專項素養(yǎng)綜合全練(七)相似、解直角三角形中的難點模型類型一射影模型1.(2022福建漳州期末)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為D,AD=3,CD=4,則BD的長為(M9227004)()A.942.(2023安徽合肥包河期中)如圖,在△ABC中,CD⊥AB于點D,有下列條件:①∠A=∠BCD;②∠A+∠BCD=∠ADC;③BDCD=BCAC;④BC2=BDA.0個B.1個C.2個D.3個3.(2022四川廣元中考改編)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的☉O交AB于點D.若AD=4,BD=9,則☉O的半徑為.

類型二胡不歸模型專題解讀如圖,動點P在定直線上,求形如“PA+kPB”(0<k<1)型的最值(最小值)問題(A、B為定點,B在定直線MN上),構(gòu)造射線BQ,使得sin∠QBN=k,作PC⊥BQ于C,可得PC=kPB,將問題轉(zhuǎn)化為求PA+PC的最小值.4.(2023安徽合肥一模)如圖,△ABC為等邊三角形,BD平分∠ABC,AB=2,點E為BD上一動點,連接AE,則AE+12A.1B.2C.5.(2023山東濟寧任城期末)如圖,△ABC中,AB=AC=15,tanA=2,BE⊥AC于點E,D是線段BE上的一個動點,則CD+55A.35B.6C.53D.106.(2023天津和平期末)如圖,?ABCD中∠A=60°,AB=6,AD=2,P為邊CD上一動點,則3PD+2PB的最小值為.(M9228004)

類型三“12345”模型7.(2022山西大同三模)已知銳角α與β滿足tanα=12,tanβ=13,求α+β的度數(shù).小明經(jīng)過思考后,畫出如圖所示的網(wǎng)格并把α和β畫在網(wǎng)格中,連接AD得到△ABD,且AB=AD,A.數(shù)形結(jié)合思想B.分類思想C.統(tǒng)計思想D.方程思想8.【一題多解】如圖,正方形ABCD的邊長為6,點E,F分別在AB,AD上,若CE=35,且∠ECF=45°,則CF的長為()A.210B.3C.59.【新考向·閱讀理解試題】(2023四川涼山州中考)閱讀材料:如圖①,四邊形ABCD是矩形,△AEF是等腰直角三角形,記∠BAE為α、∠FAD為β,若tanα=12,則tanβ=1證明:設(shè)BE=k,∵tanα=12,∴AB=2k,易證△AEB≌△EFC(AAS),∴EC=2k,CF=k,∴FD=k,AD=3k,∴tanβ=DFAD=k3k=同理,當(dāng)α+β=45°時,若tanα=13,則tanβ=1根據(jù)上述材料,完成下列問題:如圖②,直線y=3x-9與反比例函數(shù)y=mx(x>0)的圖象交于點A,與x軸交于點B.直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后與y軸交于點E,過點A作AM⊥x軸于點M,過點A作AN⊥(1)求反比例函數(shù)的解析式;(2)直接寫出tan∠BAM、tan∠NAE的值;(3)求直線AE的解析式.類型四阿氏圓模型專題解讀如圖,動點P在定圓上,求形如“PA+kPB”(0<k<1)型的最值(最小值)問題(A、B為定點,定圓O的半徑r滿足r=kOB),可在OB上取一點C,使得OCOP=OPOB=k,此時10.(2022河南南陽西峽期末)如圖,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,點E,F分別是邊AB,AC的中點,點P是以A為圓心,以AE長為半徑的圓弧上的動點,則12PB+PC的最小值為11.如圖,四邊形ABCD為邊長為4的正方形,☉B(tài)的半徑為2,P是☉B(tài)上一動點,則PD+12PC的最小值為

