目錄

第1講：一元二次方程定義.................................................6

第2講:一元二次方程解法1...................................................................................................................11

第3講:一元二次方程解法2...................................................................................................................18

第4講:一元二次方程解法3...................................................................................................................23

第5講：一元二次方程的應(yīng)用1............................................................................................................29

第6講：一元二次方程的應(yīng)用2............................................................................................................33

第7講：二次函數(shù)圖像與性質(zhì)..............................................54

第8講：二次函數(shù)與一元二次方程..........................................59

第9講：實(shí)際問題與二次函數(shù)...............................................67

第10講：旋轉(zhuǎn)..........................................................71

第11講：圓的有關(guān)齦1...........................................................................................................................81

第12講：圓的有關(guān)版2...........................................................................................................................90

第13講：點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系.....................................94

第14講：正多邊形和圓....................................................97

第15講：概率初步......................................................104

第16講：期末檢測......................................................105

第1講一元二次方程的定義

一、【教學(xué)要求、目標(biāo)】

1,知道一元二次方程的定義,能熟練地把一元二次方程整理成一般形式a—+^x+c=°

（"0）

2.在分析、揭示實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系并把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中

使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對(duì)一元二次方程的感性認(rèn)識(shí)。

3.會(huì)用試驗(yàn)的方法估計(jì)一元二次方程的解。

二、【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

1.一元二次方程的意義及一般形式，會(huì)正確識(shí)別一般式中的"項(xiàng)"及"系數(shù)"。

2.理解用試驗(yàn)的方法估計(jì)一元二次方程的解的合理性。

三、【課堂精講】

1、一元二次方程的引入建立模型（為什么學(xué)？學(xué)了有什么用？用到哪些地方？）

建立一元二次方程模型的步驟是：審題、設(shè)未知數(shù)、列方程。

注意：（1）審題過程是找出已知量、未知量及等量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)要帶單位；（3）建立一元

二次方程模型的關(guān)鍵是依題意找出等量關(guān)系。

例如圖（1）,有一個(gè)面積為150nf的長方形雞場，雞場一邊靠墻（墻長18m）,另三邊用竹籬笆圍成,

若竹籬笆的長為35m,求雞場的長和寬各為多少？雞場

(只設(shè)未知數(shù)，列出方程，并將它化成一般形式)

2、一元二次方程的定義：

含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程稱為一元二次方程。

識(shí)別一元二次方程必須抓住三個(gè)方面：

(1)整式方程(2)含有一個(gè)未知數(shù)(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2O注意：要化成一般式

【例一】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？說說你的理由.

(1)X2=16(2)x2-5x-12=0(3)x?+2y-3=0

⑷3+x-3=0(5)x2=0(6)x4-2x2-5=0

【例二】若方程?—2甘卜=0是關(guān)于x的一元一次方程，

⑴求m的值；⑵寫出關(guān)于x的一元一次方程。

課堂練習(xí)：

1、若(Z+4)京-3*-2=0是關(guān)于x的一元二次方程，則Z的取值范圍是_______.

2、若(6-2)x網(wǎng)+x-3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是_______.

3、若(m-1)必+〃《=4是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是().

(A)/77W1(B)/77>1(Q/7720且Z77H1(D)任何實(shí)數(shù)

3、一元二次方程的一般形式+bx+c=°(aH0)

一般地，任何一個(gè)關(guān)于X的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下的形式：af+3X+C=0

(aw0).這種形式叫做一元二次方程的一般形式。其中?是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，bx是

一次項(xiàng)，。是一次項(xiàng)系數(shù)，C是常數(shù)項(xiàng).

【整理后】是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù),

bx是一次項(xiàng)，6是一次項(xiàng)系數(shù)，

c是常數(shù)項(xiàng).

