2024/10/261一、有理函數(shù)的積分(IntegrationofRationalFunction)兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).有理函數(shù)的定義：第四節(jié)有理函數(shù)的積分

第四章2024/10/262假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1）利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例如，我們可將化為多項(xiàng)式與真分式之和2024/10/2632）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和最簡(jiǎn)分式是下面兩種形式的分式2024/10/264（1）分母中若有因式，則分解后為3）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：（2）分母中若有因式，其中則分解后為2024/10/265

為了便于求積分，必須把真分式化為部分分式之和，同時(shí)要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法例12024/10/266例2通分以后比較分子得：2024/10/267

我們也可以用賦值法來得到最簡(jiǎn)分式，比如前面的例2，兩端去分母后得到2024/10/268例3整理得2024/10/269例4

求積分解：例22024/10/2610例5

求積分解：例32024/10/2611解:

原式例6求2024/10/2612解:說明:

將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.例7求2024/10/2613解:

原式注意本題技巧按常規(guī)方法較繁例8（補(bǔ)充題）

求點(diǎn)擊看“常規(guī)解法”2024/10/2614第一步令比較系數(shù)定a,b,c,d.得第二步化為部分分式.即令比較系數(shù)定A,B,C,D.第三步分項(xiàng)積分.此解法較繁!按常規(guī)方法解:2024/10/2615二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬(wàn)能代換t

的有理函數(shù)的積分1.三角函數(shù)有理式的積分則2024/10/26162024/10/2617令2024/10/2618例9

（P215例4）求解：令則2024/10/2619例10（補(bǔ)充題）

求解：一直做下去，一定可以積出來，只是太麻煩。

由此可以看出，萬(wàn)能代換法不是最簡(jiǎn)方法，能不用盡量不用。2024/10/2620解:

說明:

通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換例11求2024/10/2621令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:令2.簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分2024/10/2622解:

令則原式例12（P217例6）求2024/10/2623解:

為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令例13求2024/10/2624解:

令則原式例14求（P217例8）2024/10/2625本節(jié)小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無理函數(shù)三角代換根式代換2.特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡(jiǎn)便計(jì)算.簡(jiǎn)便,