試卷第=page22頁，共=sectionpages9191頁第二十二章二次函數(shù)知識歸納與題型突破（14題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)的定義y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).知識點2：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.解析式（1）三種解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是（h,k）;③交點式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2為拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo).（2）待定系數(shù)法：巧設(shè)二次函數(shù)的解析式；根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）.*若已知條件是圖象上的三個點或三對對應(yīng)函數(shù)值，可設(shè)一般式；若已知頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最值，可設(shè)頂點式；若已知拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)，可設(shè)交點式.3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象開口向上向下對稱軸x＝頂點坐標(biāo)增減性當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小.當(dāng)時，y隨x的增大而減小；當(dāng)時，y隨x的增大而增大.最值，y最小＝.，y最大＝.3.系數(shù)a、b、c的作用a決定拋物線的開口方向及開口大小當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下.b決定對稱軸（）的位置當(dāng)a，b同號，＜0，對稱軸在y軸左邊；當(dāng)b＝0時，=0，對稱軸為y軸；當(dāng)a，b異號，＞0，對稱軸在y軸右邊．c決定拋物線與y軸的交點的位置當(dāng)c＞0時，拋物線與y軸的交點在正半軸上；當(dāng)c＝0時，拋物線經(jīng)過原點；當(dāng)c＜0時，拋物線與y軸的交點在負(fù)半軸上.b2－4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點;b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點;b2－4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點知識點3：二次函數(shù)的平移4.平移與解析式的關(guān)系注意：上加下減，左加右減（注：與平移區(qū)分）二、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0，兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0，兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac＜0，無實根2.二次函數(shù)與不等式拋物線y=ax2＋bx＋c＝0在x軸上方的部分點的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對應(yīng)的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.三、實際問題與二次函數(shù)1、實物拋物線一般步驟據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式；②確定自變量的取值范圍；據(jù)圖象，結(jié)合所求解析式解決問題.2、實際問題中求最值分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式；研究自變量的取值范圍；確定所得的函數(shù)；④檢驗x的值是否在自變量的取值范圍內(nèi)，并求相關(guān)的值；解決提出的實際問題.3、結(jié)合幾何圖形根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，探求圖形中的關(guān)系式；根據(jù)幾何圖形的關(guān)系式確定二次函數(shù)解析式；利用配方法等確定二次函數(shù)的最值，解決問題0303題型歸納題型一列二次函數(shù)例：（23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）如圖，利用一面墻（墻的長度為），用長的籬笆圍成兩個雞場，中間用一道籬笆隔開，每個雞場均留一道寬的門，設(shè)的長為．(1)若兩個雞場的面積和為，求關(guān)于的關(guān)系式；(2)兩個雞場面積和可以等于（）嗎？如果可以，求出此時的值．2．（23-24八年級下·福建福州·期末）某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為9萬元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年一季度新產(chǎn)品的研發(fā)資金y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．3．（23-24七年級下·遼寧本溪·期中）已知一正方體的棱長是3cm，設(shè)棱長增加時，正方體的表面積增加，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（

）A． B．C． D．4．（23-24九年級上·山西太原·階段練習(xí)）相框邊的寬窄影響可放入相片的大小．如圖，相框長，寬，相框邊的寬為，相框內(nèi)的面積是，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．題型二根據(jù)二次函數(shù)定義求參數(shù)例：（2024九年級下·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)m為何值時，這個函數(shù)是二次函數(shù)？(2)當(dāng)m為何值時，這個函數(shù)是一次函數(shù)？6．（23-24八年級下·廣西南寧·期末）二次函數(shù)的一次項系數(shù)為（

）A． B．1 C．3 D．67．（23-24八年級下·云南·期末）若函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)．則常數(shù)的值是．8．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）如果是二次函數(shù)，佳佳求出k的值為3，敏敏求出k的值為－1，她們倆中求得結(jié)果正確的是．題型三的圖象和性質(zhì)例：（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)求m的值；(2)當(dāng)m為何值時，該函數(shù)圖像的開口向下？(3)當(dāng)m為何值時，該函數(shù)有最小值？(4)試說明函數(shù)的增減性．10．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A．B． C． D．11．（2024·廣東·中考真題）若點都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．12．（23-24九年級上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知拋物線的開口向上，則a的取值范圍是．13．（2024·廣東佛山·二模）如圖，菱形的邊長為，點在軸的負(fù)半軸上，拋物線過點．若，則．題型四的圖象和性質(zhì)例：（2024·廣西·三模）已知點，都在二次函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定15．（23-24九年級上·山西晉城·期末）如圖，二次函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

16．（2023·江西九江·二模）下列圖象中，函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．17．（23-24九年級上·山東臨沂·期末）如圖，拋物線經(jīng)過正方形的三個頂點，，，點在軸上，則的值為（

）A． B．1 C． D．218．（2024·上海浦東新·二模）沿著x軸的正方向看，如果拋物線在y軸左側(cè)的部分是上升的，那么k的取值范圍是．19．（23-24九年級上·山東臨沂·階段練習(xí)）如果拋物線（a為常數(shù)）經(jīng)過了平面直角系的四個象限，那么a的取值范圍是．題型五的圖象和性質(zhì)例：（2024九年級下·江蘇·專題練習(xí)）探究二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，請?zhí)羁眨孩賵D象的開口方向是；②圖象的對稱軸為直線；③圖象與軸的交點坐標(biāo)為；④當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為．21．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·模擬預(yù)測）對于拋物線，下列說法錯誤的是（

）A．對稱軸是直線 B．函數(shù)的最大值是3C．開口向下，頂點坐標(biāo) D．當(dāng)時，隨的增大而增大.22．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．23．（2024·江蘇泰州·二模）二次函數(shù)（，h，k為常數(shù)）圖象開口向下，當(dāng)時，；當(dāng)時，．則h的值可能為（

）A．2 B．3 C． D．24．（23-24九年級下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，拋物線的頂點為，與軸交于點，則直線的表達(dá)式為．25．（2024·上海虹口·二模）已知二次函數(shù)，如果函數(shù)值隨自變量的增大而減小，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型六的圖象和性質(zhì)例：（2024·北京·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為．(1)若對于，有，求t的值；(2)若對于，都有，求t的取值范圍．27．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．28．（23-24八年級下·江西宜春·期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．429．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，已知開口向下的拋物線與軸交于點，對稱軸為直線．則下列結(jié)論：①；②；③；④拋物線上有兩點和，若且，則．其中正確的是30．（2024·四川內(nèi)江·二模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個交點在和之間，其部分圖象如圖所示．有下列結(jié)論：①；②；③；④（t為實數(shù)）；⑤若，是該拋物線上的三點，則．其中正確的個數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．131．（23-24八年級下·浙江金華·期末）點是二次函數(shù)圖像上的四個點，下列說法一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則32．（23-24八年級下·云南·期末）已知拋物線經(jīng)過點和點．(1)求此拋物線的解析式及頂點坐標(biāo)；(2)當(dāng)自變量x滿足時，求y的取值范圍；(3)將此拋物線沿x軸平移m個單位后，當(dāng)自變量x滿足時，y的最小值為5，求m的值．題型七二次函數(shù)圖象與系數(shù)符號之間的關(guān)系例：（23-24九年級上·河南商丘·階段練習(xí)）如圖為拋物線的圖象，A、B、C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點，且，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B． C． D．34．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，，則二次函數(shù)的圖象可能為（

