高一數(shù)學必修一分類講解：函數(shù)

主編：賈海琴老師寧永輝老師

文檔介紹：本文檔是賈海琴老師(十年高中數(shù)學教學經(jīng)驗)與寧永輝老師(十三年高中數(shù)學教學經(jīng)驗)合

作編寫而成，文檔中很多內容立意新穎，難點問題都完成簡單化處理操作。根據(jù)兩名老師十幾年的教學經(jīng)

驗，總結了上千名學生在學習高一函數(shù)部分的問題，最終選擇最佳的方式編寫的原創(chuàng)資料。相信這一份文

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文檔的內容介紹：第一模塊：基本初等函數(shù)的圖像與性質；第二模塊：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)；第三模塊：

函數(shù)的定義域；第四模塊：分段函數(shù)的計算；第五模塊：求函數(shù)解析式；第六模塊：函數(shù)的奇偶性；第七

模塊：函數(shù)的周期性與對稱性；第八模塊：函數(shù)的單調性。

第一模塊：基本初等函數(shù)的圖像和性質

一、一次函數(shù):

1、通式：f(x)=kx+b；

2、圖像：直線；

?k>0,b<0

3、單調性：

?k>Q,x^R,f(x)單調遞增；?k<O,xeR,f(x)單調遞減;

4、正比例函數(shù)：

(1)、通式:/(x)=kx；

(2)、正比例函數(shù)恒過點(0,0)；

(3)、圖像：

①%>()②％<()

(4)、單調性：

①左>0”H,/(X)單調遞增；②左<0”RJ(x)單調遞減;

二、二次函數(shù)：

1、通式：/(x)=tzj?+bx+c；

2、開口方向：

①“>(),拋物線開口向上；②。<0,拋物線開口向下；

3、與大軸的交點個數(shù)：

計算：\=b~-4ac；

①當A>0時，二次函數(shù)與x軸有兩個交點；

②當△=()時，二次函數(shù)與x軸有一個交點；

③當△<()時，二次函數(shù)與x軸沒有交點；

4、圖像:

0a>0,A>0②a>0,A=0③。>0,A<0

@a<0,A>0⑤a<0,△=0@a<0,A<0

5、二次函數(shù)單調性:

①當。>0時：

bb

Xe(YO,---),/(X)單調遞減；X€單調遞增；

la2a

②當a<0時：

bb

XG(^0,-—),ZU)單調遞增；X€(--,-K?),/(X)單調遞減；

2a2a

6、兩種特殊的運算：

(1)、當a<0,A<0時，xeR,/(x)恒小于0；

(2)、當a>0,A<0時,xeR,/(x)恒大于0；

題型一：已知函數(shù)/(x)=aV-2ad+%-1,在定義域xeR上單調遞增，求參數(shù)a的取值范圍；

【解析】:求導函數(shù)：,r(x)=3aW—4ax+l；

因為：函數(shù)/(x)在定義域xeR上單調遞增；

所以：導函數(shù)/'(x)在xeR上恒大于0；

3

3。>0=>。>0①；A=(Ta)?-4x3。x1=i6a2-i2a<0=>0<tz<—(2)；

4

3

所以：ae(0-)

4o

【跟蹤訓練】：

①、已知函數(shù)/(外="二主，在定義域xeR上單調遞增，求參數(shù)a的取值范圍；

e

②、已知函數(shù)/(x)=eT(3af—2x),在定義域xeK上單調遞減，求參數(shù)a的取值范圍；

7、二次函數(shù)在閉合區(qū)間上的值域：

方法：第一步：求對稱軸；

第二步：判斷對稱軸是否在區(qū)間內；

第三步：如果對稱軸不在區(qū)間內，在區(qū)間的兩個端點處取得兩個最值；如果對稱軸在區(qū)間內，在對稱軸處

取得一個最值，在區(qū)間距離對稱軸比較遠的另外一個端點處取得一個最值。

題型二：已知二次函數(shù)/(X)=3X2-6X+1,求函數(shù)/(x)在區(qū)間xe[0,3]上的值域；

【解析】：求對稱軸：X=--=1;

2x3

因為：le[0,3]；所以：x=l時取得一個最值；

因為：1距離0為1個單位，1距離3為2個單位；

所以：尤=3時取得一個最值。

/(l)=3xl2-6xl+l=-2；/(3)=3X32-6X3+1=10；

所以：函數(shù)/(%)在區(qū)間x6[0,3]上的值域為/(x)e[-2,10]。

【跟蹤訓練】：

①、已知二次函數(shù)/(x)=—V+x—1,求函數(shù)/(x)在區(qū)間xe[0,2]上的值域；

②、已知二次函數(shù),f(x)=，—2x—3,求函數(shù)/(x)在區(qū)間xw(2,3)上的值域;

