2021屆人教A版（文科數(shù)學(xué)）空間向量與立體幾何單元測(cè)試

1、平面a經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（—l,0,l）,Bd,1,2）,C（2,-1,0）,則下列向量中與平面

a的法向量不垂直的是（）

A.（―,—1,—1）B.（6,—2,—2）

2

C.（4,2,2）D.（-1,1,4）

2、已知點(diǎn)A點(diǎn),-2,11）,B（4,2,3）,C（6,-1,4）則三角形ABC的形狀是（）

（A）直角三角形（B）銳角三角形（C）鈍角三角形（D）斜三角形

3、點(diǎn)（2,0,3）位于（）

A.y軸上B.無(wú)軸上C.xoz平面內(nèi)D.yoz平面內(nèi)

4、在正方體ABCD-A[B]C]DI中，直線％、與平面AB]D]所成角的正弦值為（）

A.3B.3C.3D.3

5、在三棱錐P-ABC中，PC±底面ABC,NBAC=90",AB=AC=4,/BC=60",貝1J點(diǎn)

C到平面PAB的距離是（）

3版4版5板6匹

A.7B.7C.7D.7

6、如圖，在正四棱柱ABCD-ABCD中，卜卜=2,AB=BC=1,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在線段

GD,AC上，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是（）.

7、在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD-ABCD棱長(zhǎng)為2,E為正方體的

棱AAi的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AB上的一點(diǎn)，且/GEF=90°,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）

A.(2,1,0)B.(2,1,0)C.(2,1,0)D.(2,2,0)

2343

8、如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A]B]CR中，A]A=2AB=2AD,則異面直線與AD1所成角

的余弦值為()

1234

A.5B.5&5D.5

9、已知、?'=0,同=2,由=3,且(3a+2,)?(遙一‘)=0,則A等于()

33

A.2B.-2

3

C.+2D.1

10、AABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),則AC邊上的高BD

長(zhǎng)為()

A.5B.弧C.4D.2/

11、如圖，在三棱柱AB。-A46中，O,底面ABC,M=3,

AB^AC^BC^l,則疑]與平面A&G所成角的大小為()

12、已知直線1過(guò)點(diǎn)P(1,0,—1),平行于向量2=(2,1,1),平面a過(guò)直線1與點(diǎn)

M(1,2,3),則平面a的法向量不可能是()

B.C.(一《,1,一；)

A.(1,-4,2)D.(0,-1,1)

13、已知空間中AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(l,l,0),B(O,1,2),6(24,1),則BC邊

上的中線的長(zhǎng)度為o

14、若向量a=(l,1,x),b=(l,2,1),c=(l,1,1),若(c+a)?2b=-2,則實(shí)數(shù)x=.

15、如圖，正方體ABCD—ABCD的棱長(zhǎng)為1,0是底面ABCD的中心，則點(diǎn)。到平

面ABC.D,的距離為.

16、若平面a、p的法向量分別為m=(l,2,-2),m=(—3,—6,6),則平面

a,B的位置關(guān)系是.

17、已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).

⑴若而IIAC,DCIIAB,求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a,6,使得Ada就+BBC成立?若存在，求出a,0的值;若不

存在，說(shuō)明理由.

18、在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化簡(jiǎn)人/1一EF+DF+AB+CC、并在圖中標(biāo)出

化簡(jiǎn)結(jié)果的向量.

19、如圖，四棱錐P-ABCD中，R4,底面ABC。AB〃CO,AD=CD^\,

ZBAZ)=120°,PA=g,ZACB=90°,M是線段PO上的一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)).

(I)求證：平面PAC；

(II)求二面角?！狿C—A的正切值；

(III)試確定點(diǎn)"的位置，使直線MA與平面PCO所成角。的正弦值為半.

20、已知空間三點(diǎn)A(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1)若司=m，且a分別與AB,AC垂直，求向量a的坐標(biāo)；

(2)若而〃BC,且網(wǎng)=2/,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

21、正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,CD的中點(diǎn).

