梯形及中位線本章節(jié)主要講述了兩部分內(nèi)容，梯形和中位線，從直角梯形和等腰梯形的性質(zhì)出發(fā)，求解相關(guān)的邊與角的關(guān)系，在求解的過(guò)程中，部分題目需要添加輔助線．中位線主要包括兩個(gè)方面，三角形和梯形，在解題的過(guò)程中，要做到靈活應(yīng)用．模塊一：梯形及等腰梯形知識(shí)精講一、梯形及梯形的有關(guān)概念（1）梯形：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形．底：平行的兩邊叫做底，其中較長(zhǎng)的是下底，較短的叫上底．腰：不平行的兩邊叫做腰．高：梯形兩底之間的距離叫做高．（2）特殊梯形 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．特殊梯形等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．思考討論：若上面兩個(gè)條件同時(shí)成立是否是梯形?交流：如果同時(shí)具備直角梯形和等腰梯形的特征，那么該圖形是矩形．【等腰梯形性質(zhì)】等腰梯形性質(zhì)定理1等腰梯形在同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等．等腰梯形性質(zhì)定理2等腰梯形的兩條對(duì)角線相等．另外：等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底邊上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形．等腰梯形判定定理2對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形．例題解析例1．（2019·上海八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，則BC長(zhǎng)為()．A．4 B．6 C．43 D．【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC，可判斷出△ABE是直角三角形，四邊形ADCE是菱形，從而求出CE、BE即可得出BC的長(zhǎng)度．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AE∥DC，

∵AD∥BC，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，

又∵AC平分∠BCD，

∴∠DAC=∠ACE=∠DCA，

∴AD=CD，

∴四邊形ADCE是菱形，

∴CE=AD=AE=2，

∵AE∥CD，

∴∠AEB=∠BCD=60°，

又∵∠B=30°，

∴∠BAE=90°，

∴BE=2AE=4，

∴BC=BE+CE=6.

