專題04幾何綜合題1．（2022?常州）在四邊形中，是邊上的一點．若，則點叫做該四邊形的“等形點”．（1）正方形“等形點”（填“存在”或“不存在”；（2）如圖，在四邊形中，邊上的點是四邊形的“等形點”．已知，，，連接，求的長；（3）在四邊形中，．若邊上的點是四邊形的“等形點”，求的值．【答案】（1）不存在；（2）；（3）1【詳解】（1）四邊形是正方形，，，，是邊上的一點．正方形不存在“等形點”，故答案為：不存在；（2）作于，邊上的點是四邊形的“等形點”，，，，，，設，則，由勾股定理得，，解得，，，，，在中，；（3）如圖，邊上的點是四邊形的“等形點”，，，，，，，，，，，，．2．（2021?常州）【閱讀】通過構造恰當?shù)膱D形，可以對線段長度、圖形面積大小等進行比較，直觀地得到一些不等關系或最值，這是“數(shù)形結合”思想的典型應用．【理解】（1）如圖1，，，垂足分別為、，是的中點，連接．已知，．①分別求線段、的長（用含、的代數(shù)式表示）；②比較大?。海ㄌ睢啊?、“”或“”，并用含、的代數(shù)式表示該大小關系．【應用】（2）如圖2，在平面直角坐標系中，點、在反比例函數(shù)的圖象上，橫坐標分別為、．設，，記．①當，時，；當，時，；②通過歸納猜想，可得的最小值是．請利用圖2構造恰當?shù)膱D形，并說明你的猜想成立．【答案】（1）①，；②；（2）①，1；②1【詳解】（1）①如圖1中，，，，，，，，，，，，，，，，，②，根據(jù)垂線段最短可知，，即，，故答案為：．（2）①當，時，；當，時，，故答案為：，1．②猜想：的最小值為1．故答案為：1．理由：如圖2中，過點作軸于，軸于，過點作軸于，軸于，連接，取的中點，過點作軸于，軸于，則，，當時，點在反比例函數(shù)圖象的上方，矩形的面積，當時，點落在反比例函數(shù)的圖象上，矩形的面積，矩形的面積，，即，的最小值為1．3．（2020?常州）如圖1，點在線段上，，，，．（1）點到直線的距離是；（2）固定，將繞點按順時針方向旋轉，使得與重合，并停止旋轉．①請你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段經旋轉運動所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫圖痕跡，不要求寫畫法）．該圖形的面積為；②如圖2，在旋轉過程中，線段與交于點，當時，求的長．【答案】（1）1；（2）①；②【詳解】（1）如圖1中，作于，，，，．，，，，，在和中，，，，法二：，，，，，．故答案為1；（2）①線段經旋轉運動所形成的平面圖形如圖所示，此時點落在上的點處．．故答案為．②如圖2中，過點作于．設．在中，，，，，，，在中，，，在中，則有，解得或（不合題意舍棄），，，．解法二：作于，設，則，，在中，利用勾股定理，構建方程，求出，可得結論．4．（2019?常州）【閱讀】數(shù)學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數(shù)、三角形的內角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數(shù)學思想．【理解】（1）如圖1，兩個直角邊長分別為、、斜邊長為的直角三角形和一個兩條直角邊都是的直角三角形拼成一個梯形．用兩種不同的方法計算梯形的面積，并寫出你發(fā)現(xiàn)的結論；（2）如圖2，行列的棋子排成一個正方形，用兩種不同的方法計算棋子的個數(shù)，可得等式：；【運用】（3）邊形有個頂點，在它的內部再畫個點，以個點為頂點，把邊形剪成若干個三角形，設最多可以剪得個這樣的三角形．當，時，如圖3，最多可以剪得7個這樣的三角形，所以．①當，時，如圖4，；當，時，；②對于一般的情形，在邊形內畫個點，通過歸納猜想，可得（用含、的代數(shù)式表示）．請對同一個量用算兩次的方法說明你的猜想成立．【答案】（1）直角長分別為、斜邊為的直角三角形中；（2）；（3）①6，3；②【詳解】（1）有三個△其面積分別為，和．直角梯形的面積為．由圖形可知：，整理得，，．故結論為：直角長分別為、斜邊為的直角三角形中．（2）行列的棋子排成一個正方形棋子個數(shù)為，每層棋子分別為1，3，5，7，，（圖中的折線作為一層）．由圖形可知：．故答案為．（3）①如圖4，當，時，，如圖5，當，時，．②算法Ⅰ．個三角形，共條邊，其中邊形的每邊都只使用一次，其他邊都各使用兩次，所以邊形內部共有條線段；算法Ⅱ．邊形內部有1個點時，其內部共有條線段，共分成個三角形，每增加一個點，都必在某個小三角形內，從而增加3條線段，所以邊形內部有個點時，其內部共有條線段，由化簡得：．故答案為：①6，3；②．5．（2018?常州）（1）如圖1，已知垂直平分，垂足為，與相交于點，連接．求證：．（2）如圖2，在中，，為的中點．①用直尺和圓規(guī)在邊上求作點，使得（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②在①的條件下，如果，那么是的中點嗎？為什么？【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②是的中點【詳解】（1）證明：如圖1中，垂直平分線段，，，，．（2）①作點關于的對稱點，連接交于，連接，點即為所求．理由：垂直平分，，，，，點即為所求．