20232024學(xué)年第二學(xué)期高二年級期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字造的鋼筆或簽字筆將自已的址名和考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.并用B鉛筆將時應(yīng)的信息點涂黑，不按要求填涂的，答寒無效.2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再進(jìn)涂其他答案，答案不能答在試卷上.3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)城內(nèi)相應(yīng)位里上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4，考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只需將答題卡交回.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.下列求導(dǎo)運算正確的是（）A. B.C. D.2.設(shè)為等差數(shù)列前項和，已知，則的值為（）A.5 B.7 C.9 D.103.在數(shù)列中，若，，則（）A. B. C.1 D.44.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下面說法正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.為函數(shù)的極小值點 D.為函數(shù)的極大值點5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列前n項和為，若，則（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.186.若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）．A. B. C.2 D.7.已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.8.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是x的函數(shù)，通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……．一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)記為，例如的n階導(dǎo)數(shù)．若，則（）A. B.50 C.49 D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.可能是奇函數(shù) B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.當(dāng)?shù)臉O大值為17時， D.當(dāng)時，函數(shù)的值域是10.已知數(shù)列滿足，其中，為數(shù)列的前n項和，則下列四個結(jié)論中，正確的是（）A. B.數(shù)列的通項公式為：C.數(shù)列的前n項和為： D.數(shù)列為遞減數(shù)列11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.若奇函數(shù)，則為偶函數(shù) B.若，則為奇函數(shù)C.若的最小值為0，則 D.若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)12.（多選）已知n∈N*，下列說法正確的是（）A.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋2n＋1，則該數(shù)列的通項公式為an＝2n＋1B.設(shè)Tn是數(shù)列{an}的前n項的乘積，且Tn＝n2，則該數(shù)列的通項公式an＝C.數(shù)列2，5，11，20，x，47，…中的x可以等于32D.若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，則S2，S4－S2，S6－S4也成等比數(shù)列三?填空題13.在等差數(shù)列中，，公差為d，且成等比數(shù)列，則d=_______．14.函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，滿足關(guān)系式，則的值為_______．15.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項起依次為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….記大衍數(shù)列的通項公式為，若，則數(shù)列的前30項和為________.16.定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，若，則不等式的解集為___________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)在時取得極大值4.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.18.記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前21項和.19.記為數(shù)列前n項和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．20.某市城郊由3條公路圍成的不規(guī)則的一塊土地（其平面圖形為圖所示）．市政府為積極落實“全民健身”國家戰(zhàn)略，準(zhǔn)備在此地塊上規(guī)劃一個體育館．建立圖所示的平面直角坐標(biāo)系，函數(shù)的圖象由曲線段和直線段構(gòu)成，已知曲線段可看成函數(shù)的一部分，直線段（百米），體育館平面圖形為直角梯形（如圖所示），，．（參考數(shù)據(jù)：）（1）求函數(shù)的解析式；（2）在線段上是否存在點，使體育館平面圖形面積最大？若存在，求出該點到原點的距離；若不存在，請說明理由．21.記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）證明：．22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．20232024學(xué)年第二學(xué)期高二年級期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必用黑色字造的鋼筆或簽字筆將自已的址名和考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.并用B鉛筆將時應(yīng)的信息點涂黑，不按要求填涂的，答寒無效.2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再進(jìn)涂其他答案，答案不能答在試卷上.3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)城內(nèi)相應(yīng)位里上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4，考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，只需將答題卡交回.