PAGE15-第八章機械能守恒定律一、功的正、負推斷和計算方法及功率的計算【典例1】(多選)如圖所示，一端可繞O點在豎直面內自由轉動的長木板上方放一個物塊，手持木板的另一端，使木板從水平位置沿順時針方向緩慢旋轉，則在物塊相對于木板滑動前的過程中 ()A.重力做正功 B.摩擦力做負功C.摩擦力不做功 D.支持力不做功【解析】選A、C。重力與速度方向成銳角，重力做正功；摩擦力與速度方向垂直，摩擦力不做功；支持力與速度方向成鈍角，支持力做負功。綜上所述，A、C項正確?！痉椒记伞?.如何推斷力F做功的正負：(1)利用功的計算公式W=Flcosα。此法常用于推斷恒力做功的狀況。(2)利用力F與物體速度v之間的夾角狀況來推斷，設其夾角為α，若0°≤α<90°，則力F做正功；若α=90°，則力F不做功；若90°<α≤180°，則力F做負功。此法常用于曲線運動中功的分析。(3)從能量角度入手，此法既適用于恒力做功，也適用于變力做功，關鍵應分析清晰能量的轉化狀況，依據功是能量轉化的量度，若有能量轉化，則必有力對物體做功，假如系統(tǒng)機械能增加，說明外界對系統(tǒng)做正功；假如系統(tǒng)機械能削減，則說明外界對系統(tǒng)做負功。2.功的計算方法：(1)恒力做功：W=Flcosα，α為F與l的夾角，此式適用于求解恒力所做的功。(2)變力做功：①微元法：若物體在變力作用下做曲線運動，我們可以把運動過程分成許多小段，每一小段內可認為F是恒力，用W=Flcosα求岀每一小段內力F所做的功，然后累加起來就得到整個過程中變力所做的功。②圖像法：如圖所示，在直角坐標系中，用縱坐標表示作用在物體上的力F，橫坐標表示物體在力的方向上的位移l，則圖線與坐標軸包圍的面積在數值上等于功的大小。③利用W=Pt，求變力做功：這是一種等效替代的觀點，用W=Pt計算功時，必需滿意變力的功率是肯定的。④轉換探討對象法：通過變更探討對象化變力為恒力求功。⑤利用功能關系求變力做的功：求變力所做的功，往往依據動能定理、機械能守恒定律和功能關系等規(guī)律，用能量的變更量等效替代變力所做的功。3.功率的計算方法：(1)公式P=求出的是恒定功率或t時間內的平均功率。(2)公式P=Fvcosα(當F、v共線時公式簡化為P=Fv，可求瞬時功率或平均功率?！舅仞B(yǎng)訓練】1.(多選)以下關于功和能的說法正確的是 ()A.功是矢量，能是標量B.功和能都是標量C.功是能量轉化的量度D.因為功和能的單位都是焦耳，所以功就是能【解析】選B、C。功和能都沒有方向，都是標量，A錯，B對。功與能只是單位相同，兩者是不同的概念。做功必定伴隨著能量的變更，能量變更的多少可以由做功多少來量度，C對，D錯。2.如圖小物塊位于光滑的斜面上，斜面位于光滑的水平地面上，從地面上看，在小物塊沿斜面下滑的過程中，斜面對小物塊的作用力 ()A.垂直于接觸面，做功為零B.垂直于接觸面，做功不為零C.不垂直于接觸面，做功為零D.不垂直于接觸面，做功不為零【解析】選B。小物塊下滑的過程中，斜面對右運動，所以小物塊沿斜面對下運動的同時會向右運動，它的位移如圖中虛線所示。小物塊受支持力的作用，方向是垂直斜面對上的，小物塊的運動方向與力的方向不垂直，支持力做功，故B正確。3.(多選)質量為m=2kg的物體沿水平面對右做直線運動,t=0時刻受到一個水平向左的恒力F作用,如圖甲所示,取水平向右為正方向,此物體的v-t圖像如圖乙所示,g取10m/s2,則()A.物體與水平面間的動摩擦因數為0.5B.10s內恒力F對物體做功為102JC.10s末物體在計時起點位置左側2m處D.10s內物體克服摩擦力做功為34J【解析】選C、D。