答案全解全析A∵∠BAC=90°,∴∠B+∠C=90°.∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,∴∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,∴△BDA∽△ADC,∴BDAD模型歸納如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,那么有:①CD2=AD·BD;②AC2=AB·AD;③BC2=AB·BD.2.D①∵∠A=∠BCD,∠A+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°,故①符合題意;②條件不足,無法判定△ABC是直角三角形,故②不符合題意;③∵BD∶CD=BC∶AC,∠ADC=∠CDB=90°,∴Rt△ADC∽Rt△CDB,∴∠ACD=∠B,∵∠B+∠BCD=90°,∴∠ACD+∠BCD=90°,∴∠ACB=90°,故③符合題意;④∵BC2=BD·BA,∴BCBA=BDBC,∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBD,3.13解析如圖,連接CD,∵AC是☉O的直徑,∴∠ADC=90°,∵AD=4,BD=9,∴AB=AD+BD=4+9=13,∵∠ACB=∠ADC=90°,∠A=∠A,∴△ACB∽△ADC,∴ACAD=ABAC,∴AC2=AD·AB=4×13=52,∴AC=213,4.C如圖,過E作EM⊥BC于M,過A作AH⊥BC于H,交BD于E'.∵△ABC為等邊三角形,BD平分∠ABC,∴∠EBM=30°,∴EM=12BE,∴AE+12BE=AE+EM,當(dāng)AE+12BE最小時,AE+EM最小,此時E與E'重合,M與H重合,則AE+12BE的最小值為AH的長度,在Rt△ABH中,AH=AB5.B如圖,作DH⊥AB于H,CM⊥AB于M.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,∵tanA=BEAE=2,∴設(shè)AE=a,BE=2a,則有152=a2+4a2,∴a2=45,∴a=35(舍負),∴BE=2a=65,∵AB=AC,BE⊥AC,CM⊥AB,∴CM=BE=65,∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA,∴△BHD∽△BEA,∴DHBD=AEAB=55,∴DH=55BD,∴CD+56.63解析如圖,過點P作PH⊥AD,交AD的延長線于H,過點B作BN⊥AH于N,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠A=∠CDH=60°.∵HP⊥AD,∴∠DPH=30°,∴DH=12DP,HP=3DH=32DP,∵3PD+2PB=232PD+PB=2(HP+PB),∴當(dāng)點H,點P,點B共線時,HP+PB有最小值,即3PD+2PB有最小值,且最小值為2BN的值.∵7.A本題結(jié)合正切的定義,利用幾何網(wǎng)格圖進行分析,屬于數(shù)形結(jié)合思想.故選A.模型歸納α和β是兩個銳角,α+β=45°、tanα=12、tanβ=13中,8.A解法一(利用“半角”模型):如圖,延長FD到G,使DG=BE,連接CG,EF.四邊形ABCD為正方形,在△BCE與△DCG中,CB=CD,∠CBE=∠CDG,BE=DG,∴△BCE≌△DCG(SAS),∴CG=CE,∠DCG=∠BCE,∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠BCE+∠DCF=45°,在△GCF與△ECF中,GC=EC,∠GCF=∠ECF,CF=CF,∴△GCF≌△ECF(SAS),∴GF=EF,∵CE=35,CB=6,解法二(利用“12345”模型):∵CE=35,CB=6,∴BE=CE2-BC2=(35)2-62=3,∴tan∠BCE=BEBC=369.解析(1)設(shè)A(t,3t-9),則OM=t,AM=3t-9,∵OA=5,∴t2+(3t-9)2=52,解得t=4或t=1.4,∴A(4,3)或A(1.4,-4.8)(不合題意,舍去),把A(4,3)代入y=mx,得3=m4,∴反比例函數(shù)的解析式為y=12x(2)在y=3x-9中,令y=0,得0=3x-9,解得x=3,∴B(3,0),∴OB=3.由(1)知A(4,3),∴OM=4,AM=3,∴BM=OM-OB=4-3=1,∴tan∠BAM=BMAM∵∠ANO=∠NOM=∠OMA=90°,∴∠MAN=90°,∵∠BAE=45°,∴∠BAM+∠NAE=45°.由當(dāng)α+β=45°時,若tanα=13,則tanβ=1tan∠NAE=12(3)由(2)知tan∠NAE=12∵A(4,3),∴AN=4,ON=3,∴NE4=1∴OE=ON-NE=3-2=1,∴E(0,1),設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b,把A(4,3),E(0,1)代入,得4∴直線AE的解析式為y=1210.17解析如圖,在AB上截取AQ=1,連接AP,PQ,CQ,∵點E,F分別是邊