第6節(jié)雙曲線一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．雙曲線的定義(1)定義：一般地，假如F1，F(xiàn)2是平面內(nèi)的兩個定點，a是一個正常數(shù)，且2a＜|F1F2|.則平面上滿意||PF1|－|PF2||＝2a(2)相關(guān)概念：兩個定點F1，F(xiàn)2稱為雙曲線的焦點，兩個焦點的距離|F1F2|稱為雙曲線的焦距集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當a<c時，點P的軌跡是雙曲線．(2)當a＝c時，點P的軌跡是兩條射線．(3)當a>c時，點P不存在．2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)實虛軸實軸|A1A2|＝2a；虛軸|B1B2|＝2b；半實軸長為a，半虛軸長為ba，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3.常用結(jié)論(1)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為eq\f(2b2,a)，也叫通徑．(2)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同的漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．(3)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.(4)若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.二、基本技能·思想·活動體驗1．推斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)平面內(nèi)到點F1(0,2)，F(xiàn)2(0，－2)距離之差的肯定值等于4的點的軌跡是雙曲線．(×)(2)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點在y軸上的雙曲線．(×)(3)雙曲線方程eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.(√)(4)等軸雙曲線的漸近線相互垂直，離心率等于eq\r(2).(√)2．雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的焦點坐標是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)B解析：由題可知雙曲線的焦點在x軸上，又c2＝a2＋b2＝3＋1＝4，所以c＝2，故焦點坐標為(－2,0)，(2,0)．3．若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(5) B．5C.eq\r(2) D．2A解析：由題意知焦點到其漸近線的距離等于實軸長，雙曲線的漸近線方程為eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0，即bx±ay＝0，∴2a＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝eq\f(c2,a2)＝5，∴e＝eq\r(5).4．經(jīng)過點A(3，－1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為__________．eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1解析：設雙曲線方程為x2－y2＝λ(λ≠0)，把點A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求雙曲線方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1.5．已知雙曲線x2－eq\f(y2,16)＝1上一點P到它的一個焦點的距離等于4，那么點P到另一個焦點的距離等于________．6解析：設雙曲線的焦點為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝4，則||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2.又雙曲線上的點到焦點的距離的最小值為c－a＝eq\r(17)－1，故|PF2|＝6.考點1雙曲線的定義——基礎(chǔ)性(1)(2024·浙江卷)已知點O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．設點P滿意|PA|－|PB|＝2，且P為函數(shù)y＝3eq\r(4－x2)圖像上的點，則|OP|＝()A.eq\f(\r(22),2) B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7) D.eq\r(10)D解析：由雙曲線定義可知，點P在以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支上．設P(x，y)，則x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1)，將y＝3eq\r(4－x2)代入可得x2＝eq\f(13,4)，所以y2＝3(x2－1)＝eq\f(27,4)，所以|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(10).故選D.(2)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，左焦點為F1，點Q(0，eq\r(3)c)(c為半焦距)．P是雙曲線C的右支上的動點，且|PF1|＋|PQ|的最小值為6，則雙曲線C的方程為______________．x2－eq\f(y2,3)＝1解析：設雙曲線右焦點為F2，則|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|，而|PF2|＋|PQ|的最小值為|QF2|＝eq\r(c2＋\r(3)c2)＝2c，所以|PF1|＋|PQ|最小值為2a＋2c＝6.又eq\f(c,a)＝2，解得a＝1，c＝2，于是b2＝3，故雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.利用雙曲線的定義求方程要留意的問題(1)實軸長為距離之差的肯定值．(2)2a＜|F1F(3)焦點所在坐標軸的位置．1．已知兩圓C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，動圓M與兩圓C1，C2都相切，則動圓圓心M的軌跡方程是()A.x＝0B.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1(x≥eq\r(2))C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1或x＝0D解析：動圓M與兩圓C1，C2都相切，有四種狀況：①動圓M與兩圓都外切；②動圓M與兩圓都內(nèi)切；③動圓M與圓C1外切、與圓C2內(nèi)切；④動圓M與圓C1內(nèi)切、與圓C2外切．在①②狀況下，動圓圓心M的軌跡方程為x＝0.在③的狀況下，設動圓M的半徑為r，則|MC1|＝r＋eq\r(2)，|MC2|＝r－eq\r(2).故得|MC1|－|MC2|＝2eq\r(2).在④的狀況下，同理得|MC2|－|MC1|＝2eq\r(2).由③④得|MC1|－|MC2|＝±2eq\r(2).已知|C1C2|＝8，依據(jù)雙曲線定義，可知點M的軌跡是以C1(－4，0)，C2(4,0)為焦點的雙曲線，且a＝eq\r(2)，c＝4，b2＝c2－a2＝14，其方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,14)＝1.故選D.2．(2024·深圳市高三二模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5，0)，P為雙曲線C上一點，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(3,4)，則雙曲線C的方程為()A．