安徽省定遠(yuǎn)縣爐橋中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知空間向量，且與垂直，則等于（）A.－2 B.－1C.1 D.23．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，，A為垂足．如果直線AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.84．已知，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.5．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接，交于，且，其中數(shù)列的首項(xiàng)，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.7．等比數(shù)列中，，則（）A. B.C.2 D.48．已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.9．若傾斜角為的直線過兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.10．過點(diǎn)且斜率為的直線方程為（）A. B.C. D.11．一輛汽車做直線運(yùn)動(dòng)，位移與時(shí)間的關(guān)系為，若汽車在時(shí)的瞬時(shí)速度為12，則（）A. B.C.2 D.312．如圖，在長(zhǎng)方體中，是線段上一點(diǎn)，且，若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一支車隊(duì)有10輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)．第一輛車于14時(shí)出發(fā)，以后每間隔10分鐘發(fā)出一輛車．假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開車，并都在18時(shí)停下來休息．截止到18時(shí)，最后一輛車行駛了____小時(shí)，如果每輛車行駛的速度都是60km/h，這個(gè)車隊(duì)各輛車行駛路程之和為______千米14．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______15．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)M，使得直線AM與直線夾角為30°；②存在點(diǎn)M，使得與平面夾角的正弦值為；③存在點(diǎn)M，使得三棱錐體積為；④存在點(diǎn)M，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線AB所成的角則上述結(jié)論正確的有______．（填上正確結(jié)論的序號(hào)）16．已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)F與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，以F為圓心的圓交線段AB于C，D兩點(diǎn)（從上到下依次為A，C，D，B），若，則該圓的半徑r的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)橢圓過，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，說明理由18．（12分）已知橢圓的上一點(diǎn)處的切線方程為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為，離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)P為直線上任一點(diǎn)，過P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：19．（12分）已知是公差不為零等差數(shù)列，，且、、成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)．?dāng)?shù)列{}的前項(xiàng)和為，求證：20．（12分）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過斜率為的直線與圓C相交于M，N，兩點(diǎn)，求弦MN的長(zhǎng).21．（12分）如圖①，直角梯形中，，，點(diǎn)，分別在，上，，，將四邊形沿折起，使得點(diǎn)，分別到達(dá)點(diǎn)，的位置，如圖②，平面平面，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對(duì)角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=.圖1圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最值【詳解】設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，則又因?yàn)?，，所以，則故選：A2、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可解決.【詳解】∵∴∴，解得，故選：B.3、D【解析】由題可得方程，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線定義即求【詳解】∵拋物線方程為，∴焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線l方程為x=?2，∵直線AF的斜率為,直線AF的方程為，由，可得，∵PA⊥l，A為垂足，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，∴.故選：D.4、B【解析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.【詳解】對(duì)于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以不成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，故D不正確.故選：B5、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求函數(shù)的最值，即可求出的范圍.【詳解】∵，∴，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則有解，故，令，則在單調(diào)遞增，，故.故選：D.6、A【解析】由得，為邊的中點(diǎn)得，設(shè)，所以，根據(jù)向量相等可判斷A選項(xiàng)；由得是公比為的等比數(shù)列，可判斷B選項(xiàng)；代入可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)可判斷D選項(xiàng).【詳解】由得，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，所以設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，A選項(xiàng)正確；，由得，是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，不是常數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以，由得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)為的中點(diǎn)，與重合，即，，故D錯(cuò)誤.故選：A.7、D【解析】利用等比數(shù)列的下標(biāo)特點(diǎn)，即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D8、D【解析】由題設(shè)易知四邊形為矩形，可得，結(jié)合已知條件有即可求橢圓C的離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性知：，而，又，即四邊形為矩形，所以，則且M在第一象限，整理得，所以，又即，綜上，，整理得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由橢圓的對(duì)稱性及矩形性質(zhì)可得，由已知條件得到，進(jìn)而得到橢圓參數(shù)的齊次式求離心率范圍.9、A【解析】解方程即得解.【詳解】解：由題得.故選：A10、B【解析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.11、D【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可解得；【詳解】解：因?yàn)?