方程為y=4xlO-2cos（3R+%/3）［SI］。

(1)以N點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波函數(shù)；

(2)以距N點(diǎn)5m處的5點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫(xiě)出波函數(shù);

BA

解:(1)y=4x10-2cos[3^(f+-^)+y]m

（2）由（1）中的波函數(shù)，將x=-5帶入上式，得B處質(zhì)點(diǎn)的初相為

%=3%上+攵=3兀?工+攵=-?"

1031036

丫7TT

y=4xl0_2cos[3^-(Z+-)———]m

5-9圖示一平面簡(jiǎn)諧波在f=0s時(shí)刻的波形圖，波的振幅為0.20m,

周期為4.0s,求（1）坐標(biāo)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；（2）若OP=5.0m,

寫(xiě)出波函數(shù)；（3）寫(xiě)出圖中P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程。

解：可見(jiàn)t=Q原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)在其平衡位置處且向位移軸正方向運(yùn)動(dòng),

所以9=4。

(1)?”=?=女=生，坐標(biāo)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為

T42

y=0.2COS(yZ-y)Hl

(2)由圖知4=2X5=10加，波沿X軸正向傳播，所以波函數(shù)為

2兀717CTC

y=Acos(at------卜cp)=0.2cos(—/x]m

A252

(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)x=5.0m代入上式，得P點(diǎn)的振動(dòng)方程為

5-10已知兩相干波源所發(fā)出的波的相位差為

,到達(dá)某相遇點(diǎn)P的波程差為半波長(zhǎng)的兩倍,

則尸點(diǎn)的合成情況是[B]

(A)始終加強(qiáng)

(B)始終減弱

(C)時(shí)而加強(qiáng)，時(shí)而減弱，呈周期性變化

(D)時(shí)而加強(qiáng)，時(shí)而減弱，沒(méi)有一定的規(guī)律

5-11如圖所示，一簡(jiǎn)諧波沿6尸方向傳播，它在6點(diǎn)引起的振動(dòng)

方程為為=4cos27r/。另一簡(jiǎn)諧波沿CP方向傳播，它在。點(diǎn)引起的

振動(dòng)方程為y2=22cos(2戊+兀)。P點(diǎn)與B點(diǎn)相距0.40m,與C點(diǎn)相距

0.50mo波速均為u=0.20ms10則兩波在P的相位差

為O

p

B

答：周期T==朋^=Is,A=uT=0.2x1=0.2m

co2%

立生=*2丹包=*2戶0-040=0

A(p=(p-(p-27t

cB440.20

5-12如圖所示，Si和S2為兩相干波源，它們的振動(dòng)方向均垂直于圖面,

發(fā)出波長(zhǎng)為4的簡(jiǎn)諧波，P點(diǎn)是兩列波相遇區(qū)域中的一點(diǎn)，已知

筋=22,不=2.24,兩列波在P點(diǎn)發(fā)生相消干涉.若S1的振動(dòng)方程為

必=4cosQ+%/2),則S2的振動(dòng)方程為[]

(A)%/cos(，——)；(B)必二力cos(z-7t);

S2一，

(C)y2=Acos(t+^)；(D)%=/cos?-0.1%)。

答案為(D)o

解答：設(shè)S2的振動(dòng)方成為y2=，cos?+°2)，在P點(diǎn)兩波的相位差為

兀

S2.P-S.1P2.2A-2A

A(p=(p2-(px-271=(p2---17T——--=(2左+1)%

夕2=0.9?+(2左+1)?,取k=0或-1,解得%=L9%或-0.1%o

5-13如圖所示，*，Sz為兩平面簡(jiǎn)諧波相干波源.S2的相位比

51的相位超前兀/4,波長(zhǎng)丸=8.00m,ri=12.0m,9=14.0m,Si

在尸點(diǎn)引起的振動(dòng)振幅為0.30m,S2在尸點(diǎn)引起的振動(dòng)振幅為0.20

m,求尸點(diǎn)的合振幅.