）A．B．C．D．35．（23-24八年級下·四川廣安·期末）二次函數(shù)的圖像如圖所示，則的取值范圍是()A． B． C． D．36．（2024·廣西欽州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像如圖所示，以下結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．若為任意實數(shù)，則37．（2024·山東德州·二模）小紅從圖所示的二次函數(shù)的圖象中．觀察得出了下面五條信息：①；②；③；④；⑤，你認(rèn)為其中正確信息的個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個題型八二次函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用例：（23-24八年級下·北京海淀·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上．(1)直接寫出拋物線的對稱軸；(2)拋物線上兩點，，且，．①當(dāng)時，直接寫出，的大小關(guān)系；②若對于，都有，直接寫出的取值范圍．39．（23-24八年級下·云南·期末）已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表．則這條拋物線的對稱軸是（

）…………A．直線 B．直線 C．直線 D．軸40．（23-24八年級下·北京海淀·期末）若點，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系為（用“＞”連接）．41．（2024·湖北武漢·三模）已知拋物線（a，k為常數(shù)）的與的部分對應(yīng)值如表所示；下列四個結(jié)論：①②若，則該拋物線與軸沒有交點；③若，則；④若，則，其中正確的結(jié)論是（填寫序號）．42．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖是小李同學(xué)設(shè)計的一個動畫示意圖，光點從點發(fā)出，其經(jīng)過的路徑為拋物線：的一部分，并落在水平臺子上的點處，其達(dá)到的最大高度為，光點在點處被反彈后繼續(xù)向前沿拋物線：的一部分運行，已知臺子的長，，點是的中點．(1)求拋物線的對稱軸及函數(shù)表達(dá)式；(2)若光點被彈起后，落在臺子上的之間不含端點，求所有的整數(shù)值．43．（2024·北京大興·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點和點在拋物線（）上，設(shè)拋物線的對稱軸為．(1)若，，求t的值；(2)已知點，在該拋物線上，若，，比較，的大小，并說明理由．題型九用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例：（2024·福建·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若是二次函數(shù)圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標(biāo)．45．（2023·廣東佛山·三模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且當(dāng)時，函數(shù)有最大值是2．求二次函數(shù)的解析式．46．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）如圖，頂點的拋物線與直線相交于A，B兩點，且點A在x軸上，連接，．(1)求點A的坐標(biāo)和這個拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求點B的坐標(biāo)．拋物線的解析式為；點A的坐標(biāo)是，點B的坐標(biāo)為．47．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點，與y軸交于點C．(1)求拋物線解析式；(2)點P是拋物線對稱軸上一點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點P的坐標(biāo)．48．（2024·湖南長沙·三模）如圖，已知拋物線經(jīng)過點．(1)求出此拋物線的解析式；(2)當(dāng)時，直接寫出的取值范圍．題型十二次函數(shù)圖象的平移例：（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為和，拋物線的頂點在線段上運動．與x軸交于C、D兩點（C在D的左側(cè)），（1）；（2）若點C的橫坐標(biāo)最小值為，則點D的橫坐標(biāo)最大值為．50．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）將拋物線向左平移3個單位長度得到拋物線（

）A． B．C． D．51．（23-24八年級下·福建福州·期末）對于二次函數(shù)的性質(zhì)，下列描述正確的是（

）A．開口向下B．對稱軸是直線C．頂點坐標(biāo)是D．拋物線可由向右平移1個單位得到52．（2024·上?！つM預(yù)測）將拋物線沿直線方向平移個單位后的解析式為．53．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）拋物線是由拋物線先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到的，求b、c的值為．54．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）將拋物線向下平移5個單位長度后，經(jīng)過點，則．55．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）把二次函數(shù)的圖象先向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數(shù)的圖象．(1)試確定a、h、k的值；(2)指出二次函數(shù)的開口方向，對稱軸和頂點坐標(biāo)，分析函數(shù)的增減性．56．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，拋物線（a、c為常數(shù)，）經(jīng)過點、，頂點為P，連接．(1)求的長；(2)將拋物線L沿x軸或沿y軸平移若干個單位長度得到拋物線，點A的對應(yīng)點為，點P的對應(yīng)點為，當(dāng)四邊形是面積為12的平行四邊形，且點在y軸的左側(cè)時，求平移后得到的拋物線的表達(dá)式．題型十二次函數(shù)、方程與不等式例：（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）探究問題1：（1）若二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象與x軸有兩個公共點，求m的取值范圍．（2）變式：若二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象與一次函數(shù)的圖象有兩個公共點，則m的取值范圍是．等價轉(zhuǎn)化：若二次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象與一次函數(shù)的圖象有兩個公共點，則m的取值范圍是．探究問題2：（3）若二次函數(shù)的圖象在的部分與一次函數(shù)的圖象有兩個公共點，求m的取值范圍．

58．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測）已知一次函數(shù)（）和二次函數(shù)（）的部分自變量和對應(yīng)的函數(shù)值如下表：………………則關(guān)于的不等式的解集是（

）A． B． C．或 D．不能確定59．（23-24八年級下·廣西南寧·期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為，那么關(guān)于x的一元二次方程的解為（

）A．， B．，C．， D．60．（2024年四川省成都市高中階段教育學(xué)校統(tǒng)一招生暨初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于點，頂點坐標(biāo)為，下列說法正確的是（

）A．B．二次函數(shù)圖象與軸有兩個交點且兩交點距離為5C．當(dāng)時，D．直線與二次函數(shù)圖象有兩個交點61．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)是，頂點坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（

）

A．二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標(biāo)是2C．當(dāng)時，y隨x的增大而減小D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標(biāo)是362．（2024·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：（1）；②；③；④不等式的解集為．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．463．（2024·浙江·一模）若在二次函數(shù)中，函數(shù)值y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：x……013……y……27……則方程的解是．64．（23-24八年級下·福建福州·期末）如圖，拋物線與直線交于，兩點，則不等式的解集是．65．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)經(jīng)過點和點，

(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)如圖，若一次函數(shù)經(jīng)過B、C兩點，直接寫出不等式的解；(3)點A為該二次函數(shù)與x軸的另一個交點，求的面積．題型十一二次函數(shù)應(yīng)用—實物建模問題例：（2024·河南·模擬預(yù)測）擲實心球是河南中招體育考試素質(zhì)類選考項目之一．王陽同學(xué)查閱資料了解到實心球從出手到落地的過程中，其豎直高度y（單位：）可近似看作水平距離x（單位：）的二次函數(shù)．他利用先進(jìn)的高速抓拍相機(jī)記錄了某次投擲后實心球在空中運動的過程，經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)與時實心球在同一高度，當(dāng)時，當(dāng)時，根據(jù)上述數(shù)據(jù)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)圖中點的分布情況，王陽發(fā)現(xiàn)其圖象是拋物線的一部分．請根據(jù)以上信息，回答下列問題：(1)此次投擲過程中，實心球在空中的最大高度是．(2)求滿足條件的拋物線的解析式．(3)根據(jù)中招體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（男生版），在投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于或等于10時，即可得滿分15分．王陽在此次投擲中是否得到滿分？請說明理由．67．（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點P到的距離（橋塔的粗細(xì)忽略不計）(1)求纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點E在纜索上，，且，，求的長．68．（2024·湖北武漢·二模）某廣場建了一座圓形音樂噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，安裝在水管頂端A處的圓形噴頭向四周噴水，且各個方向噴出的拋物線形水柱形狀相同．如圖1，以池中心O點為坐標(biāo)原點，水平方向為x軸，所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．x軸上的點C，D為水柱的落水點，若落地直徑，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達(dá)到最高．(1)求圖1中右邊拋物線的解析式；(2)計劃在圖1中的線段上的點B處豎立一座雕像，雕像高，若想雕像不碰到水柱，請求出線段的取值范圍；(3)圓形水池的直徑為，噴水造型會隨著音樂節(jié)奏起伏而變化，從而產(chǎn)生一組不同的拋物線（如圖2），若右側(cè)拋物線頂點始終在直線上，當(dāng)噴出的拋物線水柱最大高度為時，水柱會噴到圓形水池之外嗎？請說明理由．69．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）人勤春來早，奮進(jìn)正當(dāng)時．眼下正是溫室大棚育苗的好時節(jié)，大棚種植戶開始了新一年的辛勤勞作，在新的一年播下希望的種子．如圖是小穎爸爸在屋側(cè)的菜地上搭建的一拋物線型蔬菜大棚，其中一端固定在離水平地面高3米的墻體A處（墻高大于4米），另一端固定在地面上的C點處，現(xiàn)分別以地面和墻體為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知大棚的高度y（米）與大棚離墻體的水平距離x（米）之間的關(guān)系式用表示，拋物線的頂點B的橫坐標(biāo)為2．請根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)小穎的爸爸準(zhǔn)備在拋物線上取一點P（不與A，C重合），安裝一直角形鋼架對大棚進(jìn)行加固（點D、E分別在y軸，x軸上，且軸，軸），小穎為爸爸設(shè)計了兩種方案：方案一：如圖1，將點P設(shè)在拋物線的頂點B處，安裝直角形鋼架對大棚進(jìn)行加固；方案二：如圖2，將點P設(shè)在到墻的水平距離為5米的拋物線上，安裝直角形鋼架對大棚進(jìn)行加固．方案一、二中鋼架DPE所需鋼材長度分別記為、，請通過計算說明哪種方案更省鋼材？（忽略接口處的材料損耗）題型十二二次函數(shù)應(yīng)用—圖形面積問題例：（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）一條隧道的截面如圖所示，它的上部是一個以為直徑的半圓O，下部是一個矩形．

