專題04立體幾何初步（難點）

一、單選題

1.若P是等邊三角形ABC所在平面外一點，且PA=PB=PC，D，E，尸分別是AB,BC,CA的中點，

則下列結(jié)論中不正確的是（）

A.8C7/平面PD尸B.。尸_|_平面Q4E

C.平面PAE,平面ABCD.平面PD尸，平面ABC

【答案】D

【解析】

由OE//8C判斷A,由與8。垂直，證明線面垂直，再結(jié)合平行線判斷B,根據(jù)面面垂直的判定定理

判斷C,根據(jù)正棱錐的性質(zhì)判斷D.「p是等邊三角形A8C所在平面外一點，且B4=PB=PC，

D，E，b分別是AB，BC,C4的中點，

:.DF//BC，

?.?DEu平面尸。尸，仁平面PD產(chǎn)，.?.3C//平面故A正確；

?：PA=PB=PC,E是中點，

:.PE1BC,AEA.BC，

■.PE^\AE=E,/>24七<=平面/^,二.3。，平面/^,

-,-DF//BC，平面24￡,故B正確；

3c_1平面PAE，BCu平面ABC,

???平面E4EJ_平面ABC，故C正確；

設(shè)AE0|。尸=。，連結(jié)P。，不是等邊三角形ABC的重心，；.PO與平面ABC不垂直，

:?平面PDF'與平面ABC不垂直，故D錯誤.

故選：D.

2.用斜二測畫法畫水平放置的△A6C的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形VA'3'C'.已知點0'是斜邊

8C的中點，且=1,則AABC的邊8C邊上的高為（）

C.V2D.2后

【答案】D

【解析】

1

在直觀圖中A'C〃:/軸，可知原圖形中AC〃y軸，故AC_L8C,A'C=—AC,求直觀圖中AC'的長即可

2

求解直觀圖是等腰直角三角形A'8'C，?B%C90,AV=1,AA'C=0，根據(jù)直觀圖中平行于》

軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

.,?△ABC的邊8c上的高4C=2A'C=2A/2?故選D.

【點睛】

本題主要考查了斜二測直觀圖的畫法，屬于中檔題.

3.棱長為4的正方體密閉容器內(nèi)有一個半徑為1的小球，小球可在正方體容器內(nèi)任意運動，則其不能到達的空間

的體積為（）

22413

A.32---7iB.48—12萬C.28—兀D.20---7T

333

【答案】A

【解析】

由題可得小球在八個角不能到達的空間相當(dāng)于邊長為2的正方體中間挖掉一個半徑為1的球的剩余部分，小球在

12條邊活動不到的空間相當(dāng)于高為2,底面積為4的正四棱柱中間挖掉底面積為了，高為2的圓柱剩下的部分，

且有3個，由此可計算出體積.由題可得小球在八個角不能到達的空間相當(dāng)于邊長為2的正方體中間挖掉一個半徑

44

為1的球的剩余部分，其體積為2^—萬*「=8—兀，

33

小球在12條邊活動不到的空間相當(dāng)于高為2,底面積為4的正四棱柱中間挖掉底面積為萬，高為2的圓柱剩下

的部分，且有3個，則其體積為（4x2—2%）x3=24-6萬，

（8—g萬］+（24—67）=32—弓萬?

則小球不能到達的空間的體積為

故選：A.

【點睛】

本題考查幾何體體積的計算，解題的關(guān)鍵是得出小球在運動中不能到達的空間的結(jié)構(gòu)特點.

4.已知如圖，六棱錐尸一A3CD砂的底面是正六邊形，PAL平面A6CDE/7.則下列結(jié)論不正確的是（）

A.〃平面尸B.。尸，平面av7C.CF〃平面awD.CF，平面?

【答案】D

【解析】

A.根據(jù)CD//A/,由線面平行的判定定理判斷；B.由~4_L平面得到PA±DF，易知

。尸，AF，再利用線面垂直的判定定理判斷；C.根據(jù)CF//B4,再由線面平行的判定定理判斷；D.易知CE

與AO成60,角，由線面垂直的定義判斷.A.因為C￡>//AE,Afu平面Q4E，所以C￡>〃平面E4產(chǎn)，故正確;

B.Q4_L平面ABC。石廣，Dbu平面A8CDE/,所以又OF工AF,=A，所以

平面RV7，故正確；

C.因為CF//5ABAu平面Q鉆，所以CF〃平面RW，故正確；

D.因為CT與AO成60角，所以與平面Q4O不垂直，故錯誤;

故選：D

【點睛】

本題主要考查空間中的線面關(guān)系，還考查了邏輯推理的能力，屬于中檔題.

