高中PAGE1高中2023北京清華附中高一（上）期中數(shù)學(xué)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知集合A＝{﹣1，0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，則A∩B＝（）A．{﹣1} B．{0} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1}2．命題的否定是（

）A． B．C． D．3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．4．已知為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A． B．0 C．2 D．45．已知，，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．6．函數(shù)，的值域是（）A． B． C． D．7．已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．8．若函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．對，表示不超過x的最大整數(shù)，我們把，稱為取整函數(shù)，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的性質(zhì)敘述錯誤的是（）A．， B．，C．， D．，，則10．已知集合，集合A1，A2，A3滿足：①每個集合都恰有5個元素；②．集合Ai中元素的最大值與最小值之和稱為集合Ai的特征數(shù)，記為，則的最大值與最小值的和為（

）A．56 B．72 C．87 D．96二、填空題11．函數(shù)的定義域是.12．已知二次函數(shù)同時具有以下性質(zhì)：①有2個零點；②在上是增函數(shù)．寫出符合上述條件的一個函數(shù)f（x），其解析式為．三、雙空題13．已知函數(shù)（）．①當(dāng)時的值域為；②若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．四、填空題14．50名學(xué)生參加甲、乙兩項體育活動，每人至少參加了一項，參加甲項的學(xué)生有30名，參加乙項的學(xué)生有25名，則僅參加了一項活動的學(xué)生人數(shù)是.15．已知函數(shù)，下列命題中：①都不是R上的單調(diào)函數(shù)；②，使得是R上偶函數(shù)；③若的最小值是，則；④，使得有三個零點．則所有正確的命題的序號是．五、問答題16．求下列關(guān)于x的不等式的解集．(1)；(2)；(3)．17．設(shè)集合．(1)當(dāng)時，分別求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．18．關(guān)于的方程有兩個不等實根，．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，求的值；(3)若，求實數(shù)的值．六、應(yīng)用題19．某公司計劃投資A，B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為，B產(chǎn)品的利潤與投資金額x的函數(shù)關(guān)系為（注：利潤與投資金額單位：萬元）．現(xiàn)在該公司有100萬元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品中且均有投，其中x萬元資金投入A產(chǎn)品．(1)請把A，B兩種產(chǎn)品利潤總和y表示為x的函數(shù)，并直接寫出定義域；(2)在（1）的條件下，當(dāng)x取何值時才能使公司獲得最大利潤？七、問答題20．已知二次函數(shù)最小值為，且是其一個零點，都有．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的最小值；(3)是否存在實數(shù)滿足：對，都有恒成立？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．21．對非空整數(shù)集合M及，定義，對于非空整數(shù)集合A，B，定義.(1)設(shè)，請直接寫出集合；(2)設(shè)，，求出非空整數(shù)集合B的元素個數(shù)的最小值；(3)對三個非空整數(shù)集合A，B，C，若且，求所有可能取值．