(1)當(dāng)米時，求隧道截面上部半圓O的面積；(2)已知矩形相鄰兩邊之和為8米，半圓O的半徑為r米．①求隧道截面的面積關(guān)于半徑r（m）的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出r的取值范圍）；②若2米3米，利用函數(shù)圖象求隧道截面的面積S的最大值．（取3.14，結(jié)果精確到0.1米）71．（2024·湖北·中考真題）學(xué)校要建一個矩形花圃，其中一邊靠墻，另外三邊用籬笆圍成．已知墻長42m，籬笆長．設(shè)垂直于墻的邊長為米，平行于墻的邊為米，圍成的矩形面積為．(1)求與與的關(guān)系式．(2)圍成的矩形花圃面積能否為，若能，求出的值．(3)圍成的矩形花圃面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時的值．72．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）如圖，某農(nóng)戶計劃用籬笆圍成一個矩形場地養(yǎng)殖家禽，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形場地一面靠墻(墻的長度為)，另外三面用籬笆圍成，中間再用籬笆把它分成三個面積相等的矩形分別養(yǎng)殖不同的家禽，計劃購買籬笆的總長度為，設(shè)矩形場地的長為，寬為，面積為．(1)分別求出y與x，s與x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x為何值時，矩形場地的總面積最大？最大面積為多少？(3)若購買的籬笆總長增加，矩形場地的最大總面積能否達(dá)到若能，請求出x的值；若不能，請說明理由．73．（23-24八年級下·浙江溫州·階段練習(xí)）根據(jù)素材回答問題：素材1如圖1，空地上有兩條互相垂直的小路，中間有一正方形水池，已知水池的邊長為4米，，且與的距離為10米，與的距離為8米．素材2現(xiàn)利用兩條小路，再購置30米長的柵欄（圖中的細(xì)實線）在空地上圍出一個花圃，要求圍起來的柵欄與小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要柵欄，接口損耗忽略不計．