5.水平桌面。上放有4個半徑均為2R的球，且相鄰的球都相切（球心的連線構(gòu)成正方形）.在這4個球的上面

放1個半徑為R的小球，它和下面4個球恰好都相切，則小球的球心到水平桌面a的距離是（）

A.2RB.37?C.（3+后）RD.（2+石/

【答案】B

【解析】

五個球心構(gòu)成一個正四棱錐，求出四棱錐的頂點到底面的距離，再加上大球半徑2R即可得.水平桌面。上放有

4個半徑均為2H的球，且相鄰的球都相切（球心的連線構(gòu)成正方形）.

在這4個球的上面放1個半徑為R的小球，它和下面4個球恰好都相切，5個球心組成一個正四棱錐，

這個正四棱錐的底面邊長為AB=4R，側(cè)棱長為￡4=SC=3R,

則=2&R，棱錐的高為SO=J（3R>-（2&R）2=R，

所以小球的球心到水平桌面a的距離是H+2R=3R.

故選：B.

6.在正方形5GG2G3中，E、F分別是G1G2及G2G3的中點，。是EF的中點，現(xiàn)在沿SE、SF及EF把這個正方

形折成一個四面體，使Gi、Gi、G3三點重合，重合后的點記為G,那么，在四面體5-EFG中必有（）

A.SG_LZ\EFG所在平面B.SOJ_Z\EFG所在平面

C.GF_LZ\SEF所在平面D.GOJ_Z\5E尸所在平面

【答案】A

【解析】

在正方形SGiG2G3中，有SGILGIE,在折疊后其垂直關(guān)系不變，所以有SGJ_EG同理有有SGJ_FG,再由線面

垂直的判定定理證明.在正方形SGiG2G3中，

因為SG」G|E,

所以在四面體中有SG±EG

又因為SGiA.GyF,

所以在四面體中有SGLFG,且GEC|GF=G,

所以SG1.ZSEFG所在平面.

故選：A

【點睛】

本題主要考查折疊問題及線面垂直的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬于中檔題.

7.已知平面圖形PABCO,ABCO為矩形，AB=4,是以P為頂點的等腰直角三角形，如圖所示，將△小￡）

沿著A。翻折至△「/￡＞，當(dāng)四棱錐P—A8CD體積的最大值為3，此時四棱錐P—A5CD外接球的表面

3

積為（）

A.12萬B.16〃C.24乃D.32萬

【答案】C

【解析】

分析出當(dāng)平面PAD_L平面A8CO時，四棱錐P-A8CD的體積取最大值，求出A。、P'A的長，然后將四

棱錐9—A5CD補成長方體PAM￡＞-Q8NC,計算出該長方體的體對角線長，即為外接球的直徑，進而可求

得外接球的表面積.取AO的中點E，連接P'E，由于△P'A￡＞是以P'為頂點的等腰直角三角形，則PEA.AD，

設(shè)AD=x,則P'E=—AD=—x,

22

設(shè)二面角P—AD—3的平面角為夕，則四棱錐P—ABCD的高為〃=,xsin。，

2

當(dāng)。=90。時，hnwx=^x,

矩形ABCO的面積為S=4?-AO=4x,=-Sh<-x4xx-x=-x2=—,解得尤=2正.

ABCD33233

將四棱錐尸-ABCD補成長方體P'AMD-QBNC,

所以，四棱錐P一ABCD的外接球直徑為2R=PN=[PA2+PD?+PQ?=JAD?+AB?=2指，則

R=網(wǎng)>

因此，四棱錐P—ABCD的外接球的表面積為4萬A?=24萬.

故選：C.

【點睛】

方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：

①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解;

②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；

③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一

定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.

8.已知正方體A3C7）-4旦的棱長為1,P是空間中任意一點，下列說法錯誤的個數(shù)是（）

①若「為棱eq中點，則異面直線AP與CO所成角的正切值為或；②若尸在線段A.B上運動，則AP+PQ

2

的最小值為近1Y2：③若P在半圓弧。。上運動，當(dāng)三棱錐。一ABC的體積最大時，三棱柱P—ABC外

2

接球的表面積為2%；④若過點P的平面a與正方形每條棱所成角相等，則a截此正方體所得截面面積的最大

值為苧

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】

根據(jù)異面直線的夾角求解，棱錐外接球的求解，以及正方體截面的性質(zhì)，對選項進行逐一分析即可.對于①，如圖

所示，

由AB//CD，可知44P即為異面直線AP與CQ所成的角.