解：/。=白-必-斗(4一八)=?一令-(14-12)=-TI/4

Z48

Z=(Z；+4+2ZMcosA°)i/2=0,464m

5-14在駐波中，兩個(gè)相鄰波節(jié)間各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)[]2

(A)振幅相同，相位相同.(B)振幅不同，相位相同.

(C)振幅相同，相位不同.(D)振幅不同，相位不同.

答：(B)

5-15兩列完全相同的余弦波左右相向而行，疊加后形成駐波.下

列敘述中，不是駐波特性的是[D]

(A)疊加后，有些質(zhì)點(diǎn)始終靜止不動(dòng)

(B)疊加后，波形既不左行也不右行

(C)兩靜止而相鄰的質(zhì)點(diǎn)之間的各質(zhì)點(diǎn)的相位相同

(D)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能與勢(shì)能之和不守恒

第8章氣體動(dòng)理論

8-1一容器中裝有一定質(zhì)量的某種氣體，在沒(méi)有外界影響時(shí)，下列

所述中能描述平衡態(tài)特征的一項(xiàng)為[D]

(A)氣體各部分壓強(qiáng)相等

(B)氣體各部分溫度相等

(C)氣體各部分密度相等

(D)氣體各部分溫度和密度都相等

8-2關(guān)于溫度的意義，下列幾種說(shuō)法中錯(cuò)誤的是

（1）氣體的溫度是分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度；

（2）氣體的溫度是大量氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，具有統(tǒng)計(jì)意

義；

（3）溫度的高低反映物質(zhì)內(nèi)部分子運(yùn)動(dòng)劇烈程度的不同；

（4）從微觀上看，氣體的溫度表示每個(gè)氣體分子的冷熱程度。

答案:（4）

3

耳=-kT

8-3對(duì)于2中的平均平動(dòng)動(dòng)能￡和溫度7可作如

下理解[D]

（A）瓦是某一分子的平動(dòng)動(dòng)能

（B）司是某一分子的能量長(zhǎng)時(shí)間的平均值

（C）Z是溫度為7的幾個(gè)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能

（D）氣體的溫度越高，分子的平均平動(dòng)動(dòng)能越大

8-4一瓶氧氣和一瓶氮?dú)饷芏认嗤?，分子平均平?dòng)動(dòng)能相同，而且它

們都處于平衡狀態(tài)，則下列幾種情況正確的是

（1）溫度相同、壓強(qiáng)相同；

（2）溫度、壓強(qiáng)都不相同；

（3）溫度相同，但氨氣的壓強(qiáng)大于氮?dú)獾膲簭?qiáng)；

（4）溫度相同，但氮?dú)獾膲簭?qiáng)小于氮?dú)獾膲簭?qiáng)。

答案：（3）

解析：由理想氣體狀態(tài)方程得〃=絲好

4Vuu

因瓦相同，所以溫度T相同；又因密度O相同，氮?dú)獾哪栙|(zhì)

量小于氮?dú)?，所以氨氣的壓?qiáng)大于氮?dú)獾膲簭?qiáng)。

8-5三個(gè)容器N、B、。中裝有同種理想氣體，其分子數(shù)密度在相同,

而方均根速率之比為同":的"：廚”=1:2:4,則其壓強(qiáng)之比

PA：PB：Pc為多少？

答案：1：4：16

.工3RT—

v2

解析：,~—，p=-nymv

所以，PJPB：PC=T/：TB：襄=丫；：*：正二1：4：16

8-6溫度相同的氮?dú)夂脱鯕猓鼈兎肿拥钠骄鶆?dòng)能為平均平動(dòng)動(dòng)

能為下列說(shuō)法正確的是[]

(1)方和瓦都相等；

(2)e相等，而瓦不相等；

(3)用相等，而巨不相等；

(4)g和弓都不相等。

答案：(3)

8-7在一固定容積的容器內(nèi)，理想氣體溫度提高為原來(lái)的兩倍，則

[A]

