安徽省六安市第一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.2．下列關(guān)于拋物線的圖象描述正確的是（）A.開口向上，焦點(diǎn)為 B.開口向右，焦點(diǎn)為C.開口向上，焦點(diǎn)為 D.開口向右，焦點(diǎn)為3．下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）（ⅰ）命題“若，則”的否命題為：“若，則”；（ⅱ）“，”的否定為“，使得”；（ⅲ）命題“若，則有實(shí)根”為真命題；（ⅳ）命題“若，則”的否命題為真命題；A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)4．空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級(jí)指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對(duì)人體危害越大，指數(shù)范圍在：，，，，分別對(duì)應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕中度污染”、“中度重污染”、“重污染”五個(gè)等級(jí)，如圖是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖，下面說法錯(cuò)誤的是（）.A.這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”B.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越差C.這14天中空氣質(zhì)量的中位數(shù)是103D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小是9日到11日5．圓與直線的位置關(guān)系為（）A.相切 B.相離C.相交 D.無法確定6．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A.為的極大值點(diǎn)B.為的極大值點(diǎn)C.為的極大值點(diǎn)D.為的極小值點(diǎn)7．已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.248．橢圓（）的右頂點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則（）A.5 B.25C. D.10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，在拋物線上有一點(diǎn)，滿足，則的中點(diǎn)到軸的距離為（）A. B.C. D.11．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.512．在等差數(shù)列中，，表示數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.43 B.44C.45 D.46二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為__________.14．若數(shù)列滿足，，則__________15．知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________.16．直線的傾斜角為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，且其左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、在橢圓上，以線段為直徑的圓過原點(diǎn)，試問是否存在定點(diǎn)，使得到直線的距離為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說理由.18．（12分）設(shè)，為雙曲線：（，）的左、右頂點(diǎn)，直線過右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)點(diǎn)距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由19．（12分）如圖，矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線在x軸上方的曲線上，求矩形面積最大時(shí)的邊長(zhǎng).20．（12分）已知圓與（1）過點(diǎn)作直線與圓相切，求的方程；（2）若圓與圓相交于、兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）已知直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求.22．（10分）如圖，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC．E為AB中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面CEB夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)規(guī)律，總結(jié)通項(xiàng)公式，即可得答案.【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項(xiàng)為，所以該數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式為故選：A2、A【解析】把化成拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)拋物線幾何性質(zhì)看開口方向，求其焦點(diǎn)坐標(biāo)即可解決.【詳解】，即.則，即故此拋物線開口向上，焦點(diǎn)為故選：A3、B【解析】根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)特征可判斷（?。áぃ┑恼`，根據(jù)全稱命題的否定形式可判斷（ⅱ）的正誤，根據(jù)判別式的正誤可判斷（ⅲ）的正誤.【詳解】命題“若，則”的否命題”為“若，則”，故（?。╁e(cuò)誤.“，”的否定為“，使得”，故（ⅱ）正確，當(dāng)時(shí)，，故有實(shí)根，故（ⅲ）正確，“若，則”的否命題為“若，則”，取，則，故命題若，則為假命題，故（ⅳ）錯(cuò)誤.故選：B4、C【解析】根據(jù)題圖分析數(shù)據(jù)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A，14天中有1，3，12，13共4日空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”，故A正確對(duì)于B，從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高，故空氣質(zhì)量越來越差，故B正確對(duì)于C，14個(gè)數(shù)據(jù)中位數(shù)為：，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，觀察折線圖可知D正確故選：C5、C【解析】先計(jì)算出直線恒過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓與直線相交.【詳解】直線可化為，所以恒過定點(diǎn).把代入，有：，所以在圓內(nèi)，所以圓與直線的位置關(guān)系為相交.