任務(wù)1小明同學(xué)按如圖2的設(shè)計，若米，求出花圃的面積（不包含水池的面積）．任務(wù)2若按如圖3設(shè)計方案，點C，D，H三點共線，點G在上，當(dāng)花圃的面積（不包含水池的面積）為時，求的長．任務(wù)3學(xué)習(xí)小組在探究的過程中還發(fā)現(xiàn)按如圖3設(shè)計方案，當(dāng)?shù)拈L是____________，圍成的花圃（不包含水池）的最大面積是____________．題型十三二次函數(shù)應(yīng)用—營銷問題例：（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）某食品廠生產(chǎn)一種半成品食材，產(chǎn)量p（百千克）與銷售價格x（元/千克）滿足函數(shù)關(guān)系式，從市場反饋的信息發(fā)現(xiàn)，該半成品食材的市場需求量q（百千克）與銷售價格x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，如下表：銷售價格x（元/千克）2410市場需求量q/（百千克）12104已知按物價部門規(guī)定銷售價格x不低于2元/千克且不高于10元/千克(1)求q與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量小于或等于市場需求量時，這種半成品食材能全部售出，求此時x的取值范圍；(3)當(dāng)產(chǎn)量大于市場需求量時，只能售出符合市場需求量的半成品食材，剩余的食材由于保質(zhì)期短而只能廢棄，若該半成品食材的成本是2元/千克．①求廠家獲得的利潤y（百元）與銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)廠家獲得的利潤y（百元）隨銷售價格x的上漲而增加時，直接寫出x的取值范圍．（利潤售價成本）75．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）元宵節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日之一，元宵節(jié)主要有賞花燈、吃湯圓、猜燈謎、燒火龍等習(xí)俗，某超市節(jié)前購進(jìn)了甲、乙兩種口味的湯圓．已知購進(jìn)甲種湯圓的金額是1200元，購進(jìn)乙種湯圓的金額是800元，購進(jìn)的甲、乙兩種湯圓共180袋，甲種湯圓每袋的進(jìn)價比乙種湯圓每袋進(jìn)價多2元．如果甲種湯圓以每袋24元的價格出售，每天可售出40袋，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲種湯圓每袋的售價每降低0.5元，每天可多售出10袋．(1)求甲種湯圓每袋的進(jìn)價是多少元；(2)當(dāng)甲種湯圓銷售單價多少元時，甲種湯圓每天銷售利潤最大，并求出最大利潤．76．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測）某工廠計劃從現(xiàn)在開始，在每個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬元件．設(shè)第個生產(chǎn)周期設(shè)備的售價為萬元/件，售價與之間的函數(shù)解析式是，其中是正整數(shù)．當(dāng)時，；當(dāng)時，．(1)求，的值：(2)設(shè)第個生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備的數(shù)量為件，且與滿足關(guān)系式．則工廠第幾個生產(chǎn)周期獲得的利潤最大？最大的利潤是多少萬元？77．（2024·山東臨沂·二模）某廠一種農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費用（萬元）與年產(chǎn)量（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點為原點的拋物線的一部分（如圖所示）；該產(chǎn)品的總銷售額（萬元）預(yù)售總額（萬元）波動總額（萬元），預(yù)售總額每件產(chǎn)品的預(yù)售額（元）×年銷售量（萬件），波動總額與年銷售量的平方成正比，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示．生產(chǎn)出的該產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲年毛利潤為萬元．（年毛利潤總銷售額生產(chǎn)費用）年銷售量（萬件）2040總銷售額（萬元）5601040(1)求與以及與之間的函數(shù)解析式；(2)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤最大，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量應(yīng)為多少？(3)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤不低于1000萬元，結(jié)合函數(shù)圖象，求該產(chǎn)品年銷售量的變化范圍．78．（2024·浙江·模擬預(yù)測）情境：為了考前減壓，某校九（1）班、九（2）班學(xué)生在老師帶領(lǐng)下去游樂園游玩，游樂園原價每人200元的票價有團(tuán)體優(yōu)惠活動：按團(tuán)體人數(shù)購票，如果團(tuán)體人數(shù)超過10人，每超過1人，票價就減少2元，（例如：閉體人數(shù)20人，票價降價：元，就按每人180元付款），但最低票價為每人100元．又知九（1）班、九（2）班師生人數(shù)分別為56人、58人．問題：(1)若想以最低票價購買，則團(tuán)體人數(shù)至少要達(dá)到多少人？(2)求購票費用（元與團(tuán)體人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．疑惑：九（1）的小明發(fā)現(xiàn)：如果單獨購票，九（2）班師生人數(shù)比九（1）班師生人數(shù)多，但購票費用反而少，這不合理合理的應(yīng)該是購票費用（元隨團(tuán)體人數(shù)的增大而增大．分析：為了解決上面的疑惑，聰明的小明畫出問題（2）中的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)在圖象中的某一段曲線上是隨的增大而減少的，原來如此解決：(3)延續(xù)小明的分析，通過提高最低票價，可以使購票費用（元隨團(tuán)體人數(shù)的增大而增大，那么把最低票價至少提高到多少才能符合要求？題型十四二次函數(shù)應(yīng)用—其它應(yīng)用問題例：（2024·浙江·模擬預(yù)測）在生活中，我們會觀察到這樣的現(xiàn)象：當(dāng)?shù)缆飞宪囕v增多，車流密度增大，司機(jī)會被迫降低車速；當(dāng)車流密度減小，車速又會增加.我們通常用車流密度K，速度v，交通量Q對道路的交通狀況進(jìn)行宏觀描述.車流密度K是指在單位長度(通常為)路段上，一條道路上某一瞬時的車輛數(shù)，它是表示在一條道路上車輛的密集程度.交通量Q是指單位時間(通常為1小時)通過道路某斷面的車輛數(shù)目.已知車流速度v(單位：)是車流密度K(單位：輛)的函數(shù).某城市某條道路上，v關(guān)于K的函數(shù)圖象如圖所示.當(dāng)車流密度時，則速度v的值為理論最高值；②當(dāng)車流密度時，v關(guān)于K的函數(shù)關(guān)系為(a，b是常數(shù))，若車流密度K達(dá)到最大值270時，則.已知v關(guān)于K的函數(shù)圖象經(jīng)過.(1)若輛時，求對應(yīng)v的值.(2)點是圖象上一個動點，過點P作橫軸的垂線交于點E，作縱軸的垂線交于點D，此時矩形所圍成的面積為交通量Q(單位：輛/小時)，求交通量Q的最大值.80．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對概念的接受能力與提出概念所用的時間（分鐘）之間滿足函數(shù)，值越大，表示接受能力越強(qiáng)．(1)在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？在什么范圍內(nèi)，學(xué)生的接受能力逐步降低？(2)第分鐘時，學(xué)生的接受能力是多少？(3)第幾分鐘時，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？81．（2024·江蘇鹽城·三模）“城市發(fā)展，交通先行”，我市啟動了緩堵保暢的快速路建設(shè)工程，建成后將大大提升道路的通行能力．研究表明，在確保安全行車情況下，快速路的車流速度v（千米/時）是車流密度x（輛/千米）的函數(shù)，其圖象近似的如圖所示．(1)求v關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)求車流量p和車流密度x之間的函數(shù)表達(dá)式并求出車流量p（輛/時）的最大值．（注：車流量是單位時間內(nèi)通過觀測點的車輛數(shù)，計算公式為：車流量=車流速度×車流密度）(3)經(jīng)過測算，每日上下班高峰時段快速路車流量將不低于4400輛/時，為保證快速路安全暢通，城市道路交通指揮中心將實時發(fā)布道路預(yù)警信息，提醒駕駛員按預(yù)警速度要求行駛，請你幫助城市交通指揮中心測算一下上下班高峰時段車速應(yīng)控制在什么范圍才能確?？焖俾钒踩珪惩?？82．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）隨著家用小轎車的普及，交通安全已經(jīng)成為千家萬戶關(guān)注的焦點，保持安全車距是預(yù)防交通事故的關(guān)鍵，某興趣小組調(diào)查了解到某型號汽車緊急剎車后車速會降低，該型號汽車剎車時速度為剎車后速度為行駛的距離為與剎車后汽車的行駛時間之間的關(guān)系如表所示：其中s與t滿足的關(guān)系式為(p，q為常數(shù))．t…11.522.5v…16151413s1724.753238.75(1)，v與t的函數(shù)關(guān)系式為，s與t的函數(shù)關(guān)系式為．(2)假設(shè)汽車在行駛的過程中安全車距為．現(xiàn)有一人駕駛這種型號的汽車以的速度行駛在公路上，突然發(fā)現(xiàn)前方處沿同一方向有一輛車以的速度勻速行駛，此人隨即開始剎車，請問能否確保安全？(3)普通司機(jī)在遇到緊急情況時，從發(fā)現(xiàn)情況到剎車的反應(yīng)時間是（）一位普通司機(jī)駕駛該型號汽車以的速度行駛，突然發(fā)現(xiàn)導(dǎo)航提示前面處路面變窄，需要將車速降低到以下安全通過，司機(jī)緊急剎車，能夠在到達(dá)窄路時將車速降低到以下嗎？請通過計算說明．83．（2024·廣西南寧·二模）【項目式學(xué)習(xí)】項目主題：如何擬定運動員拍照記錄的方案？項目背景：任務(wù)一：確定滑道的形狀（1）圖1是單板滑雪運動員從大跳臺滑雪場地滑出的場景，圖2是跳臺滑雪場地的橫截面示意圖．垂直于水平底面，點D到A之間的滑道呈拋物線型，已知，，且點B處于跳臺滑道的最低處，在圖2中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求滑道所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)二：確定運動員達(dá)到最高點的位置（2）如圖3，某運動員從點A滑出后的路徑滿足以下條件：①運動員滑出路徑與D、A之間的拋物線形狀相同，②該運動員在底面上方豎直距離處達(dá)到最高點P③落點Q在底面下方豎直距離．在同一平面直角坐標(biāo)系中，求運動員到達(dá)最高處時與點A的水平距離．任務(wù)三：確定拍攝俯角（3）高速攝像機(jī)能高度還原運動員的精彩瞬間，如圖4，有一臺攝像機(jī)M進(jìn)行跟蹤拍攝：①它與點B位于同一高度，且與點B距離；②運動過程需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能記錄，記攝像頭的俯角為α；③在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)射線的解析式為，俯角與其比例系數(shù)k成正比例關(guān)系，并且當(dāng)時，．若要求運動員的落點Q必須在攝像機(jī)M的視角范圍內(nèi)，則俯角至少多少度（精確到個位）？84．（23-24九年級下·廣西南寧·階段練習(xí)）綜合與實踐南寧軌道交通5號線（），是南寧市第五條建成運營的軌道交通線路，于2017年9月7日全線開工建設(shè)，于2021年12月16日開通運營一期工程（國凱大道站至金橋客運站），南寧軌道交通5號線是廣西首條采用全自動無人駕駛模式運行的地鐵線路．?dāng)?shù)學(xué)小組成員了解到5號線地鐵列車準(zhǔn)備進(jìn)入某站時在距離停車線256米處開始減速．他們想了解列車從減速開始，經(jīng)過多少秒在停車線處停下？為解決這一問題，數(shù)學(xué)小組建立函數(shù)模型來描述地鐵列車車頭離停車線的距離（米）與時間（秒）的函數(shù)關(guān)系，再應(yīng)用該函數(shù)解決相應(yīng)問題．

【建立模型】①收集數(shù)據(jù)（秒）04812162024（米）256196144100643616②建立平面直角坐標(biāo)系：為了觀察（米）與（秒）的關(guān)系，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．③描點連線④猜想模型

