專題12.2全等三角形重難點題型8個題型1全等三角形的判定方法：5種判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA）解題技巧：1）根據(jù)圖形和已知條件，猜測可能的全等三角形；2）尋找邊角相等的3組條件；3）往往有2個條件比較好找，第3個條件需要推理尋找第3個條件思路：原則1）需要證明的邊或角需首先排除，不可作為第3個條件尋找2）尋找第3個條件，往往需要根據(jù)題干給出的信息為指導，確定是找角還是邊全等三角形證明思路：1°：SSS證全等1.（2022·北京·首都師大二附八年級期中）如圖，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”來判定△ABC和△FED全等時，下面的4個條件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④2．（2022·重慶渝北·八年級期末）工人常用角尺平分一個任意角，做法如下：如圖，∠AOB是一個任意角，在邊OA，OB上分別取OM＝ON，移動角尺，使CM＝CN，過角尺頂點C作射線OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS3．（2022·山東臨沂·八年級期中）兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，如圖，四邊形PCQD是一個箏形，其中，，在探究箏形的性質時，得到如下結論：①；②；③；④，其中正確的結論有（

）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④4．（2022·福建莆田·八年級期末）莆仙戲是現(xiàn)存最古老的地方戲劇種之一，被稱為“宋元南戲的活化石”，2021年5月莆仙戲《踏傘行》獲評為“2020年度國家舞臺藝術精品創(chuàng)作扶持工程重點扶持劇目”．該劇中“油紙傘”無疑是最重要的道具，依傘設戲，情節(jié)新穎，結構巧妙，譜寫了一曲美輪美奐、詩意盎然的傳統(tǒng)戲曲樂歌．“油紙傘”的制作工藝十分巧妙．如圖，傘圈D沿著傘柄滑動時，總有傘骨，，從而使得傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘骨所成的．為什么？5．（2022·山東濟寧·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點B，于點D，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．6．（2022·江蘇·八年級專題練習）已知為等腰直角三角形，，，(1)如圖1，若以為邊在點C同側作等邊三角形，判斷所在直線與線段的關系，并說明理由．(2)如圖2，將繞若點B旋轉60°得，若，求的長．2°：SAS證全等1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級期末）如圖，在△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于點D，連接EB．下列結論：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期末）如圖，△ABC三個內角的平分線交于點O，點D在AB的延長線上，AD＝AC，BD＝BO，若∠ACB＝40°，則∠ABC的度數(shù)為_____．3．（2021·江蘇徐州·八年級期中）如圖，在△ABC和△ABD中，AC與BD相交于點E，AC＝BD，∠BAC＝∠ABD．求證：∠C＝∠D．4．（2021·四川瀘州·一模）已知，在如圖所示的“風箏”圖案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求證：BC＝DE．5．（2021·福建泉州·八年級期中）如圖，點、、在同一直線上，，，ABDE，求證：≌．6．（2022·湖北武漢市·八年級期末）如圖，，，．（1）求證：；（2）若，試判斷與的數(shù)量及位置關系并證明；（3）若，求的度數(shù)．3°：ASA證全等1．（2022·四川攀枝花·模擬預測）小剛把一塊三角形玻璃打碎成了如圖所示的三塊，現(xiàn)要到玻璃店取配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去2．（2022·新疆吐魯番·八年級期末）如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，則判定△ABD和△ACD全等的依據(jù)是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．HL3．（2022·江蘇初三模擬）如圖，在△ABC中，D是線段BC的中點，F(xiàn)，E分別是AD及其延長線上的點，且CF∥BE．求證：DE＝DF4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·九年級二模）如圖，在四邊形ABCD中，，點E為對角線BD上一點，，且．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．5．（2021·廣東廣州市·八年級期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是線段BC上一個動點，點F在線段AB上，且∠FDB＝∠ACB，BE⊥DF．垂足E在DF的延長線上．（1）如圖2，當點D與點C重合時，試探究線段BE和DF的數(shù)量關系．并證明你的結論；（2）若點D不與點B，C重合，試探究線段BE和DF的數(shù)量關系，并證明你的結論．6．（2021·上海寶山區(qū)·七年級期末）如圖，已知四邊形中，，．為上一點，且，，交的延長線于點．（1）和相等嗎？為什么？（2）和相等嗎？為什么？4°：AAS證全等1．（2022·遼寧撫順·八年級期末）如圖，ABCD，∠ACD=90°，CD=CB，DE⊥BC于點E．求證：AB=CE．2．（2022·廣西貴港·八年級期末）如圖，在中，，點是邊的中點，，，垂足分別為點，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．3．（2021·廣東廣州·三模）如圖，E為BC上一點，AC∥BD，AC＝BE，∠ABC＝∠D．求證：AB＝ED．4．（2021·重慶八中七年級期末）如圖，在中，，點D在AB邊上，點E在BC邊上，連接CD，DE．已知，．（1）猜想AC與BD的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（2）若，，求CE的長．5．（2022·江蘇東臺初二期末）如圖，點、、、在一條直線上，，，，交于．（1）求證：．（2）求證：．6．（2021·重慶巴蜀中學七年級期末）如圖，點E在△ABC的邊AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，F(xiàn)D∥BC交AC于點D．（1）求證：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周長．5°：HL證全等1．（2022·河北唐山·八年級期末）如圖，點E是BC的中點，，，AE平分，下列結論：①；②；③；④，四個結論中成立的是（