例1把(x+3)(x-4)=-6化成一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和

常數(shù)項(xiàng)。

解：移項(xiàng)，整理，得X2-X-6=0

二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為-1,常數(shù)項(xiàng)為-6。

例2已知關(guān)于x的方程(加一I*"小一(加+1卜一2=0是一元二次方程時(shí)，則機(jī)=

例3指出mx2-nx-mx+nx2=p二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，

解：變形為一般形式為：(m+n)x2+(-n-m)x-p=0

二次項(xiàng)是(m+n)x2,二次項(xiàng)系數(shù)是m+n;

一次項(xiàng)是(-n-m)x,一次項(xiàng)系數(shù)是-n-m;常數(shù)項(xiàng)是-p

課堂練習(xí)：

1、把下列方程化成一元二次方程的T殳形式，并指出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)。

①%(%-2)=4%2-3九②(X+8)2=4%+(2x-11

x2x+1_]

2

③32-④HU—〃1+小%+〃％2=g-p(加+〃wO)

4、方程的解的定義：

使方程兩邊左右相等的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

例如：x=2,x=3都是一元二次方程x2-5x+6=0的根。

例1：已知方程一+丘一10=0的一根是2,貝!Jk為

例2:若x=l是方程/+ax+6=0的一個(gè)根，6^0,則a+6的值是().

(A)-1(B)l(C)-3(D)3

例3:如果一元二次方程a足+bx+c-O(awO)有兩根1和-1,那么a+b+c=,a-b+c

例4:已知m是方程--x-1=0的一個(gè)根，求代數(shù)式5m2-5m+2004的值.

例5.求證：關(guān)于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+l=0,不論m取何值，該方程都是一元二次

方程.

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2-8m+17*0即可.

證明：m2-8m+17=(m-4)2+1

(m-4)2>0

(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1^0

二不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

課堂練習(xí)：

1.方程(2a—)x2—2bx+a=0,在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元

一次方程？

2.當(dāng)m為何值時(shí)，方程(m+l)x/4m/-4+27mx+5=0是關(guān)于的一元二次方程

四、【課后作業(yè)】

1.下列方程是一元二次方程的是_______________________.(只填序號(hào)).

(1)x2=5;(2)x2+xy+3=0;(3)x+—=2;(4)mx2+x+l=0(mwO);(5)ax2+bx+c=0;

x

(6)-x2+3x+l=0;(7)x2+l=0;(8)2^+x=0.

3

2.試寫出一個(gè)含有未知數(shù)x的一元二次方程______.

3.若關(guān)于x的方程mx2+nx+p=O是一元二次方程，則m,n,p.

4.若關(guān)于x的方程x"=+3x+5=0是一元二次方程，則a應(yīng)滿足______.

5.若(k+1)x2+(k-1)x+2=0是關(guān)于x的一元二次方程,則k.

6.若關(guān)于x的方程(m2-l)x2+(m+l)x+3=0是一元二次方程，則m;皆是一元二次

方程，則m.

7.一元二次方程(2x+l)(x-1)=3x+l化為一般形式是_______二次項(xiàng)是_______一次項(xiàng)是

常數(shù)項(xiàng)是

8.一元二次方程gx2=7的二次項(xiàng)系數(shù)是____一次項(xiàng)系數(shù)是_______?常數(shù)項(xiàng)是_______.

9.方程x+l=0的根是_________.

10.若X=1是方程ax2+bx+c=0的解,貝！J有______成立.

11.若x=-1是方程(a2-1)x2+x+l=0的解，則a=.

12.m滿足什么條件時(shí),方程mx2+4x+3=0的根是1?

13、若px2-3x+p2-p=0是關(guān)于x的一元二次方程，則().

A.p=lB.p>0C.p^OD.P為任意實(shí)數(shù)

14、關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是1和2,貝Ub=c=

15、方程2(x+2)+8=3x(x-l)的一般形式是二次項(xiàng)系數(shù)是一次項(xiàng)

系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)是________.

16、已知一元二次方程的兩根分別為xi=3,x2=-4,則這個(gè)方程為()

A.(x-3)(x+4)=0B.(x+3)(x-4)=0C.(x+3)(x+4)=0D.(x-3)(x-4)=0

17、已知一元二次方程有一個(gè)根為1,那么這個(gè)方程可以是________(只需寫出一個(gè)過程)

18.關(guān)于x的方程(k-2)xP+8kx+l=0,當(dāng)k滿足什么條件時(shí)：

(1)它是一元二次方程？(2)它是一元一次方程？

19.一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)-c=0化成一般形式為4x2+3x+l=0,試求(2a+b)-3c

的值.

20.已知關(guān)于x的方程（m-6）x2+4x+m2-9=0的一個(gè)根是零，求m的值.