參考答案一、單選題1．【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義運算即可.【詳解】集合，集合，所以，故選：B2．【答案】D【分析】全稱命題的否定為特稱命題.【詳解】命題為全稱命題，則命題的否定為.故選：D3．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性確定正確答案.【詳解】函數(shù)和函數(shù)是奇函數(shù)，不符合題意，CD選項錯誤.函數(shù)是偶函數(shù)，且在上遞減，不符合題意，A選項錯誤.函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，符合題意，B選項正確.故選：B4．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得正確答案.【詳解】依題意，為上的奇函數(shù)，所以，且，所以.故選：A5．【答案】D【分析】根據(jù)已知得，由此可判斷得選項.【詳解】解：因為，，所以一定有，b的符號不能確定，所以，的符號不能確定,，一定成立的是，故選：D.6．【答案】D【分析】求出函數(shù)的對稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性和對稱性進行求解即可．【詳解】，對稱軸為，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由對稱性可得，所以函數(shù)的值域是.故選：D.7．【答案】C【分析】根據(jù)“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時等號成立.所以，.故選：C.8．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，因為在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，所以的取值范圍是，故選：D9．【答案】C【分析】可取特殊值判斷AC，利用不等式性質(zhì)及取整數(shù)的意義推理可判斷選項BD.【詳解】對于A，當(dāng)時，，故A正確；對于B，設(shè)Z，則，或.當(dāng)時，，此時，；當(dāng)時，，，此時，，綜上，，故B正確.對于C，當(dāng)，，，，故C錯誤；對于D，若，設(shè)Z，則，，從而，故D正確；故選：C.10．【答案】D【分析】根據(jù)題意分別列出三個集合特征數(shù)取得最大值和最小值時的元素情況，再分別進行計算各自的特征值，即可求解.【詳解】由題意集合，當(dāng)時，取得最小值，；當(dāng)時，取得最大值，；的最大值與最小值的和為：.故選：D.二、填空題11．【答案】【分析】要使函數(shù)有意義，則有，解出即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則有，解得且所以函數(shù)的定義域是故答案為：12．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知只需滿足一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，且開口方向向上，對稱軸為軸或軸的左側(cè)即可.【詳解】設(shè)，解可得，，所以，和是的2個零點，滿足條件①；的對稱軸為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上是增函數(shù)，滿足條件②．所以，滿足題意.故答案為：（答案不唯一）.三、雙空題13．【答案】【分析】當(dāng)時，分別求出兩段函數(shù)的值域，取并集即可；若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則有，解之即可得解.【詳解】解：當(dāng)時，若，則，若，則，所以當(dāng)時的值域為；由函數(shù)（），可得函數(shù)在上遞增，在上遞增，因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是.故答案為：；.四、填空題14．【答案】45【分析】根據(jù)條件作出圖，然后即可求解出僅參加了一項活動的學(xué)生人數(shù).【詳解】如圖所示：根據(jù)條件可知：甲、乙兩項體育活動都參加的有：人，所以單獨參加甲活動的有：人，單獨參加乙活動的有：人，所以僅參加了一項活動的學(xué)生人數(shù)為：人，故答案為：.【點睛】本題考查利用圖解決集合的交、并問題，主要考查學(xué)生對圖的理解以及運用，難度較易.15．【答案】①②④【分析】對于①，分段討論脫去絕對值符號，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性以及單調(diào)性可判斷；對于②，可取特殊值，結(jié)合奇偶性定義進行判斷；對于③，分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的最小值求出a的值，即可判斷；對于④，舉特殊值，說明符合題意即可判斷.【詳解】對于①，當(dāng)時，，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為，當(dāng)時，，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為，即，且，，即在處的函數(shù)值相等，由于的對稱軸在的對稱軸的左側(cè)，則存在區(qū)間，使在上遞增，存在區(qū)間，使在上遞減，故都不是R上的單調(diào)函數(shù)，①正確；對于②，當(dāng)時，，定義域為R，此時，即為偶函數(shù)，②正確；對于③，由①的分析可知的最小值在或時取到，，，，當(dāng)時，函數(shù)最小值在處取到，由，解得或（舍去）；當(dāng)時，函數(shù)最小值在處取到，由，解得或（舍去）；當(dāng)時，由于，恒成立，不合題意，舍去；故的最小值是，則或，③錯誤；對于④，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，當(dāng)時，令，解得；當(dāng)時，令，解得；即此時有三個零點，④正確，故答案為：①②④【點睛】難點點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性以及零點問題，綜合性較強，解答時難點在于二次函數(shù)的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，要注意分類討論，注意函數(shù)最值的確定.五、問答題16．【答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】（1）因式分解即可；（2）通分，變形為乘積的形式，結(jié)合二次不等式即可；（3）因式分解，討論兩根大小即可.【詳解】（1）由，得，則或，所以解集為（2）由，得，，解得，所以解集為（3）由，得，當(dāng)時，即時，解集為，當(dāng)時，解集為，當(dāng)時，解集為.17．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)交并補的概念求解；（2）根據(jù)“充分不必要條件”的定義求解.【詳解】（1）由題意：，，；（2）由題意，A是B的真子集，,；綜上，（1），（2）.18．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式進行求解即可；（2）（3）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解即可.【詳解】（1）因為關(guān)于的方程有兩個不等實根，，所以有且，所以實數(shù)的取值范圍為；（2）當(dāng)時，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：，所以；（3）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，因為實數(shù)的取值范圍為，所以.六、應(yīng)用題19．【答案】(1)(2)時，利潤最大.【分析】（1）A，B對于投資金額下的利潤求和得到總利潤的函數(shù)關(guān)系式即可；（2）結(jié)合函數(shù)式特點利用均值不等式求函數(shù)最值.【詳解】（1）由題意，萬元投入A產(chǎn)品，則萬元投入B產(chǎn)品，則，.（2）由（1）得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以當(dāng)時，公司利潤最大.七、問答題20．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由題意可設(shè)二次函數(shù)的頂點式，利用待定系數(shù)法即可求的解析式；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，分和兩種情況進行討論；（3）因?qū)愠闪?，故可轉(zhuǎn)化成對，恒成立，借助（2）的結(jié)論解不等式即可.【詳解】（1）因為對都有，所以關(guān)于直線對稱，又因為二次函數(shù)的最小值為，所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，又因為是其一個零點，所以，解得，所以的解析式為.（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，.（3）因為對，都有恒成立，由（2）可知，對，恒成立，即或，解得，故存在實數(shù)符合題意，實數(shù)的取值范圍.21．【答案】(1)(2)34(3)3或4或5【分析】（1）直接由的定義計算即可求解.（2）若，則，則只需每個組成的數(shù)組能夠覆蓋即可，從而，其中表示不超過的最大整數(shù).（3）首先證明，其次結(jié)合的定義得出滿足距離的三角不等式：，從而運用到本題中即可得解.【詳解】（1）若，則由集合新定義可知.（2）設(shè)有個元素，下證.一方面，，則，所以，即，而，，這表明了滿足題意，此時，故；另一方面：若，不妨設(shè)且，由題意可知，而最多含有個元素，當(dāng)且僅當(dāng)兩兩不同且時，等號成立，但這與有100個元素矛盾，所以.綜上所述：非空整數(shù)集合B的元素個數(shù)的最小值是34.（3）一方