故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形和梯形，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形和梯形.例2．（2018·上海市清流中學(xué)八年級(jí)月考）若等腰梯形兩底角為30°，腰長(zhǎng)為8，高和上底相等，則梯形中位線長(zhǎng)為（）A．8 B．10 C．4 D．16【答案】C【分析】分析題意畫(huà)出圖形，則DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，進(jìn)而求出CD的長(zhǎng)度；運(yùn)用勾股定理得出AE和BF的長(zhǎng)度，易證四邊形CDEF是平行四邊形，得出EF的長(zhǎng)度，進(jìn)而得出AB+CD的長(zhǎng)度，由梯形中位線的性質(zhì)，即可解答本題.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，則DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°.因?yàn)镈E⊥AB，∠A=30°，AD=8，所以DE=AD=4，所以CD=4，AE==4，同理BF=4.因?yàn)镈E⊥AB，CF⊥AB，所以DE∥CF.因?yàn)镃D∥EF，所以四邊形CDEF是平行四邊形，所以EF=CD=4.因?yàn)镃D=4cm，AB=AE+EF+FB=4+4+4=8+4，所以AB+CD=8+4+4=8+8，所以梯形的中位線長(zhǎng)為(AB+CD)=4+4.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查等腰梯形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于需結(jié)合梯形中位線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)進(jìn)行求解.例3．（2018·上海市清流中學(xué)八年級(jí)月考）一個(gè)等腰梯形的兩底之差為12,高為6,則等腰梯形的銳角為()A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】作梯形的兩條高線，證明△ABE≌△DCF，則有BE=FC，然后判斷△ABE為等腰直角三角形求解．【詳解】如圖,作AE⊥BC、DF⊥BC,四邊形ABCD為等腰梯形,AD∥BC，BC?AD=12，AE=6，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C，∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，∴AEFD為矩形，∴AE=DF，AD=EF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=FC，∴BC?AD=BC?EF=2BE=12，∴BE=6，∵AE=6，∴△ABE為等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°.故選B.【點(diǎn)睛】此題考查等腰梯形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫(huà)出圖形.例4．（2018·上海市清流中學(xué)八年級(jí)月考）下到關(guān)于梯形的敘述中，不正確的是（）A．等腰梯形的兩底平行且相等B．等腰梯形的兩條對(duì)角線相等C．等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等D．等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形【答案】A【分析】本題考查對(duì)等腰梯形性質(zhì)的理解.等腰梯形的性質(zhì)如下:等腰梯形兩腰相等;等腰梯形兩底平行;等腰梯形的兩條對(duì)角線相等;等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等;等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形.【詳解】由等腰梯形的性質(zhì)可知,等腰梯形的對(duì)角線相等,其在同一底上的兩個(gè)角相等,可知B、C不符合題意;同時(shí)等腰梯形關(guān)于兩底中點(diǎn)的連線成軸對(duì)稱(chēng),即可得到D不符合題意,而等腰梯形兩底平行但不相等,因此A符合題意.故選A.【點(diǎn)睛】此題考查等腰梯形性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于對(duì)性質(zhì)的掌握.例5．（2017·上海八年級(jí)期末）一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是（）A．梯形B．等腰梯形C．平行四邊形D．等腰梯形或平行四邊形【答案】D【解析】根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)，分析所給條件，選擇正確答案．解：A、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故A不正確；B、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故B不正確；C、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故C不正確；D、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故D正確．故選D．“點(diǎn)睛”本題考查了平行四邊形和等腰梯形的性質(zhì).考慮問(wèn)題時(shí)應(yīng)該全面考慮，不能漏掉任何一種情況，要求培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度.例6．（2019·上海上外附中）判斷：一組鄰角相等的梯形是等腰梯形（______）【答案】錯(cuò)誤【分析】根據(jù)題設(shè)畫(huà)出反例圖形即可.【詳解】解：反例：如圖，已知梯形，，，而梯形不是等腰梯形.故該命題是假命題，故答案為：錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性質(zhì)，舉出反例是解題的關(guān)鍵.例7．（2020·上海楊浦區(qū)·八年級(jí)期末）已知在梯形ABCD中，，，，那么梯形ABCD的周長(zhǎng)等于__________．【答案】20【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)梯形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：，，，，，，，，，，即，，，，，梯形的周長(zhǎng)，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查的是梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握含的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例8．（2020·上海嘉定區(qū)·八年級(jí)期末）已知一個(gè)梯形的中位線長(zhǎng)為5，其中一條底邊的長(zhǎng)為6，那么該梯形的另一條底邊的長(zhǎng)是__________．【答案】【分析】根據(jù)梯形中位線定理解答即可．【詳解】解：設(shè)該梯形的另一條底邊的長(zhǎng)是xcm，根據(jù)題意得：，解得：x=4，即該梯形的另一條底邊的長(zhǎng)是4cm．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形中位線定理，屬于基本題目，熟練掌握該定理是解題關(guān)鍵．例9．（2018·上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在等腰梯形中，∥，，⊥，則∠=________．