家長建議及評(píng)價(jià):

家長簽名：

第2講一元二次方程的解法1

一、【教學(xué)要求、目標(biāo)】

1、了解形如（x+加了=n（n>0）的一元二次方程的解法直接開平方法

2、會(huì)用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程，進(jìn)一步體會(huì)配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法

3、在用配方法解方程的過程中，體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想

二、【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

會(huì)用直接開平方法解一元二次方程

使學(xué)生掌握用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

理解直接開平方法與平方根的定義的關(guān)系

把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的(x+/z)2=k(k>0)形式

三、【課堂精講】

1、直接開平方法

什么叫直接開平方法？

像解x2=4,x2-2=0這樣，這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。

說明：運(yùn)用"直接開平方法"解一元二次方程的過程，就是把方程化為形如x2=a(a20)

或(x+h)2=k(k20)的形式，然后再根據(jù)平方根的意義求解

例1已知一元二次方程mx2+n=0(mw0),若方程可以用直接開平方法求解，且有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

則m、n必須滿足的條件是()

A.n=OB.m、n異號(hào)C.n是m的整數(shù)倍D.m、n同號(hào)

典型例題：

例2解下列方程

(1)x2-1.21=0(2)4x2-l=0

解：(1)移向，得x2=1.21(2)移向，得4x2=1

兩邊都除以4,得x2=g

???X是1.21的平方根

4

??是:的平方根

.,.X=±l.l?x

4

即X1=1.1,X2=-l.l.?.X=±-BPX1=—,X2=--

222

例3解下列方程：

⑴(x+l)2=2⑵(x-1產(chǎn)-4=0

(3)12(3-2x)2-3=0

解：(1)：X+1是2的平方根(2)移項(xiàng)，得(x-1產(chǎn)=4

.,.x+l=±V2???x-1是4的平方根

gpXl=-1+V2,X2=-l-V2.,.x-l=±2即XI=3,X2=-1

⑶移項(xiàng)，得12(3-2X)2=3

兩邊都除以12,得(3-2x)2=0.25

???3-2x是。25的平方根

7

.-3-2x=±0.5即3-2x=0.5,3-2x=-0.5.'-Xi=-5,X2=I4

4

課堂練習(xí)：

(1)%2=225;(2)9_]44=o(3)解方程(2x-l)2=(x-2)2

(4)(x—1)2=9;(5)(2x+l)2=3；(6)(6x-l)2-25=0.

2、配方法解方程

(1).什么是配方法？什么是平方根？什么是完全平方式？

我們通過配成完全平方式的方法，得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配

方法(solvingbycompletingthesquare)用配方法解一元二次方程的方法的助手：

如果x2=a，那么x=±&.x就是a的平方根

式子a2±2ab+b2叫完全平方式，且a2±2ab+b2=(a±b)2

(2)用配方法解下列方程：

(l)x2-6x-16=0;(2)x2+3x-2=0;

(3)請(qǐng)你思考方程x2-1x+l=0與方程2x2-5x+2=0有什么關(guān)系？

后一個(gè)方程中的二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?,即方程兩邊都除以2就得到前一個(gè)方程，這樣就轉(zhuǎn)化為學(xué)過的

方程的形式，用配方法即可求出方程的解

問題1:如何用配方法解方程2x2-5x+2=0呢?

解：兩邊都除以2，得x2-gx+l=0系數(shù)化為1

移項(xiàng)，得X2-1X=-1移項(xiàng)

2

配方,得x《x+C1=T+C［即bl1配方

53

開方，得x=±丁開方

44

"'.X1=!,X2=2定根

2

對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次議程，我們可以先將兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)，再利用配方法求解

配方法歸納

2

1一元二次方程x2+px+q=0用配方法求解時(shí)，轉(zhuǎn)化為x+px+(/=(Z)2,q,然后用開平

方法求解。

2一元二次方程ax2+bx+c=0(a/0)用酉己方法求解時(shí)，首先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,即轉(zhuǎn)化為

X2+2》+￡=0,再配成/+?x+(,)2=(二)2一￡,最后用開平方法求解。

aaa2a2aa

課堂練習(xí)：

(1)x2+2x-35=0(2)2x2-4x-l=0

(3)x2-8x+7=0(4)(l+x)2+2(l+x)-4=0

(5)用配方法求2x2-7x+2的最小值?(6)用配方法證明-10x2+7x-4的值恒小于0?