8、一元二次不等式的解法：

例題三：①解不等式：2/一5工+2〉0

【解析】：解方程：2/—5%+2=0=內=2,￡=g;

畫出二次函數(shù)/(幻=2/一5%+2的圖像：

1

930

2x~-5%+2>0n/(x)>0n元￡(^,5)u(2,-KO)O

②解不等式：d+x+3>0

【解析】：因為：△=『一4x3xl<0；所以：方程無？+x+3=0無解;

畫出二次函數(shù)/(x)=x2+X+3的圖像如下：

x2+x+3>0=>f(x)>0=>xe7?；

【跟蹤訓練】：

①解不等式：X2-3X+2<0；

②解不等式：-X2+3X+4>0；

③解不等式：2f—3X+540；

④解不等式：-X2+5X-7>0；

三、反比例函數(shù)：

1、通式：/(X)=￡(ZHO)；

x

2、反比例函數(shù)所在象限：

①當/>0時:

x>0=>/(x)>0,圖像在第一象限；x<0=/(x)<0,圖像在第三象限;

當女>()時，反比例函數(shù)/(x)=A在第一象限，第三象限。

X

②當左<()時：

x〉0n)(x)<0,圖像在第四象限；x<0n/(x)〉0,圖像在第二象限;

k

當左<0時，反比例函數(shù)/(x)=—在第二象限，第四象限。

X

3、圖像：雙曲線。

①%>()②％<()

2

題型四：解不等式——>3；

X—1

【解析】：解法一：

當X—1>()=>X>1時：

25

----->3=>2>3(x-1)n2>3x—3=>x<—

x—1---------------------------------------------3

所以：xe(l,1)；

當x—1<0=>xvl時:

25

——>3n2<3a-l）n2<3x—3nx>-

x—13

所以：xe0；

綜合以上所述：

解法二：

22

設工一1=，，則——>3=>->3

X—1t

2

畫出反比例函數(shù)/（/）=-圖像如下：

t

2

所以：一>3n/(f)>3nfe

【跟蹤訓練1

①解不等式：----->3；

2x—1

-3

②解不等式：——<1;

1-2%

5、求反比例函數(shù)的值域：

題型五：已知函數(shù)/。）=一［,求函數(shù)/（九）在xc（—1,5）的值域。

【解析】：設，=工+1,天￡（一1,5）=>/￡（0,5）；

畫出反比例函數(shù)/⑺=1的圖像：

所以：re(0,5),函數(shù)/(x)在xe(—l,5)的值域為/(x)w(g,T8)。

【跟蹤訓練】：

2

①已知函數(shù)/(%)=——求函數(shù)〃幻在工￡(—5,3)的值域。

一次+2

②已知函數(shù)/(x)=W-,求函數(shù)/1*)在》€(wěn)(—3,3)的值域。

2x4-1

四、對勾函數(shù)：

1V通式：/(x)=or+—,(6f>0,/?>0)；

X

2、基本不等式：

?a>0,b>0=>a+b>24ab

證明：因為：a+b-24^=(4a)2+(4b)2-2-4a-Jb=(4a-4b)2>0；

所以：a+h>2y[abo

②av0,bv0=Q+Z?<—2>fah

證明：因為：a<0,b<0^>-a>0,-Z?>0；

所以：根據(jù)基本不等式①得到：(—a)+(—b)N2?J(_〃)?(—b)=(—a)+(—b)22.；

—(ci+b)>2yl~ah^>a-{-b<-2y[abo

3、分析對勾函數(shù)：

①當x>0時：

x>0nax>0,2>()nax^2>2ax-—nax+—>2y[ab

xxVxx

當：ax=2=x=2是,函數(shù)/*)=數(shù)+2取得最小值；

x\ax

所以：Xe(0,J-),/(%)(j-,+oo),/(x)T；

Vava

②當x<0時:

x<0cix<0,—<0==>axH—W—2

xx

當：ax=2=x=-』2是,函數(shù)/(幻=奴+2取得最大值;

x\ax

所以：(―00,—J-)J(x)1\尤￡(-J—,O),/(X)J;