(A)分子的平均動(dòng)能和壓強(qiáng)都提高為原來(lái)的兩倍

(B)分子的平均動(dòng)能提高為原來(lái)的兩倍，壓強(qiáng)提高為原來(lái)的

四倍

(C)分子的平均動(dòng)能提高為原來(lái)的四倍，壓強(qiáng)提高為原來(lái)的

兩倍

(D)因?yàn)轶w積不變，所以分子的動(dòng)能和壓強(qiáng)都不變

8-8平衡狀態(tài)下，剛性分子理想氣體的內(nèi)能是[D]

(A)部分勢(shì)能和部分動(dòng)能之和

(B)全部勢(shì)能之和

(C)全部轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和

(D)全部動(dòng)能之和

8-9壓強(qiáng)為p、體積為V的氫氣(視為理想氣體)的內(nèi)能為[A]

531

(A)-pV(B)-PV(C)-PV(D)pV

8-10容器中儲(chǔ)有Imol的氮?dú)?，壓?qiáng)為1.33Pa,溫度為7℃,則

(1)1m3中氮?dú)獾姆肿訑?shù)為多少？(2)容器中的氮?dú)獾拿芏葹槎?/p>

少？

解：

⑴由夕=〃/丁得

=_E_=

〃VkT3.44xlO20m-3

pV二也RT

(2)由理想氣體狀態(tài)方程卜4，得

M_p^_

------

-53

JZRT1.6xiokg?m'o

8-11有體積為2x10-3m3的氧氣，其內(nèi)能為6.75x102J。

試求氣體的壓強(qiáng)；

E=--RTpV=-RT

解：（i）由內(nèi)能//2，及4

E=—pV

得2

2F

p=——=0.135

所以,5VPa

8-12容積為9.6xl03m3的瓶子以速率v=200ms1勻速運(yùn)動(dòng)，瓶

子中充有質(zhì)量為100g的氫氣。設(shè)瓶子突然停止，且氣體的全部定向

運(yùn)動(dòng)動(dòng)能都變?yōu)闅怏w分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，瓶子與外界沒(méi)有熱量交換，

求熱平衡后氫氣的溫度、壓強(qiáng)各增加多少？

解：設(shè)氫氣的總質(zhì)量為M,因氫氣的定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為

內(nèi)能，即

-Mv2=--RAT

2〃2

2

AT=幺匚=1.925

5RK

M

ApV=——RAT

由理想氣體狀態(tài)方程，得〃

4?二也火［7=8.33義1()4

jUVPa

8-13.1mol氮?dú)?，由狀態(tài)N5，）變到狀態(tài)5"2，），氣體內(nèi)能

的增量為多少？

解AE=n—R（T2-TJ由”=的，得

ZLE=〃/（72-Ti）=j/（P2一Pi）

8-14Imol溫度為乃的氫氣與2moi溫度為0的氨氣混合后的

溫度為多少？設(shè)混合過(guò)程中沒(méi)有能量損失。

解：設(shè)混合后的溫度為T(mén),由于混合過(guò)程中沒(méi)有能量損失，所以

3535

2x-RT.+—RT、=2x-RT+-RT

2222

.=6.+5T；

一n

8-15關(guān)于麥克斯韋速率分布函數(shù)一。)的適用條件，下列說(shuō)法中正

確的說(shuō)法是[D]

(A)/(0)適用于各種氣體

(B)只適用于理想氣體的各種狀態(tài)

(C)只要是理想氣體，/(0)就一定適用

(D)適用于理想氣體系統(tǒng)的平衡態(tài)

8-16若氣體分子的速率分布函數(shù)為/"),分子質(zhì)量為陽(yáng)，說(shuō)明下列各

式的物⑴理意J；義"：""；

⑵①）叱

/、—mfv2fMdv

（3）2JoJ'J

答：（1）J："（v）dv表示分子分布在速率區(qū)間為vlV2的概率或分子

數(shù)的比率；

（2）JM（v）dv表示平均速率；

（3）g加「＜/（v）八表示分子的平均平動(dòng)動(dòng)能

8-17.在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，若氧氣（視為剛性雙原子分子的理想氣體）和

氧氣的體積相同，則其內(nèi)能之比?/馬為o

解：（1）由內(nèi)能￡="上RT,及p展絲尺7

〃24

得￡=—pV

2

因壓強(qiáng)與體積相同，所以旦=9

E33

8-18圖中的兩條/（v）~v曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的

麥克斯韋速率分布曲線。由此可得氫氣與氧氣分子的最概然速率分別

為多少？

解：由V.=1.41行知?dú)錃獾淖罡湃凰俾蚀笥谘鯕獾淖罡湃凰俾?

