PAGE5.4數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念內(nèi)容意義備注復(fù)數(shù)的概念形如(a∈R,b∈R)的數(shù)叫作復(fù)數(shù),其中實(shí)部為,虛部為

當(dāng)b=0時(shí),a+bi為實(shí)數(shù);當(dāng)a=0,且b≠0時(shí),a+bi為純虛數(shù);當(dāng)b≠0時(shí),a+bi為虛數(shù)復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)?

實(shí)數(shù)能比較大小,虛數(shù)不能比較大小共軛復(fù)數(shù)a+bi與c+di共軛(a,b,c,d∈R)?

實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)是a本身復(fù)平面建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面,叫作復(fù)平面,叫作實(shí)軸,y軸叫作虛軸

實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù),各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示虛數(shù)復(fù)數(shù)的模設(shè)OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a+bi(a,b∈R),則向量OZ的長(zhǎng)度叫作復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模,記作|z|或|a+bi||z|=|a+bi|=a2+b2(a,2.復(fù)數(shù)的幾何意義3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;

②減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;

③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=;

④除法:z1z2=a+(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿意交換律、結(jié)合律,即對(duì)任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.

(3)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義若復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量OZ1,OZ2不共線,則復(fù)數(shù)z1+z2是以O(shè)Z1,OZ2為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線1.(1±i)2=±2i;1+i1-i=i;2.-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R).3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+).4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N+).5.復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心,以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán);(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)為圓心,r為半徑的圓.考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)若a∈C,則a2≥0.()(2)已知z=a+bi(a,b∈R),當(dāng)a=0時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).()(3)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的虛部為bi.()(4)方程x2+x+1=0沒(méi)有解.()(5)由于復(fù)數(shù)包含實(shí)數(shù),在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)兩個(gè)數(shù)能比較大小,因此在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)兩個(gè)數(shù)也能比較大小.()2.(2024浙江,2)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù),則a=()A.1 B.-1 C.2 D.-23.(2024北京,2)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),則iz=()A.1+2i B.-2+iC.1-2i D.-2-i4.(2024全國(guó)2,文2)(1-i)4=()A.-4 B.4 C.-4i D.4i5.(2024江蘇,2)已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=(1+i)·(2-i)的實(shí)部是.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【例1】(1)(2024全國(guó)1,文2)若z=1+2i+i3,則|z|=()A.0 B.1 C.2 D.2(2)(2024陜西寶雞三模,文2)已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,m),若iz為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為()A.-1 B.0 C.1 D.1或-1(3)(2024江蘇,2)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(1+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)a的值是.

思索求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問(wèn)題的基本思路是什么?解題心得求解復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及求復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部時(shí)都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān),通常需先把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再依據(jù)題意求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2024全國(guó)3,理2)復(fù)數(shù)11-3i的虛部是A.-310 B.-110 C.110(2)(2024福建福州三模,理1)已知純虛數(shù)z滿意(1-i)z=2+ai,則實(shí)數(shù)a=()A.2 B.1 C.-1 D.-2考點(diǎn)復(fù)數(shù)的幾何意義【例2】(1)(2024全國(guó)1,理2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1(2)(2024全國(guó)2,理15)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿意|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,則|z1-z2|=.

思索復(fù)數(shù)具有怎樣的幾何意義?幾何意義的作用是什么?解題心得1.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)Z(a,b)OZ=(a,b).2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問(wèn)題的解決更加直觀.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意|z-i|+|z+i|=4,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()A.x24-y23=C.y24-x23=(2)(2024山東歷城二中模擬四,2)已知復(fù)數(shù)z滿意|z+1-i|=|z|,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P(x,y),則()A.y=x+1 B.y=xC.y=x+2 D.