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.下列求導(dǎo)運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)常用函數(shù)的求導(dǎo)公式和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即可判斷.【詳解】對A，，正確；對B，，錯誤；對C，，錯誤；對D，，錯誤.故選：A.2.設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，則的值為（）A.5 B.7 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，求出和，然后利用通項公式即可求出.【詳解】設(shè)在等差數(shù)列的公差為，，解得，故，故選B．3.在數(shù)列中，若，，則（）A. B. C.1 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探求出數(shù)列的周期，再利用周期性計算即得.【詳解】在數(shù)列中，由，，得，，，因此數(shù)列周期性數(shù)列，周期為3，所以.故選：A4.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下面說法正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.為函數(shù)的極小值點 D.為函數(shù)的極大值點【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)圖象確定原函數(shù)的單調(diào)性，逐項分析即可求得結(jié)論．【詳解】由圖象知，不妨設(shè)導(dǎo)函數(shù)與x軸負(fù)半軸的交點橫坐標(biāo)為，當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，故函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故為極小值點，2為極大值點，對照選項，故A,B,C錯誤,D正確.故選：D．5.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得，繼而求得的值，利用等差數(shù)列前項和公式進(jìn)行計算即可.【詳解】數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.6.若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）．A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)，求出切點坐標(biāo)，利用點線距求解.【詳解】∵，設(shè)為所求的點，則得，，則點P到直線的最小距離為．故選:A.7.已知函數(shù)，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，觀察與連線的斜率即得.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示.由圖可知曲線上各點與坐標(biāo)原點的連線的斜率隨著的增大而減小.由，得，即.故選：C.8.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是x的函數(shù)，通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作，類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……．一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)記為，例如的n階導(dǎo)數(shù)．若，則（）A. B.50 C.49 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件，列舉的前幾項，根據(jù)規(guī)律，寫出，代入，即可求解.【詳解】由，，，，依此類推，，所以.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.可能是奇函數(shù) B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.當(dāng)?shù)臉O大值為17時， D.當(dāng)時，函數(shù)的值域是【答案】ABC【解析】【分析】由奇函數(shù)的定義可判斷A，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性可判斷BCD.【詳解】因?qū)Γ?，顯然當(dāng)時，為奇函數(shù)，即A正確；因為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B正確；由得，結(jié)合選項B可知，是函數(shù)的極大值點，此時函數(shù)的極大值為，所以，故C正確；由B可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以無最大值，無最小值，故D錯誤.故選:ABC.10.已知數(shù)列滿足，其中，為數(shù)列的前n項和，則下列四個結(jié)論中，正確的是（）A. B.數(shù)列的通項公式為：C.數(shù)列的前n項和為： D.數(shù)列為遞減數(shù)列【答案】ACD【解析】【分析】令可求；利用已知求的方法求數(shù)列通項公式；利用裂項相消法求數(shù)列的前n項和;根據(jù)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系判斷數(shù)列的單調(diào)性.【詳解】因為，所以當(dāng)時，，兩式相減得，所以，又因為當(dāng)時，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為：，故A正確，B錯誤，，所以，故C正確；因為，隨著的增大，在減小，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故D正確.故選:ACD.11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.若為奇函數(shù)，則為偶函數(shù) B.若，則為奇函數(shù)C.若的最小值為0，則 D.若為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)奇偶性進(jìn)行逐項判斷.【詳解】解：由題意得：對于選項A：若為奇函數(shù)，，則，故，又，是偶函數(shù)，故A正確；對于選項B：若，又，則，故，，當(dāng)時，，是奇函數(shù)，當(dāng)時，，不是奇函數(shù)，所以不一定是奇函數(shù)，故B錯誤；對于選項C：若的最小值為0，，，則，故C正確；對于選項D：若為偶函數(shù)，，，，解得，故，，所以為奇函數(shù)，故D正確.故選：ACD12.（多選）已知n∈N*，下列說法正確的是（）A.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋2n＋1，則該數(shù)列的通項公式為an＝2n＋1B.設(shè)Tn是數(shù)列{an}的前n項的乘積，且Tn＝n2，則該數(shù)列的通項公式an＝C.數(shù)列2，5，11，20，x，47，…中的x可以等于32D.