八年級（下）數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案

襄陽二十三中數(shù)學(xué)教研組

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教學(xué)目錄

第16章二次根式（9）

16.1二次根式（2）第19章一次函數(shù)（17）

16.2二次根式的乘除（2）19.1變量與函數(shù)（6）

16.3二次根式的加減（3）19.1.1變量與函數(shù)

閱讀與思考海倫一一秦九韶公式19.1.2函數(shù)的圖象

數(shù)學(xué)活動閱讀與思考如何測算巖石的年齡

小結(jié)（2）19.2詼函數(shù)（7）

第17章勾股定理（9）19.2.1正比例函數(shù)

17.1勾股定理（4）19.2.2一次函數(shù)

閱讀與思考勾股定理的證明19.2.3?次函數(shù)與方程、不等式

17.2勾股定理的逆定理（3）信息技術(shù)應(yīng)用用計(jì)算機(jī)畫函數(shù)圖象

閱讀與思考費(fèi)馬大定理19.3課題學(xué)習(xí)選擇方案（2）

數(shù)學(xué)活動數(shù)學(xué)活動

小結(jié)（2）小結(jié)（2）

第18章平行四邊形（15）第20章數(shù)據(jù)的分析（12）

18.1平行四邊形（7）20.1數(shù)據(jù)的集中趨勢（6）

18.1.1平行四邊形的性質(zhì)20.1.1平均數(shù)

18.1.2平行四邊形的判定20.1.2中位數(shù)和眾數(shù)

18.2特殊的平行四邊形（6）20.2數(shù)據(jù)的波動程度（2）

18.2.1矩形閱讀與思考數(shù)據(jù)波動程度的幾種度量

18.2.2菱形20.3課題學(xué)習(xí)

18.2.3正方形體質(zhì)健康測試中的數(shù)據(jù)分析（2）

實(shí)驗(yàn)與探究豐富多彩的正方形數(shù)學(xué)活動

數(shù)學(xué)活動小結(jié)（2）

小結(jié)（2）

第2頁

第二十一章二次根式

16.1《二次根式(1)》學(xué)案

課型:上課時(shí)間：課時(shí)：

學(xué)習(xí)內(nèi)容：

二次根式的概念及其運(yùn)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、理解二次根式的概念，并利用G(a20)的意義解答具體題目.

2、提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實(shí)際問題.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

(一)、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)請同學(xué)們獨(dú)立完成下列三個(gè)問題：

3

問題1：已知反比例函數(shù)丫=二，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的坐標(biāo)是

x

.(V3,5.

問題2：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8,那么甲這次射擊的方差是S?,

那么S=.(

(-)學(xué)生學(xué)習(xí)課本知識

(三)、探索新知

1、知識：如6、Vio,J-,都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根.像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的

式子，我們就把它稱二次根式.因此，一般地，我們把形如的式子叫做二次根式，“—”稱

為.

例如：形如、、是二次根式。

形如、、不是二次根式。

2、應(yīng)用舉例

例L下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：6、5、=、6(x>0)、J5、正、

X

-立、—!—、Jx+y(x20,y20).

x+y

解：二次根式有：；不是二次根式的有：-

例2.當(dāng)x是多少時(shí)，J3x-1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

解：由得:______「

第3頁

當(dāng)時(shí)，工彳在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.

(3)注意：1、形如&(a20)的式子叫做二次根式的概念；

2、利用“8(a20)”解決具體問題

3、要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)。

二、學(xué)生小組交流解疑，教師點(diǎn)撥、拓展

例3.當(dāng)x是多少時(shí)，J2X+3+」一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

X+1

例4(1)已知y=j2—x+Jx—2+5,求工的值.(答案:2)

y

________n

⑵若而I+揚(yáng)=1=0,求aZo^+b20M的值.(答案:()

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí).

四、課堂檢測

(1)、簡答題

1.下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？

-幣折VxX74V16V8-

x

(2)、填空題

1.形如的式子叫做二次根式.