設(shè)正方體的棱長為2,連接BP,則在RTABAP中，A3=2，BP=y/BC2+CP2=722+12=>/5

tanZ.BAP==—，故①正確

AB2

對于②，將三角形A4/與四邊形48cA沿48展開到同一個平面上，如圖所示.

44

由圖可知，線段AQ的長度即為AP+PA的最小值.

在AAAA中，利用余弦定理可得A香=，2+J5，故②錯誤?

對于③，如下圖所示：

當(dāng)P為C。中點時，三棱錐P—A3C體積最大，

此時，三棱錐P—A6C的外接球球心是4c中點，

半徑為亞，其表面積為2乃.故③正確.

2

對于④，平面。與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等,

只需與過同一頂點的三條棱所成的角相等即可，如圖所示：

AP=AR=AQ.則平面PQR與正方體過點A的三條棱所成的角相等.

若點E,F,G,H,M,N分別為相應(yīng)棱的中點，

可得平面EFGHMN平行于平面PQR,且六邊形EFGHMN為正六邊形.

正方體棱長為1,所以正六邊形EFGHMN的邊長為注，

2

可得此正六邊形的面積為氈，為截面最大面積.

4

故④正確.

故選：A

【點睛】

本題考查異面直線夾角的求解，棱錐外接球表面積，正方體截面問題，屬較難題.

二、多選題

9.已知正三棱錐P—A8C的底面邊長為1,點P到底面A8C的距離為則()

A.該三棱錐的內(nèi)切球半徑為YZB.該三棱錐外接球半徑為述

612

C.該三棱錐體積為也D.該三棱錐體積為逅

1212

【答案】ABD

【解析】

設(shè)PM是棱錐的高，則M是AABC的中心，。是中點，易得幾何體的體積，進而結(jié)合等體積法求得內(nèi)切

球的半徑，利用直角三角形求解外接球的半徑.如圖，PM是棱錐的高，則M是AAbC的中心，。是A3中點,

2

S/AIIC=—^=—'VpABC=LS&ABC，PM立=旦,故C錯D正確；

LS/\DV,44?-/IOC334，]2

DM=-x—xl=—,P0=J(")2+j叵!二更,CM=—.

326『663

而“cio,c々573V33\/3

所以S=3SapBc+54鉆。=3x五-+彳=,

設(shè)內(nèi)切球半徑為，則"Sr=V$_ABc，「=不看"=不，人正確;

易知外接球球心在高PM上，球心為0,設(shè)外接球半徑為R，

//oA2/-

則（正—/?『+—=R2,解得R=2Y2,B正確；

I3J12

故選：ABD.

【點睛】

本題考查空間幾何體的內(nèi)切球，外接球問題，三棱錐的體積求解，考查空間想象能力，運算求解能力，是中檔題.

本題內(nèi)切球的半徑的求解利用等體積法求解，即：V=gs表面積（其中「為內(nèi)切球半徑）.

10.點M是正方體A8CO—440。中側(cè)面正方形ADAA內(nèi)的一個動點，則下面結(jié)論正確的是（）

A.滿足CM的點〃的軌跡為線段

B.點〃存在無數(shù)個位置滿足直線B1M//平面BCQ

C.在線段A2上存在點加，使異面直線4M與CD所成的角是30。

D.若正方體的棱長為1,三棱錐8-CM。的體積的最大值為:

【答案】ABD

【解析】

對于A,由正方體的性質(zhì)和CM，A"可得AR_L平面從而可得點M在線段4。上時，有

CM_LA4；對于B,由正方體的性質(zhì)可得平面AD4〃平面8CQ,所以當(dāng)點M在AQ上時，均有g(shù)M//

平面8CQ,從而可判斷；對于C,異面直線用加與CO所成的角是NAgM,當(dāng)〃在線段A%上運動時，

點”取的中點時，NAgM最小，其正切值為立〉"，從而可判斷;對于D,由正方體的性質(zhì)得，4。工

23

平面BG。，若正方體的棱長為1,則點M與A重合時，三棱錐8-G/。的體積取得最大，從而可求出其體

積解：對于A,如圖，在正方體A5CO—44GA中，。。_1_平面4。24，A"U平面AZ)AA，所以

CD1AD,,因為ADJ.AA，A,DC\DC=D,所以A。_L平面為。。，所以當(dāng)點M在線段4。上時，

有CMJ.AR,所以點加的軌跡為線段，所以A正確；

對于B,在正方體ABC。-中，因為BQ'/BD，BOu平面BG。，81。2平面86。，所以

4A〃平面BG。，同理AA〃平面BCQ,而所以平面AD4〃平面BCQ,所以當(dāng)點

M在A0上時，均有4M//平面BQ。，所以點”存在無數(shù)個位置滿足直線4M//平面BG。，所以B

正確；

對于C,異面直線與M與CD所成的角是/人瓦加，當(dāng)M在線段AA上運動時，點M取A"的中點時，

最小，其正切值為41＞且，所以不存在點M，使異面直線與M與8所成的角是30。，所以C

23

錯誤；

對于D,由正方體的性質(zhì)得，4c，平面5G。，若正方體的棱長為1,則點M與4重合時，三棱錐B-GM。

的體積取得最大，其值為所以D正確，

32233

故選：ABD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：此題考查以正方體為模型判斷線線垂直，線面平行，求異面直線所在的角等，解題的關(guān)鍵是正確利

用正方體的性質(zhì)，屬于中檔題

jr

11.如圖所示，已知二面角4一班）一。的大小為一,G,“分別是5C,CD的中點，F(xiàn),E分別在A8,AD上，

3

Ap4/71

—=—=一，且AC,平面8CZ）,則以下說法正確的是（）

ADAB3

A.E,￡G,”四點共面

B.FG//平面AOC

C.若直線FG,HE交于點P，則P,AC三點共線

D.若△ABZ）的面積為6,則△BCD的面積為3.

【答案】ACD

【解析】

A選項：由條件證得EF//GH并判斷得結(jié)論；

B選項：如果有FG〃平面4OC成立，經(jīng)推理可得尸是A8的中點，作出判斷;

C選項：分析出P是平面ABC與平面DAC的公共點并作出判斷;

D選項：由給定二面角大小，結(jié)合4C，平面88,可以分析得到點A,C到直線8。的距離的關(guān)系，再作判斷

AEAF1

而得.A選項：在AAB。中，因為一所以EF//BD,在ACB/）中，G,“分別是BC,C。的中點，

ADAB3

所以GH//BD,有EFVGH,E,F,G,”四點共面，故A選項正確；

B選項：假設(shè)尸G//平面AOC成立，因為平面ABCf）平面。4c=4C,所以尸G//4C,又G是8C的中點，所以F

AFI

是AB的中點，與——=—矛盾，故B選項錯誤；

AB3

C選項：因為FGu平面ABC,PGFG,所以平面48C,同理PG平面。AC,因為平面ABCfl平面D4C=AC，

所以PGAC,所以P,A,C三點共線，故C選項正確；

兀

D選項：因為二面角48。-。的大小為一，ACJ_平面8c。，所以點C到直線5。的距離必是點4到直線3。的

3

距離4的一，故Sc=—,BD,dy=—BD—d.=—S=3,故D選項正確.

22/2212△外力〃

故選：ACD

【點睛】

求二面角的方法：幾何法，空間向量法，射影面積公式.

12.如圖，線段A8為圓。的直徑，點￡，廠在圓。上，EF//AB,矩形A8CO所在平面和圓。所在平面

垂直，且AB=2，EF=AD=1，則下述正確的是（）

A.OF〃平面BCE

B.3尸_L平面ADR

C.點A到平面CD莊:的距離為叵

7

D.三棱錐。一8萬尸外接球的體積為&

【答案】ABC

【解析】

由Eb=OB=l,EF//OB,易證OF//平面BCE,A正確;

B,由所矩形A8CO所在平面和圓。所在平面垂直，易證AO,平面ABE尸，所以A￡>J_BE，由線段AB

為圓。的直徑，所以8b_LE4，易證故B正確.

C,由VC_DAF=VA_CDF可求點A到平面CDFE的距離為三,c正確?

7

D,確定線段的中點M是三棱錐C—8E尸外接球心，進一步可求其體積，可判斷D錯誤.解：EF=OB=1,

EF//OB,四邊形0EE8為平行四邊形，所以O(shè)F//BE,

。尸2平面BCE,BEu平面BCE，所以?？凇ㄆ矫鍮CE,故A正確.