四、【課后作業(yè)】

1,解下列方程：

(-2=9；(2)(2x+l)2=3;(3)(61)2—25=0.

2、解方程81(x—2『=16.

3、用直接開平方法解下列方程：

(1)5(2'—1)2=180;(2)；(3x+l)2=64;

2

(1)X2+8X+()=(x+)

,r、22

(2)x--x+()=(x-)2

._.2b

(3)y~——y+()2

a)=(y-

5.用配方法解方程3X2-6X-1=0.2X2-3X-1=0.

6.解方程：2/一5%一4=0.

7.用配方法證明：

(1)"一"+1的值恒為正；(2)—9/+8為一2的值恒小于0.

家長建議及評(píng)價(jià):

家長簽名：

第3講一元二次方程的解法2

一、【教學(xué)要求、目標(biāo)】

1、會(huì)用公式法解一元二次方程

2、學(xué)生體驗(yàn)用配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式的過程，明確運(yùn)用公式求根的前提條件是g-4ac

>0

3、能用4=加-4ac的值判別一元二次方程根的情況

4、用公式法解一元二次方程的過程中，進(jìn)一步理解代數(shù)式△=拄-4ac對(duì)根的情況的判斷作用

二、【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：

掌握一元二次方程的求根公式，并應(yīng)用它熟練地解一元二次方程

一元二次方程的根的情況與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

學(xué)習(xí)難點(diǎn)：

求根公式的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，不易記憶；系數(shù)和常數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，代入求根公式常出符號(hào)錯(cuò)誤。

由一元二次方程的根的情況求方程中字母系數(shù)的取值

三、【課堂精講】

1、求根公式法解方程

如何用配方法解一般形式的一元二次方程a必+以+c=0（a*0）?

回顧用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的過程，讓學(xué)生分組討論交流，達(dá)成共識(shí)：

bc.

解：因?yàn)椤＃?,所以方程兩邊都除以。，得x~2+—x+—=0

aa

,bc

移項(xiàng)，得x~+—x=——

aa

2cb,bc,b、2

配方，得廠+2?——?x+(—)-=一一+(——)-

2a2aa2a

h2-4ac

即

ACT

（這樣原方程就化成了（x+h）2=k的形式）能用直接開平方解嗎？什么條件下就能用直接開

平方解了？

當(dāng)心43。，且“。時(shí)，看大于等于零嗎？

讓學(xué)生思考、分析，發(fā)表意見，得出結(jié)論：

因?yàn)?。，所以4片〉。，從而看2。

當(dāng)。2-4aczo時(shí)，彳導(dǎo)x+2=±y/b2-4ac

2a

cr-r.b在'-4ac-b土\1護(hù)一4〃c

所以x=---±---------即x=------------------

2a2a2a

到此，你能得出什么結(jié)論？

一般地，對(duì)于一般形式的一元二次方程ax2+瓜+c=0(a。0),

當(dāng)。2_4ac20時(shí)，它的根是x=二〃±二彳竺(/_4acZ0)

2a

這個(gè)公式叫做一元二次方程的求根公式，利用這個(gè)公式解一元二次方程的方法叫

做公式法。這個(gè)公式說明方程的根是由方程的系數(shù)a、。、c所確定的，利用這個(gè)公式,

我們可以由一元二次方程中系數(shù)a、6、c的值，直接求得方程的解。

(1)為什么在得出求根公式時(shí)有限制條件a-4ac>0?

(2)在一元二次方程62+法+c=0(a#0)中，如果b2-4ac<0,那么方程有實(shí)數(shù)根嗎？

為什么？

在用配方法求依2+瓜+，=0(。。0)的根時(shí)，得(X+與)2=『竺,因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方

2a4a~

根,所以〃一4acN0

在一元二次方程<￡+辰+c=0(a/0)中，如果b2-4ac<0，那么方程無實(shí)數(shù)根，這是由

于y/b2-4ac無意義。

課堂練習(xí):

用公式法解下列方程：

(1)g+3x+2=0(2)2A2-7x=4(3)x2+-x--=O

63

(4)x2-2V2x+l=0(5)0.4x2-0.8x=l(6)yy2+-y-2=0

2、根的判別式：△=b?-4ac

已知ax2+bx+c=0("。沮b-4ac,0，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x尸.尸定上產(chǎn)

(1)當(dāng)△=〃—4ac>0時(shí)，一元二次方程加+bx+c=O("O)有實(shí)數(shù)根

-b+\lh2-4ac—b—y]h2-4ac

(2)當(dāng)△=/一4。。=0時(shí)，一元二次方程◎?+加+。=0(。工0)有實(shí)數(shù)根

b

玉=無2=一彳-；

2a

(3)當(dāng)△=〃-4加＜0時(shí)，一元二次方程a?+笈+c=0(a*0)無實(shí)數(shù)根.

