第12講圖形的相似（5大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、圖形的相似的概念形狀相同的圖形叫做相似圖形。1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到；2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；3）判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看兩個(gè)圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)。二、成比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。1）若四條線段、、、成比例，則記作或。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。2）四條線段、、、的單位應(yīng)一致（有時(shí)為了計(jì)算方便，、的單位一致，、的單位一致也可以）3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?；②分別計(jì)算第一和第二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。4）比例的重要性質(zhì)：基本性質(zhì)：若，則；反之，也成立。和比性質(zhì)：若，則；更比性質(zhì)：若，則；反比性質(zhì)：若，則；等比性質(zhì)：若，則。5）拓展：eq\o\ac(○,1)比例式中，或中，、叫外項(xiàng)，、叫內(nèi)項(xiàng)，、叫前項(xiàng)，、叫后項(xiàng)，如果，那么叫做、的比例中項(xiàng)。eq\o\ac(○,2)把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。三、平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。四、相似多邊形的性質(zhì)與判定（1）相似多邊形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。（2）相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比。（3）判斷兩個(gè)多邊形相似，必須同時(shí)具備：（1）邊數(shù)相同；（2）對(duì)應(yīng)角相等；（3）對(duì)應(yīng)邊的比相等?？键c(diǎn)考點(diǎn)精講一．比例的性質(zhì)（共6小題）1．（2021秋?定興縣期末）已知2x＝3y（xy≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．2．（2022?鼓樓區(qū)二模）若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（2022?安慶模擬）若，則的值為（）A． B． C． D．4．（2021秋?昭平縣期末）已知a：b：c＝1：2：3，且3a+2b﹣c＝8，求a，b，c的值．5．（2021秋?義烏市期末）已知a：b＝1：4，求的值．6．（2022?大渡口區(qū)模擬）計(jì)算：（1）已知x：y＝2：3，若x+y＝15，求x，y的值．（2）解方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．二．比例線段（共11小題）7．（2021秋?威寧縣期末）下列四組線段中，是成比例線段的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．4cm，6cm，3cm，5cm C．5cm，15cm，2cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm8．（2022秋?瑞安市月考）如圖，用六個(gè)全等的直角三角形恰好拼成一大一小兩個(gè)正六邊形，則大正六邊形與小正六邊形的周長之比為（）A． B． C．2 D．39．（2022?宜昌模擬）已知線段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么：的值是（）A．： B．： C．： D．：10．（2022?安慶二模）安慶潛山素有古皖之源、皖國古都、二喬故里、京劇之祖、禪宗之地、黃梅之鄉(xiāng)等等眾多美名．擁有“潛陽十景”之首美譽(yù)的胭脂井，完美融入二喬公園之中，為古皖名城增輝，為百姓休閑生活增色．二喬公園占地面積57622.48m2，其中景觀綠化面積約為37000m2，在按比例尺1：300縮小繪制的公園示意圖中，景觀綠化面積大約相當(dāng)于（）A．某縣體育中心體育館的面積 B．一張乒乓球臺(tái)的面積 C．一張《安徽日?qǐng)?bào)》報(bào)紙的面積 D．《數(shù)學(xué)》教科書封面的面積11．（2022?錢塘區(qū)一模）已知線段a＝+1，b＝﹣1，則a，b的比例中項(xiàng)線段等于．12．（2022?鹽城一模）在比例尺為1：100000的鹽都旅游地圖上，測(cè)得大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的距離約為31cm，則大縱湖東晉水城與楊侍生態(tài)園的實(shí)際距離約為km．13．（2022?南海區(qū)一模）四條線段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，則a的長為．14．（2022?龍崗區(qū)一模）四條線段a、b、c、d成比例，其中a＝1cm、b＝3cm、c＝3cm，則線段d＝cm．15．（2021秋?余姚市期末）已知線段a＝8，b＝2，線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，則c＝．16．（2022?淮安區(qū)模擬）已知線段a＝4cm，線段b＝7cm，線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，求線段c的長．17．（2022春?利川市校級(jí)月考）（1）求x的值：5：（x+1）＝3：x．（2）已知線段a＝2，b＝8，求a，b的比例中項(xiàng)線段c．三．黃金分割（共9小題）18．（2022?西湖區(qū)模擬）已知線段AB＝2，點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），則AP﹣BP＝．19．（2022?