設物體向右做勻減速直線運動的加速度為a1,則由v-t圖像得加速度大小a1=2m/s2,方向與初速度方向相反,設物體向左做勻加速直線運動的加速度為a2,則由v-t圖像得加速度大小a2=1m/s2,方向與初速度方向相反,依據牛頓其次定律得,F+μmg=ma1,F-μmg=ma2,解得F=3N,μ=0.05,故A錯誤;依據v-t圖像與橫軸所圍成的面積表示位移得,x=×4×8m-×6×6m=-2m,負號表示物體在計時起點位置的左側,則10s內恒力F對物體做功W=Fx=3×2J=6J,故B錯誤,C正確;10s內物體克服摩擦力做功Wf=Ffs=0.05×20×(×4×8+×6×6)J=34J,故D正確。4.(多選)如圖所示，物體沿弧形軌道滑下后進入足夠長的水平傳送帶，傳送帶以圖示方向勻速運轉，則傳送帶對物體做功狀況可能是 ()A.始終不做功 B.先做負功后做正功C.先做正功后不做功 D.先做負功后不做功【解析】選A、C、D。設傳送帶速度大小為v1，物體剛滑上傳送帶時的速度大小為v2。當v1=v2時，物體隨傳送帶一起做勻速直線運動，故物體與傳送帶之間不存在摩擦力，即傳送帶對物體始終不做功，選項A正確，當v1>v2時，物體受摩擦力向前，傳送帶對物體先做正功后不做功，C正確。當v1<v2時，物體受摩擦力向后，傳送帶對物體先做負功后不做功，B錯、D對。5.水平面上一質量為m的物體，在水平力F作用下起先加速運動，力F的功率P保持恒定，運動過程所受的阻力f大小不變，物體速度最終達到穩(wěn)定值vm，F作用過程物體的速度v的倒數與加速度a的關系圖像如圖所示，僅在已知功率P的狀況下，依據圖像所給的信息 ()A.可求出m，f和vm B.不能求出mC.不能求出f D.可求出加速運動時間【解析】選A。由F-f=ma，P=Fv可得=+，對應圖線可知，=k=，可求出汽車的質量m，由a=0時，=0.1可得vm=10m/s，再由vm=，可求出汽車受到的阻力f，但無法求出汽車加速運動時間，A正確。6.(多選)在平直的馬路上，汽車由靜止起先做勻加速運動。當速度達到vm后，馬上關閉發(fā)動機而滑行直到停止。v-t圖線如圖所示，汽車的牽引力大小為F1，摩擦力大小為F2。全過程中，牽引力做的功為W1，克服摩擦阻力做功為W2。以下有關F1、F2及W1、W2間關系的說法正確的是 ()A.F1∶F2=1∶3 B.F1∶F2=4∶3C.W1∶W2=1∶1 D.W1∶W2=1∶3【解析】選B、C。由v-t圖線知，汽車在前后兩階段的加速度大小之比為a1∶a2=1∶3。由于F1-F2=ma1，F2=ma2，所以F1∶F2=4∶3，B正確，A錯誤；汽車存在牽引力時前進的位移為x1，牽引力做的功W1=F1·x1，汽車整個過程前進的位移為x2，整個過程汽車克服摩擦力做功W2=F2·x2。又由v-t圖線知x1∶x2=3∶4，故W1∶W2=1∶1，C正確，D錯誤。7.物體放在水平地面上，在水平拉力的作用下，沿水平方向運動，在0～6s內其速度與時間關系的圖像和拉力的功率與時間關系的圖像如圖所示，由圖像可以求得物體的質量為 ()A.kg B.kgC.kg D.kg【解析】選B。在2s時刻汽車的功率增大到最大，由P=Fv可知此時牽引力F==5N，之后以10W的功率，6m/s的速度勻速運動，此時牽引力等于阻力，由P=Fv和F=f可知阻力為N，在勻加速階段加速度為3m/sF-f=ma，m===kg，B對。8.(多選)用一水平拉力使質量為m的物體從靜止起先沿水平面運動，物體的v-t圖像如圖所示。若t2=2t1，則下列表述正確的是 ()A.在0～t1時間內物體做曲線運動B.在0～t1時間內物體受到的合力逐慚變小C.物體在0～t1時間位移小于在t1～t2時間內位移D.在t1～t2時間內合力做功【解析】選B、C。v-t圖像中速度只有兩個方向即正方向和負方向，不行能是曲線運動，曲線運動速度方向時刻變更，選項A錯。