學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.4.2求函數(shù)零點近似解的一種計算方法—-二分法5分鐘訓(xùn)練1.用二分法研究函數(shù)f(x）=x3+3x—1的零點時,第一次經(jīng)計算f（0）<0,f(0。5)>0,可得其中一個零點x0∈______________，第二次應(yīng)計算______________.以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為(）A。(0,0。5）f（0.25）B。（0,1）f(0。25）C.(0.5，1）f（0.75)D。(0,0.5)f（0.125）答案：A解析：∵f(0）〈0,f（0.5）>0，∴函數(shù)f（x）的一個零點x0∈（0,0。5).第二次計算f(）=f（0.25)。2.用“二分法"可求近似解，對于精確度ε說法正確的是（）A.ε越大，零點的精確度越高B。ε越大，零點的精確度越低C.重復(fù)計算次數(shù)就是εD。重復(fù)計算次數(shù)與ε無關(guān)答案：B解析：依“二分法”的具體步驟可知,ε越大，零點的精確度越低。3。函數(shù)f（x)=x3—2x2-x+2的零點個數(shù)是(）A。0B.1C答案：D解析：考慮分解因式降次.∵f(x）=x2（x—2)—（x—2)=（x-2)(x+1)(x-1)，∴f(x）有三個零點.4。電視中某一娛樂性節(jié)目有一種猜價格的游戲,在限定時間內(nèi)（如15秒)猜出某一種商品的售價，就把該商品獎給選手，每次選手給出報價，主持人告訴說高了或低了,以猜對或到時為游戲結(jié)束.如猜一種品牌的電風(fēng)扇,過程如下:游戲參與者開始報價500元，主持人說高了，300元，高了，260元,低了，280元，低了,290元，高了，285元，低了，288元,你猜對了！恭喜！請問游戲參與者用的數(shù)學(xué)知識是_________________（只寫出一個正確答案）。答案:二分法（或綜合法等)10分鐘訓(xùn)練1.下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是（）答案：C解析:只有函數(shù)的變號零點才能用二分法求.2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,a·c<0,則函數(shù)的零點個數(shù)是(）A.1B.2C。0答案：B解析：分析條件a·c<0，a是二次項系數(shù)，確定拋物線的開口方向;c=f(0)?！郺·c=af（0)〈0，由此得解.∵c=f（0）,∴ac=af（0)<0,即a與f(0)異號,即∴函數(shù)必有兩個零點.3.已知連續(xù)函數(shù)y=f(x),有f（a)·f（b）<0(a<b)，則y=f(x）(）A.在區(qū)間［a,b]上可能沒有零點B.在區(qū)間［a,b]上至少有一個零點C。在區(qū)間［a,b］上零點個數(shù)為奇數(shù)個D。在區(qū)間[a，b]上零點個數(shù)為偶數(shù)個答案:B4。用二分法求方程x3—2x-5=0在區(qū)間［2,3］內(nèi)的實根,取區(qū)間中點x0=2。5，那么下一個有根區(qū)間是______________.答案:［2，2.5］解析：由計算器計算得f(2）=23—2×2-5=—1，f(2.5)=15。625>0，∴f（2)·f(2.5）<0,∴下一個有根區(qū)間是[2，2。5].5.如果一個立方體的體積在數(shù)值上等于V，表面積在數(shù)值上等于S，且V=S+1,那么這個立方體的一個面的邊長（精確到0.01)約為______________.答案：6。05解析：設(shè)立方體的邊長為x，則V=x3,S=6x2.∵V=S+1,∴x3=6x2+1。不妨設(shè)f（x）=x3—6x2—1,應(yīng)用二分法得方程的根約為6.05.6。已知函數(shù)f（x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x123456f(x)136。13615。552—3.9210。88—52。488-232.064函數(shù)f（x)在哪幾個區(qū)間內(nèi)有零點?為什么？解:由x、f(x）的對應(yīng)值表，可得f(2）·f(3)<0，f（3)·f（4）〈0,f(4）·f（5)〈0,又根據(jù)“如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a）·f(b)〈0,那么，函數(shù)y=f(x）在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點”,可知函數(shù)f(x）分別在區(qū)間（2,3）,(3，4)，(4,5)內(nèi)有零點.30分鐘訓(xùn)練1.（創(chuàng)新題）在26枚嶄新的金幣中,混入了一枚外表與它們完全相同的假幣(重量稍輕),現(xiàn)在只有一臺天平，請問:最多需要稱幾次就可以發(fā)現(xiàn)這枚假幣（）A。3B。4C.5答案：B解析：可利用二分法的思想方法去解決.2.若函數(shù)f(x)唯一的一個零點在區(qū)間（0,24），（0，12),（0,6），(0，3）內(nèi),則下列命題正確的是()A.函數(shù)f（x)在區(qū)間（0，2）內(nèi)有零點B。函數(shù)f（x)在區(qū)間(0,2）或(2，3)內(nèi)有零點C。函數(shù)f(x）在區(qū)間（3,24）內(nèi)無零點D。函數(shù)f（x)在區(qū)間（2,24)內(nèi)無零點答案:C3.若方程2ax2-x-1=0在（0,1）內(nèi)恰有一解，則a的取值范圍是(）A.a<—1B。a〉1C.—1<a<1答案:B解析：令f（x)=2ax2-x—1，a=0時顯然不適合,a≠0時，則有f（0)f（1）=-1×(2a-2)〈0，∴a〉1。4。