2.面積為5的正方形的邊長為.

(3)、綜合提高題

1.某工廠要制作??批體積為In?的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m,按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形,

試問底面邊長應(yīng)是多少？

2.若+/口有意義，則/產(chǎn)=.

3.使式子J-(x-5)2有意義的未知數(shù)x有()個(gè).

A.0B.1C.2D.無數(shù)

4.已知a、b為實(shí)數(shù)，且力一5+2J10-2a=b+4,求a、b的值.

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16.1《二次根式(2)》學(xué)案

課型:上課時(shí)間：課時(shí)：

學(xué)習(xí)內(nèi)容：

1.4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；2.(右)2=a(a20).

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、理解6(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)和(G)2=a(a20),并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡.

2、通過復(fù)習(xí)二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出〃'(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合

算術(shù)平方根的意義導(dǎo)出(、5)2=a(a)0)；最后運(yùn)用結(jié)論嚴(yán)謹(jǐn)解題.

教學(xué)過程

一、自主學(xué)習(xí)

(-)復(fù)習(xí)引入

1.什么叫二次根式？

2.當(dāng)a20時(shí)，&叫什么？當(dāng)a<0時(shí)，&有意義嗎？

(二)學(xué)生學(xué)習(xí)課本知識

(三)、探究新知

1、4a(a>0)是一個(gè)數(shù)。(正數(shù)、負(fù)數(shù)、零)

因?yàn)镺

2、重點(diǎn):G(a》0)是一個(gè)非負(fù)數(shù).

3、根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：

(V?)2=;(V2)2=;(y/9)2=;(V3)2=;

同理可得：(行)2=2,(囪)2=9,(百)2=3,()2=1,(Vo)2=0,

V33

所以|(〃')2=a(a》o)

(4)例1計(jì)算

(^1)2=_2、(3后2=____3、(/)2=_爾(日產(chǎn)---------

(5)注意：1、y/a(a^O)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；(G)2=a(a20)及其運(yùn)用.

2、用分類思想的方法導(dǎo)出&(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；用探究的方法導(dǎo)出(&)2=a

(a20).

二、學(xué)生小組交流解疑，教師點(diǎn)撥、拓展

第5頁

例2計(jì)算1.(V7+T)2(x>0)2.(yja2)23.(Ja-+2a+1)*

例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-3(2)X4-4⑶2X2-3

三、鞏固練習(xí)

(-)計(jì)算下列各式的值：

(Vi8)2=(.p)2=(―)2=(Vo)2=(3>/5)2-(5A/3)2

V34

(二)課本P7、1

四、課堂檢測

(一)、選擇題

1.下列各式中A、島、J/?—］、J/+/、J/?2+2O、J—144,二次根式的個(gè)數(shù)是().

A.4B.3C.2D.1

(二)、填空題

1.(-6)2=_______.2.已知JJTT有意義，那么是一個(gè)數(shù).

(三)、綜合提高題

I.計(jì)算

(1)(V9)2(2)-(6V(3)(-3^|)2⑷(26+3五)(26-3痣)

2.把下列非負(fù)數(shù)寫成一個(gè)數(shù)的平方的形式：

(1)5=(2)3.4=(3)-(4)x(x20)=

6

3.已知Jx-y+l+Jx-3=0,求x，的值.

4.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(1)X2-2(2)X4-93X2-5

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16.1《二次根式(3)》學(xué)案

課型:上課時(shí)間：課時(shí)：

學(xué)習(xí)內(nèi)容：J/=a(a20)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、理解J/=a(a>0)并利用它進(jìn)行計(jì)算和化簡.

2、通過具體數(shù)據(jù)的解答，探究J/=a(a20),并利用這個(gè)結(jié)論解決具體問題.

教學(xué)過程

一、自主學(xué)習(xí)

(一)、復(fù)習(xí)引入

1.形如夜(a20)的式子叫做二次根式；

2.4a(a20)是一個(gè)非負(fù)數(shù)；3.(Va)2=a(a20).

