學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識·巧學1.向量（Vector)的概念及表示我們把既有大小又有方向的量稱為向量，更具體些，我們可把一個向量理解為“一個位移"或表達“一點相對于另外一點位置的”量.深化升華有些向量不僅有大小和方向，而且還有作用點.例如，力就是既有大小、方向又有作用點的點向量，有些量只有大小和方向，而無特定的位置，例如，位移、速度等，通常把后一類向量叫做自由向量.本章學習的主要是自由向量.以后我們說到向量，如無特別說明,指的都是自由向量,這就是說，本章所學的向量只有大小、方向兩個要素，如果兩個向量的大小、方向都相同則說這兩個向量相等。辨析比較數(shù)量是只有大小的量，其大小可以用正數(shù)、負數(shù)和零來表示，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算,也可以比較大小,“大于”“小于”對數(shù)量是適用的；向量有方向、大小雙重性，不能比較大小.向量有兩個要素：大小和方向。在畫圖時，向量一般用有向線段來表示，用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向.用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性，為以后學習向量提供了幾何方法,這也體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想。如圖2—1—圖2向量也可以用小寫字母或表示向量的有向線段的起點和終點的大寫字母表示。如以A為起點、B為終點的向量記為,在書寫時一定要注意起點字母與終點字母的順序。誤區(qū)警示“向量與向量可以表示同一個向量"的說法是錯誤的，這是因為表示的是以A為起點、B為終點的向量，而則表示的是以B為起點、A為終點的向量，兩個向量的方向不同，則不能表示同一個向量.2。向量的長度向量的大小稱為向量的模，記作：||.深化升華向量的模實質是代表向量的有向線段的長度——這就是向量模的幾何意義，利用向量的幾何表示和向量模的幾何意義，我們可以將向量和平面幾何有機地結合起來.長度（模）為0的向量稱為零向量,記作0。0的方向是任意的。長度(模）為1個單位長度的向量叫做單位向量。由向量模的定義可知，向量的模是一個非負數(shù)，它是一個數(shù)量，它可以比較大小.而對于零向量要把它和常數(shù)0區(qū)分開,向量0和數(shù)量0的區(qū)別與聯(lián)系在于：零向量的大小為數(shù)量0，零向量是有方向的,它的方向是任意的。對于單位向量:單位向量有無數(shù)多個,它們的長度都是1，單位向量的大小相等，但單位向量不一定相等。3.平行向量（1)平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,若向量a與向量b和向量c都平行，則可記作：a∥b∥c。規(guī)定：0與任一向量平行。(2)相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a與向量b相等，則記作：a=b.規(guī)定：0=0。由相等向量的定義可知,把一個向量平移后所得的向量與原向量是相等的，因此平行的向量都可以經過平移使它們都落在同一條直線上，故平行向量也叫做共線向量.所以，平行向量和共線向量是同一個概念的不同稱呼,平行向量就是共線向量，共線向量也是平行向量.辨析比較共線向量中的“共線"的含義不是平面幾何中“共線"的含義。共線向量所在的直線可以平行也可以重合.而平面幾何中的“共線”是指必須在同一條直線上。深化升華共線向量有以下四種情況：方向相同且長度相等；方向相反且長度相等；方向相同且長度不相等;方向相反且長度不相等.這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量。(3)相反向量與向量a長度相同、方向相反的向量叫向量a的相反向量。記作-a，a與—a互為相反向量.互為相反向量的兩個向量也是共線向量.規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.對于任意一個向量a都有:-(—a)=a.典題·熱題知識點1向量的概念及表示例1度有零上與零下之分,溫度是不是向量，為什么?思路分析：判斷一個量是不是向量,關鍵就是看這個量是否同時具備兩條:既有大小又有方向。解：不是,因為溫度只有大小沒有方向。方法歸納一個量是不是向量,就是看它是否同時具備向量的兩個要素：大小和方向.若同時具備這兩個要素則是向量，否則不是。例2斷下面哪些量是向量.（1)面積；（2)體積；(3）質量；(4）位移；(5）路程；(6）速度;(7）加速度;（8）長度；(9)力；（10）功。思路分析：用向量的兩個要素來判斷.解:由于位移、速度、加速度、力都是由大小和方向來確定的，所以這些量是向量，而其余的量只有大小沒有方向，因此它們不是向量。深化升華向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量，其大小可以是正數(shù)、負數(shù)、零，它是一個代數(shù)量。而向量是既有大小又有方向的量，且其大小只能是非負數(shù).知識點2相等向量例3如圖2—圖2（1）分別寫出圖中的相等向量;（2）寫出圖中互為相反的向量。思路分析：利用相等向量和相反向量的定義，根據(jù)它們的定義和圖形的性質及圖中的向量作出判斷.解：(1)；;(2）和互為相反向量.方法歸納判斷兩個向量是否相等,要看向量的方向和模，只有方向相同和模相等這兩個條件同時成立時，兩個向量才相等。而互為相反向量具備的條件是：模相等，方向相反.誤區(qū)警示共線向量不一定是相等向量，如上圖中向量EC和向量DC是共線向量，但它們不是相等向量，因為這兩個向量的模不相等。例4下列命題正確的是_____________________.①平行向量的方向一定相同;②共線向量一定相等；③起點不同，但方向相同模相等的幾個向量是相等向量；④不相等的向量一定不平行。思路解析:由于平行向量的方向可以相同也可以相反，則①中命題是假命題；②相等向量是共線向量,但共線的向量不一定相等，則②中命題是假命題；根據(jù)相等向量的概念，③中命題正確；由共線向量和相等向量的關系知④中命題是假命題.答案：③方法歸納解此題的關鍵是應區(qū)分開平行向量、共線向量、相等向量和相反向量之間的區(qū)別和聯(lián)系.誤區(qū)警示解此題時容易把平行向量和相等向量之間的關系混淆，認為不相等的向量一定不是平行向量，從而導致出現(xiàn)(4）是真命題的錯誤。問題·探究交流討論探究問題在初學本節(jié)時，由于受到實數(shù)學習的負面影響，或相關概念理解不深,易發(fā)生一些錯誤的判斷，請問你們能不能歸納出一些常見的錯誤判斷？探究過程：學生甲:由于向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小,方向表示向量的方向,所以容易出現(xiàn)“向量就是有向線段"的錯誤判斷。學生乙：在實數(shù)中,若|a|=｜b｜，則有a=b或a=—b，受它的影響易出現(xiàn)“若|a|=｜b｜，則有a=b或a=-b”的錯誤論斷。學生丙：還有一條，由于實數(shù)中零書寫的影響，容易出“若｜a｜=0，則a=0”的錯誤判斷。學生?。河捎诹阆蛄颗c任意向量平行，當b=0時，不共線的兩個非零向量a、c都與b平行,即a∥b，b∥c的錯誤,但受平面幾何知識的影響，就易出現(xiàn)“若a∥b，b∥c，則a∥c”的錯誤判斷。再有本節(jié)中的概念比較多，如果對概念理解不深，還會出現(xiàn)“向量與向量是共線向量，則點A、B、C、D必在同