則曲線II為氫氣速率分布曲線，曲線I為氧氣分子的速率分布曲線。

氫氣的最概然速率為2000m/s；因

所以，氧氣分子的最概然速率為500m/s

8-19溫度為10(TC的水蒸汽在常壓下可視為理想氣體，求分子的

平均平動(dòng)動(dòng)能、分子的方均根速率和18g水蒸汽的內(nèi)能？

3—=718.8m/s；E=〃97T=9298.9J

解：￡,=-^T=7.72XW21J；

42

第9章熱力學(xué)基礎(chǔ)

9-1如圖所示，一定量的理想氣體經(jīng)p（xicfpa）

歷ab過(guò)程時(shí)氣體對(duì)外做功為1000J。則

4—0_

氣體在汕與aAca過(guò)程中，吸熱分別為多1

少？\

解：由熱力學(xué)第一定律，1-丁-----?

II

Qab=Aab+^E=Aah+（耳-耳）°-14—，（xlO-3m3）

由圖知2K=0幾，

又由=知T?=7；,即

?4=4=M0J

Qa?ca=4皿=4+4-=1000+Pc（匕_%）=1000-300=700J

9-22moi的氮?dú)忾_(kāi)始時(shí)處在壓強(qiáng)pi=2atm、溫度7\=400K的

平衡態(tài)，經(jīng)過(guò)一個(gè)等溫過(guò)程，壓強(qiáng)變?yōu)镻2=latm。該氣體在此過(guò)程中

內(nèi)能增量和吸收的熱量各為多少？若氣體經(jīng)歷的是等容過(guò)程，上述氣

體在此過(guò)程中吸收的熱量與內(nèi)能增量各為多少？

解：（1）氣體在等溫過(guò)程中吸收的熱量與內(nèi)能增量分別為

Q=/=〃R7；ln互=4608J,9=0

Pi

（2）氣體在等容過(guò)程中吸收的熱量與內(nèi)能增量為

Q=AE=①-3

因?yàn)樾?^7]=200K,Q加所以

Pi'2

3

Q=n-R(T2-7J=2x1.5x8.31x(400-200)=4986J

9-3溫度為27℃、壓強(qiáng)為latm的Imol剛性雙原子分子理想氣

體，分別經(jīng)歷等溫過(guò)程過(guò)程與等壓過(guò)程體積膨脹至原來(lái)的2倍。分別

計(jì)算這兩個(gè)過(guò)程中氣體對(duì)外所做的功和吸收的熱量。

解：等溫過(guò)程吸收的熱量與功為

Q=N=〃R71n%=8.31x(27+273)xln2=1728J

等壓過(guò)程「2=戢十=27；=6001<,所以，等壓過(guò)程氣體吸收的熱量與功分

別為

7

Q=nCpm(T2=300=8725.5J

A=p(V2-匕)=〃匕=nRTl=8.31x300=2493J

9-4溫度為0℃、壓強(qiáng)為latm的Imol剛性雙原子分子理想氣體,

經(jīng)歷絕熱過(guò)程體積膨脹為原來(lái)的3倍，那么氣體對(duì)外做的功是多少？

內(nèi)能增量又是多少？

解：由絕熱過(guò)程方程匕尸7=匕尸2；7=1.4,得

T2=(4)r4=176K

A=-AE=fgm

=-2.5x8.31x(176-273)=2015.2J

AE=nCVm(7^-7,)=-2015.2J

9-5Imol氮?dú)鈴臓顟B(tài)沿如圖所示直線變化到狀態(tài)。2,%)，

試求:

(1)氣體的內(nèi)能增量；

(2)氣體對(duì)外界所做的功；

(3)氣體吸收的熱量；

(4)此過(guò)程的摩爾熱容。

(摩爾熱容C,"=也//7,其中表示Imol

物質(zhì)在過(guò)程中升高溫度夕時(shí)所吸收的熱量。)