（1）請在平面直角坐標(biāo)系中將表中未描出的點補(bǔ)充完整，并用平滑的曲線依次連接；（2）根據(jù)圖象以及數(shù)據(jù)關(guān)系，它可能是我們所學(xué)習(xí)過的______函數(shù)圖象（選填“一次”、“二次”或“反比例”）．請你選擇合適的數(shù)據(jù)求出該函數(shù)的表達(dá)式（不要求寫出自變量取值范圍）；【問題解決】（3）地鐵從減速開始，經(jīng)過多少秒在停車線處停下？【拓展應(yīng)用】已知5號地鐵列車在該地鐵站經(jīng)歷的過程如上圖：站：車頭從進(jìn)站那一刻起到停車線處停下，用時24秒；?？浚毫熊囃？繒r長為40秒（即列車停穩(wěn)到再次啟動停留的時間為40秒）；出站：列車再次啟動到列車車頭剛好出站，用時5秒．?dāng)?shù)學(xué)小組經(jīng)計算得知，在地鐵列車出站過程中，列車車頭離停車線的距離（米）與時間（秒）的函數(shù)關(guān)系變?yōu)椋?）請結(jié)合以上信息，求出該地鐵站的長度．

第二十二章二次函數(shù)知識歸納與題型突破（14題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)的定義y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù).知識點2：二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.解析式（1）三種解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是（h,k）;③交點式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2為拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo).（2）待定系數(shù)法：巧設(shè)二次函數(shù)的解析式；根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）.*若已知條件是圖象上的三個點或三對對應(yīng)函數(shù)值，可設(shè)一般式；若已知頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最值，可設(shè)頂點式；若已知拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)，可設(shè)交點式.3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象開口向上向下對稱軸x＝頂點坐標(biāo)增減性當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小.當(dāng)時，y隨x的增大而減?。划?dāng)時，y隨x的增大而增大.最值，y最?。?，y最大＝.3.系數(shù)a、b、c的作用a決定拋物線的開口方向及開口大小當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時，拋物線開口向下.b決定對稱軸（）的位置當(dāng)a，b同號，＜0，對稱軸在y軸左邊；當(dāng)b＝0時，=0，對稱軸為y軸；當(dāng)a，b異號，＞0，對稱軸在y軸右邊．c決定拋物線與y軸的交點的位置當(dāng)c＞0時，拋物線與y軸的交點在正半軸上；當(dāng)c＝0時，拋物線經(jīng)過原點；當(dāng)c＜0時，拋物線與y軸的交點在負(fù)半軸上.b2－4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點;b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點;b2－4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點知識點3：二次函數(shù)的平移4.平移與解析式的關(guān)系注意：上加下減，左加右減（注：與平移區(qū)分）二、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.當(dāng)Δ＝b2－4ac＞0，兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0，兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac＜0，無實根2.二次函數(shù)與不等式拋物線y=ax2＋bx＋c＝0在x軸上方的部分點的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方的部分點的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對應(yīng)的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.三、實際問題與二次函數(shù)1、實物拋物線一般步驟據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式；②確定自變量的取值范圍；據(jù)圖象，結(jié)合所求解析式解決問題.2、實際問題中求最值分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)關(guān)系式；研究自變量的取值范圍；確定所得的函數(shù)；④檢驗x的值是否在自變量的取值范圍內(nèi)，并求相關(guān)的值；解決提出的實際問題.3、結(jié)合幾何圖形根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)，探求圖形中的關(guān)系式；根據(jù)幾何圖形的關(guān)系式確定二次函數(shù)解析式；利用配方法等確定二次函數(shù)的最值，解決問題0303題型歸納題型一列二次函數(shù)例：（23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·期中）如圖，利用一面墻（墻的長度為），用長的籬笆圍成兩個雞場，中間用一道籬笆隔開，每個雞場均留一道寬的門，設(shè)的長為．(1)若兩個雞場的面積和為，求關(guān)于的關(guān)系式；(2)兩個雞場面積和可以等于（）嗎？如果可以，求出此時的值．【答案】(1)(2)不能【分析】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系，解一元二次方程的應(yīng)用；（1）根據(jù)題意和圖形可以求得關(guān)于的關(guān)系式；（2）令，解方程即可求解．【詳解】（1）解：由題意可得，，即關(guān)于的關(guān)系式是；（2）解：依題意，即∵，原方程無實數(shù)解，∴兩個雞場面積和不能等于（）2．（23-24八年級下·福建福州·期末）某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為9萬元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長率都是x，則該廠今年一季度新產(chǎn)品的研發(fā)資金y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了根據(jù)實際問題抽象出二次函數(shù)解析式．根據(jù)題意得到二月的研發(fā)資金為：，三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為：，再求和即可，正確表示出三月份的研發(fā)資金．【詳解】解：根據(jù)題意可得二月的研發(fā)資金為：，三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為：，今年一季度新產(chǎn)品的研發(fā)資金，故選：C．3．（23-24七年級下·遼寧本溪·期中）已知一正方體的棱長是3cm，設(shè)棱長增加時，正方體的表面積增加，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意直接列式即可作答．【詳解】根據(jù)題意有：，故選：D．4．（23-24九年級上·山西太原·階段練習(xí)）相框邊的寬窄影響可放入相片的大小．如圖，相框長，寬，相框邊的寬為，相框內(nèi)的面積是，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)整理并求出的取值范圍即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得展開得：整理得：根據(jù)題意，得解得：．∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，故答案為：題型二根據(jù)二次函數(shù)定義求參數(shù)例：（2024九年級下·江蘇·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)m為何值時，這個函數(shù)是二次函數(shù)？(2)當(dāng)m為何值時，這個函數(shù)是一次函數(shù)？【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的概念，掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)的二次項系數(shù)不為0列方程求解即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的自變量系數(shù)不為0，次數(shù)為1，列方程求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時，則，即．（2）解：當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時，則，解得：．6．（23-24八年級下·廣西南寧·期末）二次函數(shù)的一次項系數(shù)為（