故選：C6、A【解析】由導(dǎo)函數(shù)的圖像可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求得函數(shù)的極值【詳解】由的圖像可知，在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，所以為的極大值點(diǎn)，和為的極小值點(diǎn)，不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故選：A7、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B8、A【解析】求得拋物線的焦點(diǎn)從而求得，再結(jié)合題意求得，即可寫出橢圓方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可得；又短軸長(zhǎng)為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.9、B【解析】由漸近線方程得到，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為：，利用點(diǎn)到直線距離公式即得解【詳解】由題意，雙曲線故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為：焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為：解得：故選：B10、A【解析】設(shè)點(diǎn)，利用拋物線的定義求出的值，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，易知拋物線的焦點(diǎn)為，由拋物線的定義可得，得，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故點(diǎn)到軸的距離為.故選：A.11、C【解析】直線l過定點(diǎn)D(1，1)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過定點(diǎn)，∵，故D在圓C內(nèi)部，直線l始終與圓相交，當(dāng)時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，，弦長(zhǎng)＝.故選：C.12、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列中，滿足，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，則.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求得圓心到直線的距離，結(jié)合圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，即可求解.【詳解】由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故答案為：14、7【解析】根據(jù)遞推公式，依次求得值.【詳解】依題意，由，可知，故答案為：715、【解析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合冪函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性判斷零點(diǎn)的分布，進(jìn)而求m的范圍.【詳解】由解析式知：在上為增函數(shù)且，在上，時(shí)為單調(diào)函數(shù)，時(shí)無零點(diǎn)，故要使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即兩側(cè)各有一個(gè)零點(diǎn)，所以在上必遞減且，則，可得.故答案為：16、【解析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，.【解析】（1）由題設(shè)可知求出，再結(jié)合，從而可求出橢圓的方程，（2）①若直線與軸垂直，由對(duì)稱性可知，代入橢圓方程可求得結(jié)果，②若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)，，再由條件，得，從而得，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果【詳解】（1）由題設(shè)可知解得，，，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)，，①若直線與軸垂直，由對(duì)稱性可知，將點(diǎn)代入橢圓方程，解得，原點(diǎn)到該直線的距離；②若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，由消去得，則由條件，即，由韋達(dá)定理得，整理得，則原點(diǎn)到該直線的距離；故存在定點(diǎn)，使得到直線的距離為定值.18、（1）；（2）①；②定點(diǎn)有兩個(gè)，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據(jù)已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設(shè)有，結(jié)合（1）求雙曲線參數(shù)，寫出雙曲線方程即可；②由題設(shè)可設(shè)為，，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理求，，，，再由、的方程求，坐標(biāo)，若在為直徑的圓上點(diǎn)，由結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由題設(shè)，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問2詳解】由題設(shè)，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設(shè)為，，，聯(lián)立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點(diǎn)，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的②，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，，，進(jìn)而根據(jù)、的方程求，坐標(biāo)，再由圓的性質(zhì)及向量垂直的坐標(biāo)表示求定點(diǎn)坐標(biāo).19、當(dāng)矩形面積最大時(shí)，矩形邊AB長(zhǎng)，BC長(zhǎng)【解析】先設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出矩形的面積，通過求導(dǎo)可求出其最大面積.【詳解】設(shè)點(diǎn)，那么矩形面積，.令解得（負(fù)舍）.所以S在（0，）上單調(diào)遞增，在（，2）上單調(diào)遞；..所以當(dāng)時(shí)，S有最大值.此時(shí)答：當(dāng)矩形面積最大時(shí)，矩形邊AB長(zhǎng)，BC長(zhǎng).20、（1）或（2）【解析】（1）根據(jù)已知可得圓心與半徑，再利用幾何法可得切線方程；（2）聯(lián)立兩圓方程可得公共弦方程，進(jìn)而可得弦長(zhǎng).【小問1詳解】解：圓的方程可化為：，即：圓的圓心為，半徑為若直線的斜率不存在，方程為：，與圓相切，滿足條件若直線的斜率存在，設(shè)斜率為，方程為：，即：由與圓相切可得：，解得：所以的方程為：，即：綜上可得的方程為：或【小問2詳解】聯(lián)立兩圓方程得：，消去二次項(xiàng)得所在直線的方程：，圓的圓心到的距離，所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）首先將圓的參數(shù)方程華為普通方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可.（2）首先聯(lián)立得到，再求的長(zhǎng)度即可.【詳解】（1）將曲線C的參數(shù)方程，（為參數(shù)）化為普通方程，得，極坐標(biāo)方程為.（2）聯(lián)立方程組，消去得，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的極徑分別為，，則，，所以.22、（1）證明見解析；（2）.【解析