已知函數(shù)f(x）=mx2+(m-3）x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點右側(cè)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A。（0,1］B.（0，1）C.（-∞，1)D。(—∞，1]答案：D解法一：取m=0有f（x)=-3x+1的根x=〉0，即m=0應(yīng)符合題設(shè)，所以排除A、B。當(dāng)m=1時，f（x）=x2—2x+1=(x—1）2，它的根是x=1,符合要求，排除C,故選D.解法二：直接法?！遞（0)=1，∴（1）當(dāng)m<0時，必成立,排除A、B。（2）當(dāng)m>0時,要使與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，則∴0〈m≤1。（3）當(dāng)m=0時根為x=〉0。故選D。5。（探究題)已知y=x(x-1）（x+1）的圖象如圖所示,今考慮f（x)=x（x-1）（x+1)+0。01,則函數(shù)f(x）：①當(dāng)x〈—1時,恰有一零點(有一零點且僅有一零點）;②當(dāng)—1<x<0時,恰有一零點；③當(dāng)0<x<1時，恰有一零點;④當(dāng)x〉1時,恰有一零點.其中正確命題的個數(shù)為（）A.0B。1C。2答案：B解析:∵f（—2)=-2×（-3）×（—1）+0。01=—5。99〈0，f（—1)=0.01>0,即f（-2)·f(—1)〈0,∴在（—2,-1)內(nèi)有一零點。結(jié)合函數(shù)圖象,函數(shù)在(—∞,-1）上，恰有一個零點，∴①正確。又∵f（0)=0.01>0,結(jié)合圖象,知函數(shù)f（x）在（-1,0）上沒有零點,∴②不正確。又∵f（0.5）=0。5×（-0.5)×1。5+0。01=-0.365<0，f(1)=0.01>0,即f(0.5）·f（1）〈0,∴函數(shù)f（x）在（0.5，1）上必有一個零點,且f(0)·f(0。5）〈0.∴函數(shù)f（x）在（0,0。5)上也有一個零點.∴函數(shù)f（x）在（0，1）上有兩個零點，③不正確。由f（1)〉0,結(jié)合圖象，知函數(shù)f（x)在(1，+∞）上沒有零點,∴④不正確。6。定義在R上的偶函數(shù)y=f（x），當(dāng)x>0時,y=f(x)是單調(diào)遞增的,f（1)·f(2）〈0,則函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點的個數(shù)是______________.答案：2解析：∵f（1）·f（2)〈0，∴在（1,2)上函數(shù)y=f(x)有零點。又∵y=f（x）在（0,+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，∴函數(shù)y=f(x)在(0,+∞）上有且只有一個零點.由函數(shù)為偶函數(shù)可知，函數(shù)在（-∞,0）上也有一個零點。7.已知圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a，b）(b—a=0。1)上有唯一零點,如果用“二分法”求這個零點（精確到0。0001）的近似值，那么將區(qū)間（a,b）等分的次數(shù)至多是_______________.答案：108。求函數(shù)f（x）=x3+2x2—3x-6的一個為正數(shù)的零點（精確到0。1）.解：∵f（1）=—6<0,f(2）=4〉0，∴存在x1∈（1,2），使f(x1）=0。用二分法逐次計算，列表如下：端點（中點）坐標(biāo)端點或中點函數(shù)值取區(qū)間f（1）=—6〈0,f（2)=4〉0（1,2）x1==1。5f（1.5)=-2.625<0（1。5，2)x2==1.75f(1。75）=0.2344>0（1.5，1。75）x3==1。625f（1.625）=—1。3027〈0（1.625，1。75）x4==1.6875f（1。6875）=—0.5618〈0（1。6875,1.75)x5==1.71875f（1。71875)=-0。177<0(1.71875，1.75）x6==1.734375f(1。734375)=0。3038〉0(1。71875，1。734375）∵最后一個區(qū)間端點精確到0.1的近似值都是1.7，∴所求的正數(shù)零點為1。7。9。某方程有一無理根在區(qū)間D內(nèi)，若用二分法求此根的近似值,那么:（1）區(qū)間D=(1,3）時，將D等分n次后,所得近似解可精確到多少?（2)一般情況，是否有必要盡可能多地將區(qū)間D等分？解：(1)設(shè)無理根為x0，將D等分n次后的長度為dn.包含x0的區(qū)間為（a,b），于是d1=1,d2=,d3=,d4=,…,dn=。所以｜x0—a|≤dn=,即近似值可精確到。（2)由于隨n的增大而不斷地趨向于0，故對于事先給定的精確度ε,總有自然數(shù)n,使得≤ε。所以，只需將區(qū)間D等分n次就可以達(dá)到事先給定的精確度ε.所以，一般情況下，不需盡可能多地將區(qū)間D等分。10.設(shè)函數(shù)f(x)=-x2-3x—2.(1）若g(x）=2-［f(x)］2，求g(x)的解析式；(2)借助計算器或計算機,畫出函數(shù)g（x）的圖象；(3）求出函數(shù)g（x）的零點(精確到0。1).解：(1）由題設(shè)有g(shù)(x）=2-［f（x）］2=2—(x2+3x+2)2=—x4—6x3-13x2—12x-2。(2）函數(shù)圖象如下圖所示.(3）由圖象可知，函數(shù)g（x）分別在區(qū)間(-3,-2)和區(qū)間(—1,0)內(nèi)各有一個零點。取區(qū)間（-3，—2)的中點x1=-2.5，用計算器可算得g（—2。5)=0。1875.因為g（—3)·g（-2.5）<0,所以x0∈(—3,—2.5)。再?。?3，-2。5)的中點x2=-2。75,用計算器可算得g（—2.75)≈0。28。因為g(-