9.3三角形的角平分線、中線和高第九章二元一方程組逐點導講練課堂小結作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2三角形的角平分線三角形的中線三角形的高課時導入1.角平分線的定義及畫法：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.2.線段中點的定義：把一條線段分成兩條相等的線段

的點.知識回顧課時導入3.做“過一點作已知直線的垂線”：課時導入有一天，小明回家看到弟弟正在對著下邊的三角形發(fā)呆，小明有一點奇怪了，外號“坐不住”的弟弟怎么能坐住了？原來是弟弟想作出三角形ABC的三條高，但是他不會作邊AB、BC上的高，小明不假思索的說：“我來幫你”，當他準備作時，也難住了，聰明的你，能幫幫小明兄弟嗎？知識點三角形的角平分線知1－講感悟新知1定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫三角形的角平分線.角平分線的理解：∵AD是△ABC的角平分線∴∠BAD=∠CAD=∠BAC知1－講感悟新知特別提醒1.角的平分線是一條射線，而三角形的角平分線是一條線段.2.三角形的角平分線是其內角的平分線的一部分.故角的平分線的性質三角形的角平分線都具有.知1－講感悟新知想一想，一個三角形有幾條角平分線？請同學們畫出，思考它們有什么特點？①三角形的角平分線是一條線段，而角平分線是一條射線.②一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內部交于一點.感悟新知知1－練例1導引：如圖，△ABC中，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC，DF∥AB，EF交AD于點O，請問DO是△DEF的角平分線嗎？說明理由．要知道DO是不是△DEF的角平分線，只需要知道∠EDO與∠FDO是否相等．若相等，根據三角形的角平分線的定義即可判定．感悟新知知1－練DO是△DEF的角平分線．理由如下：因為AD是△ABC的角平分線，所以∠DAB＝∠DAC(角平分線定義)．因為DE∥AC，DF∥AB，所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF(兩直線平行，內錯角相等)，所以∠ADE＝∠ADF(等量代換)，所以DO是△DEF的角平分線．解：知1－講總結感悟新知本例在解題過程中，先利用角平分線的定義，得出相等的角，再結合相關條件(如平行等)推出新的一組相等的角，最后由角平分線的定義說明角平分線，它經歷了定義→條件→定義的過程，這就是定義法．感悟新知知1－練1.如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列結論中錯誤的是(

)A．BD是△ABC的角平分線B．CE是△BCD的角平分線C．∠3＝∠ACBD．CE是△ABC的角平分線D感悟新知知1－練2.一個三角形的三條角平分線的交點在(

)A．三角形內B．三角形外C．三角形的某邊上D．以上三種情形都有可能A知識點三角形的中線知2－講感悟新知2定義：在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫做這個三角形的中線.三角形中線的理解：∵AD是△ABC的中線∴BD=CD=BC知2－講感悟新知特別解讀三角形的中線把三角形分成的兩個三角形的面積和周長的關系：1.兩個三角形的面積相等；2.兩個三角形的周長的差等于這兩個三角形另兩邊的差.知2－講感悟新知想一想，一個三角形有幾條中線？請同學們畫出.它們有什么特點？①三角形的中線是一條線段.②任何三角形有三條中線，并且都在三角形的內部交

于一點.感悟新知知2－練例2張大爺的兩個兒子都長大成人了，也該分家了．于是張大爺準備把如圖所示的一塊三角形田地平均分給兩個兒子，兩個兒子要求分成的兩塊田地的形狀仍然是三角形，請你幫助張大爺提出一種平分的方案．根據等底同高的三角形的面積相等，要等分三角形的面積，只需要作出一條邊上的中線即可.導引：感悟新知知2－練解：根據要求，平分田地的直線必須經過三角形的頂點．畫△ABC的中線AD(如圖)，則AD就把△ABC的面積平分成兩份．這是因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC.過點A作AE⊥BC于點E.在△ABD和△ACD中，因為BD，CD邊上的高都是AE，所以由三角形的面積計算公式，知△ABD和△ACD的面積相等，感悟新知知2－練因此，要把△ABC平分成兩個三角形，只需畫中線AD即可，這是一種平分方法．(本題答案不唯一，作AB，AC邊上的中線也可以)知2－講總結感悟新知(1)三角形的任意一條中線都能把三角形分成面積相

等的兩部分，即等底同高的三角形面積相等；(2)拓展：在兩個三角形中：底、高、面積這三個量，

如果有其中的兩個量相等，那么第三個量也相等.感悟新知知2－練1.(1)如圖，△ABC的面積等于10，AD是中線，分別求出△ABD和△ACD的面積. (2)你能把一個三角形分成面積相等的兩部分嗎？分成面積相等的四部分呢？分成面積相等的三部分呢？感悟新知知2－練解：(1)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝

BC，所以S△ABD＝S△ACD＝

S△ABC＝5.(2)①把一個三角形分成面積相等的兩部分，如圖所示，其中BD＝DC＝

BC，S△ABD＝S△ADC＝S△ABC.(題①圖)感悟新知知2－練②把一個三角形分成面積相等的四部分，如圖所示，其中BD＝DE＝EF＝FC＝

BC，S△ABD＝S△ADE＝S△AEF＝S△AFC＝

S△ABC.(題②圖)感悟新知知2－練

③把一個三角形分成面積相等的三部分，如圖所示，其中BD＝DE＝EC＝

BC，S△ABD＝S△ADE＝S△AEC＝

S△ABC.(題③圖)2.感悟新知知2－練若AD是△ABC的中線，下列結論錯誤的是(

)A．AB＝BC

B．BD＝DCC．AD平分BC

D．BC＝2DCA3.感悟新知知2－練已知D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點，那么下列說法中不正確的是(

)A．DE是△BCD的中線B．BD是△ABC的中線C．AD＝DC，BE＝ECD．AD＝EC，DC＝BED4.感悟新知知2－練三角形一邊上的中線把原三角形一定分成兩個(

)A．形狀相同的三角形B．面積相等的三角形C．直角三角形D．周長相等的三角形B5.感悟新知知2－練如圖，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，則△ABD和△BCD的周長的差是(

)A．2

B．3

C．6

D．不能確定A6.感悟新知知2－練如圖，在△ABC中，D，E分別為BC，AD的中點，且S△ABC＝4，則S陰影為(

)A．2

B．1

C.

D.B7.感悟新知知2－練已知三角形的三條中線交于一點，則下列結論：①這一點在三角形的內部；②這一點有可能在三角形的外部；③這一點是三角形的重心．其中正確的結論有________．(填序號)①③知識點三角形的高知3－講感悟新知3定義：從三角形一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.對三角形高的理解：∵AD是△ABC的高∴AD⊥BC或∠ADC=∠ADB=90°知3－講感悟新知想一想，一個三角形有幾條高？請同學們用同樣的方法畫出.它們有什么特點？知3－講感悟新知①三角形的高是一條線段.②一個三角形有三條高，三條高(或高的延長線)相交

于一點.可分為銳角三角形(內部)，直角三角形(直角

頂點)，鈍角三角形(外部).感悟新知知3－練例3(動手操作題，易錯題)畫出圖中△ABC的三條高．(要標明字母，不寫畫法)感悟新知知3－練導引：“作一邊上的高”，即可看作“過一點(這邊所對角的頂點)作已知直線(這邊所在的直線)的垂線．”按照“過一點作已知直線的垂線”進行作圖，頂點與垂足之間的線段即為該邊上的高；需注意AB，BC邊上的高在三角形的外部，作高時先延長AB與CB.感悟新知知3－練解：如圖所示.知3－講總結感悟新知(1)作三角形的高時，找準頂點和對邊是關鍵，作高

的步驟就是“過一點作已知直線的垂線”的步驟：

一靠(三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上)、二

找(移動三角尺使另一條直角

邊通過要作高的頂點)、三畫

線(畫垂線段)，如圖.知3－講總結感悟新知(2)注意：高是線段，垂線是直線．1.感悟新知知3－練如圖.AD，AE，AF分別是△ABC的中線、角平分線和高.請你指出圖中相等的角及相等的線段.相等的角有∠BAE＝∠EAC，∠AFB＝∠AFC；相等的線段有BD＝DC.解：2.感悟新知知3－練解：分別畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條角平分線、三條中線和三條高.(1)銳角三角形(如圖所示)．(2)直角三角形(如圖所示)．感悟新知知3－練(3)鈍角三角形(如圖所示)．3.感悟新知知3－練如圖，在△ABC中，AD是角平分線，AE是高，∠BAC=40°，∠C=60°.求∠DAE的度數.感悟新知知3－練解：因為AD平分∠BAC，所以∠CAD＝∠BAC＝20°.因為∠ADE是△ACD的一個外角，所以∠ADE＝∠C＋∠CAD＝60°＋20°＝80°.又因為AE是△ABC的高，所以∠AED＝90°，所以在△AED中，∠DAE＝180°－∠AED－∠ADE＝180°－90°－80°＝10°.

4.感悟新知知3－練如圖，在△ABC中，∠ABC=62°，BD是角平分線，CE是高，BD與CE交于點O.求∠BOC的度數.感悟新知知3－練解：因為BD是△ABC的角平分線，所以∠OBC＝∠ABC＝31°.因為CE是△ABC的高，所以∠BEC＝90°，所以在△BEC中，∠ECB＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－62°－90°＝28°，所以在△BOC中，∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－31°－28°＝121°.5.感悟新知知3－練如圖，在△ABC中，AD是高，BE是角平分線，AD，BE交于點F，∠C=30°，∠BFD=70°.求∠BAC的度數.感悟新知知3－練解：因為AD是△ABC的高，所以∠ADB＝90°，所以在△BFD中，∠FBD＝180°－∠FDB－∠BFD＝180°－90°－70°＝20°.又因為BE是△ABC的角平分線，所以∠ABF＝∠FBD＝20°，所以∠ABC＝40°，所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－40°－30°＝110°.6.感悟新知知3－練下列圖形中，AD是△ABC的高的是(

)B7.感悟新知知3－練下列說法中正確的是(

)A．三