線段AB為圓。的直徑，所以

矩形A8CD所在平面和圓。所在平面垂直，平面ABCDf］平面=AOu平面

ABCD,所以AO,平面MEF，BFu平面ABEF,所以45_15/

ADu平面皿'A/u平面AD/7，ADC\AF=A,

所以平面AOF，故B正確.

OF=OE=EF=l,△OEE是正三角形，所以EF=BE=AF=1，

DA!IBC，所以BCJ?平面ABE/LBC±BF,

BF=5CF=4CBr+BF-=73+1=2-

DF=\IDA2+AF2=Vi+T=y［2，

AB=CD=2,ACD尸是等腰三角形，&DF的邊DF上的高］CF?一［與）=-（曰=/

S&CDF=；X^~x6=日,

DA//BC，ADu平面/，BCz平面相）產(chǎn)，

8。//平面4。/，點C到平面尸的距離為8尸=6，

S4DAF=5"1'1=5，^C-DAF=^A-CDF9

設(shè)點A到平面CDFE的距離為h,

1c,11/T1V7,

TXS^ADFXFB--XS4CFDX"，—X—X>/3=~X~T~X〃，

JJD乙D乙

所以〃=《互，故c正確.

7

取。8的中點M，則MO〃AO，M0=-,所以MOL平面COFE,

2

所以ME=MF=MB=MC=

所以M是三棱錐C—BE尸外接球的球心，其半徑逆，

2

4,4

三棱錐C-BEF外接球的體積為V=—%r=—萬工—7T,故D錯誤,

332J6

故選：ABC.

【點睛】

綜合考查線面平行與垂直的判斷，求點面距離以及三棱錐的外接球的體積求法，難題.

三、填空題

3如圖'正方體筋3的他的棱長為1，線段加上有兩個動點E、F，且所等現(xiàn)有如下四

個結(jié)論：

①AC_LBE；②平面EFC〃平面③異面直線AE、8廠所成的角為定值；④三棱錐A—瓦下的體積

為定值.

其中正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【解析】

證明出AC，平面8。。耳，可判斷①的正誤；利用面面平行的判定定理可判斷②的正誤；利用異面直線所成

角的定義得出異面直線AE、8F所成的角為NAEG,計算出tanNAEG,可判斷③的正誤；以點A為頂點，

結(jié)合錐體體積公式求出三棱錐A—3E尸的體積，可判斷④的正誤.①設(shè)AC與3。相交于G，

在正方體ABC。-AgG，中，四邊形ABC。為正方形，則AC_L8￡），

BB}±平面ABCD,ACu平面ABCD,二AC±BB]t

?.?8￡（=平面84。。，；.4。_13￡,①正確；

②在正方體ABC?！狝BC。中，BBJ/DD[且BB、=DD、,

所以，四邊形。。為平行四邊形，可得BD//BR,

2平面A#。，3Z）u平面480,與￡）|〃平面A8。，

同理可證CD"平面4B。，

BRQCD,=D,,所以，平面480〃平面B.CD,,即平面EFC〃平面&BD,②正確;

叫

③由于正方體的棱長為1，所以J8G=—.而EF=XZ,

22

?：B\D\〃BD,則EF//BG，又EF=BG,所以四邊形8GE尸是平行四邊形,

所以BF//GE,所以NA￡G是異面直線AE、所成的角，

因為AC,平面8。。與，所以AC_LEG，

AG

所以tan/AEG=——，其中AG為定值，GE長度不固定，

GE

所以NAEG不是定值，所以③錯誤；

④由①可知AC_L平面50。片，

11亞1行1

所以匕4-BEF=a*5.的F乂46=.乂—X—xlX-^-=行為定值，所以④正確.

JD乙乙乙L乙

\7

故答案為：①②④.

【點睛】

方法點睛：求直線與平面所成角的方法：

(1)定義法，①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；

②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念;

③求，利用解三角形的知識求角；

I—?%從3

（2）向量法，sin0=1cos<AB,n>\?=網(wǎng)'__.刷..'（其中AB為平面a的斜線，〃為平面a的法向量，。為斜

線AB與平面。所成的角）.

14.在三棱錐。一ABC中，AB1BC，P在底面ABC上的投影為AC的中點。，DP=DC=\，對于下

列結(jié)論：

①三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱長均相等；

②APAB的取值范圍是I-,yI；

③若三棱錐的四個頂點都在球。的表面上，則球。的體積為二；

3

其中所有正確結(jié)論的編號是.