那么，我們猜想當(dāng)a20時(shí)，C=a是否也成立呢？下面我們就來探究這個(gè)問題.

(二)、自主學(xué)習(xí)

學(xué)生學(xué)習(xí)課本知識

(三)、探究新知

1、填空：根據(jù)算術(shù)平方根的意義，

亞=_:J。。/=_：J//=一；j(g)2=_；狗=_；J/=_.

2、重點(diǎn)：=a(a》0)

例1化簡

(1)V9(2)4f(3)V25(4)J(-3尸

解：(1)也=后=(2)J(—4)2="=—

(3)V25=■$/?*=(4)J(-3)~=y/3~=___

3、注意：(1)=a(aNO).(2)、只有a20時(shí)，=2才成立.

二、學(xué)生小組交流解疑，教師點(diǎn)撥、拓展

例2填空：當(dāng)a20時(shí)，_____；當(dāng)a<0時(shí)，,并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問

題.

(1)若J/=a，則a可以是什么數(shù)？因?yàn)槎，所以aNO；

第7頁

(2)若〃7=-a,則a可以是什么數(shù)？因?yàn)镴/n-a,所以aWO；

(3)J/>a,則a可以是什么數(shù)？因?yàn)楫?dāng)a》O時(shí)C=a,要使J/>a,即使a>a所以

&不存在；當(dāng)a〈O時(shí)，=-a,要使>a,即使-a〉a,a<0綜上，a<0

例3當(dāng)x>2,化簡J(x_2>_J(1_2X)2.

三、鞏固練習(xí)

教材練習(xí)

四、課堂檢測

(一)、選擇題

1.J(2—)2+J(—的值是().A.0B.—C.4—

(二)、填空題

1.-V0.0004=.

2.若J而是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是.

三、綜合提高題

1.先化簡再求值：當(dāng)a=9時(shí)、求a+Jl-2。+色的值,甲乙兩人的解答如下：

甲的解答為：原式=a+J(l—a)?=a+(1-a)=1；

乙的解答為：原式=a+'(l-a,=a+(a-l)=2a-l=17.

兩種解答中，的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是.

2.若|1995-a|+y/a-2000=a,求aT9952的值.

(提示：先由a-2000^0,判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對值)

3.若-3WxW2忖，試化簡|x-2|+J(x+3/+&-10%+25。

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16.2二次根式的乘除(1)

課型:上課時(shí)間：課時(shí)：

學(xué)習(xí)內(nèi)容

\[a,4b=\[ab(a)0,b20),反之=八,\[b(a20,b20)及其運(yùn)用.

學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解G,4h=>Jab(a20,bNO),y[ab=\fa,4b(a20,bNO),并利用它們進(jìn)行計(jì)算和

化簡

學(xué)習(xí)過程：

一、自主學(xué)習(xí)

(-)復(fù)習(xí)引入

1.填空：(1)V4XV9=___,Y4x9—____yj~4X^9_14x9

(2)V16xV25=___，716x25=—；V16xV25_V16x25

(3)J100XJ36=__,VlOOx36=___.VlOOX736—7100x36(二)、探索新

知

1、學(xué)生交流活動總結(jié)規(guī)律.

2、一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為

4a?4b=4ah.(a^O,b20反過來：[=&?&(a20,b20)

例1.計(jì)算

(1)y/5X-\/7(2)J]X5/9(3)3\/6X2V10(4)\f5a?]卜丫

例2化簡

(1)J9xl6(2)716x81(3)V81X100(4)W2y2(5)用

二、鞏固練習(xí)

(1)計(jì)算：①屈義般②3迎X2Vw③庖?

