專題2.2基本不等式【基本知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：兩個(gè)不等式（1）重要不等式：一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．（2）基本不等式：一般地，如果a>0，b>0，則eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．【特別注意】①其中，eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．②兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．③“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).知識(shí)點(diǎn)2：基本不等式的證明方法一(作差法)eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)＝eq\f(a＋b－2\r(ab),2)＝eq\f(\r(a)2－2\r(ab)＋\r(b)2,2)＝eq\f(\r(a)－\r(b)2,2)≥0，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．方法二(性質(zhì)法)要證eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，只需證2eq\r(ab)≤a＋b，只需證2eq\r(ab)－a－b≤0，只需證－(eq\r(a)－eq\r(b))2≤0，顯然(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0成立，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．方法三(利用幾何意義證明)如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn)，AC＝a，BC＝b，過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝eq\r(ab)，由于CD小于或等于圓的半徑，故用不等式表示為eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，由此也可以得出圓的半徑不小于半弦．知識(shí)點(diǎn)3：基本不等式與最值（1）已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.【特別注意】從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號(hào)的條件．（2）利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時(shí)，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.【題型1對(duì)基本不等式的理解】【例1】（20232024?全國(guó)?高一A．對(duì)?a，b∈R，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立B．若a>0，b>0且a≠b，則a＋b>2eq\r(ab)C．對(duì)?a，b∈R，a2＋b2≥2abD．若x>2，則x＋eq\f(1,x)≥2中可以取等號(hào)【變式11】（20222023?安徽?高三上?A. B.C. D.【變式12】（20222023?西藏林芝?高一上?A．若a>0,b>0，且a+b=16，則ab≤64B．若a≠0，則a+C．若a,b∈R，則D．對(duì)任意a,b∈R，a【變式13】（20232024?浙江?高二上?期中）（多選）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點(diǎn)，且，，為中點(diǎn)，以為直徑作半圓，過點(diǎn)作的垂線，交半圓于，連接，，，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，取弧的中點(diǎn)，連接，則該圖形可以完成的所有無字證明為（）A. B.C. D.【題型2由基本不等式比較大小】【例2】（20232024?云南昆明?高一上?期中）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金．一位顧客到店里購(gòu)買10g附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時(shí)有m1L1=m2L2，其中A．等于10g B．小于10g C．大于10【變式21】（20232024?湖北恩施州?高一上?月考A． B．C． D．【變式22】（20232024?安徽亳州?高三上?期中）（多選）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特用“”“”表示不等號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界所接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式發(fā)展影響深遠(yuǎn).若某同學(xué)從一樓到五樓原路往返的速度分別為和，記兩速度的算術(shù)平均值為，全程的平均速度為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B. C. D.【變式23】（20232024?上海交通大學(xué)附屬中學(xué)?高一上?月考A.先提價(jià)，再提價(jià) B.先提價(jià)，再提價(jià)C.分兩次，都提價(jià) D.分兩次，都提價(jià)【題型3利用基本不等式求和的最值】【例3】（20232024?上海嘉定區(qū)?高一上?期中）已知【變式31】（20232024?山東濟(jì)寧?高一上?期中）若A.8 B.4 C.2 D.0【變式32】（20232024?天津河西區(qū)?高一上?期中）已知【變式33】（20232024?浙江強(qiáng)基聯(lián)盟?高一下?期中）若實(shí)數(shù)A．23 B．23?1 C．2【題型4利用基本不等式求積的最值】【例4】（20232024?北京市昌平區(qū)?高二下?期末A. B. C. D.1【變式41】（20232024?廣東韶關(guān)?高一上?月考）已知A．?3 B．?2 C．?1 D．0【變式42】（20232024?湖北鄂西北六校?高一上?期中）中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積S可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，，則此三角形面積的最大值為（

A．8 B．10 C．12 D．14【變式43】（20232024?湖南?高一下?聯(lián)考）已知A.4 B.6 C.8 D.2【題型5條件等式求最值】【例5】（20232024?山東濟(jì)寧鄒城?高一上?期中）已知，，且，則的最小值是【變式51】（20232024?安徽?高一上?期中）若a，b均為正實(shí)數(shù)，【變式52】（20232024?山東濱州?高二下?期末）若正實(shí)數(shù)a,b，滿足A．9 B．6 C．3 D．2【變式53】（20232024?山東濟(jì)寧兗州?高一上?期中）（多選）對(duì)任意x，A. B. C. D.【題型6基本不等式“1”的妙用求最值】【例6】（20232024?山東?高一上?期中）若，且，則【變式61】已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為__________.【變式62】（20232024?福建?高一下?期中）已知，，，則的最小值為（A.2 B.1 C. D.【變式63】（20232024?山東臨沂莒南（1）已知，求函數(shù)的最大值；（2）已知，且，求的最小值．【題型7基本不等式的恒成立問題】【例7】（20232024?云南昆明?高一上?期中）已知，若恒成立，寫出符合條件的正整數(shù)【變式71】（20232024?天津?高一上?期中）已知，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m【變式72】（20232024?云南玉溪?高一上?期中）已知且恒成立，實(shí)數(shù)的最大值是【變式73】（20232024?河南信陽(yáng)?高一上?期中）已知，（1）求的最小值及此時(shí)x，y的取值；（2）不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【題型8基本不等式的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（20232024?新疆烏魯木齊?高一上?期末）如圖，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（即圖中陰影部分），這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為10cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm，設(shè)單個(gè)矩形欄目的寬度為（1）將y表示為關(guān)于x的表達(dá)式，并寫出x的取值范圍；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，矩形廣告的總面積最小?并求出總面積最小值.【變式81】（20232024?湖北荊州?高一上?月考）某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的十字形地域，四個(gè)小矩形加一個(gè)正方形面積共為200平方米．計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為每平方米4200（1）設(shè)AD長(zhǎng)為x米，總造價(jià)為S元，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問：當(dāng)x為何值時(shí)S最小，并求出這個(gè)S最小值.【變式82】（20232024?山東?高一上?期中(1)當(dāng)寬為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低，并求出最低報(bào)價(jià).(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元（整體報(bào)價(jià)中含固定費(fèi)用）.若無論寬為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求的取值范圍.【變式83】（20232024?山東青島?高一上?月考）（1）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平（左臂長(zhǎng)acm大