專題5.1相交線【十大題型】【華東師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的識(shí)別】 1【題型2由對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求角的度數(shù)】 2【題型3平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系】 3【題型4作垂線】 4【題型5由垂線求角度】 6【題型6過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線】 7【題型7點(diǎn)到直線的距離】 8【題型8垂線段最短】 9【題型9同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別】 10【題型10確定同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù)】 11【知識(shí)點(diǎn)1對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的概念】一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角.有公共頂點(diǎn)和一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線，并且互補(bǔ)的兩個(gè)角稱為鄰補(bǔ)角.【題型1對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的識(shí)別】【例1】（2023下·遼寧盤錦·七年級(jí)?？计谀┰谙聢D中，∠1和∠2是對(duì)頂角的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式11】（2023下·湖北荊門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）圖中∠1與∠2互為鄰補(bǔ)角的是（）A． B．C． D．【變式12】（2023下·上?！て吣昙?jí)上海市文來(lái)中學(xué)?？计谥校?條不重合的直線相交于一點(diǎn)，構(gòu)成的對(duì)頂角共有對(duì)．【變式13】（2023下·安徽淮北·七年級(jí)校聯(lián)考期末）觀察下列各圖，尋找對(duì)頂角（不含平角）、鄰補(bǔ)角．(1)如圖1，共有___________對(duì)對(duì)頂角，____________對(duì)鄰補(bǔ)角；(2)如圖2，共有___________對(duì)對(duì)頂角，____________對(duì)鄰補(bǔ)角；(3)如圖3，共有___________對(duì)對(duì)頂角，____________對(duì)鄰補(bǔ)角；(4)根據(jù)（1）（3）中直線的條數(shù)與對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的對(duì)數(shù)之間的關(guān)系，探究：若有n條直線相交于一點(diǎn)，則可形成多少對(duì)對(duì)頂角？多少對(duì)鄰補(bǔ)角？【知識(shí)點(diǎn)2對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)】對(duì)頂角相等.鄰補(bǔ)角互補(bǔ).【題型2由對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求角的度數(shù)】【例2】（2023下·廣西河池·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，射線OE把∠AOC分成兩部分．

(1)圖中∠AOC=∠______，∠AOE+∠______=180°；(2)若∠AOC=80°，∠AOE=3∠COE，求∠DOE的度數(shù)．【變式21】（2023下·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)校考期末）已知∠1與∠2是對(duì)頂角，∠1與∠3是鄰補(bǔ)角，則∠2+∠3的度數(shù)為（）A．90° B．180° C．270° D．360°【變式22】（2023下·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知直線AB與CD相交于點(diǎn)O．

(1)如圖1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，則∠AOD=_________．(2)如圖2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小【變式23】（2023下·云南曲靖·七年級(jí)統(tǒng)考期末）直線AB,CD相交于點(diǎn)O，OF⊥CD于點(diǎn)O，作射線OE，且OC在∠AOE的內(nèi)部．(1)①當(dāng)OE、OF在如圖1所示位置時(shí)，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度數(shù)；②當(dāng)OE、OF在如圖2所示位置時(shí)，若OF平分∠BOE，證明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠BOE與∠AOC之間的數(shù)量關(guān)系．【題型3平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系】【例3】（2023下·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）l1、l2、l3為同一平面內(nèi)的三條直線，若l1與l2不平行，lA．l1與l3一定不平行 B．l1C．l1與l3一定互相垂直 D．l1【變式31】（2023上·黑龍江佳木斯·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【變式32】（2023上·七年級(jí)單元測(cè)試）在下列4個(gè)判斷中：①在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條線段一定平行；②在同一平面內(nèi)，不相交也不重合的兩條直線一定平行；③在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條線段一定相交；④在同一平面內(nèi)，不平行也不重合的兩條直線一定相交．正確判斷的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式33】（2023下·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)直線m外一點(diǎn)O的四條直線中，與直線m相交的直線最少有（