(2)化簡：V20；V18;V24;V54;112cl2/

(3)教材練習(xí)

三、學(xué)生小組交流解疑，教師點(diǎn)撥、拓展

(-)例3.判斷下列各式是否正確,不正確的請予以改正：

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(1)J(-4)x(-9)—J—4xJ-9

(2)J4—XV25=4XJ—xV25=4j—XV25=4A/12=8V3

V25V25V25

(-)歸納小結(jié)

(1)4a,Jb—4ab=(a，0,b》0),4ab=4a,4b(a20,b》0)及其運(yùn)用.

(2)要理解而(a<0,b<0)=?屈，如J(-2)x(-3)=J-(-2)x-(-3)或

7(-2)X(-3)=VM=V2XV3.

四、課堂檢測

(一)、選擇題

1.若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為cm和J行cm,那么此直角三角形斜邊長是

().A.3sHemB.3V3cmC.9cmD.27cm

2.化簡aJ—5的結(jié)果是（）.A.\/—ClB.yj-CLC.-—dD."y/u

3.等式“riJj—i成立的條件是()

A.x21B.x2TC.TWxWlD.x21或xWT

(二)、填空題1.71014=.

2.自由落體的公式為S=；gt2（g為重力加速度，它的值為lOm/s?）,若物體下落的高度為720m,

則下落的忖間是.

三、綜合提高題

1.一個(gè)底面為30cmX30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一部分水例入一個(gè)底面為正方形、

高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm,鐵桶的底面邊長是多少厘米？

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16.2二次根式的乘除（2）

課型:上課時(shí)間：課時(shí)：

學(xué)習(xí)內(nèi)容:

4a[a4a

(a^O,b>0),反過來（a^Ob>O）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

忑

學(xué)習(xí)目標(biāo):

[ay/a

理解(aNO,b>0)和（a》0,b>0）及利用它們進(jìn)行運(yùn)算.

7T日V-4b

教學(xué)過程

一、自主學(xué)習(xí)

（一）復(fù)習(xí)引入

1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式.

2.填空

邪V9

(1)二;；規(guī)律：J—;

V16,JV1—6V16V16

V16，耳V16

(2)

V36V36V36像V36

ITV4[T

(3),\—=;

V16V16V16V16

V36,廬一V36

(4)

V81V81V81廬V81

（二）、探索新知

一般地，對二次根式的除法規(guī)定:

4aa、、

忑二(a20,b>0)反過來,廠方（a>0,b>0）

下面我們利用這個(gè)規(guī)定來計(jì)算和化簡一些題目.

二、鞏固練習(xí)

1、計(jì)算：（1）

第11頁

3、鞏固練習(xí)

教材練習(xí).

三、學(xué)生小組交流解疑，教師點(diǎn)撥、拓展

9-x\9-Xru；,?,、Ix~—5x+4,,,.

1、例3.已知j6，且x為偶數(shù)，求(I+x)《---；—j—的值.

x—6

2、歸納小結(jié)

y[aa(a20,b>0)和百=臣(aNO,

（1）本節(jié)課要掌握7h=\bb>0）及其運(yùn)用.

并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡.

四、課堂檢測

（一）、選擇題

1計(jì)算出2

的結(jié)果是（）.A.B.一C.V2D.也

7V

2245275

2.閱讀下列運(yùn)算過程：—f=--l—>—j=-—)=---T=

V3V3xV33V5V5xV5"I"

2

數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，請化筒木的結(jié)果是（).

A.2B.6C.—>/6D.V6

3

（二）、填空題

11)Vio

1.分母有理化：（1）=；(2)r==_____；(3)-7=

372122V5

2.已知x=3,y=4,z=5,那么阮+歷的最后結(jié)果是

71n

三、綜合提高題（1）一2^7-,(m>0,n>0)

mm2加3

第12頁

16.2二次根式的乘除(3)

課型:上課時(shí)間：課時(shí)：

學(xué)習(xí)內(nèi)容

最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡運(yùn)算.