速度—時間圖像斜率代表加速度，在0～t1時間內斜率漸漸減小，即加速度變小，依據牛頓其次定律F=ma，加速度漸漸變小，合力漸漸變小，選項B對。速度—時間圖像的面積代表位移，在0～t1時間位移小于在t1～t2時間內位移選項C對。在t1～t2時間內速度不變，物體做勻速直線運動，合力為0，做功為0，選項D錯。9.如圖所示，一個表面光滑的斜面體M置于在水平地面上，它的兩個斜面與水平面的夾角分別為α、β，且α<β，M的頂端裝有肯定滑輪，一輕質細繩跨過定滑輪后連接A、B兩個小滑塊，細繩與各自的斜面平行，不計繩與滑輪間的摩擦，A、B恰好在同一高度處于靜止狀態(tài)。剪斷細繩后，A、B滑至斜面底端，M始終保持靜止。則 ()A.滑塊A的質量大于滑塊B的質量B.兩滑塊到達斜面底端時的速度相同C.兩滑塊到達斜面底端時，A滑塊重力的瞬時功率較大D.在滑塊A、B下滑的過程中，斜面體受到水平向左的摩擦力【解析】選A、D。滑塊A和滑塊B沿著斜面方向的分力等大，故：mAgsinα=mBgsinβ；由于α<β，故mA>mB，故A正確；滑塊下滑過程機械能守恒，有：mgh=mv2，故v=，由于兩個滑塊的高度相等，故到達斜面底端速度相等，故B錯誤；滑塊到達斜面底端時，滑塊重力的瞬時功率：PA=mAgsinα·v，PB=mBgsinα·v；由于mAgsinα=mBgsinβ，故PA=PB，故C錯誤；滑塊A對斜面體壓力等于重力的垂直分力mAgcosα，滑塊B對斜面體壓力也等于重力的垂直分力mBgcosβ，如圖所示NAsinα-NBsinβ=mAgcosαsinα-mBgcosβsinβ>0，故靜摩擦力向左，故D正確；故選A、D。二、功能關系及摩擦力做功特點【典例2】如圖所示，繃緊的傳送帶與水平面間的夾角θ=30°，傳送帶在電動機的帶動下，始終保持v=2m/s的速率運行。現把一質量為m=10kg的工件(可看為質點)輕輕放在傳送帶的底端，經時間t=1.9s，工件被傳送到h=1.5m的高處，取g(1)工件與傳送帶間的動摩擦因數；(2)電動機由于傳送工件多消耗的電能。【解析】(1)圖中斜面長s==3m，設工件經時間t1速度達到v，做勻加速運動的位移s1=vt1，工件速度達到v后做勻速運動的位移為s-s1=v(t-t1)，勻加速運動的加速度a=，工件受的支持力F=mgcosθ，由牛頓其次定律，有μF-mgsinθ=ma，解得動摩擦因數μ=；(2)在時間t1內：傳送帶運動位移s傳送帶=vt1，工件箱相對傳送帶位移s箱=s傳送帶-s1，摩擦發(fā)熱Q=μF·s箱，工件增加的動能Ek=mv2，工件增加的重力勢能Ep=mgh電動機多消耗的電能W=Q+Ek+Ep，解得W=230J。答案：(1)(2)230J【方法技巧】1.力學中幾種常用的功能關系：合力的功動能變更重力的功重力勢能變更彈簧彈力的功彈性勢能變更除重力、系統(tǒng)內彈力外的其他力的功機械能變更一對滑動摩擦力的總功內能變更2.動能定理的應用技巧：(1)明確探討對象和探討過程，找岀初、末狀態(tài)的速度。(2)對物體進行正確的受力分析(包括重力、彈力等)，明確各力的做功大小及正、負狀況。(3)在計算功時，要留意有些力不是全過程都做功，必需依據不同狀況分別對待，求岀總功。(4)若物體運動過程中包含幾個不同的物理過程，解題時，可以分段考慮，也可視為一個整體過程，列岀動能定理求解。3.推斷系統(tǒng)機械能是否守恒的方法：(1)方法一：用做功來判定，對某一系統(tǒng)，只有重力和系統(tǒng)內彈力做功，其他力不做功。(2)方法二：用能量轉化來判定，系統(tǒng)中只有動能和勢能的相互轉化而無機械能與其他形式的能的轉化。4.靜摩擦力做功的特點：(1)靜摩擦力可以做正功、負功，還可以不做功。