石家莊二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△DEC，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，ED的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)A，則AD的長為（）A．1 B． C．﹣1 D．20．（2021秋?防城港期末）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感，這個(gè)比值叫黃金分割數(shù)．按此比例，若雕像的高為2米，那么它的下部應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？設(shè)雕像下部高x米，可列方程為（）A．x2+2x﹣4＝0 B．x2﹣2x+4＝0 C．x2﹣2x﹣4＝0 D．x2+2x+4＝021．（2022秋?漢陽區(qū)期中）在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高度為2m，那么它的下部應(yīng)設(shè)計(jì)的高度為（）m．A．﹣1 B．+1 C． D．22．（2022秋?金水區(qū)期中）電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體．若舞臺(tái)AB長為20m，那么主持人站立的位置離A點(diǎn)較近的距離為m．（結(jié)果保留根號(hào)）23．（2022?婁底）九年級(jí)融融陪同父母選購家裝木地板，她感覺某品牌木地板拼接圖（如實(shí)物圖）比較美觀，通過手繪（如圖）、測(cè)量、計(jì)算發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E是AD的黃金分割點(diǎn)，即DE≈0.618AD．延長HF與AD相交于點(diǎn)G，則EG≈DE．（精確到0.001）24．（2022?茂南區(qū)一模）我們定義：頂角等于36°的等腰三角形為黃金三角形．如圖，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，則△ABC為黃金三角形．（1）尺規(guī)作圖：作∠B的角平分線，交AC于點(diǎn)D．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）請(qǐng)判斷△BDC是否為黃金三角形，如果是，請(qǐng)給出證明，如果不是，請(qǐng)說明理由．25．（2022春?長沙期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB＝1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分別為點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段AA′長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”，若點(diǎn)A，B都在直線y＝x+2上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d1，則d1的最小值是（）A． B． C． D．26．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在矩形ABCD中，將△ADC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△FDE，B、F、E三點(diǎn)恰好在同一直線上，AC與BE相交于點(diǎn)G，連接DG．以下結(jié)論正確的是．①△BCG∽△GAD；②AC⊥BE；③CG+DG＝EG；④點(diǎn)F是線段CD的黃金分割點(diǎn)．四．相似圖形（共2小題）27．（2022?汝陽縣一模）形狀相同的圖形是相似圖形．下列哪組圖形不一定是相似圖形（）A．關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形 B．兩個(gè)正三角形 C．兩個(gè)等腰三角形 D．兩個(gè)半徑不等的圓28．（2022春?江陰市校級(jí)月考）如果一條對(duì)角線把凸四邊形分成兩個(gè)相似的三角形，那么我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)凸四邊形的相似對(duì)角線，在凸四邊形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是邊AD，邊BC上的中點(diǎn)．如果AC是凸四邊形ABCD的相似對(duì)角線，那么EF的長等于．五．相似多邊形的性質(zhì)（共7小題）29．（2022秋?門頭溝區(qū)校級(jí)期中）若兩個(gè)相似多邊形的相似比為1：2，則它們面積之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：130．（2021秋?敘州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，則∠D的度數(shù)為（）A．100o B．110o C．120o D．130o31．（2022春?永豐縣期中）已知兩個(gè)相似多邊形的周長比為1：2，它們的面積和為100，則較小多邊形的面積是．32．（2022?石家莊三模）對(duì)于題目：“在邊長為6和2的矩形內(nèi)，分別剪下兩個(gè)小矩形，使得剪下的兩個(gè)矩形均與原矩形相似，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)剪下的兩個(gè)矩形周長和為最大值時(shí)的方案，并求出這個(gè)最大值．”甲、乙兩個(gè)同學(xué)設(shè)計(jì)了自認(rèn)為滿足條件的方案，并求出了周長和的最大值．甲方案：如圖1所示，最大值為16；乙方案：如圖2所示，最大值為16．下列選項(xiàng)中說法正確的是（）A．甲方案正確，周長和的最大值錯(cuò)誤 B．乙方案錯(cuò)誤，周長和的最大值正確 C．甲、乙方案均正確，周長和的最大值正確 D．甲、乙方案均錯(cuò)誤，周長和的最大值錯(cuò)誤33．（2022?尤溪縣開學(xué)）兩個(gè)相似多邊形的周長比是2：3，其中較小多邊形的面積為12cm2，則較大多邊形的面積為cm2．34．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，已知矩形紙片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF與矩形ABCD相似，則AD的長為．35．（2022?城廂區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD被分割成4個(gè)矩形，其中矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，AE＞AH，AC交HG，EF于點(diǎn)M，Q．