②結論：是的中點．理由：設交于．，，，，，，，，，，，，，，是的中點．6．（2022?金壇區(qū)模擬）如圖，在中，，，，點為邊的中點．動點從點出發(fā)，沿折線以每秒1個單位長度的速度向點運動，當點不與點、重合時，連結．作點關于直線的對稱點，連結、．設點的運動時間為秒．（1）線段的長為；（2）用含的代數(shù)式表示線段的長；（3）當點在內部時，求的取值范圍；（4）當與相等時，直接寫出的值．【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）或【詳解】（1）在中，由勾股定理得：，．故答案為：2．（2）當時，點在線段上運動，，當時，點在上運動，．綜上所述，．（3）如圖，當點落在上時，，，，，在中，，．如圖，當點落在邊上時，，，，，在中，，．如圖，點運動軌跡為以為圓心，長為半徑的圓上，時，點在內部．（4）如圖，過點作于點，當時，，，，，，．如圖，當時，，，，，，在中，，，，，．綜上所述，或．7．（2022?金壇區(qū)一模）如圖，正方形的邊長是4，點是邊上一個動點，連接，將沿直線翻折得到．（1）如圖1，若點落在對角線上，則線段與的數(shù)量關系是；（2）若點落在線段的垂直平分線上，在圖2中用直尺和圓規(guī)作出（不寫作法，保留作圖痕跡）．連接，則；（3）如圖3，連接，，若，求的長．【答案】（1）；（2）75；（3）【詳解】（1），理由如下：在正方形中，，，由折疊的性質可得：，，，為等腰直角三角形，即，由勾股定理可得：，即；（2）作圖如下：則為即為所求，由題意可得：垂直平分，垂直平分，點在上，則，由折疊的性質可得，為等邊三角形，，為等腰三角形，，，故答案為：75；（3）取的中點，連接，，如圖，，，，，，，，點，，共線，設，則，在中，，，解得，即的長為．8．（2022?武進區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊落在軸上，點的坐標為，，，邊與軸交于點．（1）直接寫出點、、的坐標；（2）在軸上取點，直線經過點，與軸交于點，連接．①當時，求直線的函數(shù)表達式；②當以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時，求點的坐標．【答案】（1），，；（2）①或；②，【詳解】（1）點的坐標為，．矩形中，，，，，．，，；（2）①點，．，．．，或．或．，或，．或．解得：或．直線的函數(shù)表達式為：或；②設的中點為，過點作于點，延長交于點，則，如圖，由題意：以線段為直徑的圓與矩形的邊，所在直線相交．以線段為直徑的圓與矩形的邊，所在直線可能相切．Ⅰ、當以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切相切時，則．設，則．．，，，．，為梯形的中位線．．．解得：．經檢驗，是原方程的根，，；Ⅱ、當以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切相切時，則．，，，．，為梯形的中位線．．．解得：．經檢驗，是原方程的根，，．綜上，當以線段為直徑的圓與矩形的邊所在直線相切時，點的坐標為，或，．9．（2022?常州模擬）如圖，半圓的直徑，以長為2的弦為直徑，向點方向作半圓，其中點在上且不與點重合，但點可與點重合．（1）計算：劣弧的長；（2）思考：點與的最大距離為，此時點，間的距離為；點與的最小距離為．（3）探究：當半圓與相切時，求的長．（注：結果保留，，【答案】（1）；（2），2，；（3）當半圓與相切時，的長為或【詳解】（1）連接，，，，，是等邊三角形，，；（2）過點作于點，連接，，由點的位置可知，當點與點重合時點與的距離最大，如下圖：此時，，，，，，是等邊三角形，，由點的位置可知，當點與點重合時，與的距離最小，如下圖：，，，故答案為：，2，；（3）當半圓與相切時，此時，且分以下兩種情況討論：①當點在線段上時，在中，由勾股定理得，，，，，，，當點在線段上時，此時，，，，綜上，當半圓與相切時，的長為或．10．（2022?常州一模）如圖（1），，為射線上一點，，以點為圓心，長為半徑作交于點、．（1）當射線繞點按順時針方向旋轉多少度時與相切？請說明理由．（2）若射線繞點按順時針方向旋轉時與相交于、兩點，如圖（2），求的長．【答案】（1）當射線繞點按順時針方向旋轉或時與相切；（2）【詳解】（1）當射線繞點按順時針方向旋轉或時與相切．理由如下：如圖，設切點為，連．則，在中，，，，，，同理：當時，與相切，當射線繞點按順時針方向旋轉或時與相切．（2）過點作于點，射線繞點按順時針方向旋轉時與相交于、兩點，，，在中，，，，，的長為：．11．（2022?天寧區(qū)模擬）以為直徑作半圓，，點是該半圓上一動點，連接、，并延長至點，使，過點作于點、交于點，連接．（1）如圖①，當點與點重合時，求的度數(shù)；（2）如圖②，當時，求線段的長；（3）在點運動過程中，若點始終在線段上，是否存在以點、、為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出此時線段的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）或或【詳解】（1）連接．為中點，，是等邊三角形，，為直徑，，；（2）連接．