PAGE其次節(jié)命題及其關系、充分條件與必要條件授課提示：對應學生用書第4頁[基礎梳理]1．四種命題(1)四種命題及其相互關系(2)互為逆否命題的真假推斷：互為逆否的兩個命題同真或同假．2．充分條件與必要條件的推斷若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且qpp是q的必要不充分條件pq且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件pq且qp1．區(qū)分兩個說法(1)“A是B的充分不必要條件”中，A是條件，B是結論．(2)“A的充分不必要條件是B”中，B是條件，A是結論．2．充要條件的兩個特征(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件．(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件．[四基自測]1．(基礎點：四種命題)命題“若x2＞y2，則x＞y”的逆否命題是()A．“若x＜y，則x2＜y2B．“若x≤y，則x2≤y2C．“若x＞y，則x2＞y2D．“若x≥y，則x2≥y2答案：B2．(基礎點：充分、必要條件)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B3．(易錯點：命題與條件)“x≠y”是“x2≠y2”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：B4．(易錯點：充要條件)設函數f(x)＝sinx＋bcosx(b為常數)“b＝0”是f(x答案：充要授課提示：對應學生用書第5頁考點一四種命題及其關系挖掘1四種命題的真假推斷/自主練透[例1](1)原命題為“若z1，z2互為共軛復數，則|z1|＝|z2|”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的推斷依次如下，正確的是()A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假[解析]易知原命題為真命題，所以逆否命題也為真，設z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，則有|z1|＝|z2|，但是z1與z2不是共軛復數，所以逆命題為假，同時否命題也為假．故選B.[答案]B(2)下列命題中為真命題的是()A．命題“若x＞y，則x＞|y|”的逆命題B．命題“若x＞1，則x2＞1”C．命題“若x＝1，則x2＋x－2＝0”D．命題“若x2＞0，則x＞1”[解析]A中逆命題為“若x＞|y|，則x＞y”，是真命題；B中否命題為“若x≤1，則x2≤1”C中否命題為“若x≠1，則x2＋x－2≠0”D中原命題是假命題，從而其逆否命題也為假命題．[答案]A[破題技法]四種命題真假性的關系(1)兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性；(2)兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性沒有關系．挖掘2推斷命題的真假/互動探究[例2]關于函數f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述結論：①f(x)是偶函數；②若x∈(0，eq\f(π,2))，則f(x)為增函數；③f(x)在[0，2π]上有3個零點，其中全部正確的結論是________．[解析]①由f(－x)＝f(x)，恒成立，①正確．②當x∈(0，eq\f(π,2))時，f(x)＝2sinx為增函數，②正確．③當x∈(π，2π)時，|sinx|＝－sinx.∴f(x)＝sinx－sinx＝0，有多數個零點，③錯誤．[答案]①②[破題技法]推斷命題真假的方法方法解讀適合題型干脆法推斷一個命題為真命題，要給出嚴格的推理證明簡潔命題推斷反例法說明一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可簡潔命題推斷轉化法轉化為等價的逆否命題困難命題考點二充分條件、必要條件的推斷挖掘1充分、必要、充要條件的簡潔判定/自主練透[例1](1)(2024·高考全國卷Ⅱ)設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A．α內有多數條直線與β平行B．α內有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面[解析]若α∥β，則α內有多數條直線與β平行，反之則不成立；若α，β平行于同一條直線，則α與β可以平行也可以相交；若α，β垂直于同一個平面，則α與β可以平行也可以相交，故A，C，D中條件均不是α∥β的充要條件．依據平面與平面平行的判定定理知，若一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，則兩平面平行，反之也成立．因此B中條件是α∥β的充要條件．故選B.[答案]B(2)(2024·高考天津卷)設x∈R，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)得－eq\f(1,2)＜x－eq\f(1,2)＜eq\f(1,2)，解得0＜x＜1.由x3＜1得x＜1.當0＜x＜1時能得到x＜1肯定成立；當x＜1時，0＜x＜1不肯定成立．所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的充分而不必要條件．[答案]A(3)(2024·高考北京卷)設點A，B，C不共線，則“eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為銳角”是“|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＞|eq\o(BC,\s\up6(→))|”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[解析]因為點A，B，C不共線，由向量加法的三角形法則，可知eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＞|eq\o(BC,\s\up6(→))|等價于|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＞|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|，因模為正，故不等號兩邊平方得AB2＋AC2＋2|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosθ>AC2＋AB2－2|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|cosθ(θ為eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角)，整理得4|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosθ＞0，故cosθ＞0，既θ為銳角．又以上推理過程可逆，所以“eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為銳角”是“|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＞|eq\o(BC,\s\up6(→))|”的充分必要條件．故選C.[答案]C[破題技法]充要條件的三種推斷方法(1)定義法：依據p?q，q?p進行推斷．(2)集合法：依據p，q成立的對應的集合之間的包含關系進行推斷．(3)等價轉化法：依據一個命題與其逆否命題的等價性，把推斷的命題轉化為其逆否命題進行推斷．這個方法特殊適合以否定形式給出的問題．充分條件與必要條件的兩種推斷方法見下表：條件定義法集合法：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}p是q的充分條件p?qA?Bp是q的必要條件q?pA?Bp是q的充要條件p?q且q?pA＝Bp是q的充分不必要條件p?q且qpABp是q的必要不充分條件pq且q?pABp是q的既不充分也不必要條件pq且qpAB且AB挖掘2充分、必要、充要條件的證明與探求/互動探究[例2]證明：圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2過原點的充要條件是a2＋b2＝r2.[證明]充分性：若滿意a2＋b2＝r2時，則有(0－a)2＋(0－b)2＝r2，表示原點(0，0)到圓心(a，b)的距離為r，即原點(0，0)在圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上．必要性：當圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2過(0，0)時．有(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.∴a2＋b2＝r2是圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2過原點的充要條件．[破題技法]充要條件的證明策略(1)要證明p是q的充要條件，須要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明兩個命題為真：“若p，則q”為真，且“若q，則p”為真．(2)在證明的過程中也可以轉化為集合的思想來證明，證明p與q的解集是相同的，證明前必需分清晰充分性和必要性，即搞清晰由哪些條件推證出哪些結論．直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同交點的充要條件是________．解析：直線x－y－k＝0與圓(x－1)2＋y2＝2有兩個不同交點等價于eq\f(|1－0－k|,\r(2))＜eq\r(2)，解之得－1＜k＜3.答案：－1＜k＜3考點三充分條件、必要條件的應用挖掘依據條件關系求參數/互動探究[例]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________．[解析]由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.所以當0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0，3]．[答案][0，3][破題技法]充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數問題的求解上．解題時需留意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后依據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解．(2)要留意區(qū)間端點值的檢驗．尤其是利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號確定端點值的取舍，處理不當簡潔出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．1．本例條件不變，問是否存在實數m，使x∈P是x∈S的充要條件？并說明理由．解析：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,