第九節(jié)函數(shù)模型及其應用[考綱](教師用書獨具)1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用．(對應學生用書第29頁)[基礎知識填充]1．常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函數(shù)模型：y＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)．(3)二次函數(shù)模型：y＝axeq\s\up7(2)＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)．(4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·beq\s\up7(x)＋c(a，b，c為常數(shù)，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(m，n，a為常數(shù)，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)冪函數(shù)模型：y＝a·xn＋b(a≠0)．2．三種函數(shù)模型之間增長速度的比較函數(shù)性質(zhì)y＝aeq\s\up7(x)(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢因n而異圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜aeq\s\up7(x)3.解函數(shù)應用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；(3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題．以上過程用框圖表示如下：[知識拓展]“對勾”函數(shù)形如f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)的函數(shù)模型稱為“對勾”函數(shù)模型：(1)該函數(shù)在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)上單調(diào)遞增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上單調(diào)遞減．(2)當x＞0時，x＝eq\r(a)時取最小值2eq\r(a)，當x＜0時，x＝－eq\r(a)時取最大值－2eq\r(a).[基本能力自測]1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝2eq\s\up7(x)的函數(shù)值比y＝xeq\s\up7(2)的函數(shù)值大．()(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快．()(3)不存在x0，使ax0＜xeq\o\al(n,0)＜logax0.()(4)f(x)＝xeq\s\up7(2)，g(x)＝2eq\s\up7(x)，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改編)已知某種動物繁殖量y(只)與時間x(年)的關系為y＝alog3(x＋1)，設這種動物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到()A．100只 B．200只C．300只 D．400只B[由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，當x＝8時，y＝100log39＝200.]3．某商品價格前兩年每年遞增20%，后兩年每年遞減20%，則四年后的價格與原來價格比較，變化的情況是()A．減少7.84% B．增加7.84%C．減少9.5% D．不增不減A[設某商品原來價格為a，依題意得：a(1＋0.2)eq\s\up7(2)(1－0.2)eq\s\up7(2)＝a×1.2eq\s\up7(2)×0.8eq\s\up7(2)＝0.9216a，(0.9216－1)a＝－0.0784a，所以四年后的價格與原來價格比較，減少7.84%.]4．若一根蠟燭長20cm，點燃后每小時燃燒5cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時間t(h)的函數(shù)關系用圖象表示為()B[由題意h＝20－5t(0≤t≤4)，其圖象為B．]5．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為________．eq\r(1＋p1＋q)－1[設年平均增長率為x，則(1＋x)eq\s\up7(2)＝(1＋p)·(1＋q)，∴x＝eq\r(1＋p1＋q)－1.](對應學生用書第30頁)用函數(shù)圖象刻畫變化過程(1)某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關系圖象正確的是()(2)如圖2-9-1所示的四個容器高度都相同，將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，注滿為止．用容器下面所對的圖象表示該容器中水面的高度h和時間t之間的關系，其中正確的有()圖2-9-1A．1個 B．2個C．3個 D．4個(1)A(2)C[(1)前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A、C圖象符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，產(chǎn)品的總產(chǎn)量應呈直線上升，故選A．(2)將水從容器頂部一個孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和時間t之間的關系可以從高度隨時間的增長速度上反映出來，①中的增長應該是勻速的，故下面的圖象不正確；②中的增長速度是越來越慢的，正確；③中的增長速度是先快后慢再快，正確；④中的增長速度是先慢后快再慢，也正確，故②③④正確．選C．][規(guī)律方法]判斷函數(shù)圖象與實際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法1構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖象.2驗證法：當根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.[跟蹤訓練]設甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為()【導學號：97190066】D[y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移，故排除A，C．又因為小王在乙地休息10分鐘，故排除B，故選D．]應用所給函數(shù)模型解決實際問題(1)某航空公司規(guī)定，乘飛機所攜帶行李的重量(kg)與其運費(元)由如圖2-9-2所示的一次函數(shù)圖象確定，那么乘客可免費攜帶行李的重量最大為________kg.圖2-9-2(2)一個容器裝有細沙acm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后剩余的細沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之一．(1)19(2)16[(1)由圖象可求得一次函數(shù)的解析式為y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.(2)當t＝0時，y＝a，當t＝8時，y＝ae－8b＝eq\f(1,2)a，∴e－8b＝eq\f(1,2)，容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即y＝ae－bt＝eq\f(1,8)a，e－bt＝eq\f(1,8)＝(e－8b)3＝e－eq\s\up7(2)4b，則t＝24，所以再經(jīng)過16min.][規(guī)律方法]求解所給函數(shù)模型解決實際問題的關注點1認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).2根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).3利用該模型求解實際問題.易錯警示：解決實際問題時要注意自變量的取值范圍.[跟蹤訓練](2017·西城區(qū)二模)某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C，0＜x≤A，,C＋Bx－A，x＞A.))已知某家庭2017年前三個月的煤氣費如下表：【導學號：97190067】月份用氣量煤氣費一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費為()A．11.5元 B．11元C．10.5元 D．10元A[根據(jù)題意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝eq\f(1,2)，C＝4，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4，0＜x≤5，,4＋\f(1,2)x－5，x＞5，))所以f(20)＝4＋eq\f(1,2)(20－5)＝11.5，故選A．]構建函數(shù)模型解決實際問題(2017·山西孝義?？?為了迎接世博會，某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車出租．該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超出1元，租不出的自行車就增加3輛．為了便于結算，每輛自行車的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y(元)表示出租自行車的日凈收入(即一日中出租自行車的總收入減去管理費用后的所得)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式及其定義域；(2)試問當每輛自行車的日租金定為多少元時，才能使一日的凈收入最多？[解](1)當x≤6時，y＝50x－115.令50x－115＞0，解得x＞2.3.∵x∈N*，∴3≤x≤6，x∈N*.當x＞6時，y＝[50－3(x－6)]x－115.令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3xeq\s\up7(2)－68x＋115＜0.又x∈N*，∴6＜x≤20(x∈N*)，故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50x－1153≤x≤6，x∈N*，,－3x2＋68x－1156＜x≤20，x∈N*.))(2)對于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈N*)，顯然當x＝6時，ymax＝185.對于y＝－3xeq\s\up7(2)＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))eq\s\up7(2)＋eq\f(811,3)(6＜x≤20，x∈N*)，當x＝11時，ymax＝270.又∵270＞185，∴當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使一日的凈收入最多．[規(guī)律方法]構建函數(shù)模型解決實際問題的常見類型與求解方法1構建二次函數(shù)模型，常用配方法、數(shù)形結合、分類討論思想求解.2構建分段函數(shù)模型，應用分段函數(shù)分段求解的方法.3構建fx＝x＋eq\f(a,x)a＞0模型，常用基本不等式、導數(shù)等知識求解.易錯警示：求解過程中不要忽視實際問題是對自變量的限制.[跟蹤訓練](2016·四川高考)某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入，若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0