例1不解方程，你能判斷下列方程根的情況嗎？

(1)A2+2x-8=0⑵*=4x-4⑶/-3x=-3

判別式的應(yīng)用(1)：根據(jù)一元二次方程根的情況，求字母系數(shù)的取值范圍

例2:如果方程研+2x+1=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

判別式的應(yīng)用(2):根據(jù)判別式的情況證明一元二次方程有無實(shí)根

例3:已知關(guān)于x的方程X2+(w+2)%+2m—1=0.

(1)求證方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)當(dāng)m為何值時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)？并求出此時(shí)方程的解

課堂練習(xí)：

1.不解方程，判斷方程根的情況：

（1）x2+3x-l=0;⑵x2-6x+9=0;⑶2y2-3y+4=0（4岡+5=2后x

2.k取什么值時(shí)，方程x2-kx+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？求這時(shí)方程的根。

3.已知a、b、c分別是三角形的三邊，則關(guān)于x的一元二次方程（a+b）x?+2cx+（a+b）=0

的根的情況是（）

A、沒有實(shí)數(shù)根B、可能有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

3、根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

一元二次方程的的根與系數(shù)關(guān)系：

★一元二次方程的爾+以+。=0（“。0）的兩個(gè)根是》］、々，則%1+%2=-=，

2a

c

匹”=一—

a

2

★以花和々為根的一元二次方程：X+（玉+X2）X+X}X2=0O〃W+Z?x+c=（x—X1）（X—X2）

★相關(guān)公式

11X+x

%12+々2=（2+電）2—2X^2---1---=}2

七》2X|X2

22

IX]-x2IW（X]-X2）=J（X]+x2）-4X1X2

例1已知方程2^2_5x_3=o的兩根為,x2,不解方程，求下列各式的值.

222

（1）X,+x2;（2）（X1-X2）?

課堂練習(xí)：

1.若修，X,是一元二次方程31+%_1=0的兩個(gè)根，則J_+J_的值是（）

玉々

A.2B,1C.-1D.3

2若關(guān)于x的一元二次方程h+4公_3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是%,%,且滿足占+9=占W.則k

的值為（）

A.-lag-B.-1C.-D.不存在

44

3.方程x2-3x-6=0與方程x2-6x+3=0的所有根的乘積為（）

A.-18B.18C.-3D.3

4.若Xi,X2是一元二次方程2x2-3x+l=0的兩個(gè)根，則X12+X22的值是()

“5c9rr

A.—B.—C.—D.7

444

5.若關(guān)于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根Xi,X2,且xrx2>Xi+X2-4,則

實(shí)數(shù)m的取值范圍是

“5cl「5c51

A.m>——B.m<—C.m<——D.——<m<—

32332

5.已知》呈x2+(2k+l)x+k2-2=0的兩實(shí)梯崩和^于11,k的取值是()

A.3B.-3C.1口.-3或1

6.如果x的方程x2+kx+l=0的兩根的差為1,那么k的值為（）

A.±2B.±V3C.±V5D.±V6

7.已知關(guān)于x的方程5x2+kx-6=0的一個(gè)根為2,設(shè)方程的另一個(gè)根為xi，則有（）

33_3_3

A.xi=—,k=-7B.Xi=-—,k=-7C.Xi=--,k=7D.xi=1,k=7

四、【課后作業(yè)】

1、下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根的方程是（）

(A)x2+1=0(B)4%2-4x+l=0

(C)x2+x+3=0(D)—+2x—1=0

2、關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范是（）

A.k>-1B.k>lC.k/0D.k>-lfik/0

3、三角形的兩邊長分別是3和6，第三邊是方程/-6x+8=0的解，則這個(gè)三角形的周長是（）

A、11B、13C、11或13D、11和13

4、已知代數(shù)式/+，--9=0的值是7,貝！I代數(shù)式/+」_—9=0的值是

2x2x

5、已知關(guān)于x的方程a*+4x+1=0有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

6.已知斗，X,是方程Y+6x+3=0的兩實(shí)數(shù)根,貝!］強(qiáng)+土的值為_____.

x}x2

7.已知X1、%是關(guān)于X的方程(aT)/+x+/-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且X1+9=；，則的-2

8.設(shè)XI、X2是方程2x2+4x-3=0的兩個(gè)根，則(X1+1)(X2+1)=.