學(xué)習(xí)目標(biāo)

理解最簡二次根式的概念，并運(yùn)用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

(一)復(fù)習(xí)引入

1.計(jì)算(1)與，(2)婆，(3)第

2.現(xiàn)在我們來看本章引言中的問題：如果兩個(gè)電視塔的高分別是h,km,h2km,那么它們的傳播半徑

的比是一

(-)＞探索新知

觀察上面計(jì)算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個(gè)特點(diǎn)：

1.被開方數(shù)不含分母；

2.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式.

例1.化簡：(1)3欄;(2)7^7+77；⑶莉寸

例2.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB的長.

二、鞏固練習(xí)

教材練習(xí)

三、學(xué)生小組交流解疑，教師點(diǎn)撥、拓展

1、觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式:

1_1X(夜一1)血-1_r-

V2+1(V2+1)(72-1)-2-1，

1_lx(V3-V2)V3-V2仄仄

石石-忠+五)(也-6一千/

同理可得：尸="一6,……

V4+V3

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算

第13頁

111I)(V2002+1)的值.

++

V2+/V3+V2V4+V3V2002+V2001

2、歸納小結(jié)

（1）.重點(diǎn)：最簡二次根式的運(yùn)用.

（2）.難點(diǎn)關(guān)鍵：會判斷這個(gè)二次根式是否是最簡二次根式.

四、課堂檢測

（一）、選擇題

「將6

（y>0）化為最簡二次根式是（).

A.(y>0)B.[xy(y〉0)C.''(y>0)D.以上都不對

2.把（a-1）J--1一中根號外的（a-l）移入根號內(nèi)得（）.

V（7-1

A.yja—\B.Jl-aC.—yJci—1D.-yjl-a

3.化簡二^的結(jié)果是（,V22

A.------B.C.口.-也

V273一半

二、填空題1.化簡信+。2=.（X2O）

2.aJ-竽化簡二次根式號后的結(jié)果是.

三、綜合提高題

若x、y為實(shí)數(shù)，且y=—~4+4_x,求Jx+yJx-y的值.

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16.3二次根式的加減(1)

學(xué)習(xí)內(nèi)容：

二次根式的加減

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、理解和掌握二次根式加減的方法.

2、先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進(jìn)行加減的方法的理解.再總結(jié)經(jīng)驗(yàn),

用它來指導(dǎo)根式的計(jì)算和化簡.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

(一)、復(fù)習(xí)引入

計(jì)算.(1)2x+3x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

以上題目，是我們所學(xué)的同類項(xiàng)合并.同類項(xiàng)合并就是字母不變，系數(shù)相加減.

(二)、探索新知

學(xué)生活動：計(jì)算下列各式.

(1)2亞+38(2)278-3^+578

(3)y/1+2y/l+3J9X7(4)3V3-2V3+V2

由此可見，二次根式的被開方數(shù)相同也是可以合并的，如2血與血表面上看是不相同的，但它們

可以合并嗎？也可以.

3V2+y/s=3V2+2V2=55/23V3+-27=3+3A/3=6

所以，二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式

進(jìn)行合并.

例1.計(jì)算(1)&+而(2)V16x+V64x

例2.計(jì)算

(1)3歷-9A+3而

(2)(V48+V20)+(712-^5)

歸納：第一步，將不是最簡二次根式的項(xiàng)化為最簡二次根式；

第二步，將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并.

二、鞏固練習(xí)教材練習(xí)

三、學(xué)生小組交流解疑，教師點(diǎn)撥、拓展

22

1、例3.己知4x2+y2-4x-6y+10=0,求(xy/9x+y)-(x^-5x1J^-)的值.

2、歸納小結(jié)

第15頁

本節(jié)課應(yīng)掌握：（1）不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根式；（2）相同的最簡二次根式進(jìn)行

合并.

重難點(diǎn)關(guān)鍵1.重點(diǎn)：二次根式化簡為最簡根式.

2.難點(diǎn)關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式.

四、課堂檢測

（―）＞選擇題

1.以下二次根式：①灰；②后;③島④技中，與百是同類二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：?3V3+3=6V3；②③=2；④下,其中錯(cuò)

誤的有（）.