⑴證明：平面AED_L平面A1FD1;

(2)在AE上求一點(diǎn)M,使得A1M_L平面DAE.

22、如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A,平面ABCD,AD〃BC〃FE,AB±AD,M

1

為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=2AD.

(1)求異面直線BF與DE所成的角的大小;

⑵證明平面AMD,平面CDE；

(3)求二面角A-CD-E的余弦值.

參考答案

1、答案D

設(shè)平面a的法向量為n,則n，Z分,n±AC,n±BC,所有與耳耳（或衣、BC）

平行的向量或可用而與正線性表示的向量都與n垂直，故選D.

2、答案A

3、答案C

4、答案C

通過(guò)題干條件得到面的法向量，BC〃B[CI,求法向量和BC的夾角即可.

詳解

1+3-2下

_n_COSZ-BCA=--------尸=一

由題知，A：為平面ABR的一個(gè)法向量，又因?yàn)锽C〃B￡,所以12x433

故答案為：C.

名師點(diǎn)評(píng)

求線面角，一是可以利用等體積計(jì)算出直線的端點(diǎn)到面的距離，除以線段長(zhǎng)度就是線面

角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線

面角即可。

5、答案B

以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，過(guò)A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)C到平面PAB的距離.

詳解

???在三棱錐P-ABC中，PC1底面ABC,NBAC=90",AB=AC=4,"BC=60°,

二以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，

過(guò)A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則CO*0),P(0,4,4狗,A(0Q,0),

B(4,0,0),

=(0,Q-=(4,

AC4,0),AB0,0),

=(0,/c.

AP4,4j6),

T=(X,

設(shè)平面PAB的法向量n'y,Z),

-=4y+4、后z=0

nAP

"?"=4x=0

則(nAB,

,1(0,-而1)

取Z=l,得n,

I

ACn4拜4V142

d=------=——=-----

nJ?7

二點(diǎn)C到平面PAB的距離n

故選：B.

名師點(diǎn)評(píng)

本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知

識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

6、答案C

本題建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；則A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),

CL(0,1,2),

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,入，2人)，1],點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1—u,M,0),yG[0,

1]，

/z)2+(Jl-/Z)2+412=^2/12+512-2/z+l

152

當(dāng)且僅當(dāng)A=5,口=3時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最小值5.

考查目的：運(yùn)用空間坐標(biāo)化為代數(shù)的最值問(wèn)題用配方法解決.

7、答案A

解：由題意得E(2,0,1),Ci(0,2,2),設(shè)F(2,y,0),

則西=(-2,2,1),EF=(0,y,-1),

VZClEF=90°,

二EC：?EF=2y-1=0,解得y=_L,

則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,1,0),

2

故選：A

本題主要考查空間向量的應(yīng)用，根據(jù)直線垂直轉(zhuǎn)化為西？而=0是解決本題的關(guān)鍵.

8、答案D

以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，D%為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能

求出異面直線A.B與AD所成角的余弦值.

詳解

以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AAi=2AB=2AD=2,

貝ijAi(1,0,2),B(1,1,0),A(1,0,0),Di(0,0,2),

AiB=(0,1,-2),ADi=(-1,0.2).

設(shè)異面直線AB與A%所成角為0,

IA]B'AD1[44

則cos。ABIIADJJ'

4

...異面直線AB與AD,所成角的余弦值為5.

故選：D.

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法

的合理運(yùn)用.

9、答案A

由向量垂直得a-b=(),令(3a+2b)?(入a-b)=0即可解出入

詳解

??-?■>-?->->->

ya1b,/.a-b=o,V3a+2b±Xa-b,(3a+2b)?(Xa-b)=Q,

3

9>>?>T

BP3xa2+(2X-3)a?b-2^=0,12入-18=0,解得入=2.

故選：A.