VaVa

4、對勾函數(shù)的單調性：

x￡(-T,%e(-J—,0),/(x)J

vaVa

5、對勾函數(shù)的圖像：

五、指數(shù)函數(shù)：

1、通式：/(x)=a*,(a>0,aw1)；

2、指數(shù)函數(shù)恒過(0,1)點。

3、定義域：xeR,值域：xe(0,+co)；

4、單調性：

①aw(0,1),xeR,f(x)單調遞減；

②ae(l,+oo),xeR,/(x)單調遞增；

5、圖像：

①ae(l,+oo)②ae(0,1)

①==1；

X

2

②f(x)=Xk=Vx；

7、五種指數(shù)基本運算式：

①優(yōu)?標=優(yōu)+>；②③(優(yōu))'=優(yōu)、'；

ay

④小〃=(的；⑤￡=鏟；

8、解指數(shù)函數(shù)不等式：

題型五：解不等式：2「2、>3；

【解析】：因為：3=2即3；

所以：2Tx>3=>2Tx>?密3；

因為：/(x)=2'是一個單調遞增函數(shù)；

所以：l-2x〉log23=>-2x>log23-l=>x<^~，電3；

【跟蹤訓練】：

①解不等式：2243<4;

②解不等式：(；)1<5；

六、對數(shù)函數(shù)：

1、通式：/(x)=logax,(a>O,a^\)；

2、對數(shù)函數(shù)恒過(1,0)點;

3、定義域：xe(0,+oo)；值域：f(x)eR；

4、單調性：

①ae(0,1),xe(0,+oo),/(x)單調遞減；

②aG(l,+8),xe(0,+8),/(x)單調遞增；

5、圖像：

①aw(0,1)②ae(1,+co)

/(x)

6、對數(shù)函數(shù)的兩種特殊形式：

①f(x)=lgx=k)giox；

②f(x)=Inx=logx,(e=2.7)；

7、對數(shù)函數(shù)的基本運算公式：

X

①k>&x+log“y=log“xy；②log”x-log“y=log“一；③log“爐=ylog“x；

y

④］。gxy=1og〃)；⑤IogQ」ogvx=l;⑥log、x=-log“x；

log,,x)

x

⑦logvy=log,,y"；⑧x=log“a='。

證明：①設：log“x=m=>x=a"；log,y=n=>y=a"；

左邊：log“x+log“y=m+〃；

右邊：10&肛=108“(4'?。")=10&。'"+"=m+〃；

②設：108》=加=》=〃"/08y=〃=>y=a"；

左邊：lo&x-lo&y=；

ra'"

右邊：log”一=log“二=log?a"-"=機一〃；

ya

③設：log,x=m=x=a"'；

右邊：y\ogax^ym；

ymy

左邊：lo&x=log,,(a)=log(,a""=my；

④設：log,x=m=x=a"'』o&y=n^>y=an；

右邊：0,

log"Xrn

〃1?一一n

左邊：log*y=loga?a"=log",,a"'=loga,?(a")"=—；

⑤因為：log*y=：°g"'Jog、,x=X;

log“xlog“y

所以產器^器1j

log“Xlog?X1.

⑥log。，X==-log,x

log"'f

?log?ya=alogy=a--logy=logy；

arr

⑧l(xiāng)o&ax=x

mlagaXn

設：Iogflx=m=>x=a\a=a'=x；

8、解對數(shù)函數(shù)不等式：

題型六：解不等式：log21—2x<3；

【解析】：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的幀數(shù)（上底）大于0得到：1一2%>0=犬<，①;

2

3

因為：3=log22=log28；

所以：log21-2x<3=>log21-2x<log28；

因為：對數(shù)函數(shù)/（X）=lOg2X是一個單調遞增的函數(shù)；

7

所以：1—2x<8=x>—②

2

71

由①②綜合得到：X,—）o

22

【跟蹤訓練】：

①解不等式：log］（l—2X）>L；

22

②解不等式：log3（9—/）<1；

③解不等式：log2（l—2x）>log2（l+x）；

④解不等式：logi(2x+l)<log1(l—2x)

22

第二模塊：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

第一部分：指數(shù)函數(shù)知識點精講

一、指數(shù)函數(shù)的基本性質：

9、通式：/(x)=",(“>(),1);