若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，則S2，S4－S2，S6－S4也成等比數(shù)列【答案】BC【解析】【詳解】解析：A選項的結(jié)果為an＝所以A選項不正確；B選項用退位作商法an＝C選項滿足n≥2時，an－an－1＝3（n－1），然后用累加法得結(jié)果；D選項，首項為1，公比為－1的等比數(shù)列就不滿足，所以D選項不正確．故選BC.三?填空題13.在等差數(shù)列中，，公差為d，且成等比數(shù)列，則d=_______．【答案】2【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項公式基本量計算和等比中項的性質(zhì)得到方程，求出公差，檢驗后得到答案.【詳解】等差數(shù)列中，，公差為d，且成等比數(shù)列，可得，即為，化為，解得或，若，即有4，6，9成等比數(shù)列，滿足要求；若，即有1，0，0不成等比數(shù)列．則成立．故答案為：214.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足關(guān)系式，則的值為_______．【答案】【解析】【分析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，代入計算即可.【詳解】由進(jìn)行求導(dǎo)得：，可得：，解得．故答案為：15.大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列中的每一項都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量的總和.大衍數(shù)列從第一項起依次為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….記大衍數(shù)列的通項公式為，若，則數(shù)列的前30項和為________.【答案】240【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，采用并項求和的方法，即可求得答案.【詳解】由題意知，，故數(shù)列的前30項和為，故答案為：24016.定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足，且，若，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】由條件證明為周期函數(shù)，結(jié)合條件及函數(shù)的奇偶性可求得，因為不等式可化為，故考慮構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因為，所以所以，所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為4，因為，所以，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以.不等式，可化為，令，則，又，所以，即在上單調(diào)遞減，因為，，不等式的解集為；故答案為：.【點睛】方法點睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性化歸為顯性的不等式來求解，具體步驟是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組），但要注意函數(shù)的奇偶性在化簡過程中的差異.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)在時取得極大值4.（1）求實數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1）；（2）最大值為4，,最小值為0.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，根據(jù)，解方程組求出a，b的值；（2）根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，分別求出極值和端點值，再比較得出最大值和最小值.【小問1詳解】，由題意得，解得.此時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，所以在時取得極大值.所以.【小問2詳解】由（1）可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又因為，，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，,最小值為0.18.記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求通項公式；（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前21項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式、前n項和公式求基本量，即可寫出通項公式；（2）由，應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式求和即可.【小問1詳解】設(shè)公差為，由題設(shè)有，解得，，所以.【小問2詳解】由題設(shè)，.所以數(shù)列的前21項和為211.19.記為數(shù)列的前n項和．已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項的性質(zhì)求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得．【小問1詳解】因為，即①，當(dāng)時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．【小問2詳解】[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時，．[方法二]：最優(yōu)解】鄰項變號法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時，．【整體點評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優(yōu)解．20.某市城郊由3條公路圍成的不規(guī)則的一塊土地（其平面圖形為圖所示）．市政府為積極落實“全民健身”國家戰(zhàn)略，準(zhǔn)備在此地塊上規(guī)劃一個體育館．建立圖所示的平面直角坐標(biāo)系，函數(shù)的圖象由曲線段和直線段構(gòu)成，已知曲線段可看成函數(shù)的一部分，直線段（百米），體育館平面圖形為直角梯形（如圖所示），，．（參考數(shù)據(jù)：）（1）求函數(shù)的解析式；（2）在線段上是否存在點，使體育館平面圖形面積最大？若存在，求出該點到原點的距離；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，（百米）．【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象即可得出解析式；（2）寫出面積表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，即可得出點的位置.【小問1詳解】由題意，因為在曲線上，即，，所以，．又因為，，所以線段方程為，所以，．所以函數(shù)的解析式為：．【小問2詳解】由題意及（1）得，在中，設(shè)點坐標(biāo)為，則．又，，點坐標(biāo)為，所以直角梯形的面積，即，所以．令，解得．當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以時，函數(shù)取