名師點(diǎn)評(píng)

本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

10、答案A

設(shè)京=人辰，又曲=(o,4,-3),

則Ab=(0,4A,-3X),

-?

AB=(%-5,0),

BD=(-4,4X+5,-3X),

由AC?BD=Q

4912

得x=-5,.-.Bb=(-4,5,5).

.?.廊|=5.

11、答案A

建立空間坐標(biāo)系，計(jì)算A、坐標(biāo)，計(jì)算平面44G的法向量，運(yùn)用空間向量數(shù)量積公式,

計(jì)算夾角即可。

詳解

取AB的中點(diǎn)D,連接CD,以AD為x軸，以CD為y軸，以'片為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

可得A(1,O,O),40,0,3),故麗=(1,0,3)—(1,0,0)=(0,0,3),而

B,(-l,0,3),C,(0,^,3)；設(shè)平面MG的法向量為和(。,叱)

,根據(jù)

比?福=0,沅?菊=0,解得玩=('一&'2),

四優(yōu)質(zhì))=牛組」

\'/網(wǎng)如2

故'A與平面ABC所成角的大小為30°,故選A。

名師點(diǎn)評(píng)

考查了空間向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，難度偏難。

12、答案D

由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量1=(2,1,1),和向量AM,,

而AA/=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),

選項(xiàng)A,(2,1,1)-(1,-4,2)=0,(0,2,4)-(1,-4,2)=0滿足垂直，故正確;

選項(xiàng)B,(2,1,1)(-,T,-)=0,(0,2,4)-1,-)=0滿足垂直,

4242

故正確；

選項(xiàng)C,(2,1,1)(——111?—)=0,(0,2,4)(_—,1>?—)=0滿足垂

4242

直，故正確；

選項(xiàng)D,(2,1,1)(0,-1,1)=0,但(0,2,4)■(0,-1,1)W0,故錯(cuò)誤.

考查目的：平面的法向量

3

13、答案2

寫出BC中點(diǎn)坐標(biāo)E,進(jìn)而得AE長(zhǎng)度.

詳解

322323

￡(1,1,-)A|AE|=02+02+H=-

設(shè)BC中點(diǎn)E,則

名師點(diǎn)評(píng)

本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，兩點(diǎn)間距離，是基礎(chǔ)題.

14、答案-8

由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可解得X。

詳解

由已知得(c+a)=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+l)=-2,解得x=-8.填-8.

名師點(diǎn)評(píng)

若；=%,丫/1)6=僅2%】2),則=x1x2+y1y2+z1z2

15、答案也＜

4

16、答案平行

*/n2=_3ni，'.n\//n2,a//^.

17、答案(1)D(-l,l,2).(2)a=3=l

試題分析：(1)設(shè)D(x,y,z),由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算可求得D點(diǎn)坐標(biāo)。(2)假設(shè)存在,

由待定系數(shù)法求解。

詳解

⑴設(shè)D(x,y,z),則DB=(-x,1-y,-z),&=(T,0,2),DC=(-x,-y,2-z),^=(-1,1,0).

因?yàn)镕BIIAC,DCII

f(-x,l-y,-z)=m(-1,0,2),

所以i(-x,-y,2-z)=n(-1,1,0),

(X=-1,

y=1,

解得Iz=2.BPD(-1,1,2).

(2)依題意A*B=(T,1,0),晶=(T,0,2),BG=(0,-l,2).

假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,B,使得&=aAB+BR成立,則有

(-1,0,2)=a(-1,l,0)+P(0,-1,2)=(-a,a-p,2P),

/a=1,

a-P=0,__.

所以|20=2,故存在a=B=1,使得扇=aAB+p展成立.

名師點(diǎn)評(píng)

T—?

xz=

已知a=僅1,丫111)力=(x2,y2,z2)^若a〃，則a=Xb(b00),(i*Ypi)人華斗馬),所以

X]=Xx2,y1=Xy2,z1=Xz2

18、答案：：根據(jù)向量的加減法的三角形法則，結(jié)合六棱柱圖形，即可化簡(jiǎn)所求式子.