）A． B．1 C．3 D．6【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的基本概念，屬于應(yīng)知應(yīng)會題型，熟知二次函數(shù)的基本知識是關(guān)鍵.根據(jù)二次函數(shù)的相關(guān)概念即可得.【詳解】解：函數(shù)的一次項系數(shù)是6；故選：D.7．（23-24八年級下·云南·期末）若函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)．則常數(shù)的值是．【答案】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的定義，列出關(guān)于的方程和不等式，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的定義即可得出關(guān)于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵是關(guān)于的二次函數(shù)，∴，解得：．故答案為：8．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）如果是二次函數(shù)，佳佳求出k的值為3，敏敏求出k的值為－1，她們倆中求得結(jié)果正確的是．【答案】敏敏【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，由定義得，，即可求解；理解定義：“一般地，形如（a、b、c是常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是二次函數(shù)，，解得，，又，即，，故敏敏正確．題型三的圖象和性質(zhì)例：（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)求m的值；(2)當(dāng)m為何值時，該函數(shù)圖像的開口向下？(3)當(dāng)m為何值時，該函數(shù)有最小值？(4)試說明函數(shù)的增減性．【答案】(1)或(2)當(dāng)時，該函數(shù)圖像的開口向下(3)當(dāng)時，原函數(shù)有最小值(4)見解析【分析】(1)由二次函數(shù)的定義可得故可求m的值．(2)圖像的開口向下，則，結(jié)合（1）中的結(jié)果，即可得m的值；(3)函數(shù)有最小值，則，結(jié)合（1）中的結(jié)果，即可得m的值；；(4)根據(jù)（1）中求得的m的值，先求出拋物線的解析式，函數(shù)的增減性由函數(shù)的開口方向及對稱軸來確定．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，解得，∴當(dāng)或時，原函數(shù)為二次函數(shù)．（2）∵圖像開口向下，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，該函數(shù)圖像的開口向下．（3）∵函數(shù)有最小值，∴，則，∴，∴當(dāng)時，原函數(shù)有最小值．（4）當(dāng)時，此函數(shù)為，開口向下，對稱軸為y軸，當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減??；當(dāng)時，此函數(shù)為，開口向上，對稱軸為y軸，當(dāng)時，y隨x的增大而減??；當(dāng)時，y隨x的增大而增大．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)的增減性．二次函數(shù)的最值是頂點的縱坐標(biāo)，當(dāng)時，開口向上，頂點最低，此時縱坐標(biāo)為最小值；當(dāng)時，開口向下，頂點最高，此時縱坐標(biāo)為最大值．考慮二次函數(shù)的增減性要考慮開口方向和對稱軸兩方面的因素，因此最好畫圖觀察．10．（24-25九年級上·全國·假期作業(yè)）函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）A．B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的知識點是一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象，理解掌握函數(shù)圖象的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．先根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定與兩種情況分類討論拋物線的頂點位置即可得出結(jié)論．【詳解】解：A.函數(shù)圖形可得，則開口方向向下正確，但頂點坐標(biāo)應(yīng)交于原點，而不是交軸正半軸，故選項A不正確；B.函數(shù)圖形可得，則開口方向向下正確，頂點坐標(biāo)為,故選項B正確；C.函數(shù)圖形可得，則開口方向向上正確，但頂點坐標(biāo)應(yīng)交于原點，故選項C不正確；D.函數(shù)圖形可得，則開口方向向上正確，但頂點坐標(biāo)應(yīng)交于原點，故選項D不正確；故選B．11．（2024·廣東·中考真題）若點都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識點，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，再比較即可．【詳解】解∶二次函數(shù)的對稱軸為y軸，開口向上，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，∵點都在二次函數(shù)的圖象上，且，∴，故選∶A．12．（23-24九年級上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知拋物線的開口向上，則a的取值范圍是．【答案】/【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與其系數(shù)之間的關(guān)系，對于二次函數(shù)，當(dāng)時，其開口向上，當(dāng)時，其開口向下，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵拋物線的開口向上，∴，故答案為：．13．（2024·廣東佛山·二模）如圖，菱形的邊長為，點在軸的負(fù)半軸上，拋物線過點．若，則．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和菱形的性質(zhì)，過點作軸交軸于點，求出點的坐標(biāo)，代入即可求解，求出點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【詳解】過點作軸交軸于點，∵菱形的邊長為，∴，∵，∴，∴，，∴，把代入，∴，∴，故答案為：題型四的圖象和性質(zhì)例：（2024·廣西·三模）已知點，都在二次函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【分析】此題考查了待定系數(shù)法二次函數(shù)圖象上點的特征，利用已知解析式得出對稱軸進(jìn)而利用二次函數(shù)增減性得出是解題關(guān)鍵．先求得函數(shù)的對稱軸為軸，再判斷，離對稱軸距離，從而判斷出的大小關(guān)系．【詳解】解：∵函數(shù)的對稱軸為軸，∴，在對稱軸兩側(cè)，∵拋物線開口向下，且，∴．故選：B．15．（23-24九年級上·山西晉城·期末）如圖，二次函數(shù)的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，牢記：，圖象開口向下，圖象與y軸的交點在x軸的上方，是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)系數(shù)a可判定圖象的開口方向，根據(jù)c可判定圖象的頂點位置，可得答案．【詳解】解：由二次函數(shù)可知二次函數(shù)的圖象的對稱軸為y軸，，∴圖象開口向下，故A、B錯誤；，圖象的頂點在y軸的正半軸上，故C正確；故選：C．16．（2023·江西九江·二模）下列圖象中，函數(shù)的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與其系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和與y軸的交點位置分別判定a的符號，以及對稱軸是y軸，看是否一致即可得到答案．【詳解】解：函數(shù)的對稱軸為y軸，A、拋物線開口向上，則，與y軸交于正半軸，則，即，二者不一致，不符合題意；B、拋物線開口向上，則，與y軸交于負(fù)半軸，則，即，但是對稱軸不是y軸，不符合題意；C、拋物線開口向下，則，與y軸交于負(fù)半軸，則，即，二者不一致，不符合題意；D、拋物線開口向下，則，與y軸交于正半軸，則，即，二者一致，且對稱軸是y軸，符合題意；故選：D．17．（23-24九年級上·山東臨沂·期末）如圖，拋物線經(jīng)過正方形的三個頂點，，，點在軸上，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先根據(jù)拋物線解析式求出，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得點，將A點坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求出的值．【詳解】解：如圖，連接交y軸于點D，對于，當(dāng)時，，，四邊形是正方形，，，，解得，故選D．18．（2024·上海浦東新·二模）沿著x軸的正方向看，如果拋物線在y軸左側(cè)的部分是上升的，那么k的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查的是拋物線的增減性，利用拋物線的對稱軸的左側(cè)的部分是上升的可得拋物線開口向下，再建立不等式解題即可．【詳解】解：∵拋物線在對稱軸左側(cè)的部分是上升的，∴拋物線開口向下，∴，解得．故答案為：．19．（23-24九年級上·山東臨沂·階段練習(xí)）如果拋物線（a為常數(shù)）經(jīng)過了平面直角系的四個象限，那么a的取值范圍是．【答案】【分析】本題拋物線的性質(zhì)，能判斷出拋物線開口向下是解題的關(guān)鍵．由已知條件得拋物線開口向下，得到，即可求出a的取值范圍．【詳解】解：拋物線（a為常數(shù)）恒過點，且經(jīng)過了平面直角系的四個象限，拋物線開口向下，，解得：，故答案：．題型五的圖象和性質(zhì)例：（2024九年級下·江蘇·專題練習(xí)）探究二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)，請?zhí)羁眨孩賵D象的開口方向是；②圖象的對稱軸為直線；③圖象與軸的交點坐標(biāo)為；④當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為．【答案】①向上；②；③；④3，【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，拋物線開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，有最小值，令，則，圖象與軸的交點坐標(biāo)為，故答案為：①向上；②；③；④3，．21．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·模擬預(yù)測）對于拋物線，下列說法錯誤的是（