【答案】①②

【解析】

利用三角形全等判斷選項①；根據(jù)在三角形中求出sin的值結(jié)合三角形內(nèi)角和得到“45范圍判斷②；

利用三棱錐外接球的幾何關(guān)系求出球半徑，再利用球的體積公式判斷③.對①，VABLBC，。為AC中點，

DA-DB=DC>又平面ABC，Rt^,PDA=Rt^PDC,:.PA=PB=PC,故①正確；

JI

對②，，；PA=PB，；./PAB=/PBA，又NPAB+NPBA+NAPB=兀，則NPAB<一,過尸作

2

M為垂足，則PM>PD=1，又PA=VPD2+AD2=x/2>sinZPAB=>-J==—,：.—<NPAB<—,

PAV2242

故②正確；

對③，可得外接球的球心在直線。尸上，設(shè)。到球心的距離為〃，則l±〃=”2+i,解得力=0,故。為外

4令47r

接球的球心，所以外接球的體積為一X乃x「=一，故③錯誤.

33

故答案為：①②.

【點睛】

本題考查空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，主要考查的是三棱錐的性質(zhì)、三棱錐與其外接球之間關(guān)系的求解，解題的

關(guān)鍵是正確尋找到幾何體中的垂直關(guān)系、長度關(guān)系.

15.一副三角板由一塊有一個內(nèi)角為60。的直角三角形和一塊等腰直角三角形組成，如圖所示，ZB=NR=90°，

NA=60。，NO=45°,BC=DE,現(xiàn)將兩塊三角形板拼接在一起，得三棱錐產(chǎn)一C48,取BC中點。與

AC中點M,則下列判斷中正確的是.（填正確判斷的序號）

①直線8。_|_面OFM；

②AC與面。尸M所成的角為定值；

③設(shè)面ABFA面MOF=I，則///AB；

④三棱錐產(chǎn)一COM的體積為定值.

【答案】①②③

【解析】

由三角形的中位線定理和線面垂直的判定定理可判斷①；由線面角的定義可判斷②；過尸在平面。歷尸內(nèi)作直線

IHOM,,運用平行公理可判斷③；由三棱錐的體積可判斷④.由。歷為△ABC的中位線可得OM〃AB,則

BCrOM,BCA.OF,且OMCOF=。，可得BCJ_面OFM,故①正確;

由BC1面OFM,可得AC與平面O尸M所成角為NCM。，而NCMO=NC4B=60°，故②正確;

如圖，

可過尸在平面OMF內(nèi)作直線〃/。加，而所以1//AB,/為平面。MF和平面ABF的交線，故③

正確；

在三棱錐產(chǎn)一COM中，CO,平面OMF,由于CO為定值，AOM尸的面積不為定值，所以三棱錐F-COM

體積不為定值，故④錯誤.

故選：①②③

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：解決本問題的關(guān)鍵在于利用中點的性質(zhì)，可利用中位線得平行，也可利用三線合一得垂直，解決線

面垂直，線線平行，棱錐體積，屬于中檔題.

16.如圖，多面體OABCD，AB=CD=2,AD=BC=25AC=BD=M，且OA,OB.0c兩

兩垂直，給出下列5個結(jié)論：

①三棱錐0—ABC的體積是定值；

②球面經(jīng)過點A、B、C、。四點的球的直徑是JF；

③直線。3//平面AC。；

④直線AD與0B所成角是60°：

⑤二面角A-OC-Q等于30。.

其中正確的結(jié)論是

A

【答案】①②④

【解析】

由題意，構(gòu)造長方體，設(shè)。4=x，OB=y,OC=z,由己知解得尤=1,y=百，z=3,

對于①，根據(jù)三棱錐的體積公式可判斷；

對于②，球面經(jīng)過點A、B、C、。兩點的球的直徑即為長方體的對角線長，由此可判斷；

對于③，由08//AE可判斷；

對于④，由已知得ND4E即為直線AO與0B所成的角，解三角形可判斷；

對于⑤，由已知得異面直線CO與OA所成的角大小為二面角A-OC-D的二面角大小，解三角形可判斷；由

題意，構(gòu)造長方體，如下圖所示，設(shè)。4=x,OB=y,OC=z,

則/+)”=4,x2+z2=10>><2+z2=12,解得，x=l,y=G，z=3,

對于①，三棱錐0-A6C的體積為」OCXLQ4XO8=@,故①對；

322

對于②，球面經(jīng)過點A、B、C、￡>兩點的球的直徑即為長方體的對角線長，即為獷萬泰豆=如，故

②對；

對于③，由于OB//AE,AE和平面AQ9相交，則0B和平面AC。相交，故③錯.