為什么對底數(shù)。有。>0且的限制？

【分析】：①例如：當。=一2時，/(x)=(—2)、

/(D=-2J⑵=4,/(3)=-8,/(4)=16,/(5)=-32,/(6)=64...…

當自變量x取整數(shù)時，函數(shù)值/(x)的值在正負之間亂跳，如果自變量為實數(shù)時，我們將無法研究函數(shù)值

的變化規(guī)律，這樣就不符合我們研究函數(shù)的意義；

所以：/(?=優(yōu)中的底數(shù)。不可以小于0。

②例如：當。=1時，/(x)=ax=F；

因為：1的任何次方都等于1；所以：/(x)=6!1=1'=>/(x)=l；

因為：函數(shù)/(X)變成了一條平行于x軸的直線，自變量變化時，函數(shù)值不變，和我們研究的其他指數(shù)函

數(shù)的性質完全不同；

所以：。不等于1。

10、指數(shù)函數(shù)恒過(0,1)點；

因為：/(0)=?°,任何數(shù)的0次方都等于1；

所以：f(0)=a°=l,指數(shù)函數(shù)〃幻=罐恒過(0,1)點。

11、兩種特殊的指數(shù)：

①八無)=「=二；

a

例：(了=}=3;g=*=5-2；

3

②/(%)=?'=yfa；

12、指數(shù)函數(shù)/(公=優(yōu)的定義域，值域：

①定義域：xwR；

②值域：xG(0,+℃)；

【分析】：/(x)=o\當x>0時，一個大于。的數(shù)任何正次方都大于0；當x<0時，一個數(shù)的負次方

等于這個數(shù)的正次方分之一，函數(shù)值也大于0；當x=()時，函數(shù)值等于1,函數(shù)也大于0,所以：當xeR

時，函數(shù)/(x)=ax的值域為(0,+8)。

13、單調性：

①ae(0,1),xeR,/(x)單調遞減；

②aw(l,+oo),xeR廳(x)單調遞增；

【分析】：自變量x增大到x+1時：函數(shù)值/(x+l)=優(yōu)4=優(yōu)S；

①當aw(0,l),根據(jù)一個數(shù)乘以純小數(shù)(也就是(0,1)區(qū)間上的數(shù))，函數(shù)值變小得到：優(yōu)+1<優(yōu)；

/(X+1)</(%)=>XG7?,/(X)單調遞減；

②當ae(l,+8),根據(jù)一個數(shù)乘以大于1的數(shù)，函數(shù)值變大得到：。句>優(yōu)；

/(x+l)>/(x)nxe氏/(x)單調遞增；

14、圖像：

根據(jù)以上的五點性質，可以得到指數(shù)函數(shù)的兩種圖像如下：

①ae(l,+oo)②ae(0,1)

15、五種指數(shù)基本運算式：

①就4=匹；

【證明】：因為：優(yōu)指的是有x個。相乘；優(yōu)指的是有y個a相乘;

所以：優(yōu)?〃一共有x+y個a相乘；ax-ay^ax+y.

例：3^-32=3X+2；(-)3-22=4--22=2-3,22=2-3+2=2-1=-；

2232

②工=產；

ay

【證明】：方法一：因為：優(yōu)指的是有x個。相乘；加指的是有y個。相乘；

所以：工指的是從x個a相乘約掉y個。相乘，剩余X-)，個y個a相乘；工=優(yōu)7。

aya

方法二：—^ax--=ax-a-y=

ayay

例:*=丁=記

2)F

③(優(yōu)尸=吟

【證明】：（優(yōu)>=優(yōu)?，?…???，?優(yōu)（一共有y個優(yōu)相乘）

=。a?〃）?...?（a??????〃）?（〃?a?.????a）（每一個中有尤個a）

二?！罚ㄒ还灿衳y個。相乘）

ii

例：(")"=a"=a"?=(優(yōu)y；(3')2x=32x=32=V3；

④優(yōu)?〃=(〃，；

【證明】：a*?bx=(a?a??…a?d)?(b?b,.....-b-b)

=(ab)?(ab)??(ab)?(ab)

=(ab)x

例：3,?d)r=3*?上=3,?2'=(3x2『=6'

二、解指數(shù)函數(shù)不等式：

例一：解不等式:2'-2X>3；

【解析】：因為：log21是一個單調遞增的函數(shù);

log；3-1

所以：2『2'>3=>log21-2'>log3=>l-2x>log3n-2x>log3-l=>x<

2222-2

例二：解不等式：（；產T44；

【解析】：因為：log】x是一個單調遞減的函數(shù)；

2

所以：d產T<4=>log,（-）3A-1^logI4=>3x-l>-2=?3x>-l=>x>一一；

22223

【跟蹤訓練】:

①解不等式：22t-3>8；②解不等式:「*<5；

③解不等式：3，-*<9；④解不等式：(；)i42；

【跟蹤訓練詳細解答】：

①解不等式：22X-3>8；

【解析】：因為：/(x)=log2X是一個單調遞增的函數(shù)；

所以：log222i>log28=>2x-3>3=>2x>6=>x>3；

所以：不等式的解為xe[3,+oo)；

②解不等式：(g)i<5；

【解析】：因為：/(X)=10g1X是一個單調遞減的函數(shù)；

2

所以：log](-)J>log,5=>l-x>log15n-x>log|5-l=>x<l-log15；

22222

所以：不等式的解為xe(—8,1—log15)；

2

③解不等式：3*~<9；

【解析】：因為：/(x)=log3X是一個單調遞增的函數(shù)；

22

所以：log33'f<log39=>X-%<2^>X-X-2<0=>-1<%<2；

所以：不等式的解為xw(-1,2)；

④解不等式：g)i?2；

【解析】：因為：.f(x)=log1X是一個單調遞減的函數(shù)；

所以：log[(')iT>log,2=>l-x>log)2n-x2log12-l=>x<l-log12；

33333

所以：不等式的解為XG(—8,1—lOg[2]；

3

第二部分：對數(shù)函數(shù)知識點精講

一、對數(shù)函數(shù)的基本性質：

1、對數(shù)函數(shù)的通式：/(x)=log“x(。>0且。工1)

2、對數(shù)意義：/(x)=logflx,其中X成為上底，。成為下底；

對數(shù)的函數(shù)表示的是上底是下底的多少次方。

3

例：lo&9=log332=2；log2-=log22-=-3；

o

3、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關系：

指數(shù)函數(shù)/(x)=a%自變量表示次數(shù)；應變量表示乘方；

對數(shù)函數(shù)/(x)=log“x：自變?表示乘方；自變量表示次數(shù)；

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的自變量與應變?在含義上做了調換，自變量與應變量做了調換之后的兩個函數(shù)的單

調性是相同的。所以指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)單調性是相同的。

4、對數(shù)函數(shù)的定義域，值域：

定義域：xe(0,+oo)；

值域：/(%)€/?;

5、對數(shù)函數(shù)的單調性：

當。6(0,1)時：xw(0,+8),/(x)單調遞減；

當ae(l,+oo)時：xe(0,+8),/(x)單調遞增；

6、對數(shù)函數(shù)恒過(0,1)點；

【分析】：/(l)=log,,l；因為：1是任何數(shù)的0次方；

所以：/(1)=10§(,1=0；對數(shù)函數(shù)/(x)=log“x恒過(0,1)點。

7、對數(shù)函數(shù)的圖像：

根據(jù)對數(shù)函數(shù)以上六點的性質，可以知道對數(shù)函數(shù)的圖形如下：

①aG(0,1)②ae(l,+oo)

/(x)

/(X)

8、兩種特殊的對數(shù)函數(shù)：

①/(x)=Inx=log,x(e?2.7)

@/(x)=lgx=logI0x

9、對數(shù)基本運算公式：

①log"X+log〃y=log“xy；

；

【證明】：設：lo&x=m=x=a"',l0gbyn=>y=a"

左邊：lo&x+log“y=加+〃；

右邊：log,Ay=log"(a"'?a")=lo&a'"+"=m+n；

JQ

②log〃龍一logay=log”一；

y

【證明】：設：log,x=m=x=〃",log'yn=>y=an；

左邊：10gHx-k>&y=，篦一〃；

xa'"

右邊：log”三=1。&1=1。&/'-"=機—，

ya

③log?x"=ylog“x；

【證明】：設：Iog?x=/nnx=〃"；

右邊：y\o%ax=ym\

左邊：log,xv=log"(a"')''=log,d，v-m

④]ogXy=^^；

1-

Q〃

【證明】：設：log,x=mnx=a"',10gHy〃=y=；

右邊：垣2」；

log"xm

tn——〃

左邊：log、,y=log?an=log?am=log?(am)m=—；

m

⑤log*y」ogvx=l；

【證明】：因為：log,y=3^),logyX=g&3；

log“％1。&y

所以：log,"log、,x=：og〃--*x=］；

1。瓦為iog“y

⑥log,x=-k)g"X；

y

.,,log“xlog“X1.