現(xiàn)有以下四個(gè)判斷：①HP2＝AH?HD；②AE2＝EP?EQ；③B，P，D三點(diǎn)共線；④S△APQ＝S矩形BEPG．其中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·浙江·翠苑中學(xué)九年級(jí)期中）若，則的值為（）A． B． C． D．12．（2021·四川成都·九年級(jí)期中）一個(gè)五邊形ABCDE各邊的邊長為2，3，4，5，6，另一個(gè)和它相似的五邊形A1B1C1D1E1最長邊為12，則A1B1C1D1E1的最短邊長為（）A．8 B．6 C．4 D．23．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)九年級(jí)期中）己知線段b是線段a和線段c的比例中項(xiàng)，若a=3，c=4，則b的值是（）A．2 B．5 C． D．4．（2021·浙江·翠苑中學(xué)九年級(jí)期中）下列每個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形一定相似的是（）A．任意兩個(gè)矩形 B．任意兩個(gè)正五邊形C．任意兩個(gè)平行四邊形 D．任意兩個(gè)等腰三角形5．（2021·河北·石家莊市第四十一中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，四邊形四邊形，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．6．（2021·四川成都·九年級(jí)期中）若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），AB＝2，則AC的長為（）A． B． C． D．7．（2021·河南·淅川縣基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB且AD：DB＝3：4，那么CF：CB的值為（）A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：78．（2021·重慶·西南大學(xué)附中九年級(jí)期中）下列說法正確的是（）A．兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形B．平分弦的直徑必垂直于弦C．相似三角形的周長之比等于相似比的平方D．兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形9．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，，直線、分別與三條平行線交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若，，，則的長為（）A．4.5 B．6 C．7.5 D．810．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)九年級(jí)期中）點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP>BP，若BP=1，AB的長為（）A．+1 B．2 C．3+ D．311．（2021·浙江浙江·九年級(jí)期末）有一種有趣的讀數(shù)法：如圖，在圖紙上確定縱軸與橫軸，從交點(diǎn)O處開始依次在兩軸上畫出單位相同的標(biāo)度，再作兩軸交角的角平分線OP，OP上的標(biāo)度與縱軸上的標(biāo)度在同一水平線上,拿一根直尺，使得它的兩端分別架在橫軸和縱軸上，且OA=a，OB=b，讀出直尺與OP的交點(diǎn)C的標(biāo)度就可以求出OC的長度．當(dāng)a=4，b=6時(shí)，讀得點(diǎn)C處的標(biāo)度為（）A． B． C． D．二、填空題12．（2021·湖南·張家界市民族中學(xué)九年級(jí)期中）在比例尺為的地圖上，兩城市間的圖上距離為2cm，則這兩城市間的實(shí)際距離為______km．13．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)九年級(jí)期中）已知=，則=________．14．（2021·廣東大埔·九年級(jí)期中）如圖，l1l2l3，直線a，b與l1，l2，l3分別相交于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，，DE＝4，則EF的長是___．15．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）已知P是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB=20cm，AP>BP，那么AP=______cm．16．（2021·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）已知線段b是線段a、c的比例中項(xiàng)，且a=12，c=3，那么b=___________．17．（2021·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在矩形中，，M、N分別是、的中點(diǎn)，連接，則將矩形分成兩個(gè)矩形，若矩形與矩形相似，則的長為_________．18．（2021·上海市市西初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知l1∥l2∥l3，直線分別交、、于、、，直線分別交、、于、、，，，，那么____．19．（2021·上海市市西初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，D是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將△ADE沿DE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)直線A′E⊥AB時(shí)，A′B＝____．20．（2021·四川師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，在△ABC中，D、E分別為BC的三等分點(diǎn)，CM為AB上的中線，CM分別交AE、AD于F、G，則CF：FG：GM＝_______．三、解答題21．（2021·安徽包河·九年級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足，試求的值．22．（2021·安徽·安慶市第