對于④，由于08//AE，則ND4E即為直線與。8所成的角，

由tanZDAE=——=6,則NZME=60。，故④對；

AE

對于⑤，因為4OLOC，DCA.OC,所以異面直線CO與OA所成的角大小為二面角A-OC-D的二面角

ApL

大小，連接OE，則NAOE為所求，tanNAOE=%=百，所以NAO￡=60°；⑤錯誤；

OA

故答案為：①②④

【點睛】

方法點睛：解決幾何體相關(guān)的外接球等問題時.，補全幾何體是常用的一種方法，利用補全的幾何體的性質(zhì)研究原

幾何體的性質(zhì).四、解答題

17.如圖所示，在三棱柱ABC-A向G中，側(cè)棱AA」底面ABC,ABLBC,。為AC的中點，AAt=AB=2,BC=3.

（1）求證：AB"/平面BGD；

（2）求AB1與BD所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）恒.

13

【解析】

（1）利用三角形中位線定理證明OO//A&,再用線面平行的判定定理證明A5//平面8CQ;

（2）先判斷出/0。8（或其補角）為ABi與8。所成的角，再解三角形求出余弦值.（1）證明：如圖，連接BC,

設(shè)5c與BG相交于點。，連接?！?/p>

???四邊形8CG3是平行四邊形.

.?.點。為為C的中點.

■Q為4c的中點，.?.0Q為A4B1C的中位線，.??0D〃A8i.

,.?。。0平面8<7|0,A5C平面BG。，

'-AB\//平面BC\D.

（2）解：由（1）可知，為ABi與B。所成的角或其補角，

：M=A8=2,:.AB尸26,0。=.及，

在RtAABC中，。為AC的中點，則8。=生=，叵，

22

后

同理可得，。8=少，

2

在408。中，

與BD所成角的余弦值為—

13

立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：

（1）第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理；

（2）第二問是計算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通?？梢杂脦缀畏?，也可以用向量法計算.

18.如圖，在直三棱柱ABC—A14G中，N分別為棱AC、的中點，且AB=BC

G

（1）求證：平面BMN,平面ACGA；

（2）求證：MN〃平面BCC]B「

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）本題首先可以根據(jù)M為棱AC的中點得出AC，然后根據(jù)三棱柱ABC-A&G是直三棱柱得出

AAtlBM,最后根據(jù)線面垂直的判定以及面面垂直的判定即可證得結(jié)論；

（2）本題可作的中點P,連接片尸和"P，然后根據(jù)M、p為棱AC、BC的中點得出四邊形

是平行四邊形以及MN//P與，最后根據(jù)線面平行的判定即可得出結(jié)果.（1）因為M為棱4。的中點,

AB=BC，所以BM_LAC，

因為三棱柱ABC—AAG是直三棱柱，所以AA，平面ABC，

因為平面ABC，所以A4,_L8M,

因為AC、44匚平面4。。14，ACcA,A=A,所以氏0_L平面ACCA,

因為8Mu平面8MN，所以平面8MN_L平面ACGA.

（2）如圖，作BC的中點P,連接gP和A/P，

因為M、P為棱AC、6C的中點，所以MP//A8,且MP=，AB,

2

因為N為棱A4的中點，IIAB,\BX=AB,

所以B】N//PM,B]N=PM,四邊形MNBf是平行四邊形，MN//PB},

因為MN.平面8CG4，Pgu平面BCG用，所以也N//平面8。。石.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查線面平行的判定以及面面垂直的判定，考查通過線面垂直證明面面垂直，若平面外一條直

線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線，則線面垂直，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

19.如圖，在三棱錐A—5C0中，AB_L平面SCO，BCLCD，E，F(xiàn)，G分別是AC，AO，BC的

中點.求證:

（1）AB〃平面EFG；

（2）CA1CD-.

（3）平面ERG_L平面ABC.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)三角形中位線性質(zhì)和線面平行判定定理可得證；

（2）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理可得證；

（3）根據(jù)面面垂直的判定定理可得證.證明：（1）?三棱錐4-38中,

E，F(xiàn)，G分別是AC,A。，8C的中點，

：.EGIIAB,

???4?仁平面E/G,EGu平面EEG,

.?.AB//平面ERG.