(2)在靜摩擦力做功的過程中，只有機械能從一個物體轉移到另一個物體(靜摩擦力起著傳遞機械能的作用)，而沒有機械能轉化為其他形式的能量。(3)相互摩擦的系統(tǒng)，一對靜摩擦力所做功的代數和總等于零。5.滑動摩擦力做功的特點：(1)滑動摩擦力對物體可以做正功、負功，還可以不做功(如相對運動的兩物體之一相對地面靜止，滑動摩擦力對該物體不做功)。(2)一對滑動摩擦力在做功的過程中，能量的轉化和轉移的狀況：一是相互摩擦的物體通過摩擦力做功，將部分機械能從一個物體轉移到另一個物體；二是部分機械能轉化為內能，此部分能量就是系統(tǒng)機械能損失的能量。(3)在相互摩擦的物體系統(tǒng)中，一對相互作用的滑動摩擦力所做功的代數和總是負值，其肯定值等于滑動摩擦力與相對路程的積，即Wf=Ffx相對，表示物體克服了摩擦力做功，系統(tǒng)損失機械能，轉變成內能，即ΔE損=Ffx相對=Q相對(摩擦生熱)【素養(yǎng)訓練】1.如圖，abc是豎直面內的光滑固定軌道，ab水平，長度為2R，bc是半徑為R的四分之一圓弧，與ab相切于b點。一質量為m的小球，始終受到與重力大小相等的水平外力的作用，自a點處從靜止起先向右運動，重力加速度大小為g。小球從a點起先運動到其軌跡最高點，機械能的增量為 ()A.2mgR B.4mgR C.5mgR D.6mgR【解析】選C。設小球運動到c點的速度大小為vc，則對小球由a到c的過程，由動能定理得：F·3R-mgR=m，又F=mg，解得：=4gR，小球離開c點后，在水平方向做初速度為零的勻加速直線運動，豎直方向在重力作用力下做勻減速直線運動，由牛頓其次定律可知，小球離開c點后水平方向和豎直方向的加速度大小均為g，則由豎直方向的運動可知，小球從離開c點到其軌跡最高點所需的時間為：t==2，小球在水平方向的加速度a=g，在水平方向的位移為x=at2=2R。由以上分析可知，小球從a點起先運動到其軌跡最高點的過程中，水平方向的位移大小為5R，則小球機械能的增加量ΔE=F·5R=5mgR，選項C正確，A、B、D錯誤。2.如圖所示，A物體放在B物體的左側，用水平恒力F將A拉至B的右端，第一次B固定在地面上，F做功為W1，產生熱量為Q1，其次次讓B在光滑地面上自由滑動，F做功為W2，產生熱量為Q2，則應有 ()A.W1<W2，Q1=Q2 B.W1=W2，Q1=Q2C.W1<W2，Q1<Q2 D.W1=W2，Q1<Q2【解析】選A。設物體A的質量為m，當B固定時，W1=Fl，Q1=f·l=μmgl當B不固定時，物體A、B的位移關系為sA-sB=l，W2=FsA=F(l+sB)>W1對A應用動能定理：(F-f)sA=ΔEkA對B應用動能定理：fsB=ΔEkB兩式相加得(F-f)sA+fsB=ΔEkA+ΔEkB所以：Q2=FsA-ΔEkA-ΔEkB=f·l=μmgl=Q13.如圖所示，固定的豎直光滑長桿上套有質量為m的小圓環(huán)，圓環(huán)與水平狀態(tài)的輕質彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，且處于原長狀態(tài)?，F讓圓環(huán)由靜止起先下滑，已知彈簧原長為L，圓環(huán)下滑到最大距離時彈簧的長度變?yōu)?L(未超過彈性限度)，A.圓環(huán)的機械能守恒B.彈簧彈性勢能變更了mgLC.圓環(huán)下滑到最大距離時，所受合力為零D.圓環(huán)重力勢能與彈簧彈性勢能之和保持不變【解析】選B。