第5章三角函數(shù)5.4

第2課時函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)及其應用課標要求1.整體把握函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換與性質(zhì)之間的關系,并能解決有關問題.2.掌握函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)的綜合應用.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有關性質(zhì)名稱性質(zhì)定義域

值域

周期性T=

對稱中心

對稱軸

R[-A,A]過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)y=Asin(ωx+φ)的圖象既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.(

)(2)在y=Asin(ωx+φ)的圖象中,相鄰的兩條對稱軸之間的距離為1個周期.(

)√×√×重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一三角函數(shù)圖象變換與性質(zhì)的應用1.三角函數(shù)圖象變換與奇偶性【例1】

將函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖象沿x軸向左平移

個單位長度后,得到一個偶函數(shù)的圖象,則φ的一個可能取值為(

)B變式探究1(多選題)將本例中的偶函數(shù)改為“奇函數(shù)”,則φ的一個可能取值為(

)AD變式探究2(多選題)將本例中的函數(shù)y=sin(2x+φ)改為“y=cos(2x+φ)”,其余不變,則φ的一個可能取值為(

)AD變式探究3將本例中的函數(shù)y=sin(2x+φ)改為“y=cos(2x+φ)”后,沿x軸向左平移

個單位長度后,得到一個奇函數(shù)的圖象,則φ的一個可能取值為(

)B規(guī)律方法

1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的奇偶性:(1)當φ=kπ(k∈Z)時,函數(shù)是奇函數(shù);2.三角函數(shù)圖象變換與對稱性

B規(guī)律方法

1.研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)的對稱中心與對稱軸.(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的對稱中心(x0,0),其中x0滿足ωx0+φ=kπ(k∈Z);(2)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的對稱軸x=x0,其中x0滿足ωx0+φ=kπ+(k∈Z).2.函數(shù)y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的對稱中心與對稱軸.(1)函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的對稱中心(x0,0),其中x0滿足ωx0+φ=kπ+(k∈Z);(2)函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的對稱軸x=x0,其中x0滿足ωx0+φ=kπ(k∈Z).3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)與y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)在對稱軸處取得最值(最大或最小值),函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的對稱軸一定是函數(shù)y=Acos(ωx+φ)對稱中心的橫坐標,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的對稱中心橫坐標一定是函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的對稱軸.3.根據(jù)函數(shù)圖象變換研究函數(shù)單調(diào)性

B規(guī)律方法

根據(jù)函數(shù)圖象變換解析式求函數(shù)單調(diào)性的方法(1)首先根據(jù)函數(shù)圖象變換方法準確地求出函數(shù)的解析式;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應遵循簡單化原則:將解析式先化簡,并注意復合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”;(3)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時,要視“ωx+φ”為一個整體,通過解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助誘導公式將ω化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯.變式訓練(1)將函數(shù)y=sin3x的圖象向左平移φ(φ>0)個單位,得到的圖象恰好關于直線x=對稱,則φ的最小值是(

)C解析

∵把函數(shù)y=sin

3x的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度,∴平移后函數(shù)的解析式是y=sin(3x+3φ),(2)已知函數(shù)f(x)=sin2x向左平移

個單位長度后,得到函數(shù)y=g(x),下列關于y=g(x)的說法正確的是(

)C探究點二函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的綜合應用(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移

個單位長度后,再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的4倍,縱坐標不變,得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.變式探究

規(guī)律方法

研究函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的基本策略(1)首先將所給函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)的形式;(2)熟記正弦函數(shù)y=sin

x的圖象與基本性質(zhì);(3)充分利用整體代換思想解決問題;(4)熟記有關函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性的重要結論.學以致用·隨堂檢測促達標123451.函數(shù)y=cosx的圖象沿x軸向左平移

個單位長度后,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,則函數(shù)y=f(x)的對稱軸是直線(

)C12345A12345123453.將函數(shù)y=sin(2x+)的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱,則正數(shù)φ的最小值是(

)D1234512