）A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②④2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·八年級期末）小明用兩張完全相同的長方形紙片按如圖所示的方式擺放，一張紙片壓住射線，另一張紙片壓住射線且與第一張紙片交于點，若，則__．3．（2021·內蒙古·包頭市第八中學八年級期中）如圖，點D、A、E在直線m上，AB=AC，BD⊥m于點D，CE⊥m于點E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，則DE=____________4．（2022·全國·七年級課時練習）已知，線段AC、BD交于點O，，于點F，于點E，，則（1）如圖，若為鈍角，求證：；（2）若為銳角，其他條件不變，請畫圖判斷（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．5．（2022·江西·八年級期末）已知：，，，．（1）試猜想線段與的位置關系，并證明你的結論．（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結論還成立嗎？請說明理由．（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結論還成立嗎？請說明理由．6．（2022·江西·永豐縣恩江中學八年級階段練習）如圖，在△ABC中，BC=AB，∠ABC=90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE=CF．(1)求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAB=30°，求∠ACF的度數(shù)．題型2.全等三角形性質（求長度、角度）1．（2022?洪山區(qū)八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于點D，在AB上截取AE＝AC，則△BDE的周長為（）A．8 B．7 C．6 D．5.（2022?弋江區(qū)八年級期末）如圖，點P是∠BAC平分線AD上的一點，AC＝9，AB＝5，PB＝3，則PC的長可能是（）A．6 B．7 C．8 D．93.（2022?承德八年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一點，且BE＝BC，過E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，則AD+DE等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm．（2022·北京西城區(qū)·八年級期末）如圖，在中，點D，E分別在邊，上，點A與點E關于直線對稱．若，，，則的周長為（）A．9 B．10 C．11 D．125．（2022·北京市八年級期中）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在直線l上（F，C之間不能直接測量），點A，D在l異側，測得，AB//DE，．(1)求證：；(2)若，，求的長度．6.（2022春?岳麓區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD、BE相交于點H，AE＝BE．（1）求證：△AEH≌△BEC．（2）若AH＝4，求BD的長．題型3利用全等三角形求角度1．（2022?郯城縣八年級期中）如圖，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD與BE相交于點P，則∠BPD的度數(shù)為（）A．110° B．125° C．130° D．155°2022?欒城區(qū)八年級期末）如圖，在△ABC中，D，E是BC邊上的兩點，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．40° D．20°3．（2022?昌平區(qū)八年級期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F(xiàn)分別是BC，AC上的點，DE⊥AB，垂足為E，CF＝BE，DF＝DB，則∠ADE的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．70° D．71°4.（2022·雁塔陜西師大附中初一期末）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC上，且BE＝BD，連接AE、DE、DC．若∠CAE＝30°，則∠BDC＝_____．5．（2022?碑林區(qū)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E，F(xiàn)，分別在AB，BC，AC邊上，且BE＝CF，BD＝CE，∠A＝30°，求∠DEF的度數(shù)．6.（2022?姑蘇區(qū)八年級期末）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF．（1）求證：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，∠BAC＝45°，求∠ACF的度數(shù)．題型4利用全等三角形證明數(shù)量（位置）關系1．（2022?高州市期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分別為BC，AC邊上的高，AD，BE相交于點F，連接CF，則下列結論：①BF＝AC；②∠FCD＝∠DAC；③CF⊥AB；④若BF＝2EC，則△FDC周長等于AB的長．其中正確的有（）A．①② B．①③④ C．①③ D．②③④2.（2022?三水區(qū)一模）如圖，AB＝AC，直線l過點A，BM⊥直線l，CN⊥直線l，垂足分別為M、N，且BM＝AN．（1）求證△AMB≌△CNA；（2）求證∠BAC＝90°．3.（2022?揭陽八年級期末）已知△ABC，點D、F分別為線段AC、AB上兩點，連接BD、CF交于點E．（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如圖1所示，試說明∠BAC+∠BEC＝180°；（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如圖2所示，試說明此時∠BAC與∠BEC的數(shù)量關系；（3）在（2）的條件下，若∠BAC＝60°，試說明：EF＝ED．4.（2022?南丹縣教學研究室八年級期末）如圖1，∠ABC＝90°，F(xiàn)A⊥AB于點A，D是線段AB上的點，AD＝BC，AF＝BD．(1)判斷DF與DC的數(shù)量關系為，位置關系為．(2)如圖2，若點D在線段AB的延長線上，過點A在AB的另一側作AF⊥AB，并截取AF＝BD，連接DC，DF，CF，試說明（1）中結論是否成立，并說明理由．5．（2022·廣東韶關·八年級期中）已知：如圖，點B、E、C、F四點在一條直線上，且AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．(1)試說明：△ABC≌△DEF；(2)判斷線段AC與DF的數(shù)量關系與位置關系，并說明理由．6．（2022·江蘇江蘇·七年級期末）角平分線的探究【教材再現(xiàn)】蘇科版八上P25頁介紹了用尺規(guī)作圖作角平分線，作法如下：①如圖1，以O為圓心，任意長為半徑作弧，分別交射線OA、OB于點C、D．②分別以點C、D為圓心，大于CD的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內部交于點M．③作射線OM．則射線OM為∠AOB的平分線．（1）用尺規(guī)作圖作∠AOB的平分線原理是證明兩個三角形全等，那么證明三角形全等依據(jù)是．【數(shù)學思考】在學習了這個尺規(guī)作圖作角的平分線后，小亮同學研究了下面的方法畫角的平分線（如圖2）：①在∠AOB的兩邊OA、OB上分別截取OC＝OD．②過C作CE⊥OB，垂足為E．過D作DF⊥OA，垂足為F．CE、DF交于點M．③作射線OM．（2）請畫出圖形，并證明OM平分∠AOB．【問題解決】（3）已知：如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E．試寫出線段AB、AD、AE之間的數(shù)量關系，并說明理由．題型5.尺規(guī)作圖與三角形全等1．（2022·廣東·二模）觀察用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，能得出∠CPD=∠AOB的依據(jù)是（