圓環(huán)在下滑過程中，彈簧對其做負功，故圓環(huán)機械能減小，選項A錯誤；圓環(huán)下滑到最大的距離時，由幾何關系可知，圓環(huán)下滑的距離為L，圓環(huán)的速度為零，由能量守恒定律可知，彈簧的彈性勢能增加量等于圓環(huán)重力勢能的減小量，為mgL，故選項B正確；圓環(huán)下滑過程中，所受合力為零時，加速度為零，速度最大，而下滑至最大距離時，物體速度為零，加速度不為零，所以選項C錯誤；在下滑過程中，圓環(huán)的機械能與彈簧彈性勢能之和保持不變，即系統(tǒng)機械能守恒，所以選項D錯誤。4.飛機場上運輸行李的裝置為一水平放置的環(huán)形傳送帶，傳送帶的總質量為M，其俯視圖如圖所示?，F開啟電動機，傳送帶達到穩(wěn)定運行的速度v后，將行李依次輕輕放到傳送帶上。若有n件質量均為m的行李需通過傳送帶運輸給旅客。假設在轉彎處行李與傳送帶無相對滑動，忽視傳送帶輪、電動機損失的能量。求從電動機開啟，到運輸完行李須要消耗的電能為多少？【解析】設行李與傳送帶間的動摩擦因數為μ，則傳送帶與行李間由于摩擦產生的總熱量Q=nμmgΔs由運動學公式得：Δs=s傳-s行=vt-=又v=μgt聯(lián)立解得：Q=nmv2由能量守恒得：E=Q+Mv2+nmv2所以：E=Mv2+nmv2答案：Mv2+nmv25.(多選)行駛中的汽車制動后滑行一段距離，最終停下；流星在夜空中墜落并發(fā)出光明的火焰；著陸傘在空中勻速下降。上述不同現象所包含的相同物理過程是 ()A.物體克服阻力做功B.物體的動能轉化為其他形式的能量C.物體的勢能轉化為其他形式的能量D.物體的機械能轉化為其他形式的能量【解析】選A、D。汽車主要是制動阻力，流星、著陸傘是空氣阻力，因而物體都是克服阻力做功，A對；三個物體運動過程中，汽車是動能轉化成了內能，流星、著陸傘是重力勢能轉化成其他形式的能，總之是機械能轉化成了其他形式的能，D對。6.如圖，半圓形光滑軌道固定在水平地面上，半圓的直徑與地面垂直。一小物塊以速度v從軌道下端滑入軌道，并從軌道上端水平飛出，小物塊落地點到軌道下端的距離與軌道半徑有關，此距離最大時。對應的軌道半徑為(重力加速度大小為g) ()A. B. C. D.【解析】選B。物塊由最低點到最高點有：mv2=2mgr+m；物塊做平拋運動：x=v1t，t=，聯(lián)立解得：x=，由數學學問可知，當r==時，x最大。7.如圖所示，質量均為m，半徑均為R的兩個完全相同的小球A、B，在水平軌道上以某一初速度向右沖上傾角為θ的傾斜軌道，兩軌道通過一小段圓弧平滑連接。若兩小球運動過程中始終接觸，不計摩擦阻力及彎道處的能量損失，在傾斜軌道上運動到最高點時兩球機械能的差值為 ()A.0B.mgRsinθC.2mgRsinθD.2mgR【解析】選C。兩球運動到最高點時速度相等，動能相等，則兩球機械能的差值等于重力勢能的差值，為ΔE=mg·2Rsinθ=2mgRsinθ，故C項正確。8.如圖是安裝在列車車廂之間的摩擦緩沖器結構圖，圖中①和②為楔塊，③和④為墊板，楔塊與彈簧盒、墊板間均有摩擦，在車廂相互撞擊使彈簧壓縮的過程中 ()A.緩沖器的機械能守恒B.摩擦力做功消耗機械能C.墊板的動能全部轉化為內能D.彈簧的彈性勢能全部轉化為動能【解析】選B。由于車廂相互撞擊彈簧壓縮的過程中存在克服摩擦力做功，所以緩沖器的機械能削減，選項A錯誤，B正確；彈簧壓縮的過程中，墊板的動能轉化為內能和彈簧的彈性勢能，選項C、D錯誤。9.如圖所示，質量為m的滑塊以肯定初速度滑上傾角為θ的固定斜面，同時施加一沿斜面對上的恒力F=mgsinθ；已知滑塊與斜面間的動摩擦因數μ=tanθ，取動身點為參考點，能正確描述滑塊運動到最高點過程中產生的熱量Q、滑塊動能Ek、勢能Ep、機械能E隨時間t、位移x關系的是 ()【解析】選C、D。依據滑塊與斜面間的動摩擦因數μ=tanθ可知，滑動摩擦力等于重力沿斜面對下的分力。施加一沿斜面對上的恒力F=mgsinθ，滑塊機械能保持不變，重力勢能隨位移x勻稱增