詳解

A1F1-EF+AB+CC1+DF=AF+FE+ED+DD1+=AF、在圖中表示如下圖所示。

名師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查了向量加法、減法的運(yùn)算法則，及相反向量，屬于中檔題.

19、答案（I）：PAJ_底面ABCD,BCM?平面AC,.\PA1BC

VZACB=90°,ABCIAC,又PAAAC=A,，BC_L平面PAC,

（H）取CD的中點(diǎn)E,則AELCD,.-.AE±AB,又PAL底面ABCD,...PALAE建立如圖所示

空間直角坐標(biāo)系，則

A(0,,0,0),P(0,0,山），c（朋①，0),D(A3,0)

uaAD二CD二卜BAD

易求為平面PAC的一個(gè)法向量?ACLB為平面PDC的一個(gè)法向量,

AcosJVdT故二面角D-PC-A的正切值為2.

（in）設(shè)/=^上二>，則<233^，

解得點(diǎn)AJL<17即D—PC-A

由得MA（不合題意舍去）或PCD

所以當(dāng)夕為冬的中點(diǎn)時(shí),直線AM與平面PCD所成角的正弦值為巫.

20、答案⑴Q，l，l)或(T，T，T)；⑵(6,-2,1)或(-6,6,5)

試題分析：(1)AB=(-2,-1,3),AC=(i,-3,2).設(shè)a=(x,y,z),由于?=4,

-?今今-2x-y+3z=0一一

且a分別與AB、AC垂直，可得［x-3y+2z=0,解出即可.⑵設(shè)久日=題(入CR),

即43入)2+(-2入)2+(-入)2=264,解之即得人的值，即得而=化，-4,—2)或AP=(—

6,4,2).再求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

詳解

今今

⑴AB=(-2,-1,3),AC=(i,-3,2).

與

設(shè)a二(x,y,z),

?;a1=4,且a分別與AB、AC垂直，

-2x-y+3z=0

.?.x-3y+2z=0,

(X=l/X=-l

)y=1,y=-1

解得|z=1,或［z二?1.

?,.a二(1,1,1),(-1,-1,-1).

(2)因?yàn)槎˙C,所以可設(shè)|R|=入BC0WR).

因?yàn)锽C=(3,-2,-1),

所以6P=(3入，-2X,-X).

又因?yàn)閨AP|=2標(biāo)，

所以J(3入八(-2入)2+(-心=2眄

解得入=±2.

所以而=(6,-4,—2)或而=(-6,4,2).

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),則AP=(x,y—2,z—3).

/x=6,/x=-6,

y-2=-4,y-2=4,

所以|z-3=-2或［z-3=2.

(x=6,/X=-6,

y=-2,y=6,

解得Iz=1或(z=5.

故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,—2,1)或(-6,6,5).

名師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量平行和垂直的坐標(biāo)表示，考查向量的模的計(jì)算,

意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.

21、答案：：(1)證明建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

則A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),Ai(2,0,2),0.(0,0,2).求出平面AED的法向量為n,

平面AFDi的法向量由m?n2=0即可得證.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)M在直線AE上，所以可設(shè)尿生入?AE=X?(0,2,1)=(0,2入，入)，可得

-?

M(2,2入，入)，于是AIM=(O,2入，入-2),要使AMJ_平面DAE,需有AMLAE,即可求出X

從而確定點(diǎn)M.

詳解

A"

(1)司力證明建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,

則A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A.(2,0,2),?(0,0,2).

,[Dk=的,丫14?(2,0,0)=0,

設(shè)平面AED的法向量為山=區(qū),y?z),則1rVDE=(^^-[2,2,1)=0,

?*.2xi=0,2xi+2yi+zi=0.

令yi=l,得111=(0,1,-2).

同理可得平面AFDi的法向量(0