解：

33

(1)AE=仁切仁-3=室仁-3=-PK)

(2)/=g3+p|)(%-X)

(3)由過(guò)程曲線，得△=五，即小匕=0匕

0匕一

所以匕-，匕)

Q=A+AE=2(p2V2-p^)

(4)因?yàn)椤?2(小匕-0匕)=2"Rd)

所以

9-6一定量的剛性雙原子分子理想氣體裝在封閉的汽缸里，此汽

缸有可活動(dòng)的活塞(活塞與氣缸壁之間無(wú)摩擦且無(wú)漏氣)。已知?dú)怏w的

初壓強(qiáng)為pi，體積為匕，現(xiàn)將該氣體在等體積下加熱直到壓強(qiáng)為原來(lái)

的2倍，然后在等壓下加熱直到體積為原來(lái)的兩倍，最后作絕熱膨脹,

直到溫度下降到初溫為止。

(1)在p—P圖上將整個(gè)過(guò)程表示出來(lái)；

(2)試求在整個(gè)過(guò)程中氣體內(nèi)能的改變；

(3)試求在整個(gè)過(guò)程中氣體所吸收的熱量;

(4)試求在整個(gè)過(guò)程中氣體所作的功。

解：(1)略

(2)因?yàn)槭寄B(tài)溫度相同，所以9=0

(3)整個(gè)過(guò)程中氣體所吸收的熱量為

Q=。,，+。.+0

="C〃,*2-7J+-C〃,*3-T2)

57

=”(K)+”WY)

57

=](。2匕-0匕)+](。3匕一。2匕)

因等體過(guò)程1-2中：02=201，；

等壓過(guò)程2-3中：匕=2%=2匕，代入上式得

所以由熱力學(xué)第一定律，有

19

^=Q=—P7i

9-7氣體經(jīng)歷如圖所示的一個(gè)循環(huán)過(guò)程，在這個(gè)循環(huán)中，外界傳

給氣體的凈熱量是多少？

p(atm)

解：外界傳給氣體的凈熱量也是氣體從外I

界吸收的凈熱量」.一.

Q=A=-ApAV=-900J

9-8如圖所示，Imol氮?dú)馑?jīng)歷的循環(huán)過(guò)程，其中。為等溫線,

求效率。

解：Qab=A=nRTa\n^=RTa\n2>0

7T7

Qhc=riCp^m(Tc-Tb)=-R^-Ta)=--RTa<0

QJ〃0*廣￡)=],-g「)=；RT.>Q

〃=1+紐=1+——=9.94%

0吸Qab+Qca

9-9Imol的雙原子理想氣體作如圖所示的循環(huán)abed,b—a為絕熱

過(guò)程。已知"態(tài)的壓強(qiáng)為馬、體積為匕，設(shè)匕=2匕，求：

（1）該循環(huán)過(guò)程氣體對(duì)外所作的總功；（2）循環(huán)效率。

解：（1）設(shè)a態(tài)的溫度為T(mén)i，由等

溫過(guò)程方程得p?=}pb=2pb。

ya

由絕熱過(guò)程方程

VV=

aPa=JPb^^=7^=—=1

Cf/mI5

得

0

力

必=者=(;嚴(yán)4=《嚴(yán)乃

77

Qac=nCp^Tc-Ta)=-nRx(Tc-Ta)=~(pcVc-paVa)