【答案】60°【分析】利用平行線及∥，證明，再證明，再利用直角三角形兩銳角互余可得答案．【詳解】解：因?yàn)椋骸?，所以：因?yàn)椋?，所以：，所以；，因?yàn)椋旱妊菪危裕?，設(shè)：，所以，因?yàn)椋骸?，所以：，解得：所以：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．例10．（2019·上海上外附中八年級(jí)期中）在梯形中，，對(duì)角線，，，則梯形的面積為_(kāi)_________．【答案】24【分析】根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積公式即可求得答案．【詳解】解：如圖所示，梯形對(duì)角線垂直，則．故答案是：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積公式；對(duì)角線垂直時(shí)，四邊形可看成四個(gè)直角三角形的面積之和，可得對(duì)角線互相垂直的四邊形面積為對(duì)角線乘積的一半．例11．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)月考）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．（1）求梯形的中位線長(zhǎng)．（2）求梯形的面積．【答案】（1）8（2）32【分析】（1）過(guò)A作AE∥CD交BC于E，則四邊形AECD是平行四邊形，得AD＝EC，AE＝DC，證出△ABE是等邊三角形，得BE＝AB＝8，則AD＝EC＝4，即可得出答案；（2）作AF⊥BC于F，則∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面積公式即可得出答案.【詳解】解：（1）過(guò)A作AE∥CD交BC于E，∵AD∥BC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴AD＝EC，AE＝DC，∵AB＝DC，∴AB＝AE，∵∠B＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝8，∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，∴梯形ABCD的中位線長(zhǎng)＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；（2）作AF⊥BC于F，則∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，∴梯形ABCD的面積＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32.【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，梯形中位線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì).例12．（2020·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，CE⊥BF于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形EBCF是等腰梯形；（2）EF=1，求四邊形EBCF的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理和等腰梯形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使CG=EF，連接FG，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到FG=EC=BF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF//BC，BE=AB=AC=CF，∴四邊形EBCF是等腰梯形；（2）如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使CG=EF，連接FG，∵EF//BC，即EF//CG，且CG=EF，∴四邊形EFGC是平行四邊形，又∵四邊形EBCF是等腰梯形，∴FG=EC=BF，∵EF=CG，F(xiàn)C=BE，∴△EFB≌△CGF（SSS），∴，∵GC=EF=1，且EF=BC，∴BC=2，∴BG=BC+CG=1+2=3．∵FG//EC，∴∠GFB=∠BOC=90°，∴FH=BG=，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．例13.如圖，已知梯形ABCD中，BC是下底，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥CD，若梯形周長(zhǎng)是30cm，求此梯形的面積．【難度】★★【答案】．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=30°．∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴AB=AD∵BD⊥CD，∴∠DCB=60°，∴∠ABC=∠DCB，∴AB=CD．設(shè)AB=CD=AD=x，Rt△BCD中，∵∠DBC=30°，∴BC=2CD=2x，∴30=x+x+x+2x，解得：x=6．作AE⊥BC，Rt△ABE中，∵∠BAE=30°，∴BE=3，AE=．∴S=（AD+BC）AE=．【總結(jié)】本題考查梯形面積公式及等腰梯形性質(zhì)的綜合運(yùn)用．例14.如圖，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，AD=5，∠D=45°，CD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求BF的長(zhǎng)．【難度】★★【答案】5【解析】聯(lián)結(jié)CE∵EG垂直平分CD，∴EC=ED，∠ECD=∠D=45°，∴∠CED=90°，∵∠A=90°，AD∥BC，∴四邊形BAEC是矩形，∴BC=AE．設(shè)BC=x=AE，∴ED=EC=AB=5x∵∠FEA=∠GED=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE=x∴BF=BA+AF=5x+x=5．【總結(jié)】本題考查中垂線的性質(zhì)，等腰直角三角形，直角梯形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意用整體思想求出線段BF的長(zhǎng)．例15.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°，求證：AB⊥AC；若DC=6，求梯形ABCD的面積．【難度】★★【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【解析】（1）∵AB=CD，∴∠B=∠DCB=60°，∠BAD=∠D=120°∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°∴∠BAC=∠BAD∠DAC=120°30°=90°∴BA⊥AC；（2）∵AB=AD=DC，DC=6，∴CD=AD=AB=6在直角三角形ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=2AB=12作AE⊥BC，則AE=，∴S梯ABCD=．【總結(jié)】本題主要考查含30°的直角三角形性質(zhì)與梯形面積公式的綜合運(yùn)用．例16.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∠B=2∠E．求證：AB=DC．【難度】★★【解析】∵AC平分∠BCD∴∠BCA=∠ACD=∠DCB∵DE//AC，∴∠E=∠ACB=∠DCB∵∠B=2∠E，∴∠B=∠DCB∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB=CD【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)與角平分線的綜合運(yùn)用，注意對(duì)基本模型的總結(jié)運(yùn)用．