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

二、填空題

1.在次、說、2演、7125.2J/、3Vol,-2JI中，與島是同類二次根式

33aV8

的有________.

2.計(jì)算二次根式5右-3斯-76+9折的最后結(jié)果是.

三、綜合提高題

1.已知若%2.236,求（癡-Jg）-（舊+1，布）的值.（結(jié)果精確到0.01）

上+2yjxy3)-(4xXV),其中x=-|,y=27.

2.先化簡，再求值.（6x

%y.y

第16頁

16.3二次根式的加減（2）

學(xué)習(xí)內(nèi)容：

利用二次根式化簡的數(shù)學(xué)思想解應(yīng)用題.

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、運(yùn)用二次根式、化簡解應(yīng)用題.

2、通過復(fù)習(xí)，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進(jìn)行合并后解應(yīng)用題.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

（-）,復(fù)習(xí)引入

上節(jié)課，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個(gè)步驟：第一步，先將二次

根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，

（二）、探索新知

例1.如圖所示的RtaABC中，NB=90°,點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A移

動；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動.問：幾秒后△PBQ的面積為35

平方厘米？PQ的距離是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）

分析：設(shè)x秒后△PBQ的面積為35平方厘米，那么PB=x,BQ=2x,根據(jù)三角形

面積公式就可以求出x的值.

解：設(shè)x后的面積為35平方厘米.

則有PB=x,BQ=2x

依題意，得：求解得：x二底

所以岳秒后△PBQ的面積為35平方厘米.

PQ=

答：逐秒后APEQ的面積為35平方厘米，PQ的距離為5近厘米.

例2.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.hn）?

分析：此框架是由AB、BC、BD、AC組成，所以要求鋼架的鋼材、只需知道這四段的長度.

解：由勾股定理，得AB=

BC=

所需鋼材長度為：AB+BC+AC+BD==

二、鞏固練習(xí)

教材練習(xí)

三、學(xué)生小組交流解疑，教師點(diǎn)撥、拓展

1、例3.若最簡根式3。卻4a+3b與根式一/+6/是同類二次根式,求a、b的值.（

同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式）

分析：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的根式；解：首

先把根式J2ab2一萬+6〃化為最簡二次根式:

第17頁

J2ab2—川+6從=

由題意得方程組：________________

解方程組得：

2、本節(jié)課應(yīng)掌握運(yùn)用最簡二次根式的合并原理解決實(shí)際問題.

四、課堂檢測

（一）、選擇題

1.已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5,那么斜邊的長應(yīng)為（）.（結(jié)果用最簡二

次根式）A.572B.V50C.2#>D.以上都不對

2.小明想自己釘一個(gè)長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，為了增加其穩(wěn)定性，他沿長

方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應(yīng)為（）米.（結(jié)果同最簡二次根式表示）A.13V100

B.71300C.10V13D.5713

（二）、填空題（結(jié)果用最簡二次根式）

1.有一長方形魚塘，已知魚塘長是寬的2倍，面積是1600m2,魚塘的寬是m.

2.已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為血，那么該等腰直角三角形的周長是—.

（三）、綜合提高題

I.若最簡二次根式2,3'-2與癡J10是同類二次根式,求m、n的值.

3

2.同學(xué)們，我們觀察下式：（血-1）2=（、歷）2-2?1?V2+l2=2-272+1=3-272

-2

反之，3-2\/^=2-2A/^+1=（V21）

.,.3-272=（V2-1）2A73-272=72-1

求：（1）—+2夜；（2）"+26:（3）你會算.4-配嗎?

第18頁

16.3二次根式的加減(3)

學(xué)習(xí)內(nèi)容：

含有二次根式的單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、相除；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘、

相除；乘法公式的應(yīng)用.

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、含有二次根式的式子進(jìn)行乘除運(yùn)算和含有二次根式的多項(xiàng)式乘法公式的應(yīng)用.