9.若方程2/一代一3=0的兩根為a、B,則/一2邛+1=.

10.若方程2-一5%+女=0的兩根之比是2:3,則k=.

11.已知關(guān)于x的方程x2-(k+1)x+k+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于6,求k的值.

12.a,0是關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2-x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根目滿足(a+l)(0+l)=m+1,

求實(shí)數(shù)m的值.

13.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(4m+l)x+2m-l=O.

Q)求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

111

⑵若方程兩根為“、X2,且滿足1石=一士求m的值.

家長建議及評(píng)價(jià)：

家長簽名：

第4講因式分解解一元二次方程

一、【教學(xué)要求、目標(biāo)】

1、掌握用因式分解法解一元二次方程.

2、通過復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會(huì)和探尋用更簡單的方法一因式分解法解

一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些具體問題.

二、【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

1.重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程.

2.?難點(diǎn)與關(guān)鍵：讓學(xué)生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題簡便.

三、【課堂精講】

1.公式法：

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

2.小結(jié)：分解因式的一般步驟為：

(1)若多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，則先提取公因式。

(2)若多項(xiàng)式各項(xiàng)沒有公因式，則根據(jù)多項(xiàng)式特點(diǎn)，選用平方差公式或完全平方公式。

(3)每一個(gè)多項(xiàng)式都要分解到不能再分解為止。

例1、用公式法解下列方程.

(1)(x+1)(x+3)=6x+4,(2)/+2(6+l)x+2月=°

(3)(2/77+1)x+m-0.

例2已知A2-7xy+12^=0(浮0)求x:y的值.

例3,三角形兩邊的長是3,8,第三邊是方程廬一17X+66=0的根，求此三角形的周長.

例4、關(guān)于X的二次三項(xiàng)式：解+2/77X+4-序是一個(gè)完全平方式，求6的值.

例5、利用配方求2*-x+2的最小值.

例6.*+ax+6分解因式的結(jié)果是(x-1)(x+2),則方程爐+8牙+/?=0的二根分別是什么?

例7、a是方程/-3x+l=0的根，試求的值.

3、用“十字相乘法”解一元二次方程

我們知道(x+2)(x+3)=f+5x+6,反過來，就得到二次三項(xiàng)式V+5x+6的因式分解

形式f+5X+6=(X+2)(X+3),即，其中常數(shù)項(xiàng)6分解成2,3兩個(gè)因數(shù)的積，而且這兩

個(gè)因數(shù)的和等于一次項(xiàng)的系數(shù)5,即6=2X3,且2+3=5。

一般地，由多項(xiàng)式乘法，(x+tz)(x+Z?)=+^a+b^x+ah,反過來，就得到

x2+（〃+5）%+而=（%+。）（%+匕）

看一下這個(gè)簡單的例子m2+4m-12

in-2

X

m6

把二次項(xiàng)拆成m與m的積（看左邊,注意豎著寫）

-12拆成-2與6的積（也是豎著寫）

經(jīng)過十字相乘（也就是6m與-2m的和正好是4m）

所以十字相乘成功了

m2+4m-12=（m-2）（m+6）

重點(diǎn)：只要把2次項(xiàng)和賞數(shù)項(xiàng)拆開來（拆成乘積的形式），可以檢驗(yàn)是否

拆的對(duì)，只要相加等于1次項(xiàng)就成了，±=留乘法實(shí)際就是分解因式。

/注意：要先把一元二\

!次方程化為一般形式，且\

二次項(xiàng)系數(shù)要化為正數(shù)；?