例17.如圖，在等腰三角形ABC中，點(diǎn)D、E分別是兩腰AC、BC上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE、CD相交于點(diǎn)O，∠1=∠2．求證：梯形BDEC是等腰梯形．【難度】★★【解析】∵，∴∠DBC=∠ECB在△BCD與△ECB中，∠1=∠2，BC=BC∴△BCD≌△ECB，∴BD=CE∵AB=AC，∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED==∠ABC=∠ACB∴DE//BC，又∵BD與CE不平行∴四邊形BDEC是梯形，且BD=CE，∴梯形BDEC是等腰梯形【總結(jié)】本題考查等腰梯形判定定理的運(yùn)用，注意證明梯形的方法的總結(jié)．例18.如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A、B、C的坐標(biāo)分別為（14，0）、（14，3）、（4，3）．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P沿OA以每秒1個(gè)單位向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿OC、CB以每秒2個(gè)單位向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．（1）設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒，當(dāng)x等于多少時(shí)，四邊形OPQC為平行四邊形?（2）四邊形OPQC能否成為等腰梯形?說(shuō)明理由．【難度】★★【答案】（1）x=5；（2）不能．【解析】（1）由題可知：OC=5，BC=10，OA=14．∵BC//OA∴當(dāng)Q點(diǎn)在BC上，且OP=CQ時(shí)，四邊形OPQC是平行四邊形即2x5=x，解得：x=5；（2）作點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥OP與點(diǎn)F∵AO//BC，∴CE=QF當(dāng)OE=PF=4時(shí)，△OCE≌△PQF，此時(shí)四邊形OPQC為等腰梯形，即OP=OE+CQ+PF，∴x=4+（2x5）+4，解得：x=3（舍），∴四邊形OPQC不能成為等腰梯形．【總結(jié)】本題考查梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰梯形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意掌握輔助線的做法，以及數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的綜合運(yùn)用．例19.如圖，等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長(zhǎng)為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰AB的長(zhǎng)為x米．（1）請(qǐng)求出底邊BC的長(zhǎng)（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若∠BAD=60°，該花圃的面積為S米2，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量x的取值范圍，并求當(dāng)S=時(shí)x的值．【難度】★★★【答案】（1）BC=402x；（2）（），x=4．【解析】（1）等腰梯形ABCD中，AB=CD=x，∴BC=40xx=402x；（2）作BE⊥AD，CF⊥AD在Rt△ABE中，∵∠ABE=30°，∴AE=．同理FD=AE=，∴BE=CF=．∴EF=BC=402x，∴AD=40x∴=（），當(dāng)時(shí)，代入解析式，解得：x=4或（舍）∴當(dāng)S=時(shí)x的值為4．【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)與函數(shù)解析式的結(jié)合，注意面積公式中各個(gè)量的含義．例20.已知，一次函數(shù)的圖像與x軸，y軸，分別交于A、B兩點(diǎn)，梯形AOBC（O是原點(diǎn)）的邊AC=5，（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如果一個(gè)一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，且k≠0）的圖像經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式．【難度】★★★【答案】（1）C（13，4）或（19，4）或（16，5）；（2）或．【解析】由題可知：A（16，0），B（0，4）．當(dāng)OB∥AC時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（16，5），當(dāng)BC∥AO時(shí)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（13，4）或（19，4）；（2）∵一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，∴C點(diǎn)坐標(biāo)不能為（16，5），當(dāng)A（16，0），C（13，4）時(shí)，利用待定系數(shù)法可得解析式為：；當(dāng)A（16，0），C（19，4）時(shí)，利用待定系數(shù)法可得解析式為：．【總結(jié)】本題考查直角梯形性質(zhì)及一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，注意分類(lèi)討論，綜合性較強(qiáng)．例21.如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，∠A=90°，AB=6，AD=4，DC=3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→C→B方向移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在AB邊上移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路程為x，線段AQ的長(zhǎng)度為y，線段PQ平分梯形ABCD的周長(zhǎng)．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)P不在BC邊上時(shí)，線段PQ能否平分梯形ABCD的面積?若能，求出此時(shí)x的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【難度】★★★【答案】（1）；（2）x=3時(shí)，PQ平分梯形面積．【解析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則CD=AE=3，CE=4，可得：BC=5，所以梯形ABCD的周長(zhǎng)是18．∵PQ平分梯形ABCD的周長(zhǎng)，∴x+y=9，∵，∴，∴；（2）由題可知，梯形ABCD的面積是18．因?yàn)镻不在BC上，所以．當(dāng)3≤x＜4時(shí)，P在AD上，此時(shí)，∵線段PQ能平分梯形ABCD的面積，則有可得方程組，解得：或（舍）；當(dāng)4≤x≤7時(shí)，點(diǎn)P在CD上，此時(shí)∵線段PQ能平分梯形ABCD的面積，則有可得方程組，方程組無(wú)解，∴當(dāng)x=3時(shí)，線段PQ能平分梯形ABCD的面積．【總結(jié)】本題利用梯形的性質(zhì)，三角形的面積公式，建立方程和方程組求解，注意針對(duì)不同情況討論，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行計(jì)算．