）A．由“等邊對等角”可得∠CPD=∠AOBB．由SSS可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD∠AOBC．由SAS可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD∠AOBD．由ASA可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD∠AOB2．（2022·江蘇南通·八年級期末）如圖，已知，用直尺和圓規(guī)按以下步驟作出．（1）畫射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，與交于點；（2）分別以，為圓心，線段，長為半徑畫弧，兩弧相交于點；（3）連接，．則能用于證明的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS3．（2021·湖北·來鳳縣實驗中學八年級期中）如圖，以△ABC的頂點A為圓心，以BC長為半徑作弧；再以頂點C為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧交于點D；連結AD，CD．由作法可得：的根據(jù)是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4.（2022·河北邢臺·八年級期末）已知，按圖示痕跡做，得到．則在作圖時，這兩個三角形滿足的條件是（

）A． B．C． D．5．（2022·湖南常德·八年級期中）請按以下要求作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）．用直尺和圓規(guī)作△DEF，使得△DEF≌△ABC，并指出判定△DEF≌△ABC的依據(jù)（請在作圖區(qū)內畫圖）．6．（2021·江蘇泰州·一模）已知：如圖1，中，．（1）請你以為一邊，在的同側構造一個與全等的三角形，畫出圖形；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）參考（1）中構造全等三角形的方法解決下面問題：如圖2，在四邊形中①；②；③．請在上述三條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結論組成一個命題．試判斷這個命題是否正確，并說明理由你選擇的條件是________，結論是_______（只要填寫序號）題型6.利用三角形全等測距離1．（2022·浙江寧波·八年級期末）如圖，為測量池塘兩端的距離，學校課外實踐小組在池塘旁的開闊地上選了一點，測得的度數(shù)，在的另一側測得，，再測得的長，就是的長．其依據(jù)是（