r【證XR明n】：logX=-_%=—J=-log?X

vlog“ayy

⑦log,y=log""；

【證明】：log、,,=alog,,y=a--logvy=logvy；

⑧x=log“ax=a'08"”。

【證明】：證明：lo&a'=x

設：k)g“x=m=x=a"'；"8"=a"'=x；

二、解對數(shù)函數(shù)不等式：

例一：解不等式：log2。—x)>2；

【解析】：因為：/(x)=log2X是一個單調遞增的函數(shù)；2=log222=log24；

所以：log2"-x)>2=>log2(l-x)>log24=>l-x>4=>-x>3=>x<-3；

因為：對數(shù)函數(shù)上底大于0；所以：1一%>0n—x>-lnxvl；

所以：不等式的解為：xc(—8,-3)。

例二：解不等式：log1(3x+l)22；

2

11

【解析】：因為：/(x)=logIX是一個單調遞減的函數(shù)；2=log|(一)02=log「；

52224

1131

所以：log1(3x+1)22log.(3x+1)>log.—3尤+1<—3xv—x<—；

2224444

因為：對數(shù)函數(shù)上底大于0；所以：3尤+l>0n3x>—l=>x>—1；

3

所以：不等式的解為：

例三：解不等式：Iog3(l+2x)<log3(x-l)；

【解析】：因為：/(X)=lOg3X是一個單調遞增函數(shù)；

所以：log3(l+2x)<log3(x-l)=>l+2x<x-l=^>x<-2；

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的上底大于0得到：

①1+2x>0=>2x>—1nx>—；

2

②x—1>0=>x>1；

所以：不等式的解為：XE0o

【跟蹤訓練】：

①解不等式：logi(l+x)Z2②解不等式：log3，-8x)>2

③解不等式：Iog2（l+x）<log2（l—x）④解不等式：log?—x2）Zlog|（x2+x）

22

【跟蹤訓練詳細解答】：

①解不等式：logi(l+x)N2；

3

11

92

【解析】：因為：對數(shù)函數(shù)/(x)=log]X是一個單調遞減的函數(shù)；2=log,(-)=logl-；

533§9

??8

所以：108|(1+九)22=>108](1+刀)21081人=1+》4八=>34一工；

333999

因為：對數(shù)函數(shù)上底大于0;

所以：l+x>0nx>-l；

Q

所以：不等式的解為xe(-1,一§]；

②解不等式：log3(V—8x)>2；

2

【解析】：因為：對數(shù)函數(shù)/(x)=log3X是一個單調遞增函數(shù)；2=log,3-log39；

所以：

2222

log3(x—8x)>2=>log3(x—8x)>log39=>x—8x>9=>x—8x—9>0=xe(-oo,—l)u(9,+oo)；

因為：對數(shù)函數(shù)上底大于0；

所以：x2—8x>0=xe(-oo,0)u(8,+oo)；

所以：不等式的解為xe(—8,—l)u(9,+oo)；

③解不等式：Iog2(l+x)<log2(l—x)；

【解析】：因為：對數(shù)函數(shù)/(x)=log2x是一個單調遞增函數(shù)；

所以：log2(l+x)<log2(l-x)=>l+x<l—x=2x<0=x<0；

因為：對數(shù)函數(shù)上底大于0;

所以：0l+x>0=>x>-l；②l-x>0n-x>-lnx<l；

所以：不等式的解為X€(T,0)；

④解不等式：Iogi(l-x2)ziog|(x2+x)；

22

【解析】：因為：〃X)=10g1X是一個單調遞減函數(shù);

2

所以：log](1—X2)之logj(x~+x)1—X"<X~+X—2x~一尤+1<0X￡(—00,—1)u(—,+oo);

I22

因為：對數(shù)函數(shù)上底大于0;

所以：01—X2>0=>%€(—1,1)；<2)X2+X>0=>XG(―GO,—1)u(0,+oo);

所以：不等式的解為xe(',D。

第三部分：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)高考試題講解

一、選擇題：

1、【2009年高考文科數(shù)學全國II卷】設a=lge,人=(lge)2,c=lg&,貝IJ()

Ava>b>cB、a>c>hC、c>a>hD、c>b>a

【解析】：因為：對數(shù)函數(shù)/(x)=lgx是一個單調遞增的函數(shù);

所以：lgl<lge<lgji6no<lge</；

1

0<lge<—=>lge>(lge9)①；

c=lgVe=lge^=—Ige,lge<lgV10=>1g￡?<-=>Ige-Ige<—Ige=>0ge)2<—\ge=>b<c@；

；lge<lge=c<。③;

所以：a>c>h

【答案】B

2、【2009年高考文科數(shù)學天津卷】設a=logI2,/j-log,3,c=(-)03,則()