模塊二：輔助線知識(shí)精講解決梯形問(wèn)題常用的方法作高法：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中；②移腰法：使兩腰在同一個(gè)三角形中，梯形兩個(gè)下底角是互余的，那么一般會(huì)用到這種添輔助線的方式，構(gòu)造直角三角形；③延腰法：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)等腰三角形；④等積變形法：聯(lián)結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與下底延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形；⑤移對(duì)角線法：平移對(duì)角線，可以構(gòu)造特殊的圖形，如平行四邊形，如果是對(duì)角線互相垂直的等腰梯形，那么在平移的過(guò)程中，還可構(gòu)造等腰直角三角形，結(jié)合三線合一，求梯形的高等．例題解析例1.如圖，已知在梯形中，，，，垂足為，，則邊的長(zhǎng)等于（）A．20B．21C．22D．23【難度】★★【答案】D【解析】∵，，，∴BE=5．∵梯形中，，，，∴，故選D．【總結(jié)】本題主要考查等腰梯形性質(zhì)的綜合運(yùn)用．例2.已知梯形中，，，，，．求的長(zhǎng)．【難度】★★【答案】CD=8．【解析】作DE//AB，則四邊形ABED是平行四邊形．∴AD=BE=2，∠DEC=∠B=70°．在△DEC中，∠C=40°，∴∠EDC=180°40°70°=70°，∴CD=CE=BCBE=102=8．【總結(jié)】本題考查輔助線——做一邊的平行線，構(gòu)造平行四邊形．例3.如圖，梯形中，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)等于（）A．B．C．D．【難度】★★【答案】C【解析】分別過(guò)點(diǎn)F做FG//AD，F(xiàn)H//BC，分別交BA于點(diǎn)G，H可得平行四邊形DFGA與平行四邊形FCBH∴AG=FD=CF=BH=，∴GH=ba∵∠A+∠B=90°，∴可得直角△FGH，E是GH中點(diǎn)∴EF=，故選C．【總結(jié)】本題考查直角三角形中線性質(zhì)與梯形輔助線的添加．例4.已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于O．求證：CO=CD．【難度】★★【解析】作AF⊥BC，DE⊥BC，∵AD//BC，∴AF=DE．在Rt△ABC中，AB=AC，∴AF=．∵BC=BD，∴DE=．∴在Rt△BDE中，∠DBC=30°，∴∠BCD=∠BDC=75°∴∠DOC=∠DBC+∠ACB=75°，∴∠CDO=∠COD=75°，∴CD=CO．【總結(jié)】本題考查梯形的常用輔助線—做梯形的高，把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形，矩形的問(wèn)題，然后根據(jù)已知條件和三角形性質(zhì)解題．例5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BOC=60°，AC=10cm，求梯形的高DE的長(zhǎng)．【難度】★★【答案】cm．【解析】等腰梯形ABCD中，∵OB=OC，∠BOC=60°，可得等邊△OCB，∴∠DBC=∠ACB=60°∵AC=BD=10，∴在直角△BDE中，BE=，∴cm．【總結(jié)】本題考查梯形的相關(guān)計(jì)算，注意方法的運(yùn)用．例6.如圖，在梯形ABCD中，，，若AE=10，則CE=__________．【難度】★★★【答案】4或6．【解析】過(guò)點(diǎn)B作DA的垂線交DA延長(zhǎng)線于M，M為垂足,延長(zhǎng)DM到G，使得MG=CE，聯(lián)結(jié)BG，可得四邊形BCDM是正方形．∴BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BMG，∴∠MBG=∠CBE∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10設(shè)CE=x，則AM=10x，∴AD=12（10x）=2+x，DE=12x．在Rt△ADE中，由AE2=AD2+DE2，解得：x=4或x=6．故CE的長(zhǎng)為4或6．【總結(jié)】本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，考查了全等三角形的判定和對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，注意輔助線的添加方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．模塊三：中位線知識(shí)精講三角形中位線的定義和性質(zhì)：1.定義三角形的中位線：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，(強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別)；2.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.3.梯形中位線定理：梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半.【要點(diǎn)點(diǎn)撥】經(jīng)過(guò)三角形的一邊中點(diǎn)作另一邊的平行線，也可以證明得到的平行線段為中位線.同樣地，從梯形的一腰中點(diǎn)作底的平行線，可以證明得到的平行線段為中位線.如果把三角形看成是一個(gè)上底長(zhǎng)度為零的特殊的梯形的話，那么三角形中位線定理就成為梯形中位線定理的特例了．例題解析例1（1）順次聯(lián)結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是；（2）順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是；（3）順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；（4）順次聯(lián)結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；（5）順次聯(lián)結(jié)菱形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；（6）順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；（7）順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；（8）順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；（9）順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是．【難度】★【答案】（1）平行四邊形；（2）平行四邊形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形；（6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形．【解析】利用三角形中位線性質(zhì)可證明．【總結(jié)】本題考查中位線性質(zhì)和四邊形判定方法，注意對(duì)相關(guān)規(guī)律的總結(jié)．例2．（2019·上海浦東新區(qū)·八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，AD=BD，AE=EC，BC=6，則DE=（）A．4 B．3 C．2 D．5【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中位線的定理即可求出答案．【詳解】∵AD=BD，AE=EC，∴DE是△ABC的中位線，