用"十字相乘法"解某些特殊的一元二次方程

常數(shù)項(xiàng)太大時(shí)要進(jìn)行因I

\數(shù)分解，以確定出應(yīng)拆解/

例2解方程：4x2-31x-45=0/的那兩個(gè)數(shù)是什么。/

L

解：（x-9）（4x+5）=o4/

x=9,x,

.'4

"lx5+4x（-9）=-31

課堂練習(xí)：

(1)X?+4x+3=0(2)p2-8p+7=0(3)m2+4m-12=0

(4)x2-7x-18=0(5)9/+6x+l=0(6)x(x+6)=7

(7)2x2-7x+6=0(8)-3x2-4x+4=0(9)16x2+8x=3

(10)x2—4x—96=0(11)x(x+16)=l161(12)x2-3x+l=0

四、【課后作業(yè)】

(1)2x2-7x+3=0(2)6工2-7%-5=0(3)2x2-5x-3=0

(4)2X2+15X+7=0(5)3a2-8。+4=0⑹5X2+7X-6=0

⑺6y之―liy-]0=0(8)x2-2V5x+5=0(9)2x2—5%+2=0

(10)%2—5兀-6=0(11)x2+8x+16=0(12)6x2+x—2=0

(13)X?+(1+y/3)x+y/3—0

(14)(14)x2-3ax+(2a+b)(a-b)=0

家長建議及評(píng)價(jià):

家長簽名：

第5講一元二次方程的應(yīng)用1

一、知識(shí)體系

1、基本關(guān)系量：

(1)和差倍分問題：較大量=較小量+多余量；總量=倍數(shù)X單量

(2)產(chǎn)品配套問題：加工總量成比例

(3)路程問題：速度x時(shí)間=路程

(4)航行問題：①順流(風(fēng))：航速=靜止速度+水(風(fēng))速

②逆流(風(fēng))：航速=靜止速度-水(風(fēng))速

(5)工程問題：工作量=工作效率x工作時(shí)間

(6)增長率問題：增長后的量=原量x(1+增長率)

減少后的量=原量X（1-減少率）

（7）濃度問題：溶液X濃度;溶質(zhì)

（8）銀行利率問題：免稅利息=本金X利率X時(shí)間

稅后利息=本金X利率X時(shí)間-本金X利率X時(shí)間X稅率

（9）利潤問題:利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)

利潤率=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）+進(jìn)價(jià)X100%

2、重難點(diǎn)及易考點(diǎn)

（-）銷售問題:

?基本量：

成本（進(jìn)價(jià)）、售價(jià)（實(shí)售價(jià)）、

利潤（虧損額）、利潤率（虧損率）

?基本關(guān)系:

盈利：售價(jià)>進(jìn)價(jià)利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)>0

虧損：售價(jià)<進(jìn)價(jià)利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)<0

利潤=售價(jià)-成本虧損額=成本-售價(jià)、

虧損率=萬吁貝X100%

利潤率=x100%成本

利潤=成本X利潤率虧損額=成本X虧損率

售價(jià)=標(biāo)價(jià)X嚅

售價(jià)=進(jìn)價(jià)X（1+利潤率）

價(jià)=單價(jià)X數(shù)量數(shù)量之和二甲商品+乙商品+丙商品

（二）增長率或百分比的問題

增長（降低）率問題：

增長量=原有量X增長率現(xiàn)有量=原有量+增長量

=原有量x（1+增長率）

減少量=原有量X降低率現(xiàn)有量=原有量-減少量

=原有量X（1-降低率）

（四）儲(chǔ)蓄問題（銀行利率問題）

利息=本金x利率本息和=本金+利息

=本金X（1+利率）

利息稅=利息X利息稅率所得金額=本息和-利息稅

（五）濃度問題：

溶質(zhì)=溶液X濃度百分?jǐn)?shù)溶液=溶質(zhì)+溶劑

m溶液=m溶質(zhì)+m溶劑

相溶質(zhì)

濃度百分?jǐn)?shù)=xlOO%

加溶質(zhì)+機(jī)溶劑

m溶質(zhì)=（￥1溶液xm濃度百分?jǐn)?shù)

=（m溶質(zhì)+m溶劑）x濃度百分?jǐn)?shù)

如：m鹽=171鹽水x含鹽率=（m鹽+m水）x含鹽率

一、【教學(xué)要求、目標(biāo)】

1、掌握用"倍數(shù)關(guān)系"建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決一些具體問題.