）A．對稱軸是直線 B．函數(shù)的最大值是3C．開口向下，頂點坐標(biāo) D．當(dāng)時，隨的增大而增大.【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線是頂點式，可得對稱軸是直線，函數(shù)的最大值是3，開口向下，頂點坐標(biāo)，當(dāng)時，隨的增大而減??；即可得．【詳解】解：A、對于拋物線，對稱軸是直線，選項說法正確，不符合題意；B、對于拋物線，函數(shù)的最大值是3，選項說法正確，不符合題意；C、對于拋物線，開口向下，頂點坐標(biāo)，選項說法正確，不符合題意；D、對于拋物線，當(dāng)時，隨的增大而減小，選項說法錯誤，符合題意；故選：D．22．（2024·四川涼山·中考真題）拋物線經(jīng)過三點，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由拋物線可知：開口向上，對稱軸為直線，該二次函數(shù)上所有的點滿足離對稱軸的距離越近，其對應(yīng)的函數(shù)值也就越小，∵，，，而，，，∴點離對稱軸最近，點離對稱軸最遠(yuǎn)，∴；故選：D．23．（2024·江蘇泰州·二模）二次函數(shù)（，h，k為常數(shù)）圖象開口向下，當(dāng)時，；當(dāng)時，．則h的值可能為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，代入已知的點，可得，進(jìn)而可得，即有，問題隨之得解．【詳解】∵當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，即，可得：，整理得：，∵二次函數(shù)圖像開口向下，∴，∴，故選：D．24．（23-24九年級下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，拋物線的頂點為，與軸交于點，則直線的表達(dá)式為．【答案】/【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．求出、點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線的解析式即可．【詳解】解：，頂點的坐標(biāo)為，令，則，的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，則，解得，直線的表達(dá)式為，故答案為：．25．（2024·上海虹口·二模）已知二次函數(shù)，如果函數(shù)值隨自變量的增大而減小，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)，可得函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，則，得以解答．【詳解】解：二次函數(shù)，，函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為，時，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，故選：A．題型六的圖象和性質(zhì)例：（2024·北京·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為．(1)若對于，有，求t的值；(2)若對于，都有，求t的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可求解；（2）根據(jù)題意可得離對稱軸更近，，則與的中點在對稱軸的右側(cè)，根據(jù)對稱性求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵對于有，∴拋物線的對稱軸為直線，∵拋物線的對稱軸為．∴；（2）解：∵當(dāng)，∴，，∵，，∴離對稱軸更近，，則與的中點在對稱軸的右側(cè)，∴，即．27．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，可知圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，即關(guān)于對稱軸對稱的點坐標(biāo)為，由當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，可得，計算求解，然后作答即可．【詳解】解：∵，∴圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，∴關(guān)于對稱軸對稱的點坐標(biāo)為，∵當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，∴，解得，，故選：C．28．（23-24八年級下·江西宜春·期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標(biāo)為，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象反映出的數(shù)量關(guān)系，逐一判斷正確性．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∵拋物線與軸的交點在軸上方，∴，∴，所以①正確；∵拋物線與軸有2個交點，∴，所以②正確；∵拋物線的對稱軸為，∴和對應(yīng)的函數(shù)值相等，∴時，，即，所以③錯誤；∵，∴，所以④正確；∵頂點坐標(biāo)縱坐標(biāo)為，∴，∴，所以⑤正確．故選：D．29．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，已知開口向下的拋物線與軸交于點，對稱軸為直線．則下列結(jié)論：①；②；③；④拋物線上有兩點和，若且，則．其中正確的是【答案】①②③【分析】本題考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與軸交點位置判斷①；由拋物線的對稱性可判斷②；由二次函數(shù)的對稱軸為可判斷③；由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷④．解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵拋物線交軸于正半軸，∴，∵對稱軸為直線，即，∴，∴，故結(jié)論①正確；∵拋物線對稱軸為直線，且當(dāng)時，，∴時，，即，故結(jié)論②正確；∵對稱軸為直線，∴，∴，∴，故結(jié)論③正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，若且，則點到對稱軸的距離小于到直線的距離，∴，故結(jié)論④不正確，∴正確的是①②③．故答案為：①②③．30．（2024·四川內(nèi)江·二模）如圖，拋物線的對稱軸為直線，拋物線與x軸的一個交點在和之間，其部分圖象如圖所示．有下列結(jié)論：①；②；③；④（t為實數(shù)）；⑤若，是該拋物線上的三點，則．其中正確的個數(shù)是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與系數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸即可判斷①；根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點的位置可判斷拋物線與y軸交點的位置即可判斷②；根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點的位置可得點的位置，即可判斷③；根據(jù)拋物線的對稱軸求出頂點坐標(biāo)為，由此可得為拋物線的最大值，即可判斷④；根據(jù)拋物線開口向下，且對稱軸為，可得拋物線上離對稱軸水平距離越小，函數(shù)的值越大，即可判斷⑤．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，故①正確；∵拋物線開口向下，頂點在第二象限，與x軸的一個交點在和之間，∴拋物線與x軸的另一個交點在和之間，∴拋物線與y軸的交點在負(fù)半軸上，∴，故②正確；對于，當(dāng)時，，∵拋物線與x軸的另一個交點在和之間，頂點在第二象限，開口向下，∴點在第二象限，∴，由①得，，即，∴，即，故③正確；對于，當(dāng)時，，當(dāng)（t為實數(shù)）時，，∵拋物線對稱軸為，∴點為拋物線的頂點，又∵拋物線開口向下，∴為拋物線的最大值，∴，即，故④正確；∵拋物線開口向下，且對稱軸為，觀察圖象可得，在拋物線上離對稱軸水平距離越小，函數(shù)的值越大，∴，故⑤錯誤；故選：A．31．（23-24八年級下·浙江金華·期末）點是二次函數(shù)圖像上的四個點，下列說法一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及不等式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸及開口方向、確定各點縱坐標(biāo)值的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先求出拋物線的對稱軸，根據(jù)拋物線的開口方向和增減性，根據(jù)橫坐標(biāo)的值，可判斷出各點縱坐標(biāo)值的大小關(guān)系即可解答．【詳解】解：∵二次函數(shù)的對稱軸為：，且開口向下，∴距離對稱軸越近，函數(shù)值越大，，A.若，則不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；B.若，則不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；C.若，所以不一定成立，故選項錯，不符合題意；D．若，則一定成立，故選項正確誤，符合題意．故選：D．32．（23-24八年級下·云南·期末）已知拋物線經(jīng)過點和點．(1)求此拋物線的解析式及頂點坐標(biāo)；(2)當(dāng)自變量x滿足時，求y的取值范圍；(3)將此拋物線沿x軸平移m個單位后，當(dāng)自變量x滿足時，y的最小值為5，求m的值．【答案】(1)解析式為：；頂點坐標(biāo)為(2)(3)或【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，平移性質(zhì)等．（1）將點和點代入中求出的值，即可計算出本題答案；（2）利用二次函數(shù)頂點式可得當(dāng)時取得最小值，再求出和時對應(yīng)的函數(shù)值即可得到本題答案；（3）根據(jù)題意分別設(shè)拋物線左右平移解析式，利用函數(shù)性質(zhì)得到最值情況，即可得到本題答案．【詳解】（1）解：將點和點代入中得，，解得：，∴，∵，∴頂點坐標(biāo)為；（2）解：∵，∴二次函數(shù)對稱軸為：，∵，∴此時函數(shù)有最小值，∵自變量x滿足時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴自變量x滿足時，y的取值范圍為：；（3）解：∵將此拋物線沿x軸平移m個單位后，∴設(shè)此拋物線沿x軸向右平移m個單位后解析式為，∵當(dāng)自變量滿足時，的最小值為5，∴，即，此時時，，即，解得：（舍去），設(shè)此拋物線沿x軸向左平移m個單位后解析式為，∵當(dāng)自變量滿足時，的最小值為5，∴，即，此時時，，即，解得：（舍去），綜上所述：的值為：或．題型七二次函數(shù)圖象與系數(shù)符號之間的關(guān)系例：（23-24九年級上·河南商丘·階段練習(xí)）如圖為拋物線的圖象，A、B、C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點，且，則下列關(guān)系中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)以下知識點分析即可：①二次項系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)時，拋物線向上開口；當(dāng)時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)和二次項系數(shù)共同決定對稱軸的位置：當(dāng)與同號時（即，對稱軸在軸左；當(dāng)與異號時（即，對稱軸在軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項決定拋物線與軸交點．拋物線與軸交于．此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確二次函數(shù)各項的系數(shù)和圖形的關(guān)系．【詳解】解：，，又時，，，，選項C不正確；拋物線開口向上，；又，，選項A不正確；，，又，，選項D正確；，時，，，又，，選項B不正確．故選：D．34．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，，則二次函數(shù)的圖象可能為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．首先得到拋物線開口向下，且與x軸的兩個交點坐標(biāo)為和，然后得到二次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵二次函數(shù)，當(dāng)時，，∴拋物線開口向下，且與x軸的兩個交點坐標(biāo)為和∴，∴對稱軸為∵二次函數(shù)∴對稱軸為∴二次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱∴二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)為和，且開口向下∴二次函數(shù)的圖象可能為．故選：D．35．（23-24八年級下·四川廣安·期末）二次函數(shù)的圖像如圖所示，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．由拋物線的開口向上知，由二次函數(shù)與軸交于負(fù)半軸可以推出，又拋物線與軸有兩個交點，然后利用前面的結(jié)論即可確定的取值范圍．【詳解】解：拋物線的開口向上，，①二次函數(shù)與軸交于負(fù)半軸，，②拋物線與軸有兩個交點，則，，③，聯(lián)立①②③解之得：．的取值范圍是．故選：D．36．（2024·廣西欽州·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像如圖所示，以下結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．若為任意實數(shù)，則【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷的符號，根據(jù)拋物線與軸的交點即可判斷B,C選項，根據(jù)拋物線開口向上，對稱軸為直線，得出最小值為，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：拋物線開口向上，則，拋物線的對稱軸為直線，則∴，拋物線與軸交于負(fù)半軸，則∴，故A選項錯誤；∵當(dāng)時，，∴∴，故B正確∵拋物線的對稱軸為直線，和時，∴，故C錯誤；∵，對稱軸為直線∴若為任意實數(shù)，則，即，故D錯誤，故選：B．37．（2024·山東德州·二模）小紅從圖所示的二次函數(shù)的圖象中．觀察得出了下面五條信息：①；②；③；④；⑤，你認(rèn)為其中正確信息的個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．能從函數(shù)圖象中正確獲取信息是解題的關(guān)鍵．觀察圖象易得，，所以，因此，由此可以判定①②④；當(dāng)，由點在第二象限可以判定，可以判定③；當(dāng)時，，由點在第一象限可以判定⑤．【詳解】解：∵拋物線開口方向向上，∴，∵與y軸交點在x軸的下方，∴，∵，∴，∴，∴①錯誤，②是正確，∵對稱軸，∴，∴，∴④是錯誤的；當(dāng)，而點在第二象限，∴∴③是正確的；當(dāng)時，，而點在第一象限，∴∴⑤是正確的．故選：B．題型八二次函數(shù)圖象對稱性的應(yīng)用例：（23-24八年級下·北京海淀·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點在拋物線上．(1)直接寫出拋物線的對稱軸；(2)拋物線上兩點，，且，．①當(dāng)時，直接寫出，的大小關(guān)系；②若對于，都有，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)對稱軸為直線(2)①；②或【分析】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系掌握這些關(guān)系是解答關(guān)鍵．（1）求出拋物線與y軸的交點坐標(biāo)，此點與點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，則可求得對稱軸；（2）①由可得的范圍，則可得P、Q到對稱軸的距離大小關(guān)系，結(jié)合即可判斷；②設(shè)點P關(guān)于直線的對稱點為，由可得，解不等式即可求解．【詳解】（1）解：在拋物線中，令，則，即拋物線與y軸的交點，故點與點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，而，則拋物線對稱軸為直線；（2）解：①當(dāng)時，，，；，即，，；②設(shè)點P關(guān)于直線的對稱點為，則，即；，；而，則．，，故當(dāng)或時，，解得：或．39．（23-24八年級下·云南·期末）已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表．則這條拋物線的對稱軸是（