∴BC=2DE，∴DE=3，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形的中位線定理，本題屬于基礎(chǔ)題型．例3．（2018·上海市清流中學(xué)八年級(jí)月考）順次連接等腰梯形各邊中點(diǎn)所圍成的四邊形是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形【答案】C【分析】由E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，得出EF，HG，F(xiàn)G，EH是中位線，再得出四條邊相等，根據(jù)“四條邊都相等的四邊形是菱形”進(jìn)行證明．【詳解】如圖所示，因?yàn)镋、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、BD，因?yàn)镋、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，所以EF=AC，同理可得HG=AC，F(xiàn)G=BD，EH=BD，又因?yàn)榈妊菪蔚膶?duì)角線相等，即AC=BD，因此有EF=FG=GH=HE，所以連接等腰梯形各中點(diǎn)所得四邊形為菱形.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查三角形中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫(huà)出圖形.例4．（2019·上海上外附中）梯形兩條對(duì)角線互相垂直，且長(zhǎng)度分別為，，則梯形的中位線長(zhǎng)為_(kāi)________【答案】【分析】作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，得到直角三角形，和平行四邊形，運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理求得的長(zhǎng)度，依據(jù)梯形中位線等于上下底和的一半即可.【詳解】解：如圖，梯形,,,,，作交延長(zhǎng)線于點(diǎn),∴四邊形是平行四邊形，,∴,,,∴,∴梯形的中位線長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作平行線把上下底的和看成一個(gè)整體.例5．（2019·上海上外附中）如圖，四邊形中，，分別為，中點(diǎn)，且，，則的長(zhǎng)度的范圍是___________【答案】【分析】連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接，得到是的中位線，是的中位線，依據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出，，分，不平行時(shí)，兩種情況討論，依據(jù)三角形三邊關(guān)系即可.【詳解】解：連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接，又∵，分別為，中點(diǎn)，∴是的中位線，是的中位線，∴，，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)不平行時(shí)，∵，∴；綜上所述：，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊大小關(guān)系，構(gòu)造三角形的中位線、分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.例6.（2017·上海閔行區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿(mǎn)足的一個(gè)條件是______．【答案】AD=BC．【解析】菱形的判別方法是說(shuō)明一個(gè)四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對(duì)角線互相垂直平分．據(jù)此四邊形ABCD還應(yīng)滿(mǎn)足的一個(gè)條件是AD=BC．等．答案不唯一．解：條件是AD=BC．∵EH、GF分別是△ABC、△BCD的中位線，∴EH∥=BC，GF∥=BC，∴EH∥=GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．要使四邊形EFGH是菱形，則要使AD=BC，這樣，GH=AD，∴GH=GF，∴四邊形EFGH是菱形．例7.（2018·上海寶山區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，將?ABCD中，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點(diǎn)，則EF為_(kāi)____．【答案】4【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等，可得BC＝AD＝8，又由點(diǎn)E、F分別是BD、CD的中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD＝8，∵點(diǎn)E、F分別是BD、CD的中點(diǎn)，∴EF＝BC＝×8＝4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì)．例8．（2017·上海徐匯區(qū)·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，若DE的長(zhǎng)是6，則AC=____．【答案】12．【分析】根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，

