高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省長沙市六校2025屆高三上學期八月開學聯合檢測數學試題一、單選題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，（）A. B. C.D.〖答案〗C〖解析〗解不等式，得，解得或，則或，而，所以.故選：C.2.若復數z滿足則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由得，所以，故選：B.3.已知，若，則等于（）A.6 B.5 C.4 D.3〖答案〗A〖解析〗因為，所以，又因為，所以，解得.故選：A.4.已知，，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，又，所以，所以，故A，C，D錯誤.故選：B.5.已知圓錐的母線為，側面展開所成扇形的圓心角為，則此圓錐體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設圓錐底面圓的半徑為，則，解得，圓錐的高為，則此圓錐體積為.故選：B.6.已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于函數在上遞增，故需滿足，解得.7.將函數的圖象向左平移個單位長度后，再把圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，若與的圖象關于軸對稱，則的一個單調遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，由于與的圖象關于軸對稱，所以，令，解得，取，則，故選：C.8.已知函數的定義域為，且滿足，則下列結論正確的是（）A. B.方程有解C.是偶函數 D.是偶函數〖答案〗C〖解析〗對于A，因為函數的定義域為，且滿足，取，得，則，取，得，則，故錯誤；對于B，取，得，則，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程無解，故B錯誤.對于CD，由知，所以是偶函數，不是偶函數，故C正確，錯誤.故選：C.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.若隨機變量服從標準正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對于A，B,因為，所以，A正確，B錯誤對于C,D由對稱性有，所以，C錯誤，D正確,,故選：AD.10.已知函數，則（）A.有兩個極值點B.有一個零點C.點是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線〖答案〗BC〖解析〗選項A：則恒成立，故單調遞增，故不存在兩個極值點，故選項A錯誤.選項B:又單調遞增，故有一個零點，故選項B正確，選項C：故點是曲線的對稱中心，故選項C正確，選項D：令，即，令，則令，則當則當切線斜率為切點為則切線方程為：與不相等，當時同樣切線方程不為，故選項D錯誤.故選：BC.11.“臉譜”是戲曲舞臺演出時的化妝造型藝術，更是中國傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C．半圓的方程為，半橢圓的方程為．則下列說法正確的是（）A.點A在半圓上，點B在半橢圓上，O為坐標原點，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6B.曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7C.若，P是半橢圓上的一個動點，則cos∠APB的最小值為D.畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點都在與橢圓同中心的圓上．稱該圓為橢圓的蒙日圓，那么半橢圓擴充為整個橢圓：后，橢圓的蒙日圓方程為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為點A在半圓上，點B在半橢圓上，O為坐標原點，OA⊥OB，則，，則，當位于橢圓的下頂點時取等號，所以△OAB面積的最大值為6，故A正確；對于B，半圓上的點到點的距離都是，半橢圓上的點到點的距離的最小值為，最大值為，所以曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確；對于C，是橢圓的兩個焦點，在△PAB中，，由余弦定理知：，當且僅當時取等號，所以cos∠APB的最小值為，故C錯誤；對于D，由題意知：蒙日圓的圓心O坐標為原點(0，0)，在橢圓：中取兩條切線：和，它們交點為，該點在蒙日圓上，半徑為此時蒙日圓方程為：，故D正確．故選：ABD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為________．〖答案〗〖解析〗因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以雙曲線的離心率.13.函數與函數公切線的斜率為__________.〖答案〗1或〖解析〗不妨設公切線與函數的切點為，與函數的切點為；易知，，因此公切線斜率為，因此，可得，即又易知，整理可得，即，即，解得或；因此可得斜率為或.14.已知三個正整數和為8，用表示這三個數中最小的數，則的期望__________.〖答案〗〖解析〗設這三個正整數分別為，則題意可得，所以隨機變量可能取值為1和2，用隔板法可求得：事件總情況為種，當時，分兩種情況：①三個數中只有一個1，有種；②三個數中有兩個1，有種，所以時，；當時，也分兩種情況：①三個數中只有一個2，有種；②三個數中有兩個2，有種，所以時，，所以.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知△ABC中，分別為內角的對邊，且.（1）求角的大??；（2）設點為上一點，是的角平分線，且，，求的面積.解：（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以.（2）是的角平分線，，由可得因為，，即有，，故.16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點．（1）證明：平面平面PBC；（2）若直線AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點P到平面AEF的距離．（1）證明：方法一：因為底面ABCD，平面ABCD，所以．因為ABCD為正方形，所以，又因為，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因為平面PAB，所以．因為，E為線段PB的中點，所以，又因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因為平面AEF，所以平面平面PBC．