777

二,(Az-Pa^a^-Pa^a=1匕

Qcb=nCv^Tb-TJ=^nR\Tb-Tc)=^pbVb-pcVJ

Z-3.1050匕

或=0

。=或+-0-395*=N

nA

〃=l+"=—=11.3%

QaeQac

9-10氮?dú)饨?jīng)歷如圖所示循環(huán)，求循環(huán)效率。

解：循環(huán)過(guò)程氣體的總功為

A=^Pa-Pc）億叱）

由過(guò)程曲線，得莊="，所以，%=2匕,

PcVe

Ve=Va,則

N=；Pc-=1■小匕

57

Ql=Qca+Qab=〃Cy,<Ta-Q+nCp,Mb-Ta)=-Tc)+〃3刈￡-Ta)

c-a過(guò)程中：Pa=2Pc,Ta=^Tc=2Tci

Pc

b-c過(guò)程中：由外匕二"/得

Vb=絲匕=2/=2匕，

Pe

a-b過(guò)程中：Tb=^Ta=2Ta

5719

。=n-R(2Tc-Tc}+n-R^Tc-2Tc)=-nRTc

再由狀態(tài)方程得nRTc=pyx

0=口四

A

〃=—=5.3%

9-11一卡諾熱機(jī)(可逆的)，低溫?zé)嵩吹臏囟葹?7℃,熱機(jī)效率為

40%,其高溫?zé)嵩礈囟葹槎嗌伲拷裼麑⒃摕釞C(jī)效率提高到50%,若低

溫?zé)嵩幢３植蛔?，則高溫?zé)嵩吹臏囟葢?yīng)為多少？

解：T2=27+273=300K

由〃=1-Z，得Ti=500K

T\

效率升高后〃=1.?=0.5,高溫?zé)嵩吹臏囟葹槟?=600K

第10章靜電場(chǎng)

10-1一個(gè)帶電體要能夠被看成點(diǎn)電荷，必須是[B]

(A)其線度很小

(B)其線度與它到場(chǎng)點(diǎn)的距離相比足夠小

(C)其帶電荷量很小

(D)其線度及帶電荷量都很小

10-2電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算式月=上石的適用條件是[A]

4兀分尸

(A)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，且不能r0

(B)軸線為/的電偶極子，且r?l

(C)半徑為火的帶電圓盤(pán)，且rR

(D)半徑為R的帶電球體，且rR

10-3長(zhǎng)I=15.0cm的帶電直線AB上均勻地分布著線密度

2=5.0x10-90〃尸的正電荷.試求：在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與導(dǎo)線B

端相距(7=5.0cm處尸點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；

解：設(shè)桿的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)O,x軸沿直桿方向.在x處取一電荷元

dq=2dx,它在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：

1ldqAdxQP

dE=--=--

ATIEQ(I+a-x)4TI￡O(/+a—x)

總場(chǎng)強(qiáng)為a

廠4dxAl

卜,—------------------------=-----------------

4兀￡og(/+6Z—X)24?！阰Q(/+a)

x[(L+d-x)

.dq「p里丁

用7=15cm,2=5.0x10—9c-m-1,

L_________________J%

a=5cm代入得

a

%=6.75N-C-1

方向沿x軸，即桿的延長(zhǎng)線方向.

10-4一個(gè)半徑為火的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為九求環(huán)心處。

點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。

解:在圓上取=G

dq=/W/=R?d0,它在。點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為

包=用嗎方向沿半徑向外

4?！仿?/p>

2

則d"=dEsin夕=-----sin(pA(p

ATIE^R

-A

AEV=-AE-coscp----------cosffld0

4TI/R

積分￡工=P---sin(pA(p=---

Jo

Ane0R2HE0R

Ev=f------COS69d69=0

/Jo4嗎R

E=Ex=--—,方向沿x軸正向.

2K￡°R

10-5在空間有一非均勻電場(chǎng)，其電場(chǎng)線分布如圖所

示.在電場(chǎng)中作一半徑為火的閉合球面S,已知通過(guò)

球面上某一面元AS的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為A0e,則通過(guò)該

球面其余部分的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為―吼—

10-6一個(gè)點(diǎn)電荷放在球形高斯面兩幣無(wú)、，如圖所

示.下列哪種情況通過(guò)該高斯面的電通量有變化？

(A)將另一點(diǎn)電荷放在高斯面外

(B)將另一點(diǎn)電荷放在高斯面內(nèi)

(C)將中心處的點(diǎn)電荷在高斯面內(nèi)移動(dòng)

(D)縮小高斯面的半徑

10-7電場(chǎng)中一高斯面S,內(nèi)有電荷夕1、02，S面外有電荷夕3、夕4.關(guān)于

高斯定理性后由=2"，正確的說(shuō)法是[B]

（A）積分號(hào)內(nèi)月只是夕1、夕2共同激發(fā)的

（B）積分號(hào)內(nèi)方是外、《2、《3、夕4共同激發(fā)的

（C）積分號(hào)內(nèi)月只是43、《4共同激發(fā)的

（D）以上說(shuō)法都不對(duì)

10一8一半徑為火的均勻帶電薄球殼，其所帶電荷為夕.試求，球殼內(nèi)

外的場(chǎng)強(qiáng)分布.