∴AC=2DE=12，

故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．例9．（2019·上海上外附中）如圖，矩形中，，，點(diǎn)為對(duì)角線中點(diǎn)，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______【答案】18【分析】根據(jù)題意可知OM是的中位線，所以O(shè)M的長(zhǎng)可求；根據(jù)勾股定理可求出AC的長(zhǎng)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出BO的長(zhǎng)，進(jìn)而求出四邊形ABOM的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵矩形中，，，

，為AC的中點(diǎn)，M為AD的中點(diǎn)，

為的中位線，，

，

，

四邊形ABOM的周長(zhǎng)，

故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)，題目的綜合性很好，難度不大.例10.（1）點(diǎn)、、分別是三邊的中點(diǎn)，的周長(zhǎng)為10，則的周長(zhǎng)為；（2）三條中位線的長(zhǎng)為3、4、5，則的面積為．【難度】★【答案】（1）20；（2）24．【解析】（1）．∵三條中位線的長(zhǎng)為3、4、5，且，∴可知△ABC是直角三角形，∴．【總結(jié)】本題考查三角形中位線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．例11.如圖，在中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在內(nèi)，AE平分，點(diǎn)F在邊AB上，EF//BC．求證：四邊形BDEF是平行四邊形；線段BF、AB、AC之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系?并證明．【難度】★★【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2BF+AC=AB．【解析】（1）延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)G∵AE⊥CG，AE平分∠BAC∴△AEG與△ACE中，∠GAE=∠CAE，AE=AE，∠AEG=∠AEC∴△AGE≌△ACE∴AG=AC，即△AGC是等腰三角形，∴E是GC的中點(diǎn)．∵D是CB的中點(diǎn)，∴DE//BA，∵EF//BD，∴四邊形BDEF是平行四邊形；（2）∵ED是△BCG的中位線，∴ED=．又∵平行四邊形BDEF，∴ED=BF，∴BF=，即BG=2BF．∵AG=AC，∴2BF+AC=BG+AG=BA．【總結(jié)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，用中位線的性質(zhì)解題．例12.如圖所示，在梯形ABCD中，，對(duì)角線交于點(diǎn)O，MN是梯形ABCD的中位線，，求證：AC=MN．【難度】★★【解析】∵AD//BC，∴∠ADO=∠DBC=30°．∴在Rt△AOD和Rt△BOC中，OA=AD，OC=BC，∴AC=OA+OC=．∵M(jìn)N是梯形ABCD的中位線，∴MN=，∴AC=MN．【總結(jié)】本題考查梯形中位線的性質(zhì)和直角三角形中性質(zhì)的綜合運(yùn)用．例13.如圖所示，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分，交BC于點(diǎn)E，交OB于點(diǎn)F，求證：CE=2OF．【難度】★★【解析】取AE的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)OG∵正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，∴OG//CE，CE=2OG∴∠AOG=∠ACB=45°，∠GOB=∠OBC=45°．∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=22.5°，∴∠EGO=∠EAC+∠AOG=22.5°+45°=67.5°，∴△OFG中，∠OFG=180°67.5°45°=67.5°，∴∠OFG=∠EGO，∴OG=OF，∴CE=2OF．【總結(jié)】本題考查三角形中位線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意利用角度得到等腰三角形．例14.如圖1所示，已知BD、CE分別是的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連接FG，延長(zhǎng)AF、AG，與直線BC相交，易證．（1）若BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線（如圖2）；（2）BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線（如圖3），則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明．【難度】★★★【答案】（1）（2）．【解析】（1）圖2中，分別延長(zhǎng)AG、AF交BC于H、K，易證△BAF與△BKF全等．∴AF=KF，AB=KB，同理可證AG=HG，AC=HC，∴FG=又∵HK=BKBH=AB+ACBC，∴；（2）圖3中，分別延長(zhǎng)AG、AF交BC或延長(zhǎng)線于H、K易證△BAF與△BKF全等∴AF=KF，AB=KB，同理可證AG=HG，AC=HC∴FG=又∵HK=BHBK=BC+ACAB∴．【總結(jié)】本題考查直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，角平分線性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．例15.如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E、F分別是CD、AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD、BC，分別交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H、G；求證：．【難度】★★★【解析】聯(lián)結(jié)AC，取AC中點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)EM、FM∵E是CD的中點(diǎn)，M是AC中點(diǎn)∴EM=，EM//AD∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)∴MF//BC，MF=∵AD=BC，∴EM=MF，∴∠MEF=∠MFE∵EM//AH，∴∠MEF=∠AHF，∵FM//BG，∴∠MFE=∠BGF．∴∠AHF=∠BGF【總結(jié)】解題此題的關(guān)鍵是掌握分析題中的各種信息條件，此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行第三邊且等于第三邊的一半．隨堂檢測(cè)1.有兩個(gè)角相等的梯形是（ ）A．等腰梯形B．直角梯形C．一般梯形D．直角梯形或等腰梯形【難度】★【答案】D【解析】如果兩個(gè)相等的角是同一底上，則梯形是等腰梯形，