學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精三圓的切線的性質(zhì)及判定定理1．理解切線的性質(zhì)定理及其兩個(gè)推論，并能解決相關(guān)的計(jì)算或證明問(wèn)題．2．掌握切線的判定定理，會(huì)判定直線與圓相切．1．切線的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的____符號(hào)語(yǔ)言直線l與圓O相切于點(diǎn)A,則______圖形語(yǔ)言作用證明兩條直線垂直【做一做1】如圖所示，直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，B是l上任一點(diǎn)(與A不重合），則△OAB是（)A．等邊三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形2．性質(zhì)定理推論1文字語(yǔ)言經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)____符號(hào)語(yǔ)言直線l與圓O相切于點(diǎn)A，過(guò)O作直線m⊥l，則A∈__圖形語(yǔ)言作用證明點(diǎn)在直線上【做一做2】如圖所示，直線l與⊙O相切，P是l上任一點(diǎn)，當(dāng)OP⊥l時(shí)，則(）A．P不在⊙O上B．P在⊙O上C．P不可能是切點(diǎn)D．OP大于⊙O的半徑3．性質(zhì)定理推論2文字語(yǔ)言經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)____符號(hào)語(yǔ)言直線l與圓O相切于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線m⊥l，則O∈__圖形語(yǔ)言作用證明點(diǎn)在直線上由性質(zhì)定理及其兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系，可得出如下的結(jié)論:如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出第三個(gè)．(1)垂直于切線；(2)過(guò)切點(diǎn)；（3)過(guò)圓心．于是在利用切線的性質(zhì)時(shí),過(guò)切點(diǎn)的半徑是常作的輔助線．【做一做3】直線l與⊙O相切于點(diǎn)P，在經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的所有直線中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線有（）A．1條B．2條C．3條D．無(wú)數(shù)條4．切線的判定定理文字語(yǔ)言經(jīng)過(guò)半徑的____并且____于這條半徑的直線是圓的____符號(hào)語(yǔ)言O(shè)A是圓O的半徑，直線l⊥OA,且A∈l，則l是圓O的____圖形語(yǔ)言作用證明直線與圓相切在切線的判定定理中要分清定理的題設(shè)和結(jié)論，強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)半徑的外端"和“垂直于這條半徑”這兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線，如圖①,②中的例子就不能同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)條件，所以都不是圓的切線．【做一做4】如圖，AB經(jīng)過(guò)⊙O上一點(diǎn)C，且OA＝OB，AC＝CB，求證：直線AB是⊙O的切線．答案:1．半徑OA⊥l【做一做1】C∵l與⊙O相切,∴l(xiāng)⊥OA.∴OA⊥AB。∴∠OAB＝90°，△OAB是直角三角形．2．切點(diǎn)m【做一做2】B由于OP⊥l，則P是l與⊙O的切點(diǎn),則P在⊙O上．3．圓心m【做一做3】A過(guò)P且垂直于l的直線僅有1條,此時(shí)點(diǎn)O在該垂線上，故選A.4．外端垂直切線切線【做一做4】分析：轉(zhuǎn)化為證明OC⊥AB即可．證明：如圖，連接OC?！逴A＝OB，∴△OAB是等腰三角形．又AC＝CB，∴OC⊥AB.又OC是⊙O的半徑，∴直線AB是⊙O的切線．1．圓的切線的有關(guān)知識(shí)剖析：（1）切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑;（3）切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；（4)經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)；（5）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心．2．