，所以又汽車在時(shí)的瞬時(shí)速度為12，即即，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】將利用、、表示，再利用空間向量的加法可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】連接、，因，因?yàn)槭蔷€段上一點(diǎn)，且，則，因此，因此，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.2.5####②.1950【解析】通過分析，求出最后一輛車的出發(fā)時(shí)間，從而求出最后一輛車的行駛時(shí)間，這10輛車的行駛路程可以看作等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以最后一輛車出發(fā)時(shí)間為15時(shí)30分，則最后一輛車行駛時(shí)間為18-15.5=2.5小時(shí)，第一輛車行程為km，且從第二輛車開始，每輛車都比前一輛少走km，這10輛車的行駛路程可以看作首項(xiàng)為240，公差為-10的等差數(shù)列，則10輛車的行程路程之和為（km）.故答案為：2.5,195014、77【解析】依題意利用等差中項(xiàng)求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意可得，則，故故答案為：77.15、②③【解析】對(duì)①：由連接，，由平面，即可判斷；對(duì)③：設(shè)到平面的距離為，則，所以即可判斷；對(duì)④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求出與，比較大小即可判斷；對(duì)②：設(shè)與平面夾角為，利用向量法求出，即可求解判斷.【詳解】解：對(duì)①：連接，，在正方體中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①錯(cuò)誤；對(duì)③：設(shè)到平面的距離為，則，所以，故③正確；對(duì)④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，，，又，1，是平面的一個(gè)法向量，又二面角為銳二面角或直角，所以，，，又，，，故④錯(cuò)誤對(duì)②：由④的解析知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)與平面夾角為，令，即，又，解得或，故②正確.故答案為：②③.16、【解析】設(shè)出直線的方程為，代入拋物線方程，消去，可得關(guān)于的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理及拋物線的定義，化簡(jiǎn)計(jì)算可求解.【詳解】拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為,設(shè)以為圓心的圓的半徑為，可知，，設(shè)，直線的方程為，則，代入拋物線方程，可得，即有，，，，即，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，，【解析】（1）根據(jù)橢圓E：（）過，兩點(diǎn)，直接代入方程解方程組，解方程組即可.（2）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線方程為，聯(lián)立，根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算，同時(shí)滿足，則存在，否則不存在；在該圓的方程存在時(shí)，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理得到，結(jié)合題意求解即可，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證即可.【小問1詳解】將，的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設(shè)該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，令直線的方程為，①將其代入橢圓的方程并整理得，由韋達(dá)定理得，，②因?yàn)椋?，③將①代入③并整理得，?lián)立②得，④因?yàn)橹本€和圓相切，因此，由④得，所以存在圓滿足題意當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，易得，由橢圓方程得，顯然，綜上所述，存在圓滿足題意當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，由①②④得，由，得，即當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，易得，所以綜上所述，存在圓心在原點(diǎn)的圓滿足題意，且18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，求出然后求解最小值，推出，，，得到雙曲線方程（2）設(shè)，，，，，即可得到，依題意可得以、為切點(diǎn)的切線方程，從而得到直線的方程，再分與兩種情況討論，即可得證；【小問1詳解】解：設(shè)為橢圓上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以，又，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】解：由（1）知，設(shè)，，，，，所以，由題知，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，以為切點(diǎn)的橢圓切線方程為，又點(diǎn)在直線、上，所以、，所以直線的方程為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，直線斜率為，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，綜上可得；19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程，求出的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法求出，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意可得，即，整理可得，，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，，故原不等式得證.20、（1）（2）【解析】（1）由圓的性質(zhì)可得圓心在線段的垂直平分線上，由題意求出的垂直平分線方程，從而得出圓心坐標(biāo)，再求出半徑，得到答案.（2）由題意先求出滿足條件的直線方程，求出圓心到直線的距離，由垂經(jīng)定理可得圓的弦長(zhǎng).【小問1詳解】由題意設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)的中點(diǎn)為，則,由圓的性質(zhì)可得則,又，所以則直線的方程為，即則圓C的圓心在直線上，即，故所以圓心,半徑所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】過斜率為的直線方程為：圓心到該直線的距離為所以21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，，，易證，再根據(jù)平面平面，，得到平面，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理證明平面即可；（2）根據(jù)（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的大小為，由求解.【小問1詳解】解：因?yàn)?，，，所以，，又，所以是等腰直角三角形，即，所?由平面幾何知識(shí)易知，所以，即.又平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以.又，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）知，，兩兩垂直，以，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，F(xiàn)（1，0，0），則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，取，則.由，，，得平面，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則，由圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.22、（1）（2）不存在，理由見解析【解析】（1）利用垂直關(guān)系，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若滿足條件，，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷是否存在點(diǎn)滿足.【小問1詳解】∵，E為BD的中點(diǎn)∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如圖以E原點(diǎn)，分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(xiàn)(0，-，2)，(0，0，)，∴=(