532

A、a<b<cB、h<a<cC、c<b<aD、c<a<h

-1

【解析】：a=logj2=logj(2=log3；b=log[3=—i—r；

5(5)

25log31

log-<log—<log1=>-1<log—<0^>-----<-l=>?>/?；

3'33'23'32log^

2

c=(；產>0=>c>a,c>b

所以：c>a>b

【答案】B

3、【2010年高考文科數(shù)學天津卷】設a=lo&4,b=(lo&3)2,c=lo&5,貝IJ()

A、a<c<bB、b<c<aC、a<b<cD、b<a<c

【解析】：因為：logj1<10&4<10&5=>0<10&4<1=0<。<1；

10gt4<log,5<log,16=1<logj5<2=l<c<2；

所以：a<c①；

2

因為：lo&1<lo&3<lo&4<lo&5=0<lo&3<log54<1=>(log；3)<lo&4；

所以：b〈a②

所以：b<a<c

【答案】D

4、【2010年高考文科數(shù)學安徽卷】設〃==c=(1)\則Q/,c的大小關系是()

A、a>c>bB、a>b>cC、c>a>bD、b>c>a

2

【解析】：因為：指數(shù)函數(shù)/(x)=(g)x是一個單調遞減的函數(shù)；

所以：(令，<(-1)^=>b<c①；

2

因為：鬲函數(shù)/(%)=X5在區(qū)間XG(0,+8)是一個單調遞增的函數(shù)；

3-2-

所以：（］）5>（75na>c②；

所以：a>c>b；

【答案】A

5、【2011年高考文科數(shù)學天津卷】已知a=log23.6,〃=lo&3.2,c=lo氐3.6,則（）

A、a>b>cB、a>c>hC、h>a>cD、c>a>b

2

［解析］：a=log23.6=lo%3.6=lo&1296；

因為：對數(shù)函數(shù)/(》)=log,x是一個單調遞增的函數(shù);

所以：log^3.2<log33.6<log312.96=<c<a；

【答案】B

124

6、【2011年高考文科數(shù)學重慶卷】設。=電?上*=log1*,c=log3—,則仇。的大小關系是()

彳2§33

A、a<h<cB、c<h<aC、h<a<cD、h<c<a

a=log>|=log）尸（J"=log32;b=log,|=log（|）-1=log,|；

【解析】:（1）i

因為：對數(shù)函數(shù)/(x)=log3X是一個單調遞增的函數(shù)；

43

所以：Iog3§<log35<log32=c<0<a；

【答案】B

7、【2014年高考文科數(shù)學安徽卷】設a=log37,人=2",c=0.831,貝ij()

A、b<a<cB、c<a<bC、c<b<aD、a<c<h

【解析】：因為：對數(shù)函數(shù)/(X)=lOg3X是一個單調遞增的函數(shù)；

所以：log33<log37<log39=>1<log37<2=l<a<2①;

因為：指數(shù)函數(shù)/(x)=2'是一個單調遞增的函數(shù)；

所以：2">2i=2">2=b>2②；

因為：指數(shù)函數(shù)/(x)=0.8'是一個單調遞減的函數(shù);

所以：0.83>0.83/>0.84=0.512〉0.83/>0.4096③;

所以：b>a>c\

【答案】B

」11

8、【2014年高考文科數(shù)學遼寧卷】已知a=23,b=log2-,c=log,j，則()

A、a>b>cB、a>c>bC、c>h>aD、c>a>b

【解析】：因為：指數(shù)函數(shù)/(x)=2'是一個單調遞增的函數(shù)；

,>I_11

所以：2~<23<2°=—<23<1=—①；

22

因為：對數(shù)函數(shù)/(x)=log2X是一個單調遞增的函數(shù);

所以：log2—<log2_<log,—=>—2<log2—<—1=>—2<b<-1②;

因為：對數(shù)函數(shù)f(x)=log|X是一個單調遞減的函數(shù)；

2

所以：log[，<log1』<log]4=>l<log1』<2=>l<c<2③;

,2,324,3

所以：c>a>b；

【答案】D

9、【2014年高考文科數(shù)學天津卷】設a=log2%,8=log1%,c=^2,則()

2

A、a>b>cB、b>a>cC、a>c>bD、c>b>a

【解析】：因為：對數(shù)函數(shù)/(1)=lOg2X是一個單調遞增的函數(shù);