判定切線的方法剖析:判定切線通常有三種方法：(1)定義法:和圓有唯一一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線;（2）距離法：到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；(3）定理法：過(guò)半徑外端且和該半徑垂直的直線是圓的切線．“過(guò)半徑外端,垂直于這條半徑的直線是圓的切線”是“到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線”的定理具體化．在使用時(shí)要根據(jù)題目的具體要求選取合適的方法：若已知要證的切線經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)，則需把這點(diǎn)與圓心相連，證明這條直線與此半徑垂直，即用定理法；若不能確定已知要證的切線與圓有公共點(diǎn)，則需先向這條直線作垂線，再證明此垂線段是圓的半徑，即用距離法證明;通常不用定義法證明．題型一圓的切線性質(zhì)的應(yīng)用【例題1】如圖，在△ABC中,AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于E。求證:DE⊥AC．分析:由于DE是⊙O的切線，則OD⊥DE，故要證DE⊥AC，只需要證明OD∥AC即可．反思：利用圓的切線的性質(zhì)來(lái)證明或進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算時(shí)，連接圓心和切點(diǎn)的半徑是常用輔助線，出現(xiàn)了垂直關(guān)系．題型二判斷或證明圓的切線【例題2】如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)E作直線與AF垂直,交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．求證:CD是⊙O的切線．分析：只需證明OE⊥CD即可．反思:定理法判定圓的切線是平面幾何中最常用的方法．這種方法的步驟是:①連接圓心和公共點(diǎn)；②轉(zhuǎn)化為證明直線過(guò)公共點(diǎn)且垂直于所連線段．由此看出，證明圓的切線可轉(zhuǎn)化為證明直線垂直．答案：【例題1】證明：連接OD，AD，如圖．∵AB為⊙O直徑,∴AD⊥BC?！逜B＝AC,即△ABC為等腰三角形，∴AD為BC邊上的中線，即BD＝DC.又OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線．∴OD∥AC?！逥E切⊙O于D，∴OD⊥DE.∴DE⊥AC?！纠}2】證明：如圖,連接OE.∵OA＝OE,∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3?！郞E∥AD?！逜D⊥CD，∴OE⊥CD。∴CD與⊙O相切于點(diǎn)E。1如圖，PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn),已知PA＝4，OA＝3，則cos∠APO的值為（）A．eq\f(3，4)B．eq\f（3,5）C．eq\f（4,5)D．eq\f（4，3)2如圖所示，CB為⊙O的直徑，P是CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且OB＝BP，∠AOC＝120°,則PA與⊙O的位置關(guān)系是（)A．相離B．相切C．相交D．不確定3（2011·北京豐臺(tái)二模）如圖所示，DB，DC是⊙O的兩條切線，A是圓上一點(diǎn),已知∠D＝46°,則∠A＝__________。4（2011·北京石景山一模）如圖,圓O的直徑AB＝8，C為圓周上一點(diǎn)，BC＝4，過(guò)點(diǎn)C作圓的切線l，過(guò)A作直線l的垂線AD,D為垂足，AD與圓O交于點(diǎn)E，則線段AE的長(zhǎng)為_(kāi)_________．5如圖,BE是⊙O的直徑，點(diǎn)A在EB的延長(zhǎng)線上，弦PD⊥BE，垂足為C,連接OD，且∠AOD＝∠APC．求證：AP是⊙O的切線．答案:1．C由PA為⊙O的切線，知OA⊥PA.在Rt△OAP中,由勾股定理，得OP＝eq\r(OA2＋AP2）＝5。故cos∠APO＝eq\f(PA,OP)＝eq\f(4,5).2．B如圖，連接AB.∵∠AOC＝120°，∴∠AOB＝60°。又OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形,∴OB＝AB.又OB＝BP，∴AB＝BP，∴∠P＝∠BAP.又∠OBA＝60°，∴∠P＝30°.又∠AOB＝60°，∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP,則PA與⊙O相切．3．67°如圖所示,連接OB，OC，則OB⊥BD，OC⊥CD，故∠DBO＋∠DCO＝90°＋90°＝180°，則四邊形OBDC內(nèi)接于一個(gè)圓．則有∠BOC＝180°－∠D＝180°－46°＝134°，所以∠A＝eq\f（1，2)∠BOC＝eq\f(1,2)×134°＝67°。4．4如圖所示，連接OC，連接BE交OC于點(diǎn)F，則OC⊥l，BE⊥AD.又AD⊥l,所以AD∥OC，OC⊥BE.又直徑AB＝8，則OB＝OC＝4.又BC＝4，故△OBC是等