垂直平分，，，，，，，，，，，，；（3）①當交點在、之間時，若，此時，，，，則；若，此時，，則；②當交點在、之間時，．綜上所述，或或．12．（2022?常州模擬）閱讀下面的材料小敏在數(shù)學課外小組活動中遇到這樣一個問題：如果，都為銳角，且，，求的度數(shù)．小敏是這樣解決問題的：如圖1，把，放在正方形網(wǎng)格中，使得，，且，在直線的兩側，連接，可證得是等腰三角形，因此可求得請參考小敏思考問題的方法解決問題：如果，都為銳角，當，時，在圖2的正方形網(wǎng)格中，利用已作出的銳角，畫出，由此可得．【答案】45；45【詳解】如圖1，把，放在正方形網(wǎng)格中，使得，，且，在直線的兩側，連接，可證得是等腰三角形，因此可求得；參考小敏思考問題的方法解決問題：如果，都為銳角，當，時，在圖2的正方形網(wǎng)格中，利用已作出的銳角，畫出，由此可得．故答案為：45；4513．（2022?武進區(qū)校級一模）已知在以為圓心的扇形中，，點為弧上一動點，射線交射線于點，過點作的垂線交射線于點，連接．（1）如圖1，當四邊形為矩形時，求的度數(shù)：（2）如圖2，當扇形的半徑長為5，且時，求線段的長．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）四邊形為矩形，，，，為等邊三角形，，；（2）過點作于，如圖2，則，，，，，即，解得，，，，，，即，．14．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）如圖①，是矩形的邊上的一點，于點，，，．（1）證明，并計算點到直線的距離（結果保留根號）．（2）在圖①的基礎上，延長線段交邊于點，如圖②，則的長為．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）四邊形是矩形，，，，，，，，，，，即，點到直線的距離；（2）四邊形是矩形，，，，，，，，，，得，即，，；故答案為：.15．（2022?武進區(qū)一模）如圖，為的直徑，，為上的兩點，，過點作直線，交的延長線于點，連接．（1）求證：是的切線．（2）若，，求劣弧的長．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，，，，，，，是的切線；（2）解：為的直徑，，，，，，，的長．16．（2022?常州一模）在平行四邊形中，對角線與邊垂直，，點是延長線上的一點，點是射線上的一點，且．（1）如圖1，如果點與點重合，則的余弦值；（2）如圖2，若四邊形的周長是16，設，，①求關于的函數(shù)關系式并寫出自變量取值范圍；②若，求的面積．【答案】（1）；（2）①；②或【詳解】（1）設與相交于點，，，四邊形是平行四邊形，，，，在中，，，，設，，則，的余弦值，故答案為：；（2）①四邊形的周長是16，，設，，則，，，，，，，，，，，，，，，；②，，當點在邊上，，，，由題意得，，，，，當點在的延長線上，，，，由題意得，，，，綜上，的面積是或．17．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）將一副三角板按如圖所示的方式擺放，，，點為邊上的點，，，（1）的大小為度．（2）若三角板固定，將三角板繞點逆時針旋轉，①當點第一次落在直線上時停止旋轉，請在圖1中用直尺和圓規(guī)畫出線段旋轉運動所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫圖痕跡，不要求寫畫法），則該圖形的面積為．②當旋轉至、、三點共線時，求的長．【答案】（1）75；（2）①，②或【詳解】（1）如圖1中，設交于點．，，．故答案為：75；（2）①圖形如圖所示：，，，，，，，陰影部分的面積．故答案為：．②如圖中，當點落在線段上時，在中，，，．如圖中，當點落在上時，同法可得，此時．綜上所述，滿足條件的的值為或．18．（2022?金壇區(qū)二模）已知，在中，，，．點、分別是邊、上一點，將沿翻折，使得點落在邊上的點處．（1）如圖1，平分，交邊于點，連接．①探索與的位置關系，證明你的結論；②若，求的面積；（2）連接，若，求的長．【答案】（1）①，②；（2）【詳解】（1）①，證明：平分，，，，，；②，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）取的中點，連接，則，，，，，，，，，，，，，，．19．（2022?武進區(qū)二模）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為．點、點分別為和上的動點，點從點出發(fā)，沿方向以每秒1個單位勻速運動；同時，點從點出發(fā)，沿方向以每秒1個單位勻速運動．過點作，與交于點，點為點關于軸的對稱點，當點停止運動時，點也停止運動，連接，，，設運動時間為解答下列問題：（1）連接、，若，則；（2）設的面積為，求與之間的函數(shù)關系式；（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值，并求出此時，兩點間的距離；若不存在，請說明理由．【答案】（1）4；（2）；（3）存在，當時，或當時，【詳解】（1）點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為．，，點