2、通過復(fù)習(xí)二元一次方程組等建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問題，引入用"倍數(shù)關(guān)系"

建立數(shù)學(xué)模型，并利用它解決實(shí)際問題.

二、【教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】

1.重點(diǎn)：用"倍數(shù)關(guān)系”建立數(shù)學(xué)模型

2.難點(diǎn)與關(guān)鍵：用"倍數(shù)關(guān)系"建立數(shù)學(xué)模型

三、【課堂精講】

知識(shí)點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟

（1）審題，（2）設(shè)未知數(shù)，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗(yàn)，（6）作答。

關(guān)鍵點(diǎn)：找出題中的等量關(guān)系。

例1現(xiàn)有長方形紙片一張，長19cm,寬15cm,需要剪去邊長是多少的小正方形才能做成底面積

為77cm2的無蓋長方體型的紙盒？X（i9-2x）~[~

!（15-2x）

例2要做一個(gè)容積為750cm3,高是6cm,底面的長比寬多5cm的長方形匣子,底面的長及寬應(yīng)

該各是多少（精確至U0.1cm）?

知識(shí)點(diǎn)二用一元二次方程解與增長率（或降低率）有關(guān)得到問題

增長率問題與降低率問題的數(shù)量關(guān)系及表示法：（1）若基數(shù)為a,增長率x為，則一次增長后

的值為a（l+x）,兩次增長后的值為a（l+x）2；（2）若基數(shù)為a，降低率x為，則一次降低后

的值為《1-x）,兩次降低后的值為《1-XT。

例1某鋼鐵廠去年一月份某種鋼的產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個(gè)月平均

每月增長的百分率是多少？

例2某產(chǎn)品原來每件600元，由于連續(xù)兩次降價(jià)，現(xiàn)價(jià)為384元，如果兩個(gè)降價(jià)的百分?jǐn)?shù)相

同，求每次降價(jià)百分之幾？

知識(shí)點(diǎn)三用一元二次方程解與市場經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問題

與市場經(jīng)濟(jì)有關(guān)的問題：如：營銷問題、水電問題、水利問題等。與利潤相關(guān)的常用關(guān)系

式有：（1）每件利潤=銷售價(jià)-成本價(jià)；（2）利潤率=（銷售價(jià)一進(jìn)貨價(jià)）+進(jìn)貨價(jià)xlOO%；

(3)銷售額=售價(jià)x銷售量

例1某商店如果將進(jìn)貨價(jià)為8元的商品每件10元售出，每天可售200件，現(xiàn)在采取提高售價(jià),

減少進(jìn)貨價(jià)的方法增加利潤，已知這種商品每漲價(jià)0.5元，其銷量減少10件。

(1)要使每天獲得700元，請(qǐng)你幫忙確定售價(jià)。

(2)當(dāng)售價(jià)定為多少時(shí)，能使每天獲得的利潤最多？并求出最大利潤。

課堂練習(xí)：

1.為了美化環(huán)境，某市加大對(duì)綠化的投資.2007年用于綠化投資20萬元，2009年用于綠化

投資25萬元，求這兩年綠化投資的年平均增長率.設(shè)這兩年綠化投資的年平均增長率為x,根

據(jù)題意所列方程為()

A.20^=25B.20(1+%)=25

C.20(1+x)2=25D.20(1+x)+20(1+4=25

2.上海世博會(huì)的某紀(jì)念品原價(jià)168元，連續(xù)兩次降價(jià)。％后售價(jià)為128元下列所列方程中正

確的是

2

A168(l+a%)2=128B168(l-a%)-128

c168(1-2?%)=128口168(1—/%)=i28

3.某農(nóng)機(jī)廠四月份生產(chǎn)零件200萬個(gè)，第二季度共生產(chǎn)零件1400萬個(gè).設(shè)該廠五、六月份平

均每月的增長率為x,那么x滿足的方程是()

A.20(X1+x)2=1400B.200+200(1+x)+20Q1+x)2=1400

C.200(1+2x)=1400182D.200+200(1+x)+200(1+2x)=1400

二、典型例題。

例題2:某企業(yè)2007年盈利1000萬元，2008年由于全球金融危機(jī)的不利影響，2008年盈利

下降了10%,從2009年到2010年，因全球經(jīng)濟(jì)回暖，該企業(yè)每年盈利持續(xù)增長，2010年