x2－eq\f(y2,24)＝1 B.eq\f(x2,24)－y2＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1A解析：如圖，因為PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝eq\f(3,4)，|F1F2|＝10，所以|PF1|＝8，|PF2|＝6.依據(jù)雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，即a＝1，所以b2＝c2－a2＝25－1＝24，所以雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,24)＝1.考點2雙曲線的方程——綜合性(1)已知方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A．(－1,3) B．(－1，eq\r(3))C．(0,3) D．(0，eq\r(3))A解析：因為雙曲線的焦距為4，所以c＝2，即m2＋n＋3m2－n＝4，解得m又由所給方程表示雙曲線得(1＋n)(3－n)>0，解得－1<n<3.(2)(2024·天津卷)設雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點和點(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1B.x2－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)－y2＝1D．x2－y2＝1D解析：由題意知雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以雙曲線C為等軸雙曲線，漸近線的斜率分別為1和－1.因為直線l與一條漸近線平行，拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)，所以eq\f(b－0,0－1)＝－1，即b＝1.所以雙曲線C的方程為x2－y2＝1.故選D.求雙曲線標準方程的一般方法(1)待定系數(shù)法：設出雙曲線方程的標準形式，依據(jù)已知條件，列出關(guān)于參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同漸近線時，可設所求雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．(2)定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點位置確定c的值．1．已知雙曲線C：eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1，則雙曲線C的焦點坐標為()A．(±5,0) B．(±eq\r(7)，0)C．(0，±5) D．(0，±eq\r(7))C解析：雙曲線的焦點坐標在y軸上，又a2＝16，b2＝9，則c2＝a2＋b2＝25，即c＝5，故雙曲線的焦點坐標為(0，±5)．2．(多選題)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，則能使雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的是()A．離心率為eq\f(5,4)B．雙曲線過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))C．漸近線方程為3x±4y＝0D．實軸長為4ABC解析：雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，可得c＝5.假如離心率為eq\f(5,4)，可得a＝4，則b＝3.所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，所以A正確；由c＝5，雙曲線過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,4)))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25＝a2＋b2，,\f(25,a2)－\f(81,16b2)＝1，)))解得a＝4，b＝3，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，所以B正確．由c＝5，漸近線方程為3x±4y＝0，可得eq\f(b,a)＝eq\f(3,4)，a2＋b2＝25，解得a＝4，b＝3，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，所以C正確．由c＝5，實軸長為4，可得a＝2，b＝eq\r(21)，雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,21)＝1，所以D不正確．3．與雙曲線x2－2y2＝2有公共漸近線，且過點M(2，－2)的雙曲線方程為____________．eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1解析：設與雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為eq\f(x2,2)－y2＝k.將點(2，－2)代入得k＝eq\f(22,2)－(－2)2＝－2，所以雙曲線的標準方程為eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.考點3雙曲線的幾何性質(zhì)——綜合性考向1雙曲線的漸近線若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)xB．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)xD．y＝±eq\f(\r(3),2)xA解析：(方法一)由題意知，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)a，所以b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(2)a，即eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.(方法二)由e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(3)，得eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.求雙曲線的漸近線的方法已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的方程，求漸近線的方程時，可令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x；或令eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x.反之，已知漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，可設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．考向2求雙曲線的離心率(1)(2024·瀏陽一模)已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圓C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0.若雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，則雙曲線C1的離心率的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))C．(1,2) D．(2，＋∞)A解析：由雙曲線方程可得其漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，圓C2：x2＋y2－2ax＋eq\f(3,4)a2＝0可化為(x－a)2＋y2＝eq\f(1,4)a2，圓心C2的坐標為(a,0)，半徑r＝eq\f(1,2)a.由雙曲線C1的一條漸近線與圓C2有兩個不同的交點，得eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))<eq\f(1,2)a，即c>2b，即c2>4b2.