）

A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【知識(shí)點(diǎn)3垂線】①兩條直線相交所成的四個(gè)角內(nèi)有一個(gè)角是90°稱這兩條直線互相垂直.②垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線.③它們的交點(diǎn)叫做垂足.④垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短.⑤點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離.【題型4作垂線】【例4】（2023下·北京密云·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列利用三角板過(guò)點(diǎn)P畫(huà)直線AB的垂線CD，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【變式41】（2023上·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們?cè)诰毩?xí)過(guò)點(diǎn)B作線段AC所在直線的垂線段時(shí)，有一部分同學(xué)畫(huà)出下列四種圖形，正確的是(

)A．B．C．D．【變式42】（2022上·福建泉州·七年級(jí)泉州七中?？计谀┰谌鐖D所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都叫做格點(diǎn)，已知點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，按下列要求畫(huà)圖：（1）連結(jié)AC，畫(huà)射線BC，則三角形ABC的面積是（2）過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線CD，使CD∥AB；過(guò)點(diǎn)C畫(huà)AB的垂線CE，垂足為F；（3）線段的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到AB的距離；（4）直線CD、CE的位置關(guān)系為_(kāi)_______【變式43】（2023下·河南許昌·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)，格點(diǎn)P是∠AOB的邊OB上的一點(diǎn)（請(qǐng)利用三角板和直尺借助網(wǎng)格的格點(diǎn)畫(huà)圖）．

(1)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)OB的垂線，交OA于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)P畫(huà)OA的垂線，垂足為F；(2)線段PF的長(zhǎng)度是點(diǎn)P到______的距離，線段______的長(zhǎng)度是點(diǎn)E到直線OB的距離，所以線段PE、PF、OE這三條線段大小關(guān)系是______（用“＜”號(hào)連接），理由是______．【題型5由垂線求角度】【例5】（2022上·山西晉城·七年級(jí)?？计谀┚C合與探究如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB．(1)如圖1，∠AOD=40°，直接寫(xiě)出∠EOC的度數(shù)；(2)如圖2，在∠AOE的內(nèi)部作射線OF，且∠DOF=∠BOF，此時(shí)，∠BOD=7∠EOF，求∠EOC的度數(shù)；(3)如圖3，在直線AB的下方作∠AOH，且∠AOH<45°，再作OM平分∠AOH，ON平分∠EOH，求∠MON的度數(shù)．【變式51】（2023下·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知∠AOB和∠COD的兩邊分別互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍少30°，求∠COD的度數(shù)．【變式52】（2023上·湖北黃岡·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOC，若OF⊥OB，且∠EOF=110°，則∠DOF=．

【變式53】（2023上·江蘇南京·七年級(jí)南京市第二十九中學(xué)校考期末）如圖，已知∠AOB畫(huà)射線OC⊥OA，射線OD⊥OB，試寫(xiě)出∠AOB和∠COD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【題型6過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線】【例6】（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在同一平面內(nèi)，OA⊥l，OB⊥l，垂足為O，則OA與OB重合的理由是（

）

A．兩點(diǎn)確定一條直線B．垂線段最短C．同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．垂直于同一直線的兩條直線平行【變式61】（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于下列說(shuō)法，正確的是（）A．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行；B．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；C．測(cè)量孫浩的跳遠(yuǎn)成績(jī)，正確做法的依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”；D．不相交的兩條直線叫做平行線．【變式62】（2023下·河南鄭州·七年級(jí)鄭州市第七十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，王師傅為了檢驗(yàn)門框AB是否垂直于地面，在門框AB的上端A處用細(xì)線懸掛一鉛錘，看門框AB是否與鉛錘線重合．若門框AB垂直于地面，則AB會(huì)重合于AE，否則AB與AE不重合．下面哪個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)可以說(shuō)明這個(gè)道理？（

）

A．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線B．直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短C．過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行D．平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直【變式63】（2023下·上海黃浦·六年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方法中，不能用來(lái)檢驗(yàn)平面與平面垂直的方法是（

）．A．鉛垂線 B．兩把三角尺 C．合頁(yè)型折紙 D．長(zhǎng)方形紙片【題型7點(diǎn)到直線的距離】【例7】（2023下·陜西西安·七年級(jí)西安益新中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，P是∠AOB的邊OB上一點(diǎn)．(1)過(guò)P畫(huà)OA的垂線，垂足為點(diǎn)H；(2)過(guò)點(diǎn)P畫(huà)OB的垂線，交OA于點(diǎn)C，點(diǎn)O到直線PC的距離是線段______的長(zhǎng)度．【變式71】（2023上·浙江·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，A、B、C是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，作直線l，使點(diǎn)A、B、C到直線l的距離之比為2:1:1，則滿足條件的直線l共有（