2、復(fù)習(xí)整式運(yùn)算知識并將該知識運(yùn)用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運(yùn)算.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

(一)復(fù)習(xí)引入

1.計(jì)算(1)(2x+y)?zx==(2)(2x2y+3xy2)-?xy===

2.計(jì)算(1)(2x+3y)(2x-3y)(2)(2x+l)2+(2x-l)2

(二)、探索新知

如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運(yùn)算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立.

例1.計(jì)算：(1)(6+血)*6(2)(4^/6-372)4-2V2

例2.計(jì)算(1)(V5+6)(3-V5)(2)(V10+V7)(V10-V7)

二、鞏固練習(xí)

課本練習(xí)

三、學(xué)生小組交流解疑，教師點(diǎn)撥、拓展

Jx+l-yfx+Jx+1+Vx

1、例3.已知,X==2化簡并求值.

y/x+l+s/xyjx+l-G

原式==(GM)?+(G+6)2

解:

(Jx+1+4)(，x+l-y/x)(Vx+1-4)(Jx+l+Vx)

d%+1—5/x)~+(JX+1+

(x+1)-x(x+l)-x

==(x+1)+x-2y/x(x4-1)+x+2Jx(%+1)

==4x+2

當(dāng)X=2時(shí)，原式=4X2+2=10

2、、歸納小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握二次根式的乘、除、乘方等運(yùn)算.

四、課堂檢測

(扃-3岳+2小1)X上的值是().

(一)、選擇題1.

第19頁

A.—73-3730B.3V3O--V3C.2V3O--V3D.—V3-V3O

3333

2.計(jì)算（4+JE）（）的值是（）.A.2B.3C.4D.1

(二)、填空題1.(--+—)2的計(jì)算結(jié)果(用最簡根式表示)是

22

2.(1-2A/3)(1+273)-(2>/3-1)2的計(jì)算結(jié)果(用最簡二次根式表示)是—

3.若x=O-L則X?+2X+1=

4.已知a=3+20,b=3-20,jijija2b-ab2：

三、綜合提高題

..3Vs+V7

1.化間—7=---7=---/=---尸=

V10+V14+5/15+721

X+l-i-yJX2+xx+l—心/rn日g—、加士一、

2.當(dāng)X=—j=-時(shí)---，求------/+-------尸=的值.（用最簡二次根式表?。?/p>

V2-1x+l-VX2+XX+l+jr+X

課外知識

(1)、練習(xí)：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是().

9

A.梃^與B.與C.與〃D.J.+“與+〃

(2)、互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個(gè)二次根式的乘積是有理數(shù)，不含有二次根式：如

2百與百就是互為有理化因式；4+1與4t也是互為有理化因式.

練習(xí)：1、后+G的有理化因式是；

2、X-J7的有理化因式是.3、26的有理化因式是一

第20頁

二次根式復(fù)習(xí)課(1)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.使學(xué)生進(jìn)一步理解二次根式的意義及基本性質(zhì)，并能熟練地化簡含二次根式的式子；

2.熟練地進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：含二次根式的式子的混合運(yùn)算.

難點(diǎn)：綜合運(yùn)用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則化簡和計(jì)算含二次根式的式子.

學(xué)習(xí)過程

一、自主學(xué)習(xí)

(一)復(fù)習(xí)

1.二次根式有哪些基本性質(zhì)？用式子表示出來，并說明各式成立的條件.

(1)(2)(3)

2.二次根式的乘法及除法的法則是什么？用式子表示出來.

乘法法則：.除法法則：

反過來:,

3.在二次根式的化簡或計(jì)算中，還常用到以下兩個(gè)二次根式的關(guān)系式：

(l)a=G/a)2(a>0)；(2)|a|=4^>

4.在含有二次根式的式子的化簡及求值等問題中，常運(yùn)用三個(gè)可逆的式子：

⑴(我2=a(a》O)與a=(加

(2)-^b=-7a*-7b(a^>0,b>0)與6*-x/b=Vab(a>0,b30);

⑶巨8a>0,?。)與泉書a>0,b>0).