又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c2<eq\f(4,3)a2，所以e＝eq\f(c,a)<eq\f(2\r(3),3).又知e>1，所以雙曲線C1的離心率的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))).(2)(2024·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(\r(5),2)x，則該雙曲線的離心率是________．eq\f(3,2)解析：因為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1(a>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(5),a)x，所以eq\f(\r(5),a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝2，則離心率e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(5,4))＝eq\f(3,2).求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)干脆求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解．考向3與雙曲線有關(guān)的最值和范圍問題已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點．若eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，則y0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),6)，\f(\r(3),6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)，\f(2\r(2),3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))A解析：因為F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，eq\f(x\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3<0，即3yeq\o\al(2,0)－1<0，解得－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).與雙曲線有關(guān)的取值范圍問題的解題思路(1)若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系干脆變換求解．(2)若條件中沒有不等關(guān)系，要擅長發(fā)覺隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系來解決．1．(2024·上海崇明區(qū)調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與圓(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，則雙曲線C的離心率為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(5,4)C.eq\f(16,9) D.eq\f(25,16)B解析：由題意知，雙曲線C的漸近線方程為by±ax＝0，結(jié)合圖形(圖略)易知與圓相切的只可能是by－ax＝0.又圓心坐標為(2,1)，則eq\f(|b－2a|,\r(a2＋b2))＝1，得3a＝4b，所以9a2＝16b2＝16(c2－a2)，則e2＝eq\f(25,16).又e>1，故e＝eq\f(5,4).2．已知焦點在x軸上的雙曲線eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，它的焦點到漸近線的距離的取值范圍是________．(0,2)解析：對于焦點在x軸上的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的一個焦點(c,0)到漸近線bx－ay＝0的距離為eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.雙曲線eq\f(x2,8－m)＋eq\f(y2,4－m)＝1，即eq\f(x2,8－m)－eq\f(y2,m－4)＝1，其焦點在x軸上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－m>0，,m－4>0，))解得4<m<8，則焦點到漸近線的距離d＝eq\r(m－4)∈(0,2)．已知A，F(xiàn)，P分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左頂點、右焦點以及右支上的動點．若∠PFA＝2∠PAF恒成立，則雙曲線的離心率為()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．1＋eq\r(3)[四字程序]讀想算思A，F(xiàn)分別是雙曲線的左頂點和右焦點，P是雙曲線上的動點1.雙曲線的離心率的表達式是什么？2．如何把幾何條件∠PFA＝2∠PAF轉(zhuǎn)化為代數(shù)式子？設∠PAF＝α，建立∠PAF和∠PFA之間的聯(lián)系數(shù)形結(jié)合∠PFA＝2∠PAF，求雙曲線的離心率1.e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))；2．轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，進而用直線的斜率表示二者之間的關(guān)系tan∠PFA＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)利用特別值法或者代數(shù)運算，都要結(jié)合圖形解決問題思路參考：特別值法，不妨設∠PFA＝90°求解．C解析：因為∠PFA＝2∠PAF恒成立，不妨令∠PFA＝90°，則∠PAF＝45°.在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中，令x＝c，易得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，±\f(b2,a))).因為tan∠PAF＝1，所以eq\f(b2,a)＝a＋c，所以c2－ac－2a2＝0，所以(c＋a)(c－2a)＝0，解得c＝2a，即e＝2.思路參考：利用誘導公式表示出直線PA，PF之間斜率的關(guān)系求解．C解析：設∠PAF＝α，∠PFA＝2α，kPA＝k1，kPF＝k2，k2＝tan(π－2α)＝eq\f(－2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－2k1,1－k\o\al(2,1)).設點P(x0，y0)，故eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，①因為k2＝eq\f(y0,x0－c)，k1＝eq\f(y0,x0＋a)，所以eq\f(y0,x0－c)＝eq\f(－2y0x0＋a,x0＋a2－y\o\al(2,0))，②聯(lián)立①②消去y0得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(c2,a2)))xeq\o\al(2,0)＋(4a－2c)x0＋c2－2ac＝0，(*)當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－\f(c2,a2)＝0，,4a－2c＝0，,c2－2ac＝0))時，(*)式恒成立，此時e＝eq\f(c,a)＝2.思路參考：造構(gòu)相像三角形，結(jié)合平面幾何學問求解．C解析：如圖1，∠ACB＝2∠ABC，由平面幾何學問，△ACD∽△BAD，故eq\f(b,c)＝eq\f(c,a＋b)，所以c2－b2＝ab，反之亦然．圖1圖2在雙曲線中，設點P(x0，y0)，過點P作PM⊥AF，如圖2.因為∠PFA＝2∠PAF，同理可得|PA|2－|PF|2＝|AF|·|PF|，又|PA|2－|PF|2＝(|AM|2