）A．4條 B．3條C．2條 D．1條【變式72】（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)校考期中）如圖所示，∠BAC=90°,AD⊥BC于D，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)為（）①AB⊥AC；②AD與AC互相垂直；③點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB；④點(diǎn)A到BC的距離是線段AD的長(zhǎng)度；⑤線段AC的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到AB的距離；⑥線段CD的長(zhǎng)度是點(diǎn)D到AC的距離．A．3個(gè) B．4個(gè) C．7個(gè) D．0個(gè)【變式73】（2023上·江蘇南京·七年級(jí)校聯(lián)考期末）在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都叫做格點(diǎn).已知點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．(1)借助方格紙過(guò)點(diǎn)B畫(huà)線段AC的平行線BD；(2)借助方格紙過(guò)點(diǎn)B畫(huà)線段AC的垂線BE，垂足為E；(3)觀察所畫(huà)圖形，點(diǎn)A到直線BE的距離是線段的長(zhǎng)度；(4)BD與BE的位置關(guān)系是；(5)比較大?。壕€段AB線段BE（填“＞”、“＜”或“＝”），理由是．【題型8垂線段最短】【例8】（2023下·安徽池州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在同一個(gè)平面內(nèi)，P是直線l外一點(diǎn)，A,B,C分別是l上三點(diǎn)，已知PA=1,PB=2，PC=3，若點(diǎn)P到l的距離是?，則（

）A．0<?≤1 B．?=1 C．?=2 D．?=3【變式81】（2023下·河北滄州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是一條河C是河邊AB外一點(diǎn)，M是河邊AB上一碼頭．

(1)若要從C走到碼頭M，請(qǐng)?jiān)趫D1中作出最短路線示意圖．(2)現(xiàn)欲用水管從河邊AB將水引到C處，請(qǐng)?jiān)趫D2上作出所需水管最短的鋪設(shè)方案．【變式82】（2023上·河南南陽(yáng)·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示的正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，(1)利用網(wǎng)格作圖：①過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線AB的平行線CD，并標(biāo)出平行線所經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)D；②過(guò)點(diǎn)C畫(huà)直線AB的垂線CE，并標(biāo)出垂線所經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F；(2)線段______的長(zhǎng)度是點(diǎn)C到直線AB的距離；(3)比較大?。篊F______CB（填>、<或=）【變式83】（2023下·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，在△ABC中，AC=5,?BC=6,?BC邊上高AD=4，若點(diǎn)P在邊AC【知識(shí)點(diǎn)4同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角】?jī)蓷l直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同位角.兩條直線被第三條直線所截，兩個(gè)角都在兩條被截線之間并且在截線的兩旁，這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角.兩條直線被第三條直線所截兩個(gè)角都在兩條被截線之間并且在截線的同旁，這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角.【題型9同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的識(shí)別】【例9】（2016下·廣西玉林·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，下列判斷正確的是（）A．∠2與∠5是對(duì)頂角 B．∠2與∠4是同位角C．∠3與∠6是同位角 D．∠5與∠3是內(nèi)錯(cuò)角【變式91】（2023上·河南南陽(yáng)·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，下列判斷：①∠A與∠1是同位角；②∠A與∠B是同旁內(nèi)角；③∠4與∠1是內(nèi)錯(cuò)角；④∠1與∠3是同位角．其中正確的是（

）A．①② B．①②④C．②③④ D．①②③④【變式92】（2023上·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，找出標(biāo)注角中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角．【變式93】（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是內(nèi)錯(cuò)角？哪些是同旁內(nèi)角？【題型10確定同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的對(duì)數(shù)】【例10】（2023上·河南周口·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示，同位角有a對(duì)，內(nèi)錯(cuò)角有b對(duì)，同旁內(nèi)角有c對(duì)，則a+b?c的值是【變式10