方法二：因為底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因為平面PAB，所以．因為，E為線段PB的中點，所以．因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因為平面AEF，所以平面平面PBC解法三：因為底面ABCD，，以A為坐標原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則，設，則，所以，，，，設為平面AEF的法向量，則所以取，則，，則，設為平面PBC的法向量，則所以取，則，，則，因為，所以,所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）因為底面ABCD，，以A為坐標原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則，易知是平面PAB的法向量設，則，所以，，所以，即，得，所以，設為平面AEF的法向量，則，所以平面AEF的法向量，又因為，所以點P到平面AEF的距離為所以點P到平面AEF的距離為．（另解）由（1）可知，是直線AF與平面PAB所成的角，所以，解得，故F是BC中點．所以，，，的面積為，因為，的面積為，設點P到平面AEF的距離為h，則有，解得，所以點P到平面AEF的距離為．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量，所以，即，解得，所以，又因為，所以點P到平面AEF的距離為所以點P到平面AEF的距離為．17.已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．（1）求直線的斜率k的取值范圍；（2）若線段，的中點分別為M，N，證明直線經過一個定點，并求出此定點的坐標．解：（1）根據題意直線，的斜率均存在且不為0，直線，分別為，，聯立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡整理得，因此直線經過一個定點．18.已知函數.（1）討論的導函數的單調性；（2）若對任意恒成立，求的取值范圍.解：（1）由題可知.設，則.①當時，在上恒成立，所以在上單調遞增.②當時，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.綜上所述，當時，是上的增函數，當時，在上是減函數，在上是增函數.（2）①當時，在上單調遞增，，則在上單調遞增，故成立；②當時，，所以在上單調遞增，，則單調遞增，故成立；③當時，當時，在上單調遞減，又，所以在上單調遞減，則不成立.綜上，的取值范圍為.19.某企業(yè)的設備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立．當控制系統(tǒng)有不少于k個元件正常工作時，設備正常運行，否則設備停止運行，記設備正常運行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設備正常運行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設備正常運行的概率）．（1）若，且每個元件正常工作的概率．①求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數X的分布列和期望；②在設備正常運行的條件下，求所有元件都正常工作的概率．（2）請用表示，并探究：在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數為奇數的前提下，能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數來提高設備正常運行的概率．解：（1）①因為，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數的可能取值為0，1，2，3；因為每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為，所以，所以，，，，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數的分布列為0123控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數的數學期望為，②設“設備正常運行”為事件“所有元件都正常工作”為事件則在設備正常運行的條件下，求所有元件都正常工作的概率為，（2）因控制系統(tǒng)中元件總數為奇數，若增加2個元件，則設備正常運行有三種情況，第一類：原系統(tǒng)中至少有個元件正常工作，其概率為；第二類：原系統(tǒng)中恰好有個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，其概率為；第三類：原系統(tǒng)中有個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，其概率為；所以，即；則，所以，當時，，即增加元件個數能提高設備正常工作的概率，當時，，即增加元件個數不能提高設備正常工作的概率.湖南省長沙市六校2025屆高三上學期八月開學聯合檢測數學試題一、單選題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，（）A. B. C.D.〖答案〗C〖解析〗解不等式，得，解得或，則或，而，所以.故選：C.2.若復數z滿足則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由得，所以，故選：B.3.已知，若，則等于（）A.6 B.5 C.4 D.3〖答案〗A〖解析〗因為，所以，又因為，所以，解得.故選：A.4.已知，，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，又，所以，所以，故A，C，D錯誤.故選：B.5.已知圓錐的母線為，側面展開所成扇形的圓心角為，則此圓錐體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設圓錐底面圓的半徑為，則，解得，圓錐的高為，則此圓錐體積為.故選：B.6.已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于函數在上遞增，故需滿足，解得.7.將函數的圖象向左平移個單位長度后，再把圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，若與的圖象關于軸對稱，則的一個單調遞增區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，由于與的圖象關于軸對稱，所以，令，解得，取，則，故選：C.8.已知函數的定義域為，且滿足，則下列結論正確的是（）A. B.方程有解C.是偶函數 D.