）A． B． C． D．2．（2021?溫嶺市八年級期中）某中學計劃為新生配備如圖1所示的折疊凳，圖2是折疊凳撐開后的側面示意圖（木條等材料寬度忽略不計），其中凳腿AB和CD的長度相等，O是它們的中點，為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設計為35cm，由以上信息能求出CB的長度嗎？如果能，請求出CB的長度；如果不能，請說明理由．3.（2022?大連八年級月考）為了解學生對所學知識的應用能力，某校老師在八年級數(shù)學興趣小組活動中，設置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：甲：如圖1，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可；乙：如圖2，先確定直線AB，過點B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．甲、乙兩個同學的方案是否可行？請說明理由．4．（2022?孝義市八年級期中）一位經歷過戰(zhàn)爭的老戰(zhàn)士講述了這樣一個故事：在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離，在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，一個戰(zhàn)士想出來這樣的辦法：他面向碉堡的方向站好，然后調整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉過一個角度，保持剛才的姿態(tài)，這時視線落在了自己所在岸的某一點上，接著，他用步測的方法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡間的距離．將這位戰(zhàn)士看成一條線段，碉堡看成一點，示意圖如下，你能根據(jù)示意圖解釋其中的道理嗎下面是彤彤同學寫出的不完整的已知和求證，請你補全已知和求證，并完成證明．已知：如圖，AB⊥CD，．求證：．證明：5.（2022?金鄉(xiāng)縣八年級期中）如圖，小明和小華住在同一個小區(qū)不同單元樓，他們想要測量小明家所在單元樓AB的高度，首先他們在兩棟單元樓之間選定一點E，然后小華在自己家陽臺C處測得E處的俯角為∠1，小明站在E處測得眼睛F到AB樓端點A的仰角為∠2，發(fā)現(xiàn)∠1與∠2互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，試求單元樓AB的高．6．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小明通過構造△ABC與△BCD來測量A，B間的距離，其中，．那么量出的BD的長度就是AB的距離．請你判斷小明這個方法正確與否，并給出相應理由．題型7.全等三角形中的動態(tài)問題1．（2022·北京市師達中學八年級期中）如圖，，cm，cm，點P在線段AC上，以每秒2cm的速度從點A出發(fā)向C運動，到點C停止運動，點Q在射線AM上運動，且，當點P的運動時間為_________秒時，△ABC才能和△PQA全等．2．（2022·河南·開封市第二十七中學八年級期中）如圖，AB＝16，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B．點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿AB向點B運動；點Q從點B出發(fā)，以每秒a個單位的速度沿射線BD方向運動．點P、點Q同時出發(fā)，當以P、B、Q為頂點的三角形與△CAP全等時，a的值為______．3．（2022·廣西百色·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以1.5厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上，由C點向A點運動，為了使△BPD≌△CPQ，點Q的運動速度應為（

）A．1厘米/秒 B．2厘米/秒 C．3厘米/秒 D．4厘米/秒4．（2022·河北石家莊·八年級期末）如圖，已知直線于點P，B是內部一點，過點B作于點A，于點C，四邊形是邊長為8cm的正方形，N是的中點，動點M從點P出發(fā)，以2cm/s的速度，沿方向運動，到達點C停止運動，設運動時間為，當時，t等于（

）A．2 B．4 C．2或4 D．2或65．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，點E為AB的中點．如果點P在線段BC上以2cm/s的速度沿B﹣C運動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運動．當點Q的運動速度為_______cm/s時，能夠使△BPE與△CQP全等．6．（2021·四川宜賓市·八年級期末）在中，，，，點在上，且，過點作射線（與在同側），若點從點出發(fā)，沿射線勻速運動，運動速度為，設點運動時間為秒．連結、．（1）如圖①，當時，求證：；（2）如圖②，當于點時，求此時的值．題型 8.全等三角形綜合題1．（2021·湖南岳陽市·八年級期末）已知中，，，點為的中點，點、分別為邊、上的動點，且，連接，下列說法正確的是______．（寫出所有正確結論的序號）①；②；③；④2．（2021·浙江寧波市·八年級期末）如圖1，是等邊三角形，為上兩點，且，延長至點F，使，連結．（1）如圖2，當兩點重合時，求證：．（2）如圖3，延長交線段于點G．①求證：．②求的度數(shù)．3．（2022·河北安平初二期末）如圖，點是等邊內一點，，，將繞點順時針方向旋轉得到，連接，.（1）當時，判斷的形狀，并說明理由；（2）求的度數(shù)；（3）請你探究：當為