解：（1）球殼內(nèi)r<R

以球面為高斯面，按高斯定理恒?布=Z曳，￡%=（）有

在球外r>R外作一半徑為r的同心高斯球面,

有.2dX=—

Js￡o

2

E2-4KF=q/EQ

得到3（QR）

4^F0r

10-9如圖所示為一個(gè)均勻帶電的球殼，其電荷體密度為0,球殼內(nèi)表

面半徑為4,外表面半徑為火2,求電場(chǎng)分布。

解：（1）!?<以按高斯定理有恒.dM=o

得片=0

RiWr<@以球面為高斯面，有

=p=±兀（/_R；）

s3

2

E2-Am-=237（尸_R；）/

"一招2）

23%/

方向沿徑向，0>0時(shí)向外，0<0時(shí)向里.

球外reR2作一半徑為r的同心球面，有

433

小國(guó)鳴)

E2-4兀尸2--J-----------

￡o

得￡,="泮2,方向沿徑向，

3￡，

p>0時(shí)向外，p<0時(shí)向里.

10-10如圖所示，兩個(gè)“無(wú)限長(zhǎng)”的、半徑分別為4

和R1的共軸圓柱面均勻帶電，軸線方向單位長(zhǎng)度上

的帶電量分別為4和4,則在內(nèi)圓柱面里面、距離

軸線為r處的尸點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小[D]

(A)4+4(B)—+—

2兀2兀￡0R[2兀e0R2

4(D)0

4兀

10-11半徑為招和冬(&>居)的兩無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，單位長(zhǎng)度上

分別帶有電量4和-幾，試求：(1)rVg;

(2)Rl<r<R2；(3)此處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。

解：高斯定理((小西=愛(ài)

Js5

取高為從半徑為，的同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積S=2TTM

貝！J姨睦=E2wh

(1)r<^^=0,E=0

(2)R,<r<R?E2jirh=

-/

???E=」一沿徑向向外

2兀

V

(3)r>R[￡q=U

：.E=0

10-12半徑為，的均勻帶電球面1,帶有電荷q,其外有一同心的半徑

為R的均勻帶電球面2,帶有電荷Q,則此兩球面之間的電勢(shì)差Ui-lh

為：[A]

1

q(B)Q

4%4兀既yR

(C)±_Q(D)-^―

4兀￡()IrR47i￡,or

解析：

在r</<凡處做半徑為r，的球面，有整.而="

一人￡0

KF，2

E2-4=q/

E=-J

4716,0r

Un=JE-dr=‘晨產(chǎn)'=卷卜。

10/3一半徑為火的均勻帶電球體，其所帶電荷體密度0為.試求（1）

球體內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布；（2）球體內(nèi)外電勢(shì)的分布.

解：（1）球體內(nèi)r<R,以球面為高斯面，

按高斯定理有="/與

74a

Ex?4兀/=p-7trl￡Q

得到Ei=pr/(3E0)

方向沿徑向，0>0時(shí)向外，0<0時(shí)向里.

球外r>R,在球體外作一半徑為r的同心高斯球面，按高斯定理

有

94a

E2?4nr=p飛勿R/eQ

得到4=?川/(3島，)，(r>K)

方向沿徑向，0>0時(shí)向外，0<0時(shí)向里.

（2）球體內(nèi)r<R

32

u=E'dr=^Edr=1pr/(3￡0)6Zr+￡pR/(3for)dr=港產(chǎn)一）

球外r>R

3

Edr=^°Edr=1pR3/(3￡r2