是偶函數〖答案〗C〖解析〗對于A，因為函數的定義域為，且滿足，取，得，則，取，得，則，故錯誤；對于B，取，得，則，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程無解，故B錯誤.對于CD，由知，所以是偶函數，不是偶函數，故C正確，錯誤.故選：C.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.若隨機變量服從標準正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗對于A，B,因為，所以，A正確，B錯誤對于C,D由對稱性有，所以，C錯誤，D正確,,故選：AD.10.已知函數，則（）A.有兩個極值點B.有一個零點C.點是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線〖答案〗BC〖解析〗選項A：則恒成立，故單調遞增，故不存在兩個極值點，故選項A錯誤.選項B:又單調遞增，故有一個零點，故選項B正確，選項C：故點是曲線的對稱中心，故選項C正確，選項D：令，即，令，則令，則當則當切線斜率為切點為則切線方程為：與不相等，當時同樣切線方程不為，故選項D錯誤.故選：BC.11.“臉譜”是戲曲舞臺演出時的化妝造型藝術，更是中國傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C．半圓的方程為，半橢圓的方程為．則下列說法正確的是（）A.點A在半圓上，點B在半橢圓上，O為坐標原點，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6B.曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7C.若，P是半橢圓上的一個動點，則cos∠APB的最小值為D.畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點都在與橢圓同中心的圓上．稱該圓為橢圓的蒙日圓，那么半橢圓擴充為整個橢圓：后，橢圓的蒙日圓方程為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，因為點A在半圓上，點B在半橢圓上，O為坐標原點，OA⊥OB，則，，則，當位于橢圓的下頂點時取等號，所以△OAB面積的最大值為6，故A正確；對于B，半圓上的點到點的距離都是，半橢圓上的點到點的距離的最小值為，最大值為，所以曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確；對于C，是橢圓的兩個焦點，在△PAB中，，由余弦定理知：，當且僅當時取等號，所以cos∠APB的最小值為，故C錯誤；對于D，由題意知：蒙日圓的圓心O坐標為原點(0，0)，在橢圓：中取兩條切線：和，它們交點為，該點在蒙日圓上，半徑為此時蒙日圓方程為：，故D正確．故選：ABD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為________．〖答案〗〖解析〗因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以雙曲線的離心率.13.函數與函數公切線的斜率為__________.〖答案〗1或〖解析〗不妨設公切線與函數的切點為，與函數的切點為；易知，，因此公切線斜率為，因此，可得，即又易知，整理可得，即，即，解得或；因此可得斜率為或.14.已知三個正整數和為8，用表示這三個數中最小的數，則的期望__________.〖答案〗〖解析〗設這三個正整數分別為，則題意可得，所以隨機變量可能取值為1和2，用隔板法可求得：事件總情況為種，當時，分兩種情況：①三個數中只有一個1，有種；②三個數中有兩個1，有種，所以時，；當時，也分兩種情況：①三個數中只有一個2，有種；②三個數中有兩個2，有種，所以時，，所以.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知△ABC中，分別為內角的對邊，且.（1）求角的大??；（2）設點為上一點，是的角平分線，且，，求的面積.解：（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以.（2）是的角平分線，，由可得因為，，即有，，故.16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點．（1）證明：平面平面PBC；（2）若直線AF與平面PAB所成的角的余弦值為，求點P到平面AEF的距離．（1）證明：方法一：因為底面ABCD，平面ABCD，所以．因為ABCD為正方形，所以，又因為，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．因為平面PAB，所以．因為，E為線段PB的中點，所以，又因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．又因為平面AEF，所以平面平面PBC．方法二：因為底面ABCD，平面PAB，所以平面底面ABCD又平面底面，，平面ABCD，所以平面PAB．因為平面PAB，所以．因為，E為線段PB的中點，所以．因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又因為平面AEF，所以平面平面PBC解法三：因為底面ABCD，，以A為坐標原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則，設，則，所以，，，，設為平面AEF的法向量，則所以取，則，，則，設為平面PBC的法向量，則所以取，則，，則，因為，所以,所以平面平面PBC.（2）（基于（1）解法一、二）因為底面ABCD，，以A為坐標原點，以的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則，易知是平面PAB的法向量設，則，所以，，所以，即，得，所以，設為平面AEF的法向量，則，所以平面AEF的法向量，又因為，所以點P到平面AEF的距離為所以點P到平面AEF的距離為．（另解）由（1）可知，是直線AF與平面PAB所成的角，所以，解得，故F是BC中點．所以，，，的面積為，因為，的面積為，設點P到平面AEF的距離為h，則有，解得，所以點P到平面AEF的距離為．（基于（1）解法三）易知是平面PAB的法向量，所以，即，解得，所以，又因為，所以點P到平面AEF的距離為所以點P到平面AEF的距離為．17.已知，是過點的兩條互相垂直的直線，且與橢圓相交于A，B兩點，與橢圓相交于C，D兩點．（1）求直線的斜率k的取值范圍；（2）若線段，的中點分別為M，N，證明直線經過一個定點，并求出此定點的坐標．解：（1）根據題意直線，的斜率均存在且不為0，直線，分別為，，聯立得，由得，則或，同理，則，所以k的取值范圍為．（2）設，，由（1）得，所以，則，所以，則，同理，則直線的方程為，化簡整理得，因此直線經過一個定點．18.已知函數.（1）討論的導函數的單調性；