（2）Q/W_L平面BCD,CDu平面BCQ,.?.ABLC。，

vBCVCD,ABcBC=B,A&BCu平面ABC，

\CD'平面ABC,

：C4u平面ABC,C4_LCD.

（3）F.G分別是AC，AD，8C的中點，

..EF//C￡>,_L平面ABC,

C

【點睛】

關(guān)鍵點睛：在證明空間中的線面、面面之間的平行和垂直關(guān)系時.，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地運用線面、面面平行或垂直的

判定定理和性質(zhì)定理.

20.如圖，AB為的直徑，R4垂直于所在的平面，M為圓周上任意一點，ANAOA.PB,

(1)求證：PBLNQ；

(2)若Q4=AM=1，PB=G，求三棱錐P—ANQ的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)—.

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【解析】

(1)根據(jù)直徑所對圓周角為直角，及線面垂直的性質(zhì)定理與判定定理進行證明即可；

(2)由(1)知QB,平面ANQ,所以PQ為三棱錐P—ANQ的高，再根據(jù)平面幾何計算各個棱長及底面面

積，進而求得椎體體積.(1)因為A3是。。的直徑，所以

因為R4垂直于0。所在的平面，所以所以平面Q4".

因為ANu平面A4A7,所以BM_LAN,

又AN1PM,BMcPM=M，所以AN,平面PBW，

所以又因為4QLP8,AQr>AN=A,所以依，平面ANQ,

所以PB1.NQ.

(2)由(1)知依_L平面ANQ,所以PQ為三棱錐P-AAQ的高.

因為Q4=AA/=1，所以是等腰直角三角形,

所以AN=*PA=在.

22

在RtAQAS中可得AB=&，

所以AQ==曰,PQ=JPA2_AQ2=*.

又由（1）可知4V_L平面尸6M，所以AN工NQ,所以NQ=JAQ。-AN?=旦,

6

因此丫三枝錐PWQ=1S△ANQX尸。=；XgXANXNQXPQ=a.

【點睛】

求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的

一個側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來求體積.

21.如圖，四棱柱ABC。一A旦GA中，底面ABC。為菱形，四邊形ACGA和四邊形,均為矩形

E為四邊形4ADD對角線的交點，尸是的中點.

（1）EF〃平面B]BDD「

（2）設(shè)A4=2，NB4O=120°,三棱錐E—ACD的體積為也，求二面角?！狝E—C的余弦值.

3

【答案】（1）證明見解析；（2）立.

7

【解析】

（1）根據(jù)中位線證明￡尸〃g。，可證EF〃平面（2）由三棱錐體積計算出45=2,然后根據(jù)題意

作出二面角的平面角，構(gòu)造直角三角形，計算三邊長，然后利用三角函數(shù)值代入計算二面角的平面角即可.（1）

??￡F分別為A。、的中點，二所為

EF//BQ,；EF6平面B]BDD1,gOu平面gBDDt,

EF〃平面.

（2）?.?四邊形ACGA與四邊形是矩形，

A4,±AC,BBI1BD，:ABCD-是四棱柱

AAAJ/BB,,AAA,_L平面ABCD，二四棱柱ABCD-AgGQ是直四棱柱.

"VFACD=-^--AD2'*'-AD=2

E-ACD343

取AO中點N,連接CN,?.?AAC￡）是正三角形，???CNLA。，

V四棱柱ABCD-A與GA，是直四棱柱，

???。村，平面4。石，作NH工AE,連接C”，

NCHN就是二面角。一AE—C的平面角.

,:HN=>DE=^，CN=5???〃。=巫，

222

AcosZCHN=把=也.，二面角。一AE—C的余弦值為—.

HC77

【點睛】

利用定義求解二面角時，需要找準(zhǔn)二面角的平面角，一般作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面

內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此

可得二面角的平面角.

22.如圖，已知三棱柱ABC-A4C1,平面AACC]J?平面ABC,ZABC=90°,ABAC=30°,

AA=ac=AC,E,F分別是AC,Ag的中點.請你用幾何法解決下列問題:

（1）證明：EFLBC-.

（2）求直線EF與平面48C所成角的余弦值；

（3）求二面角A—4c-6的正弦值

37/s

【答案】（1）證明見解析；（2）—；（3）莊.