例如，化簡57,可以用3種方法：

⑴直接約分/=等=V7；

⑵分母有理化鬢=緇=6；

⑶看作二次根式的除法看=苧=楞=、萬.

5.不一定能化成(、回>.

當(dāng)a》0時(shí)，如(亞)2=方=郃)2,(加)2=7^=(To)2,此時(shí)，7?

=(、向2；當(dāng)2<0時(shí)，)(-2)2=后=(際2,但無意義，所以J(-2)2盧(d，此

時(shí)47r(“)2.

二、復(fù)習(xí)練習(xí)課本知識

第21頁

二次根式復(fù)習(xí)課(2)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.使學(xué)生進(jìn)一步理解二次根式的意義及基本性質(zhì)，并能熟練地化簡含二次根式的式子；

2.熟練地進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除混合運(yùn)算.

學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：含二次根式的式子的混合運(yùn)算.

難點(diǎn)：綜合運(yùn)用二次根式的性質(zhì)及運(yùn)算法則化簡和計(jì)算含二次根式的式子.

學(xué)習(xí)過程

一、例題點(diǎn)講

例1x取什么值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義：

⑴x+Jx—2；(2)-----=；

1-也

(3)、施+J-2x；(4)二”.

3x

分析：

(1)題是兩個(gè)二次根式的和，x的取值必須使兩個(gè)二次根式都有意義；

(2)題中，式子的分母不能為零，即x不能取使1-必=0的值；

(3)題是兩個(gè)二次根式的和，x的取值必須使兩個(gè)二次根式都有意義；

(4)題的分子是二次根式，分母是含x的單項(xiàng)式，因此x的取值必須使二次根式有意義,

同時(shí)使分母的值不等于零.

解：⑴、

(2)、

(3)、

(4)、

例2已知m,n為實(shí)數(shù)，且滿足m=竺±9+］；二+'求6m-3n的直

分析：先根據(jù)已知條件求出m與n的值，冉求多項(xiàng)式6m-3n的值.二次根式而二?

與、/V有意義的條件分別是1-9)0及9-從中求得n的值，從而確定m的值.

解：

、+篁la2-4a+4.J3-a1

例3'va2-4a+3a-2Jl-a

分析：第一個(gè)二次根式的被開方數(shù)的分子與分母都可以分解因式.把它們分別分解因式

后，再利用二次根式的基本性質(zhì)把式子化簡，化簡中應(yīng)注意利用題中的隱含條件3-a20和1-a

>0.

解:

第22頁

指出：由于二欷根式的基本性質(zhì)存=同要由a的取值范圍確定，即

'a(a)O),

a|=?.

1-a(a<0).

而、砥=百?而除號成立的條件是a》0及b》0Ca>0,b〉O),因此在運(yùn)用

這些性質(zhì)化簡含二次根式的式子時(shí)，要注意上述條件，并要闡述清楚是怎樣滿足這些條件

的.

n+2+Vn2-4n+2-Jn，-4

計(jì)算-------4=+-------7=^=?

例4n+2-vnJ-4n+2+Jn"-4

分析：如果把兩個(gè)式子通分，或把每一個(gè)式子的分母有理化再進(jìn)行計(jì)算，這兩種方法的運(yùn)

算量都較大，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分別把兩個(gè)式子的分母看作一個(gè)整體，用換元法把式子變

形，就可以使運(yùn)算變?yōu)楹喗?

解設(shè)a=n+2+Jn，.4,b=n+2-Jn，.+那么

a+b=2(n+2)，ab=(n+2)2-(n2-4)=4(n+2)，

aba2+b2(a+b)2-2ab(a+b)i4^2)2

所以原式=—I—=-------=------------=------n.

baababab4(n+2)

三、課堂練習(xí)

1.選擇題：

⑴J(a-2)2=2a的取值范圍是