所以：log22<log27t<log24=>1<log2%v2=lvav2①；

因為：對數(shù)函數(shù)/(x)=log1X是一個單調遞減的函數(shù)；

2

所以：logj2>logj%>k)g]4n—1>log[

2222

因為：指數(shù)函數(shù)/(幻=加'是一個單調遞增函數(shù)；

所以：乃2==>0<71~~<1=>0<CV1③；

71

所以：a>c>h；

【答案】B

10、【2009年高考文科數(shù)學湖南卷]log2后的值為()

A、—V2B、5/2C\---D\一

22

1

【解析】：log2、歷=log223=i；

【答案】D

11、【2010年高考理科數(shù)學天津卷】函數(shù)/(x)=2、+3x的零點所在的一個區(qū)間是()

A、(-2,-1)B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)

【解析】：函數(shù)f(x)=2、+3x的零點就是方程2'+3x=0的解。

解方程：2'+3x=O=2*=-3x；

在同一個坐標系中，畫出g(x)=2',s(x)=-3x兩個函數(shù)的圖像，交點的橫坐標為方程的解。

如下圖所示：

【答案】B

12、【2010年高考文科數(shù)學天津卷】函數(shù)/(x)=，+x—2的零點所在的一個區(qū)間是(

Av(-2,-1)B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)

【解析】：函數(shù)/(x)=/+x—2的零點就是方程"+x-2=0的解。

解方程e'+x—2=0ne*=2—x；

在同一個坐標系中，畫出g(x)=",s(x)=2-x兩個函數(shù)的圖像，交點的橫坐標為方程的解。

如下圖所示:

方程的解飛€(0,1)；

【答案】c

13、【2013年高考文科數(shù)學湖南卷】函數(shù)/(x)=lnx的圖像與函數(shù)g(x)=%2-4x+4的圖像的交點個數(shù)

為()

A、0B、1C、2D、3

【解析】：在同一個坐標系中畫出函數(shù)/(x)=lnx和g(x)=V—4x+4兩個函數(shù)的圖像，如下圖所示：

如圖所示：函數(shù)/(x)=lnx和g(x)=f—4x+4兩個函數(shù)的圖像有兩個交點；

【答案】C

14、【2010年高考文科數(shù)學上海卷】若與是方程式lgx+x=2的解，則與屬于區(qū)間()

A、(0,1)B、(1,1.25)C、(1.25,1.75)D、(1.75,2)

【解析】：解方程lgx+x=2=lgx=2-x；

在同一個坐標系中，畫出8(%)=坨乂5(幻=2-》兩個函數(shù)的圖像，交點的橫坐標為方程的解。

如下圖所示：

=>lgl.75<0.25=>g(L75)<5(1.75)=>1.75e(l,x0)；

如圖所示：x0G(1.75,2)；

【答案】。

15、【2010年高考文科數(shù)學陜西卷】下列四類函數(shù)中，具有性質“對任意的x>0,y>0,函數(shù)/(幻滿足

/(x+y)=/(x)/(y)”的是()

A、鬲函數(shù)B、對數(shù)函數(shù)C、指數(shù)函數(shù)D、余弦函數(shù)

【解析】：因為：/(x)=ax,f(y)=優(yōu)+'=優(yōu)?/=>f(x+y)f(x)f(y)；

所以：函數(shù)/(九)是指數(shù)函數(shù)。

【答案】B

16、【2014年高考文科數(shù)學陜西卷】下列四類函數(shù)中，滿足“/(x+y)=/(x)/(y)”的單調遞增函數(shù)是

()

D、/U)=(1)A

A、f(x)=x3B、/(x)=3rC'/(x)=X2

【解析】：因為：f(x)=ax,f(y)=ay,ax+y=ax-aynf(x+y)=f(x)f(y)；

所以：函數(shù)/(x)是指數(shù)函數(shù)。

因為：函數(shù)/(x)是一個單調遞增的函數(shù)；

所以：/(x)=a\ae(l,+oo)；只有B選項符合要求。

【答案】B

17、【2010年高考文科數(shù)學遼寧卷】設2"=5〃=加，且,+，=2,則帆=()

ah

A、V10B、10C、20D、100

a

【解析】：2"=m=>log2X-log2m=>tz=log2m；5"=m^>\og55=log5m^>a-log^m；

-=------Tog,"2；-=-------=log,,,5；

alog2mblog5m

2

—+—=2=>logm2+logm5=2=>logm10=2=>10=/n=>m=V10；

ab

【答案】A

18、【2014年高考文科數(shù)學四川卷】已知8〉0,log5Z?=a,lgb=c,5"=10,則下列等式一定成立

的是()

Avd=