）…………A．直線 B．直線 C．直線 D．軸【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)當(dāng)、時的函數(shù)值都是，結(jié)合二次函數(shù)的對稱性求解即可，【詳解】解：∵當(dāng)、時的函數(shù)值都是，∴這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線，即，故選．40．（23-24八年級下·北京海淀·期末）若點，，在拋物線上，則，，的大小關(guān)系為（用“＞”連接）．【答案】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用對稱性得點C關(guān)于對稱軸的對稱點D的坐標(biāo)，這樣A、B、D三點均在拋物線對稱軸的左側(cè)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，，的大小關(guān)系．【詳解】解：拋物線解析式為，則拋物線的對稱軸為直線，故點C關(guān)于對稱軸的對稱點D的坐標(biāo)為，而，且，所以當(dāng)時，函數(shù)值隨自變量的增大而減小，故，故答案為：．41．（2024·湖北武漢·三模）已知拋物線（a，k為常數(shù)）的與的部分對應(yīng)值如表所示；下列四個結(jié)論：①②若，則該拋物線與軸沒有交點；③若，則；④若，則，其中正確的結(jié)論是（填寫序號）．【答案】①②④【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)對稱性判斷①；分得出頂點坐標(biāo)所在象限，即可判斷②；根據(jù)，對稱軸為直線,可得拋物線開口向下，進(jìn)而判斷③；根據(jù)對稱性得出關(guān)于的對稱點為，由得出或時，，進(jìn)而分分別討論，即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線∴對稱軸為直線,∵和時的函數(shù)值相等，∴，解得：，故①正確；∵，拋物線頂點坐標(biāo)為當(dāng)，拋物線開口向上，拋物線頂點在第一象限，∴該拋物線與軸沒有交點；當(dāng)，拋物線開口向下，拋物線頂點在第四象限，∴該拋物線與軸沒有交點；故②正確；③若，又，即離對稱軸較遠(yuǎn)的點的函數(shù)值較小，∴拋物線開口向下，又∵，即比離對稱軸遠(yuǎn)，∴，故③不正確∵關(guān)于的對稱點為又∵∴或時，當(dāng)時，和時，，則當(dāng)時，和時，，則∴④正確故答案為：①②④．42．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖是小李同學(xué)設(shè)計的一個動畫示意圖，光點從點發(fā)出，其經(jīng)過的路徑為拋物線：的一部分，并落在水平臺子上的點處，其達(dá)到的最大高度為，光點在點處被反彈后繼續(xù)向前沿拋物線：的一部分運行，已知臺子的長，，點是的中點．(1)求拋物線的對稱軸及函數(shù)表達(dá)式；(2)若光點被彈起后，落在臺子上的之間不含端點，求所有的整數(shù)值．【答案】(1)，(2)，，【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，拋物線的對稱軸．（1）根據(jù)題意得出對稱軸為直線，進(jìn)而求得頂點坐標(biāo)，設(shè)解析式為將點代入，待定系數(shù)法求解析式，即可求解．（2）根據(jù)拋物線的對稱性，求得的中點進(jìn)而求得的范圍，即可求解．【詳解】（1）解：點，點是拋物線上的一對對稱點，對稱軸為直線拋物線達(dá)到的最大高度為，設(shè)解析式為將點代入，得解得，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（2），，又，點，點，當(dāng)點與點是拋物線上的一對對稱點時，，當(dāng)點與點是拋物線上的一對對稱點時，，，所有的整數(shù)值為，，43．（2024·北京大興·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點和點在拋物線（）上，設(shè)拋物線的對稱軸為．(1)若，，求t的值；(2)已知點，在該拋物線上，若，，比較，的大小，并說明理由．【答案】(1)(2)，見解析【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的對稱性計算是解題的關(guān)鍵．（1）把點和點代入得出關(guān)于、的二元一次方程組，解方程組求出、的值，根據(jù)對稱軸方程即可得答案；（2）根據(jù)得出當(dāng)時，y隨x的增大而增大，判斷出，在對稱軸的左側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性得出點關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)為，點關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)為，進(jìn)而得出即可得答案．【詳解】（1）解：∵，，∴把點和點代入得：，解得：，∵對稱軸為，∴．（2）∵，∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大．令，得，∴拋物線與y軸交點坐標(biāo)為．∵，，，∴，在對稱軸的左側(cè)，設(shè)點關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)，．．∴點關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)為．∵，．．點在對稱軸左側(cè)，點在對稱軸右側(cè)．設(shè)點關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)，．．∴點關(guān)于對稱軸的對稱點坐標(biāo)為．．．題型九用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例：（2024·福建·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，其中．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若是二次函數(shù)圖象上的一點，且點在第二象限，線段交軸于點的面積是的面積的2倍，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次函數(shù)表達(dá)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理能力、幾何直觀等.（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)，因為點在第二象限，所以．依題意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出點的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：將代入，得，解得，所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）設(shè)，因為點在第二象限，所以．依題意，得，即，所以．由已知，得，所以．由，解得（舍去），所以點坐標(biāo)為．45．（2023·廣東佛山·三模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且當(dāng)時，函數(shù)有最大值是2．求二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意可知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，把代入解析式解出a的值即可求出答案．【詳解】解：∵當(dāng)時，函數(shù)有最大值是2，∴二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為：，設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為：．46．（2024·黑龍江雙